Aufgaben zu Rechtecken und Quadraten

Ganz schön eckig! Hier findest du Aufgaben zu Rechtecken und Quadraten. Schaffst du sie alle?

1
Welche der folgenden Vierecke sind Rechtecke?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechteck
Damit eine Figur als Rechteck bezeichnet werden kann, müssen diese Eigenschaften gelten:
Mindestens drei Winkel sind 90° groß
Gegenüberliegende Seiten sind parallel zueinander
Die ersten drei Figuren sind Rechtecke, weil alle Winkel in den Figuren 90° groß sind. Außerdem sind gegenüberliegende Seiten parallel.
Für die anderen beiden Figuren gelten diese Eigenschaften nicht alle. Daher sind sie keine Rechtecke.
2
Gib an, wie du den Umfang $U$ folgender Formen berechnen kannst.
1. Quadrat
  $U_{\text{Quadrat}}=a+a+a+a$
  $U_{\text{Quadrat}} = 4 \cdot a$
  $U_{\text{Quadrat}}= a^2$
  $U_{\text{Quadrat}}=\ 2\cdot a$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Umfang eines Quadrats
  Den Umfang des Quadrats berechnest du, indem du alle Seitenlängen addierst. Das Quadrat hat 4 Seiten der Länge $a.$ Die richtigen Antworten sind also:
  $U_{\text{Quadrat}} = 4 \cdot a$
  und
  $U_{\text{Quadrat}} = a + a + a + a$ .
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2. Rechteck
  $U_{\text{Rechteck}}=a+b+a+b$
  $U_{\text{Rechteck}}=2\cdot (a+b)$
  $U_{\text{Rechteck}}=2a\cdot 2b$
  $U_{\text{Rechteck}}=a\cdot b$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechteck
  In dieser Aufgabe geht es um den Umfang eines Rechtecks mit den Seitenlängen $a$ und $b$ . Dieser ergibt sich als Summe der vier Seitenlängen:
  $U_{\text{Rechteck}}=2\cdot a+2\cdot b$
  $\displaystyle \phantom{www-i}= a+a+b+b$
  $\displaystyle \phantom{www-i}= \left( a+b \right)+\left( a+b \right)$
  Kommutativgesetz und Assoziativgesetz für Addition
  $\displaystyle \phantom{www-i}= 2 \cdot \left( a+b \right)$
  Folglich sind die richtigen Antworten:
  $U_{\text{Rechteck}} = a+b+a+b$
  und
  $U_{\text{Rechteck}} = 2 \cdot \left( a+b \right)$
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3
Gib an, wie du den Flächeninhalt $A$ folgender Formen berechnen kannst.
1. Quadrat
  $A_{\text{Quadrat}}=a^2$
  $A_{\text{Quadrat}}=a\cdot a$
  $A_{\text{Quadrat}}=a+a$
  $A_{\text{Quadrat}}=4\cdot a$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadrat
  Um den Flächeninhalt des Quadrats zu berechnen, multiplizierst du zwei Seitenlängen miteinander, nimmst sie also Mal. Bei diesem Quadrat hat jede Seite die Länge $a$ .
  Folglich sind die richtigen Lösungen:
  $A_{\text{Quadrat}}=a\cdot a$
  und
  $A_{\text{Quadrat}}=a^2$ .
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2. Rechteck
  $A_{\text{Rechteck}}=a \cdot b$
  $A_{\text{Rechteck}}=b \cdot a$
  $A_{\text{Rechteck}}=a + b$
  $A_{\text{Rechteck}}=2 \cdot a \,+ 2 \cdot b$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechteck
  In dieser Aufgabe musst du die richtige Formel für den Flächeninhalt des Rechtecks finden. Du kannst ihn berechnen, indem du die Längen von zwei aneinanderliegenden Seiten multiplizierst, also Mal nimmst.
  Die richtigen Lösungen sind also:
  $A_{\text{Rechteck}} = a \cdot b$
  und
  $A_{\text{Rechteck}}=b\cdot a$
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4
Berechne für ein Rechteck die fehlenden Größen:

Länge l
Breite b
Flächeninhalt A
Umfang U
a)
5 cm
7 dm
b)
30 cm
1,4 m
c)
120 m
6 ha
d)
80 cm
4 m²

