Aufgaben zu den Potenzgesetzen

Wende die Potenzgesetze an, um folgende Ausdrücke zu vereinfachen:

$3^2 \cdot 3^1$

$4^2 \cdot 4^9 \cdot 4^{-12}$

$4^8 \cdot 2^{-3} \cdot 2^5 \cdot 5^9$

$\left(7^7\right)^7$

$\dfrac{9^2}{9^{-3}}:3^{5}$

$\dfrac{~~~\dfrac{26^2}{26^8}~~~}{\dfrac{13^{-3}}{13^3}}$

Fasse so weit wie möglich zusammen.

$a^3\;:\;a^6$

$2x^{-2}\;\cdot\;3x^3$

$10^{-12}\;:\;10^{-3}$

$6\;:\;2^3-9\cdot3^{-2}$

$x^{-n}\;\cdot\;x$

$0{,}5x^2+1{,}5x^3$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
Dieser Term kann nicht weiter zusammengefasst werden, da unterschiedliche Potenzen auftreten. Man kann lediglich den Term anders darstellen, indem ausgeklammert wird. Hier kann $0{,}5x^2$ ausgeklammert werden.
$\displaystyle 0{,}5x^2+1{,}5x^3$ $=$
↓
$0{,}5x^2\;$ ausklammern.
$=$ $\displaystyle 0{,}5x^2\left(1+3x\right)$
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$\left(\frac{x^3y^{-4}}{y^{-5}y^2}\right)^{-2}$

$\left(2x^3\right)^2$

Vereinfach die folgenden Terme.

$10\;\cdot\;10^{-2}\;:\;10^4+10^0$

$x^{-1}\cdot x^2\cdot x^0\cdot x^{-3}\cdot x^4$

$10^{-1}+10^{-2}$

$x^{-1}+x^{-2}$

$x^{-2}-\frac{x^2}{x^4}$

$\left(\frac1x+x^{-2}\right)\cdot2x$

Vereinfache folgenden Term unter Verwendung der Potenzgesetze

\displaystyle a^4\cdot d^{-2}\cdot c^9\cdot a^2\cdot b^6\cdot d^{-9}\cdot c^5

Vereinfache die folgenden Ausdrücke mit ganzzahligen Exponenten so weit wie möglich.

$\left(z^{2k-5}:z^3\right)\;:\;z^k$

$90\cdot3^{n-2}-3^n$

$\left[\left(\frac x4\right)^3\right]^5:\;\left(\frac x2\right)^6$ für $x\neq 0$

$\dfrac{\left(3a-1\right)^{2k-1}}{\left(1-3a\right)^{2k+1}}$ für $a\neq \dfrac{1}{3}$

$\left(\dfrac{6\mathrm a^2\mathrm b^{-2}}{\mathrm c^{\mathrm n+1}\mathrm d^{2\mathrm n}}\right)^3:\;\left[\dfrac{2\left(\mathrm{cd}\right)^\mathrm n}{\mathrm{ab}^{-1}}\;\cdot\;\dfrac{\mathrm c^\mathrm n\mathrm d^{2\mathrm n}}{3\mathrm{ab}^{-2}}\right]^{-2}$ für $a,b,c,d \neq 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen

Wende die Potenzgesetze an.

