Lineares Gleichungssystem

Ein lineares Gleichungssystem setzt sich aus mehreren linearen Gleichungen mit gemeinsamen Unbekannten (Variablen), die alle erfüllt werden sollen, zusammen. Linear heißt hierbei, dass jede Variable höchstens mit dem Exponenten %%1%% auftaucht!

Um es eindeutig lösen zu können, braucht man mindestens ebenso viele Gleichungen wie Unbekannte.

Beispiel

Gibt es also drei unbekannte Größen (z.B. %%x%%, %%y%% und %%z%% oder %%a%%, %%b%% und %%c%%), benötigt man auch mindestens drei Gleichungen zum Lösen.

$$\begin{array}{crcrcrcr} \mathrm{I}&2x&+&\frac12y&-&6z&=&0\\ \mathrm{II}&x&&&-&\frac34z&=&2\\ \mathrm{III}&\frac23x&-&y&+&8z&=&7 \end{array}$$     

Die Gleichungen werden mit römischen Zahlen nummeriert und die Variablen passend untereinander angeordnet; wie hier im Beispiel also die Terme mit %%x%% untereinander, dann die Terme mit %%y%% usw.

Detaillierte Einführung

Eine schrittweise Einführung zum Thema findest du im Kurs Einführung in lineare Gleichungssysteme - Teil 1.

Bestimmtheit von Gleichungssystemen

Unterbestimmtes Gleichungssystem

$$\begin{array}{crcrcrcr} \mathrm{I}&x&-&3y&+&5z&=&0\\ \mathrm{II}&2x&+&y&-&z&=&9 \end{array}$$

Unterbestimmtes Gleichungssystem heißt, dass es mehr Variablen als Gleichungen gibt. Im Beispiel links gibt es drei Unbekannte, aber nur zwei Gleichungen.

Ein solches Gleichungssystem kann nicht eindeutig gelöst werden.

Quadratisches Gleichungssystem

$$\begin{array}{crcrcr} \mathrm{I}&a&+&b&=&4\\ \mathrm{II}&2a&-&b&=&0 \end{array}$$

Gibt es genau so viele Gleichungen wie Variablen, spricht man von einem quadratischen Gleichungssystem.

Ein solches Gleichungssystem ist eindeutig lösbar, wenn es keine äquivalenten Gleichungen im System gibt.

Überbestimmtes Gleichungssystem

$$\begin{array}{crcrcr} \mathrm{I}&a&-&b&=&4\\ \mathrm{II}&2a&+&b&=&1\\ \mathrm{III}&5a&-&2b&=&0 \end{array}$$

Wenn es mehr Gleichungen als Variablen im Gleichungssystem gibt, heißt es überbestimmtes Gleichungssystem.

Auch diese sind eindeutig lösbar, wenn es wenigstens so viele nicht zueinander äquivalente Gleichungen wie Variablen gibt.

Gleichungssysteme lösen

Ein Gleichungssystem zu lösen bedeutet alle Variablen so zu bestimmen, dass alle Gleichungen des Systems erfüllt werden.

Es gibt fünf verschiedene Verfahren, ein Gleichungssystem zu lösen:

• Das Additionsverfahren
  (wenn sich durch die Addition der Gleichungen eine der unbekannten Größen aufhebt)

• Das Einsetzungsverfahren
  (wenn sich sehr leicht nach einer Variablen auflösen lässt)

• Das Gleichsetzungsverfahren
  (wenn man zwei Gleichungen leicht nach der gleichen Variablen auflösen kann)

• Das Gaußverfahren
  (wenn es sich um sehr viele unterschiedliche Variablen handelt)

• Cramersche Regel
  (wenn es sich um ein kleines Gleichungsystem handelt)

Gleichungssystem als Matrix darstellen

Ein lineares Gleichungssystem lässt sich immer als erweiterte Koeffizienten-Matrix %%\left(\mathrm A\left|\mathrm b\right.\right)%% schreiben.

Beispiel

Gleichungssystem

Erläuterung

Matrix

$$\begin{array}{ccccccc} \mathrm{I}&2x&+&\frac12y&-&6z&=0\\ \mathrm{II}&x&&&-&\frac34z&=2\\ \mathrm{III}&\frac23x&-&y&+&8z&=7 \end{array}$$

In die Matrix werden die Koeffizienten übertragen. Die konstanten Terme werden dabei ganz rechts eingetragen und durch einen Strich abgetrennt.

$$\left(\begin{array}{ccc|c} 2&\frac12&-6&0\\ 1&0&-\frac34&2\\ \frac23&-1&8&7 \end{array}\right)$$ $$\begin{array}{ccccc} &\;\uparrow&\;\;\uparrow&\;\;\;\uparrow&\uparrow\;\;\;\;\;\\ &x&\;y&\;\;z&\text{Konst.} \end{array}$$

Die Schreibweise eines Gleichungssystems als erweiterte Koeffizientenmatrix ist hilfreich, um Aussagen über die Lösbarkeit des Gleichungssystems zu treffen und um die Lösung(en) zu berechnen.