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnungen am Rechteck
Länge l
Breite b
Flächeninhalt A
Umfang U
a)
5 cm
7 dm
3,5 dm²
15dm
b)
30 cm
0,4 m
0,12 m²
1,4 m
c)
500 m
120 m
6 ha
1240 m
d)
80 cm
5 m
4 m²
11,6 m
a) Berechnung Flächeninhalt A und Umfang U
Gegeben:
Länge l = 5cm Breite b = 7dm
Gesucht: Flächeninhalt A und Umfang U
Die Länge l musst du erst in die Einheit dm umrechnen. Die Länge l wird mit der Breite b multipliziert um den Flächeninhalt A zu erhalten. Die Werte werden für l und b eingesetzt, um das Ergebnis von U zu erhalten.
b) Berechnung Breite b und Flächeninhalt A
Gegeben:
Länge l = 30cm Umfang U = 1,4m
Gesucht: Breite b und Flächeninhalt A
Die Länge l wird in Meter umgerechnet und der Anteil am Umfang U abgezogen
Die Breite b bekommst du aus dem Umfang U, indem die Länge l abgezogen wird und die Breite b durch Teilen (Division) hervorgeht.
Um von 2b (2 mal b) den Wert für b herauszubekommen, teilst du das Ergebnis durch 2.
Durch die erhaltene Breite b kannst du dann den Flächeninhalt A ausrechnen.
c) Berechnung Länge l und des Umfang U
Gegeben:
Breite b = 120m Flächeninhalt A = 6ha
Gesucht: Länge l und Umfang U
Der Flächeninhalt A wird in m² umgerechnet und durch die Breite b geteilt. Um die Länge l zu erhalten, teilst du den Flächeninhalt A durch die Breite b.
Als Ergebnis kommt der andere Teil vom Flächeninhalt, die Länge l als Ergebnis heraus.
Die Werte der Länge l und der erhaltenen Breite b werden eingesetzt, das Ergebnis ist der Umfang.
d) Berechnung Breite b und Umfang U
Gegeben:
Länge l = 80cm Flächeninhalt A = 4m²
Gesucht: Breite b und Umfang U
Die Länge l rechnest du in Metern um, damit der Flächeninhalt durch l geteilt wird.
Durch Teilen vom Flächeninhalt durch die vorhandene Länge l bekommst du das Ergebnis der Breite b.
Für den Umfang müssen die Länge l und die ausgerechnete Breite b eingesetzt werden
5
Ein rechteckiger Garten der Länge 12m und der Breite 9,5m soll eingezäunt werden. Wie lang ist der Zaun, wenn für zwei Gartentore jeweils 2,7m ausgespart werden?
m

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnung am Rechtek
Länge $l = 12\;\mathrm{m}$
Breite $b = 9{,}5\;\mathrm{m}$
Die Zaunlänge entspricht dem Umfang eines Rechtecks. Berechne also den Umfang $U$ .
$U = 2l + 2b$
Setzte die gegebenen Zahlenwerte für $l$ und $b$ ein.
$U = 2 \cdot 12\;\mathrm{m} + 2\cdot 9{,}5\;\mathrm{m}$
$U = 43\;\mathrm{m}$
Für zwei Gartentore sollen jeweils 2,7 m ausgespart werden. Subtrahiere also die Gesamtlänge der Gartentore von dem Umfang des Gartens.
$2 \cdot 2{,}7\;\mathrm{m} = 5{,}4\;\mathrm{m}$
$43\;\mathrm{m} - 5{,}4\;\mathrm{m} = 37{,}6\;\mathrm{m}$
Der Zaun ist $37{,}6\;\mathrm m$ lang.

	Länge l	Breite b	Flächeninhalt A	Umfang U
a)	5 cm	7 dm
b)	30 cm			1,4 m
c)		120 m	6 ha
d)	80 cm		4 m²

	Länge l	Breite b	Flächeninhalt A	Umfang U
a)	5 cm	7 dm	3,5 dm²	15dm
b)	30 cm	0,4 m	0,12 m²	1,4 m
c)	500 m	120 m	6 ha	1240 m
d)	80 cm	5 m	4 m²	11,6 m

Ein Fußballfeld ist 110 m lang und 75 m breit. Berechne die Fläche und den Umfang des Fußballfelds.

7
Manuelas Zimmer ist 4 m lang, 3,5 m breit und 2,5 m hoch.
Eine der beiden großen Wandflächen soll einen gelben Farbanstrich erhalten. Von einem Farbtopf mit der Aufschrift "Inhalt 2,5 l ausreichend für 20 $\mathrm{m^2}$ - 25 $\mathrm{m^2}$ " ist noch die Hälfte übrig.
Reicht die Menge für den Anstrich der Wand? Begründe deine Antwort durch Rechnung.
Ja, die Menge reicht noch für den Anstrich.
Nein, die Menge reicht nicht mehr für den Anstrich.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnungen am Rechteck
Die "große" Wandfläche ist 4 m lang und 2,5 m hoch. Berechne die rechteckige Fläche der Wand.
$4\;\mathrm m\cdot2{,}5\;\mathrm m=10\;\mathrm m^2$
Überlege dir für wie viel $\mathrm{m}^2$ Wandfläche die restliche Farbe noch reicht. Es ist noch die Hälfte der Farbe da.
Die Farbe reicht für
$\frac12 \cdot 20\; \mathrm{m^2}= 10\;\mathrm m^2$
bis
$\frac12 \cdot 25 \;\mathrm{m^2} = 12{,}5\;\mathrm m^2$ .
Vergleiche das Ergebnis mit der erechneten Wandfläche.
Die Farbe im Topf reicht also aus.
8
Durch Aneinanderlegen von 24 quadratischen Teppichfliesen soll eine lückenlose rechteckige Spielfläche gebildet werden. Jede Teppichfliese hat 0,5m Seitenlänge. Maria hat ein Rechteck mit 6 Fliesen an einer Längsseite und 4 Fliesen an einer Breitseite gelegt. Berechne den Umfang und den Flächeninhalt der Spielfläche. Gib alle weiteren Möglichkeiten an, aus allen 24 Fliesen eine rechteckige Spielfläche zu legen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechteck
$U=2\cdot(6\cdot a)+2\cdot(4\cdot a)=12\cdot a+8\cdot a=20\cdot a$
$U=20\cdot0{,}5\mathrm m=10\mathrm m$
$A=(6\cdot a)\cdot(4\cdot a)=24\cdot a^2$
$A=24\cdot(0{,}5\mathrm m)^2=24\cdot0{,}25\mathrm m^2=6\mathrm m^2$
Längsseite
1
2
3
4
6
8
12
24
Breitseite
24
12
8
6
4
3
2
1