$\displaystyle \left(\frac{6\mathrm a^2\mathrm b^{-2}}{\mathrm c^{\mathrm n+1}\mathrm d^{2\mathrm n}}\right)^3:\;\left[\frac{2\left(\mathrm{cd}\right)^\mathrm n}{\mathrm{ab}^{-1}}\;\cdot\;\frac{\mathrm c^\mathrm n\mathrm d^{2\mathrm n}}{3\mathrm{ab}^{-2}}\right]^{-2}$	$=$	$\displaystyle \left(\frac{6^3a^6b^{-6}}{c^{3n+3}d^{6n}}\right):\left(\frac{\mathrm{ab}^{-1}\cdot3\mathrm{ab}^{-2}}{2\left(\mathrm{cd}\right)^n\cdot c^nd^{2n}}\right)^2$
	$=$	$\displaystyle \left(\frac{6^3\mathrm a^6}{\mathrm c^{3\mathrm n+3}\mathrm d^{6\mathrm n}\cdot\mathrm b^6}\right):\left(\frac{\mathrm a^2\mathrm b^{-2}\cdot3^2\mathrm a^2\mathrm b^{-4}}{2^2\left(\mathrm{cd}\right)^{2\mathrm n}\cdot\mathrm c^{2\mathrm n}\mathrm d^{4\mathrm n}}\right)$
	↓	Mit dem Kehrbruch multiplizieren.
	$=$	$\displaystyle \left(\frac{6^3\mathrm a^6}{\mathrm c^{3\mathrm n+3}\mathrm d^{6\mathrm n}\cdot\mathrm b^6}\right)\cdot\left(\frac{2^2\left(\mathrm{cd}\right)^{2\mathrm n}\cdot\mathrm c^{2\mathrm n}\mathrm d^{4\mathrm n}}{\mathrm a^2\mathrm b^{-2}\cdot3^2\mathrm a^2\mathrm b^{-4}}\right)$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle \frac{216\mathrm a^64\mathrm c^{4\mathrm n}\mathrm d^{6\mathrm n}}{9\mathrm a^4\mathrm c^{3\mathrm n+3}\mathrm d^{6\mathrm n}}\;$
	↓	Kürze.
	$=$	$\displaystyle \frac{216\mathrm a^24\mathrm c^{\mathrm n-3}}9$
	$=$	$\displaystyle 96a^2c^{n-3}$

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\displaystyle \frac{x^{2a+5}}{\left(-y^3\right)^{2b+5}\cdot\;\left[\left(-z\right)^4\right]^{3b+3}}\;:\;\frac{x^{2a}}{\left(\mathrm{yz}\right)^{6b+10}\cdot\;\left[\left(-z\right)^3\right]^{2b-1}}

Annahme: $x,y,z\;>\;0$ , $b\in \Z$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen

Da $x$ größer als $0$ ist, kannst du mit dem Kehrwert multiplizieren. Für den Wert von

$A=\frac{x^{2a+5}}{\left(-y^3\right)^{2b+5}\cdot\;\left[\left(-z\right)^4\right]^{3b+3}}\;:\;\frac{x^{2a}}{\left(\mathrm{yz}\right)^{6b+10}\cdot\;\left[\left(-z\right)^3\right]^{2b-1}}$ gilt dann

