Ein lineares Gleichungssystem setzt sich aus mehreren linearen Gleichungen mit gemeinsamen Unbekannten (Variablen), die alle erfüllt werden sollen, zusammen. Linear heißt hierbei, dass jede Variable höchstens mit dem Exponenten %%1%% auftaucht!

Um es eindeutig lösen zu können, braucht man mindestens ebenso viele Gleichungen wie Unbekannte.

Beispiel

Gibt es also drei unbekannte Größen (z.B. %%x%%, %%y%% und %%z%% oder %%a%%, %%b%% und %%c%%), benötigt man auch mindestens drei Gleichungen zum Lösen.

$$\begin{array}{crcrcrcr} \mathrm{I}&2x&+&\frac12y&-&6z&=&0\\ \mathrm{II}&x&&&-&\frac34z&=&2\\ \mathrm{III}&\frac23x&-&y&+&8z&=&7 \end{array}$$     

Die Gleichungen werden mit römischen Zahlen nummeriert und die Variablen passend untereinander angeordnet; wie hier im Beispiel also die Terme mit %%x%% untereinander, dann die Terme mit %%y%% usw.

Gegenbeispiele

Kein Gleichungssystem ist

%%\begin{array}{ccccccc} \mathrm{I}&a&-&5b&+&3c&=0\\ \mathrm{II}&a&+&b\\ \mathrm{III}&&&&&c&=4 \end{array}%%

Denn unter II steht keine Gleichung!

Kein lineares Gleichungssystem ist

%%\begin{array}{cccccccc} \mathrm{I}&x^2&+&\frac12y&-&10z^2&=&5\\ \mathrm{II}&2xy&-&y&\;&\;&=&6\\ \mathrm{III}&-2x&+&4y^2&-&5xz&=&-12 \end{array}%%

Denn es kommen die nicht-linearen Terme %%x^2, z^2, xy, y^2%% und %%xz%% vor!

 

Detaillierte Einführung

Eine schrittweise Einführung zum Thema findest du im Kurs Einführung in lineare Gleichungssysteme - Teil 1.

Bestimmtheit von Gleichungssystemen

Unterbestimmtes Gleichungssystem

$$\begin{array}{crcrcrcr} \mathrm{I}&x&-&3y&+&5z&=&0\\ \mathrm{II}&2x&+&y&-&z&=&9 \end{array}$$

Unterbestimmtes Gleichungssystem heißt, dass es mehr Variablen als Gleichungen gibt. Im Beispiel links gibt es drei Unbekannte, aber nur zwei Gleichungen.

Ein solches Gleichungssystem kann nicht eindeutig gelöst werden.

Quadratisches Gleichungssystem

$$\begin{array}{crcrcr} \mathrm{I}&a&+&b&=&4\\ \mathrm{II}&2a&-&b&=&0 \end{array}$$

Gibt es genau so viele Gleichungen wie Variablen, spricht man von einem quadratischen Gleichungssystem.

Ein solches Gleichungssystem ist eindeutig lösbar, wenn es keine äquivalenten Gleichungen im System gibt.

Überbestimmtes Gleichungssystem

$$\begin{array}{crcrcr} \mathrm{I}&a&-&b&=&4\\ \mathrm{II}&2a&+&b&=&1\\ \mathrm{III}&5a&-&2b&=&0 \end{array}$$

Wenn es mehr Gleichungen als Variablen im Gleichungssystem gibt, heißt es überbestimmtes Gleichungssystem.

Auch diese sind eindeutig lösbar, wenn es wenigstens so viele nicht zueinander äquivalente Gleichungen wie Variablen gibt.

Gleichungssysteme lösen

Ein Gleichungssystem zu lösen bedeutet alle Variablen so zu bestimmen, dass alle Gleichungen des Systems erfüllt werden.

Es gibt fünf verschiedene Verfahren, ein Gleichungssystem zu lösen:

Gleichungssystem als Matrix darstellen

Ein lineares Gleichungssystem lässt sich immer als erweiterte Koeffizienten-Matrix %%\left(\mathrm A\left|\mathrm b\right.\right)%% schreiben.

Beispiel

Gleichungssystem

Erläuterung

Matrix

$$\begin{array}{ccccccc} \mathrm{I}&2x&+&\frac12y&-&6z&=0\\ \mathrm{II}&x&&&-&\frac34z&=2\\ \mathrm{III}&\frac23x&-&y&+&8z&=7 \end{array}$$

In die Matrix werden die Koeffizienten übertragen. Die konstanten Terme werden dabei ganz rechts eingetragen und durch einen Strich abgetrennt.

$$\left(\begin{array}{ccc|c} 2&\frac12&-6&0\\ 1&0&-\frac34&2\\ \frac23&-1&8&7 \end{array}\right)$$ $$\begin{array}{ccccc} &\;\uparrow&\;\;\uparrow&\;\;\;\uparrow&\uparrow\;\;\;\;\;\\ &x&\;y&\;\;z&\text{Konst.} \end{array}$$

Die Schreibweise eines Gleichungssystems als erweiterte Koeffizientenmatrix ist hilfreich, um Aussagen über die Lösbarkeit des Gleichungssystems zu treffen und um die Lösung(en) zu berechnen.