Längsseite	1	2	3	4	6	8	12	24
Breitseite	24	12	8	6	4	3	2	1

Eine Landebahn an einem internationalem Flughafen ist im fertigen Zustand insgesamt 45 m breit und 3 500 m lang. Allerdings muss der letzte Abschnitt der Landebahn welcher 10 000 $m^2$ groß ist noch gebaut werden.

Skizziere die Landebahn. Berechne anschließend den Umfang der gesamten Landebahn und den Flächeninhalt des fertigen Landebahn Abschnitts.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechteck

Skizze der Landebahn

So könnte deine Skizze z.B aussehen:

Jetzt kannst du mit dem Rechnen beginnen.

Gegeben:

\displaystyle A_{inBau}=10\;000\;m^2

\displaystyle A_{inBau}=10\;000\;m^2

\displaystyle A_{inBau}=10\;000\;m^2

$A_{inBau}$ steht hiebei für den Flächeninhalt der Landebahn, der noch unfertig ist.

$l$ steht für die Länge der gesamten Landebahn.

$b$ steht für die Breite der gesamten Landebahn.

Gesucht:

\displaystyle A_{inBau}=10\;000\;m^2

$U$ steht für den Umfang der gesamten Landebahn.

$A_{Gebaut}$ steht für den Flächeninhalt der Landebahn, der bereits fertiggestellt ist.

Umfang der gesamten Landebahn

$Hinweis:$ In dieser Lösung wird ohne Einheiten gerechnet. Daher steht am Ende der Aufgabe zusätzlich ein Antwortsatz. Beachte, dass diese Vorgehensweise nicht ohne weiteres möglich ist, wenn Werte in verschiedenen Einheiten angegeben werden.

Benutze die Formel für den Umfang, um das Ergebnis zu berechnen.

$\displaystyle U$	$=$	$\displaystyle 2l\ +\ 2b$
	↓	l, b einsetzen
	$=$	$\displaystyle (2\cdot3500)+(2\cdot45)$
	$=$	$\displaystyle 90+7\;000$
	$=$	$\displaystyle 7\ 090$

⇒ Der Umfang der Landebahn beträgt 7090 m

Flächeninhalt des fertigen Landebahnabschnitts

Um den Flächeninhalt des fertigen Landebahnabschnitts zu berechnen, musst du die Fläche des Landebahnabschnitts der sich im Bau befindet von der Fläche der gesamten Landebahn abziehen.

$\displaystyle A_{Gebaut}$	$=$	$\displaystyle A_{Gesamt}-A_{inBau}$
	↓	Formel für $A_{Gesamt}$
	$=$	$\displaystyle (l\cdot b)-A_{inBau}$
	↓	Werte einsetzen
	$=$	$\displaystyle (3500\cdot45)-10\;000$
	$=$	$\displaystyle 157\;500-10\;000$
	$=$	$\displaystyle 147\;500$

⇒ Der Flächeninhalt des fertigen Landebahnabschnitts beträgt 147 500 $m^2.$

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10
Wie lang muss ein Zaun sein, der ein quadratisches Grundstück der Fläche $6a\;25m^2$ umgibt?
m

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Viereck
Seitenlänge des Grundstücks
$6\,a\;25\,m^2$
6 Ar umrechnen in Quadratmeter und die gegebene Fläche in die Flächenformel des Quadrats einsetzen.
$x^2=625\,m^2$
Überlege: Welche Zahl im Quadrat ergibt 625?
$x=25\,m$
Umfang des Grundstücks
$x=25\,m$
Nimm die Seite des Quadrats mal 4 um den Umfang zu berechnen.
$U=4\cdot25\,m=100\,m$
$\Rightarrow$ Der Zaun muss $100\,m$ lang sein.

Ein rechteckiges Grundstück ist 21m lang und hat einen Flächeninhalt von $14a\;70m^2$ . Berechne die Breite und den Umfang des Grundstücks.

12
Aus einem Drahtstück wird ein Rechteck der Fläche $28\mathrm{cm}^2$ gebogen, wobei eine Seite des Rechtecks 4 cm lang ist. Welche Länge hat der Draht?
cm

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechteck
Zweite Seite berechnen:
$b=28\mathrm{cm}^2:4\mathrm{cm}=7\mathrm{cm}$
Länge des Drahtes:
$x=2\cdot(4\mathrm{cm}+7\mathrm{cm})=22\mathrm{cm}$

Berechne x am Rechteck ABCD. (Die Zeichnung ist nicht maßstabgerecht.)