$\displaystyle A$	$=$	$\displaystyle \frac{x^{2a+5}}{\left(-y^3\right)^{2b+5}\cdot\;\left[\left(-z\right)^4\right]^{3b+3}}\;:\;\frac{x^{2a}}{\left(\mathrm{yz}\right)^{6b+10}\cdot\;\left[\left(-z\right)^3\right]^{2b-1}}$
	↓	Potenzen ausmultiplizieren.
	$=$	$\displaystyle \frac{x^{2a+5}}{\left(-y^3\right)^{2b+5}\cdot\;\left[\left(-z\right)^4\right]^{3b+3}}\;\cdot\;\frac{\left(\mathrm{yz}\right)^{6b+10}\cdot\;\left[\left(-z\right)^3\right]^{2b-1}}{x^{2a}}$
	$=$	$\displaystyle \frac{x^{2a+5}}{\left(-y^3\right)^{2b+5}\cdot\;\left(-z\right)^{4\left(3b+3\right)}}\;\cdot\;\frac{\left(\mathrm{yz}\right)^{6b+10}\cdot\;\left(-z\right)^{3\left(2b-1\right)}}{x^{2a}}$
	$=$	$\displaystyle \frac{x^{2a+5}}{\left(-y\right)^{6b+15}\cdot\;\left(-z\right)^{12b+12}}\;\cdot\;\frac{\left(\mathrm{yz}\right)^{6b+10}\cdot\;\left(-z\right)^{6b-3}}{x^{2a}}$
	↓	Aus allen negativen Werten -1 ausklammern.
	$=$	$\displaystyle \frac{x^{2a+5}}{\left(-1\right)^{6b+15}\cdot y^{6b+15}\cdot\left(-1\right)^{12b+12}\;\cdot z^{12b+12}}\;\cdot\;\frac{\left(\mathrm{yz}\right)^{6b+10}\cdot\;\left(-1\right)^{6b-3}\cdot z^{6b-3}}{x^{2a}}$
	↓	Faktorenzerlegung von $\left(\mathrm{yz}\right)^{6b+10}$
	$=$	$\displaystyle \frac{x^{2a+5}}{\left(-1\right)^{6b+15}\cdot y^{6b+15}\cdot\left(-1\right)^{12b+12}\;\cdot z^{12b+12}}\;\cdot\;\frac{y^{6b+10}\cdot z^{6b+10}\cdot\;\left(-1\right)^{6b-3}\cdot z^{6b-3}}{x^{2a}}$
	$=$	$\displaystyle \frac{x^{2a+5-2a}}{\left(-1\right)^{6b+15}\cdot\left(-1\right)^{12b+12}\;}\cdot y^{6b+10-\left(6b+15\right)}\cdot z^{6b+10}\cdot\;\left(-1\right)^{6b-3}\cdot z^{6b-3-\left(12b+12\right)}$
	↓	Klammern auflösen.
	$=$	$\displaystyle \frac{x^{2a+5-2a}}{\left(-1\right)^{6b+15}\cdot\left(-1\right)^{12b+12}\;}\cdot y^{6b+10-6b-15}\cdot z^{6b+10}\cdot\;\left(-1\right)^{6b-3}\cdot z^{6b-3-12b-12}$
	$=$	$\displaystyle \frac{x^5}{\left(-1\right)^{6b+15}\cdot\left(-1\right)^{12b+12}\;}\cdot y^{-5}\cdot z^{6b+10}\cdot\;\left(-1\right)^{6b-3}\cdot z^{-6b-15}$
	↓	Weiter vereinfachen.
	$=$	$\displaystyle \frac{x^5\cdot y^{-5}\cdot z^{6b+10-6b-15}\cdot\;\left(-1\right)^{6b-3}}{\left(-1\right)^{6b+15}\cdot\left(-1\right)^{12b+12}\;}$
	$=$	$\displaystyle \frac{x^5\cdot y^{-5}\cdot z^{-5}\cdot\;\left(-1\right)^{6b-3}}{\left(-1\right)^{6b+15}\cdot\left(-1\right)^{12b+12}\;}$
	↓	Nenner zusammenfassen.
	$=$	$\displaystyle \frac{x^5\cdot y^{-5}\cdot z^{-5}\cdot\;\left(-1\right)^{6b-3}}{\left(-1\right)^{6b+15+12b+12}\;}$
	$=$	$\displaystyle \frac{x^5\cdot y^{-5}\cdot z^{-5}\cdot\;\left(-1\right)^{6b-3}}{\left(-1\right)^{18b+27}\;}$
	↓	Potenzen mit der Basis -1 zusammenfassen.
	$=$	$\displaystyle \frac{x^5\cdot y^{-5}\cdot z^{-5}\cdot\;\left(-1\right)^{6b-3-\left(18b+27\right)}}{1\;}$
	$=$	$\displaystyle \frac{x^5\cdot y^{-5}\cdot z^{-5}\cdot\;\left(-1\right)^{-12b-30}}{1\;}$
	$=$	$\displaystyle x^5\cdot y^{-5}\cdot z^{-5}\cdot\;\left(-1\right)^{-12b-30}$
	↓	Negative Exponenten in einen Bruch umwandeln.
	$=$	$\displaystyle \frac{x^5}{y^5\cdot z^5}\cdot\left(-1\right)^{-12b-30}$

Weil $- 12 b - 30$ eine gerade Zahl ist, ist $(-1)^{-12b-30}=1$ , und daher kann man das Ergebnis auch als $\frac{x^5}{y^5z^5}$ oder als $\left(\dfrac{x}{yz}\right)^5$ schreiben.