Kommentieren Kommentare

Sammy 2017-11-04 21:45:23
Ist die Definition eines quadratischen Gleichungssystems nicht falsch? es taucht kein Quadrat auf, sondern nur:
I a + b = 4
II 2a - b = 0

In dem Video darunter wird es nämlich anders erklärt
Digamma 2017-11-05 09:30:25
Hallo Sammy,
das sind tatsächlich zwei völlig unterschiedliche Begriffe. Bei dem, was der Artikel unter "quadratisches Gleichungssystem" versteht, ist das ''System'' quadratisch: Es enthält genauso viele Gleichungen wie Unbekannte. Wenn man es durch eine Matrix darstellt, dann ist die Matrix quadratisch, d.h. die Anzahl der Spalten ist gleich der Anzahl der Zeilen. Die Gleichungen sind aber alle linear.
Beim Video geht es aber um Gleichungssysteme, bei denen die ''Gleichungen'' (zumindest eine davon) quadratische Gleichungen sind.
Das ist etwas völlig anderes und hat in diesem Artikel eigentlich nichts zu suchen.
Nish 2017-11-07 13:48:57
Hallo Sammy, hallo Digamma,
vielen Dank für eure Aufmerksamkeit! Ich habe eben Digamma's neue Bearbeitung übernommen und damit das Video aus dem Artikel genommen.

@Digamma: Schön, dass du noch aktiv auf Serlo bist! :)

LG,
Nish
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AlphaLemmi 2017-02-23 09:09:28
Als neue Unterkategorie schlage ich "Lineare Gleichungen grafisch lösen" vor.
LG AlphaLemmi
Nish 2017-02-23 13:05:26
Vielen Dank für den Hinweis, AlphaLemmi! Ist mir bei einem Schulbesuch auch schon aufgefallen und ich werde mich bei Gelegenheit darum kümmern.

LG,
Nish
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Zu article Lineares Gleichungssystem: Lösungsmenge
Lisa_K 2015-11-03 15:33:46
Ich hätte ein paar Vorschläge für diesen Artikel:
1. Begriffe, die in den Raum gestellt werden sollten im vorherigen Teil des Artikels unbedingt erläutert werden. Siehe der Begriff Lösungsmenge
2. Wofür steht rg? Vielleicht wäre das hilfreich, um den Artikel zu verstehen?
3. Bei dem Punkt: "Gleichungssystem mit Hilfe einer Matrix" könntet ihr direkt wieder das allererste Beispiel dazu nehmen, um einen besseren Bezug herzustellen
4. Vielleicht beim allerersten Beispiel auch ein Negativbeispiel nennen, um es sich besser vorstellen zu können
Nish 2015-11-03 22:34:28
Hallo Lisa_K,

erstmal herzlich Willkommen in der Serlo-Community! Danke für deine wertvollen Feedbacks zu den Lerninhalten. Ich habe Sie zur Kenntnis genommen und werde versuchen entweder sie selbst umzusetzen oder jdn. zu finden, der diese Aufgabe übernimmt.

Ich möchte dich noch darauf hinweisen, dass du natürlich auch die Möglichkeit hast, die Lerninhalte selbst nach deinen Wünschen zu bearbeiten. Du kannst nichts kaputt machen! Bevor deine Version online geht, wird diese noch von einem erfahrenen Community-Mitglied geprüft und du erhälst Feedback. Hilfe zur Bearbeitung findest du hier (https://de.serlo.org/hilfe-startseite).
Bei Fragen/Unklarheiten zu Serlo oder zu technischen Anwendungen kannst du einfach auf diese Diskussion antworten oder mir auf meinem Profil schreiben.

LG,
Nish
Nessa 2015-11-07 12:47:14
Hallo Lisa_K,

danke für deine Verbesserungsvorschläge!
Ich habe den Artikel gemäß deines Feedbacks überarbeitet und hoffe, ich konnte es gut umsetzen.

Folgendes wurde geändert bzw. ergänzt:
- Was heißt "linear"?
- Gegenbeispiel zu (linearem) Gleichungssystem im Spoiler
- Bestimmtheit von Gleichungssystemen
- Matrixdarstellung mit Eingangsbeispiel

Außerdem gibt es jetzt einen extra Artikel zur Lösbarkeit von Gleichungssystemen, in dem auch der Begriff "Rang" (rg) erklärt wird.

Ich würde mich sehr über eine Rückmeldung zu den Änderungen freuen!

Liebe Grüße,
Nessa
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Zu article Lineares Gleichungssystem: vier oder fünf Verfahren
Hokkaidokürbis 2014-11-07 13:05:04
HI, es gibt vier Verfahren steht da, aber fünf Unterpunkte, ist das Absicht?
Renate 2014-11-07 16:25:30
Im ersten Augenblick wollte ich schon antworten "Nee, da hat nur jemand nicht bis fünf zählen können." ;),
aber bei genauerem Durchlesen erkenne ich und gebe zu:
Das Gaußverfahren kann (und sollte) man als spezielle Variante des Additionsverfahrens ansehen - siehe hierzu auch den Serlo-Artikel zum Gaußverfahren.
Trotzdem sollte bei Gelegenheit jemand diese Irritation hier in diesem Artikel beseitigen, danke Hokkaidokürbis für deine Aufmerksamkeit und den Hinweis!
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