14
Ein Rechteck hat den Umfang $64 \;\text{cm}$ . Eine Seite ist $13 \;\text{cm}$ länger als die benachbarte Seite. Berechne die Seitenlängen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnungen am Rechteck
$U=64cm$
$U=2a+2b$
$U=2a+2(a+13\mathrm{cm})=4a+26\mathrm{cm}$
$64\mathrm{cm}=4a+26\mathrm{cm}$ $\mid-26\mathrm{cm}$ $\mid:4$
$a=9{,}5\mathrm{cm}$
$b=a+13\mathrm{cm}=22{,}5\mathrm{cm}$
15
Verlängert man zwei gegenüberliegende Seiten eines Quadrats um jeweils 3 cm und verkürzt die anderen Seiten um jeweils 2 cm, so entsteht ein Rechteck, dessen Flächeninhalt um $1\;\mathrm{cm}^2$ größer ist als der des Quadrats. Wie lang sind die Seiten des Quadrats?
cm

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Aufstellen und Lösen von Gleichungen
Variable einführen
a = Seite des Quadrats
Gleichung aufstellen
Drücke die Angaben mithilfe von a aus:
$a$ : Seite des Quadrats
$a+3$ : lange Seite des Rechtecks
$a-2$ : kurze Seite des Rechtecks
$a^2+1$ : Flächeninhalt des Rechtecks in Abhängigkeit vom Quadrat
$(a+3)(a-2)$ : Flächeninhalt in Abhängigkeit von den Rechteckseiten
Gleichung aufstellen:
"Quadrat + 1 = Rechteckfläche (Länge mal Breite)"
$a^2+1=\left(a+3\right)\left(a-2\right)$
Gleichung lösen
Gleichung umformen und Klammern ausmultiplizieren .
$a^2+1=a^2-2a+3a-6 \hspace{2cm}|-a^2$
$\hspace{0.75cm} 1 =\ a-6 \hspace{3.64cm}|+6$
$\hspace{0.75cm} 7 = a$
Lösung überprüfen:
Wenn die Quadratseite $7\ cm$ ist, dann wäre die Fläche des Quadrats $a^2=49\ cm^2$ und die Fläche vom Rechteck: $10\ cm\cdot5\ cm=50\ cm^2$ und damit $1\ cm^2$ größer als die Fläche des Quadrats.
Die Lösung stimmt also!
Antwortsatz
$\;\;\Rightarrow\;\;$ Die Länge der Seite a des Quadrats beträgt 7cm.

Ein Quadrat hat den Flächeninhalt $A_Q=213444\mathrm{cm}^2$ . Ein Rechteck, in dem eine Seite doppelt so lang wie die andere ist, hat den gleichen Umfang wie das Quadrat. Welchen Flächeninhalt hat das Rechteck?

cm²

17
Ein Rechteck hat die Seitenlängen $a=4\,\text{cm}$ und $b=3\,\text{cm}$ . Wie groß ist die Fläche $A$ des Umkreises? Runde auf 3 Kommastellen.
cm²
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Satz des Pythagoras
1) Diagonale des Rechtecks
Die Diagonale $d_r$ kannst du mit dem Satz des Pythagoras berechnen:
$d_R^2=a^2+b^2= (4\,\text{cm})^2 + (3\,\text{cm})^2 = 16\,\text{cm}^2 + 9 \,\text{cm}^2 = 25 \,\text{cm}²$
Ziehe nun die Wurzel, um $d_r$ zu bekommen:
$d_r= \sqrt{25 \,\text{cm}²}= 5 \,\text{cm}$
2) Radius des Kreises
Der Radius des Kreises ist die Hälfte der Diagonalen des Rechtecks:
$r= \frac{d_r}2= \frac{5 \,\text{cm}}2= 2{,}5 \,\text{cm}$
3) Fläche des Kreises
Die Fläche kannst du nun mit der Formel berechnen:
$A= r² \cdot \pi= ( 2{,}5 \,\text{cm} )² \cdot \pi \approx 19{,}64\,\text{cm}^2$
Antwort: Die Fläche des Umkreises ist $19{,}64\,\text{cm}^2$ .
Mit dieser Strategie kannst du die Aufgabe lösen:
Für die Fläche des Kreises brauchst du entweder den Radius oder den Durchmesser.
Der Durchmesser des Kreises ist die Diagonale des Rechtecks.
Die Diagonale des Rechtecks kannst du mithilfe des Satz des Pythagoras berechnen
18
Wie viele Quadrate zu je 2,5 cm Seitenlänge ergeben einen Quadratmeter?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadrat
40 dieser Quadrate müssen aneinander gelegt werden, um ein Rechteck der Fläche 2,5 cm x 100 cm zu erhalten.
Erneutes Zusammenlegen von 40 Rechtecken der Fläche 2,5 cm x 100 cm ergibt einen Quadratmeter.
Insgesamt werden also $40\cdot40=1600$ Quadrate der Seitenlänge 2,5 cm benötigt.
19
Zeichne verschiedene Rechtecke mit einem Flächeninhalt von 12 Flächeneinheiten (FE).

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechtecke
Der Flächeninhalt eines Rechtecks mit den Seitenlängen (in Längeneinheiten LE) $a$ und $b$ wird mit der Formel $A_{\text{Rechteck}}=\ a\cdot b$ berechnet. Nun kannst du, durch Ausprobieren, Seitenlängen $a$ und $b$ finden, so dass $a\cdot b\ =\ 12\ \text{FE}$ .
Beispiele für mögliche Lösungen mit ganzen Zahlen sind dann:
$3\ \text{LE}\ \cdot\ 4\ \text{LE}\ =\ 12\ \text{FE}\$
$2\ \text{LE}\ \cdot\ 6\ \text{LE}\ =\ 12\ \text{FE}\$
$1\ \text{LE}\ \cdot\ 12\ \text{LE}\ =\ 12\ \text{FE}\$
20
Zeichne verschiedene Rechtecke mit einem Umfang von 16 Längeneinheiten (LE).

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Umfang eines Rechtecks
Den Umfang eines Rechtecks mit den Seitenlängen $a$ und $b$ berechnest du mit der Formel $U_{\text{Rechteck}}=2\cdot a+2\cdot b$ .
Systematisch suchst du Zahlen für $a$ und $b$ , sodass $16=2\cdot a+2\cdot b$ gilt.
Dies geschieht, indem du für $a$ zuerst einmal die Zahlen von $1$ bis $16$ einsetzt und dazu das jeweilige passende $b$ findest.
Beim systematischen Ausprobieren stellst du jetzt fest, dass die größte Zahl, die du für $a$ bzw. $b$ einsetzen kannst, die $8$ ist, damit $16=2\cdot a+2\cdot b$ erfüllt ist.
Jedoch müssen alle Seitenlängen positiv sein, damit man ein Rechteck zeichnen kann. Deshalb ist in dieser Aufgabe die größtmögliche natürliche Zahl für $a$ bzw. $b$ die $7$ .
Folglich sind alle möglichen Rechtecke mit ganzzahligen Seitenlängen die Folgenden:
Denn es gilt:
$16=2 \cdot 4 + 2 \cdot 4 \newline 16=2 \cdot 5 + 2 \cdot 3 \newline 16=2 \cdot 6 + 2 \cdot 2 \newline 16=2 \cdot 7 + 2 \cdot 1$
21
Ein quadratischer Teppich hat eine Seitenlänge von 3m. Berechne den Flächeninhalt.
m²

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadrat
Die Formel zur Berechnung eines Quadrates lautet $A = a^2$ .
$A$ ist dabei der Flächeninhalt und $a$ ist die Seitenlänge.
Eingesetzt in die Formel ergibt das:
$A = (3m)^2 = 9m^2$
Der Flächeninhalt des Quadrates beträgt $9m^2$ .
22
Eine Fliese im Bad ist quadratisch und hat eine Fläche von $81cm^2$ . Berechne die Länge der Seiten.
cm

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wurzel
Die Fliese hat eine quadratische Form. Aus diesem Grund sind alle Seite gleich lang. Um auf das Ergebnis zu kommen, muss die Wurzel von der Fläche genommen werden:
$\sqrt{81cm^2} = 9cm$
Jede Fliesenseite ist also $9cm$ lang.
23
Wie lang sind die fehlenden Seitenlängen der Rechtecke und Quadrate? Überlege
1. A = 20cm²
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechteck
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  Die allgemeine Formel um den Flächeninhalt zu berechnen ist:
  $\textrm A = a \cdot b$
  Nachdem wir den Flächeninhalt A 20cm² und die Breite a 4cm kennen, die Länge b allerdings nicht, formen wir unsere Formel so lange um, bis b allein auf einer Seite steht. Dazu teilen wir beide Seiten durch a :
  $A = a\cdot b \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,|\div a$
  $\dfrac{A}{a}= b$
  Jetzt können wir die angegeben Zahlen in die Formel einsetzen und somit die fehlende Länge b berechnen:
  $b = \dfrac {20cm²}4$
  $\textrm b = \textcolor{009999}{5cm}$
2. A = 42cm²
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechteck
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  Die allgemeine Formel um den Flächeninhalt zu berechnen ist:
  $A = a\cdot b$
  Nachdem wir den Flächeninhalt A 42cm² und die Breite b 6cm kennen, die Länge a allerdings nicht, formen wir unsere Formel so lange um, bis a allein auf einer Seite steht. Dazu teilen wir beide Seiten durch b :
  $A = a\cdot b \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,|\div b$
  $\dfrac{A}{b}= a$
  Jetzt können wir die angegeben Zahlen in die Formel einsetzen und somit die fehlende Länge a berechnen:
  $a = \dfrac {42cm²}6$
  $\textrm a = \textcolor{009999}{7cm}$
3. A = 36cm²
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadrat
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  Wie man hier sehen kann handelt es sich um ein Quadrat und bei einem Quadrat sind alle Seiten gleich lang.
  Die allgemeine Formel um den Flächeninhalt zu berechnen ist:
  $A = a\cdot a$
  Setze nun den Flächeninhalt ein.
  $36cm^2=a\cdot a$
  Suche nun die Zahl, die mit sich selbst multipliziert 36 ergibt.
  $a = \textcolor{009999}{6cm}$
  Die Seitenlänge des Quadrats ist 6cm.
4. A = 64cm²
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadrat
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  Wie man hier sehen kann handelt es sich um ein Quadrat und bei einem Quadrat sind alle Seiten gleich lang.
  Die allgemeine Formel um den Flächeninhalt zu berechnen ist:
  $A = a\cdot a$
  $64 cm² = a\cdot a$
  Suche nun diejenige Zahl, die mit sich selbst multipliziert 64 ergibt.
  $a=\textcolor{009999}{8cm}$
  Die Seitenlänge des Quadrats beträgt 8cm.

Die Nationalfahne der Schweiz zeigt ein weißes Kreuz auf rotem Grund. Für die vier kongruenten Arme des Kreuzes ist durch Beschluss der Schweizer Bundesversammlung aus dem Jahr 1889 festgelegt: Die Länge $l$ eines Arms ist um $\frac16$ der Breite $b$ größer als $b$ (vergleiche Abbildung).

Wie lang ist ein Arm, wenn seine Breite $18\ cm$ beträgt?

Stelle einen Term auf, der den Flächeninhalt des weißen Kreuzes in Abhängigkeit von der Breite b eines Arms beschreibt. Fasse den Term, in dem nur noch $b$ als Variable vorkommen soll, so weit wie möglich zusammen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnungen am Rechteck
$A=4\cdot b\cdot l+b^2$
Stelle eine Gleichung für den Flächeninhalt auf. Ersetze die Breite $b$ durch das Ergebnis für die Länge $l$ aus der 1. Teilaufgabe
$=4\cdot b\cdot\left(\frac76b\right)+b^2$
Vereinfache soweit wie möglich.
$=\frac{17}{3}b^2$
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25
Eigenschaften eines Rechtecks
Welche Seiten eines Rechtecks sind gleich lang?
AB CD
= =
AD BC

AB AD
= =
CD BC
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechteck
Rechteck: gegenüberliegende Seiten sind immer gleich lang.
26
Wie viel Grad beträgt die Winkelsumme eines Rechtecks?
90°
360°
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechteck
Ein Rechteck besteht aus 4 Ecken mit jeweils 90°, 4x90 = 360°
27
Auf einem unbebauten, rechteckigen Grundstück, das $122{,}40\ m$ lang und $83{,}16\ m$ breit ist, soll ein Spiel- und Sportplatz angelegt werden.
Das Gelände soll dazu rundherum mit einem Zaun umgeben werden.
1. Wie viele $m$ Zaun braucht man, wenn dabei an einer Stelle $2{,}12\ m$ für das Eingangstor frei gelassen werden müssen?
  m
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechteck und Quadrat
  Diese Aufgabe kannst du
  entweder schrittweise rechnen,
  oder lösen, indem du eine Formel anwendest.
  Hier stehen beide Möglichkeiten - suche dir die für dich passende aus.
  Lösung durch schrittweises Rechnen
  Plan zur Berechnung.
  In der Skizze erkennst du: Die Länge des Zauns sind die vier Seiten des Rechtecks zusammengerechnet minus das Tor.
  Rechne also zuerst die vier Rechtecksseiten zusammen.
  Vier Rechtecksseiten zusammenrechnen
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rr}&122{,}40\ \mathrm{m}\\ &83{,}16\ \mathrm{m}\\& 122{,}40\ \mathrm{m}\\+& 83{,}16\ \mathrm{m}\\\hline&411{,}12\ \mathrm{m}\end{array}$
  Nun musst du noch das Tor abziehen.
  Breite des Tores abziehen
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rr}& 411{,}12\ \mathrm{m}\\ &-\ 2{,}12\ \mathrm{m}\\\hline& 409{,}00\ \mathrm{m}\end{array}$
  Lösung: Man benötigt $409\ \mathrm{m}$ Zaun, um das Gelände einzuzäunen.
  Lösung mit Formel
  Plan zur Berechnung
  Gesucht ist
  der Umfang eines Rechtecks mit den Seiten $122{,}40\, \mathrm{m}$ und $83{,}16\, \mathrm{m}$
  minus die Torbreite von $2{,}12\, \mathrm{m}$ .
  Du brauchst also die Formel für den Umfang eines Rechtecks.
  Umfang berechnen und Torbreite abziehen
  $U=2\cdot a+2\cdot b$
  Setze hier die Werte ein:
  $122{,}40\, \mathrm{m}$ für $a$ , und
  $83{,}16\, \mathrm{m}$ für $b$
  (oder umgekehrt natürlich).
  $U= 2\cdot 122{,}40\, \mathrm{m} + 2\cdot 83{,}16\, \mathrm{m} = 411{,}12\, \mathrm{m}$
  Ziehe davon nun noch die Torbreite ab, um die Zaunlänge $l_{Zaun}$ zu erhalten.
  $l_{Zaun}= 411{,}12\, \mathrm{m}-2{,}12\, \mathrm{m} = 409\ \mathrm{m}$
  Lösung: Man benötigt $409\ \mathrm{m}$ Zaun, um das Gelände einzuzäunen.
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2. Was kostet das Einzäunen des Grundstücks, wenn die Stadtverwaltung für $1\ m$ Zaun $12\ €$ bezahlen muss, und das Tor $264\ €$ kostet?
  €
  
  Gegeben:
  $1\ \mathrm{m}$ Zaun kostet $12\ €$
  Das Tor kostet $264\ €$
  Außerdem weißt du aus Teilaufgabe 1:
  Man benötigt $409\ \mathrm{m}$ Zaun.
  Gesucht: Gesamtkosten
  Die Gesamtkosten sind die Kosten für den Zaun plus die Kosten für das Tor.
  Berechne zuerst die Kosten für den gesamten Zaun.
  Kosten für gesamten Zaun
  $1\ \mathrm{m}$ Zaun kosten $12\ €$ , also kosten $409\ \mathrm{m}$ Zaun $409\cdot12\ €$ .
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{r}409 \cdot 12\\\hline409\phantom{0}\\818\\\hline4908\end{array}$
  Addiere nun noch die Kosten für das Tor.
  Gesamtkosten
  Kosten für Zaun + Kosten für Tor =
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rr}&4908\ € \\+&264\ €\\\hline&5172\ €\end{array}$
  Lösung: Das Einzäunen kostet die Stadtverwaltung insgesamt $5172\ €$ .
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28
Ein rechteckiges Grundstück wird vermessen und die Länge auf $83{,}5\ m$ und die Breite auf $42\ m$ festgelegt.
1. Welchen Flächeninhalt besitzt das Grundstück?
  m²
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechteck
  Den Flächeninhalt des Grundstücks erhältst du, wenn du die Länge mit der Breite multiplizierst:
  $A_{\text{Grundstück}} = 83{,}5\ \text{m} \cdot 42\ \text{m} = 3507\ \text{m}^2$
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2. Ein Käufer bietet für das Grundstück $250000\ €$ . Von welchem Preis pro Quadratmeter geht der Käufer aus? (auf Euro genau).
  €/m²
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreisatz
  Um den Preis pro Quadratmeter herauszufinden musst du den Preis des gesamten Grundstücks durch die Fläche des Grundstücks (also die "Anzahl der Quadratmeter") teilen:
  $\frac{250000}{3507}\;€/m^2\approx71€/m^2$
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3. Der Käufer will auf dem Grundstück ein Hotel einrichten. Die örtlichen Bauvorschriften besagen, dass höchstens ein Drittel des Grundstücks bebaut werden darf. Welche Grundfläche hat das Hotel, wenn der Käufer das Höchstmaß dafür sogar um $200\ m^2$ unterschreitet.
  m²
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Brüche
  Zuerst berechnest du wie viel ein Drittel der gesamten Fläche ist, dafür teilst du diese durch $3$ , anschließend ziehst du davon noch die $200$ Quadratmeter ab:
  $\frac{3507}3\ \text{m}^2-200\ \text{m}^2=969\ \text{m}^2$
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29
Das ist ein Bild der Nationalflagge von England. Diese Fahne ist aus einem Tuch gefertigt worden, das $5{,}40m\$ lang und $3{,}00\ m$ breit ist.
1. Zeichne die Figur für $b=8\,cm,\;a=5\,cm\;\mathrm{und}\;x=1\,cm$ .
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: direkte Proportionalität
  Skizze nach Anweisung ins Heft zeichnen.
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2. Berechne den Flächeninhalt eines der weißen Rechtecke im Inneren, wenn das Kreuz $\frac29$ der Gesamtfläche einnimmt und die vier weißen Rechtecke kongruent sind.
  m²
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: direkte Proportionalität
  Der Flächeninhalt der Fahne beträgt $3\,m\cdot5{,}40\,m=16{,}20\,m^2$ .
  Nach Aufgabenstellung nimmt das Kreuz $\frac29$ des gesamten Flächeninhalts ein. Die vier Rechtecke nehmen als Komplement zusammen $1-\frac29=\frac79$ der Fahnenfläche ein.
  $\frac79\;\mathrm{von}\;16{,}20m^2=12{,}60m^2$ .
  Die Rechtecke sind kongruent, also insbesondere gleich groß. Somit besitzt ein Rechteck im Inneren eine Fläche von $3{,}15m^2$ .
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30
Miriam fällt ein besonderes Muster auf dem Boden einer Eingangshalle auf.
Sie erfährt, dass der Kreis einen Radius von zwei Metern hat.
1. Berechne den Flächeninhalt des blauen Quadrats.
  m²
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt eines Quadrats
  Die Grundlinie des blauen Quadrats entspricht dem Durchmesser des Kreises.
  $d = 2 \cdot 2m$
  Für den Flächeninhalt ergibt sich also:
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} A_\text{blau}&=&d^2 \\\\&=&(4m)^2 \\\\&=& 16m^2 \end{array}$
  Der Flächeninhalt des blauen Quadrats beträgt $16m^2$ .
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2. Berechne den Flächeninhalt des orangenen Quadrats.
  m²
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt eines Quadrats
  Zur Berechnung des orangenen Quadrats unterteilt man es in 4 rechtwinklige, gleichschenklige Dreiecke.
  Wenn man nun zwei der Dreiecke dreht, können zwei Quadrate entstehen.
  Die zwei entstandenen Quadrate haben jeweils r als Grundlinie.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} A_\text{orange}&=&2\cdot A_\text{neu} \\\\&=&2\cdot r^2 \\\\&=&2\cdot(2m)^2 \\\\&=& 2\cdot 4m^2 \\\\&=& 8m^2 \end{array}$
  Der Flächeninhalt des orangenen Quadrats beträgt $8m^2$ .
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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle A$	$=$	$\displaystyle l\ \cdot b$
	↓	Setze nun die gegebenen Werte ein.
	$=$	$\displaystyle 110\ \cdot75$
	$=$	$\displaystyle 8250$

$\displaystyle A$	$=$	$\displaystyle l \cdot b$
	↓	Setze die gegebenen Zahlenwerte für $l$ und $A$ ein.
$\displaystyle 1470\;\mathrm{m^2}$	$=$	$\displaystyle 21\;\mathrm{m} \cdot b$
	↓	Löse die Gleichung nach $b$ auf.
$\displaystyle b$	$=$	$\displaystyle \frac{1470\;\mathrm{m^2}}{21\;\mathrm{m}} = 70\;\mathrm{m}$
	↓	Berechne mit diesem Ergebnis den Umfang.

$\displaystyle 3{,}22\ \mathrm{cm}+x\ \mathrm{cm}$	$=$	$\displaystyle 9{,}37\ \mathrm{cm}+4{,}84\ \mathrm{cm}$	$\displaystyle - 3{,}22\ \mathrm{cm}$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$\displaystyle x\ \mathrm{cm}$	$=$	$\displaystyle 9{,}37\ \mathrm{cm}+4{,}84\ \mathrm{cm}-3{,}22\ \mathrm{cm}$
	↓	Rechne die rechte Seite aus.
$\displaystyle x\ \mathrm{cm}$	$=$	$\displaystyle 10{,}99\ \mathrm{cm}$

$\displaystyle l$	$=$	$\displaystyle \frac{7}{6}\cdot b$
	↓	Setze den gegebenen Zahlenwert für $b$ ein.
$\displaystyle l$	$=$	$\displaystyle \frac{7}{6}\cdot18cm$
$\displaystyle l$	$=$	$\displaystyle 21cm$

$\displaystyle U$	$=$	$\displaystyle 2b\ +\ 2l$
	↓	Setze nun die gegebenen Werte ein.
	$=$	$\displaystyle 2\ \cdot75\ +\ 2\ \cdot l$
	↓	Beachte: Punkt vor Strich!
	$=$	$\displaystyle 370$

$\displaystyle U$	$=$	$\displaystyle 2b+2l$
	↓	Setze die Zahlenwerte ein.
$\displaystyle U$	$=$	$\displaystyle 2 \cdot 70\;\mathrm{m} +2 \cdot 21\;\mathrm{m}$	$\displaystyle$
$\displaystyle U$	$=$	$\displaystyle 182\;\mathrm{m}$

$\displaystyle U$	$=$	$\displaystyle 4\cdot462\mathrm{cm}=1848\mathrm{cm}$
	↓	Berechne den Umfang aus der Seitenlänge $a_Q$ des Quadrats.
$\displaystyle U$	$=$	$\displaystyle 2a+2b$
	↓	Berechne den Umfang des Rechtecks. Benutze, dass $a=2\cdot b$ ist.
$\displaystyle U$	$=$	$\displaystyle 2\cdot(2\cdot b)+2\cdot b=4\cdot b+2\cdot b$
$\displaystyle U$	$=$	$\displaystyle 4\cdot b+2\cdot b$
$\displaystyle U$	$=$	$\displaystyle 6\cdot b$
	↓	Forme nach b um.

Aufgaben zu Rechtecken und Quadraten

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a) Berechnung Flächeninhalt A und Umfang U

b) Berechnung Breite b und Flächeninhalt A

c) Berechnung Länge l und des Umfang U

d) Berechnung Breite b und Umfang U

Flächeninhalt

Umfang

Skizze der Landebahn

Umfang der gesamten Landebahn

Flächeninhalt des fertigen Landebahnabschnitts

Seitenlänge des Grundstücks

Umfang des Grundstücks

Variable einführen

Gleichung aufstellen

Gleichung lösen

Lösung überprüfen:

Antwortsatz

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Lösung durch schrittweises Rechnen

Plan zur Berechnung.

Vier Rechtecksseiten zusammenrechnen

122,40 m83,16 m122,40 m+83,16 m411,12 m\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rr}&122{,}40\ \mathrm{m}\\ &83{,}16\ \mathrm{m}\\& 122{,}40\ \mathrm{m}\\+& 83{,}16\ \mathrm{m}\\\hline&411{,}12\ \mathrm{m}\end{array}+​122,40 m83,16 m122,40 m83,16 m411,12 m​​

Breite des Tores abziehen

411,12 m− 2,12 m409,00 m\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rr}& 411{,}12\ \mathrm{m}\\ &-\ 2{,}12\ \mathrm{m}\\\hline& 409{,}00\ \mathrm{m}\end{array}​411,12 m− 2,12 m409,00 m​​

Lösung mit Formel

Plan zur Berechnung

Umfang berechnen und Torbreite abziehen

U=2⋅a+2⋅bU=2\cdot a+2\cdot bU=2⋅a+2⋅b

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Kosten für gesamten Zaun

Gesamtkosten

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$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rr}&122{,}40\ \mathrm{m}\\ &83{,}16\ \mathrm{m}\\& 122{,}40\ \mathrm{m}\\+& 83{,}16\ \mathrm{m}\\\hline&411{,}12\ \mathrm{m}\end{array}$

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rr}& 411{,}12\ \mathrm{m}\\ &-\ 2{,}12\ \mathrm{m}\\\hline& 409{,}00\ \mathrm{m}\end{array}$

$U=2\cdot a+2\cdot b$