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$\left(\frac{2a^{-1}b^2}{3\mathrm{ac}^{-2}}\right)^{-3}$ für $a,b,c \neq 0$

$\left(\frac uv\right)^n\cdot\;\left(\frac vu\right)^{3n+4}:\;\left(\frac{-v}u\right)^{2n+1}$ für $u,v \neq 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen

Klammer nach Potenzgesetzen auflösen.

$\displaystyle \displaystyle \left(\frac uv\right)^n\cdot\;\left(\frac vu\right)^{3n+4}:\;\left(\frac{-v}u\right)^{2n+1}$	$=$	$\displaystyle \displaystyle \frac{u^n}{v^n}\cdot\frac{v^{3n+4}}{u^{3n+4}}:\;\frac{-v^{2n+1}}{u^{2n+1}}$
	↓	Division in Bruchschreibweise darstellen.
	$=$	$\displaystyle \displaystyle \frac{\frac{u^n}{v^n}\cdot\frac{v^{3n+4}}{u^{3n+4}}}{\frac{-v^{2n+1}}{u^{2n+1}}}$
	↓	Wandle den Doppelbruch um.
	$=$	$\displaystyle \displaystyle \frac{u^n}{v^n}\cdot\frac{v^{3n+4}}{u^{3n+4}}\cdot\frac{u^{2n+1}}{-v^{2n+1}}$
	↓	Zu einem Bruch zusammenfassen.
	$=$	$\displaystyle \displaystyle \frac{u^n\cdot v^{3n+4}\cdot u^{2n+1}}{v^n\cdot u^{3n+4}\cdot(-v^{2n+1})}$
	$=$	$\displaystyle \displaystyle \frac{u^{n+2n+1}\cdot v^{3n+4}}{u^{3n+4}\cdot\left(-1\right)\cdot v^{n+2n+1}}$
	↓	Exponenten zusammenfassen.
	$=$	$\displaystyle \displaystyle \frac{u^{3n+1}\cdot v^{3n+4}}{u^{3n+4}\cdot\left(-1\right)\cdot v^{3n+1}}$
	↓	Kürze mithilfe der Regeln für Potenzgesetze.
	$=$	$\displaystyle \displaystyle u^{3n+1-(3n+4)}\cdot \left(-1\right)\cdot v^{3n+4-(3n+1)}$
	$=$	$\displaystyle \displaystyle u^{-3}\cdot \left(-1\right)\cdot v^{3}$
	↓	$u^{-3}=\frac1{u^3}$
	$=$	$\displaystyle \displaystyle \frac{\left(-1\right)\cdot v^3}{u^3}$
	$=$	$\displaystyle \displaystyle \frac{-v^3}{u^3}$
	$=$	$\displaystyle \displaystyle -\left(\frac vu\right)^3$

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$\frac{x^5+1}{x^{m+2}}-\frac{2x^2-2}{x^m}+\frac{2-x}{x^{m-2}}$ für $x\neq 0$

$\displaystyle\left(\frac{z-3}{z+5}\right)^{2p+1}\cdot\;\left(\frac{5+z}{z-3}\right)^{p+1}:\;\left(\frac{z-3}{z+5}\right)^{4p}$ für $z \not\in \{-5;3\}$

$\left(1+\frac2t\right)^2\cdot\;\left[\frac1t-\left(\frac t2-1\right)^{-1}\right]^{-2}$ für $t \not\in \{-2;0;2\}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen

Den Bruch in der runden Klammer mit 2 erweitern.

$\displaystyle \left(1+\frac2t\right)^2\cdot\;\left[\frac1t-\left(\frac t2-1\right)^{-1}\right]^{-2}$	$=$	$\displaystyle \left(1+\frac2t\right)^2\cdot\;\left[\frac1t-\left(\frac{t-2}2\right)^{-1}\right]^{-2}$
	↓	Potenzgesetz anwenden.
	$=$	$\displaystyle \left(1+\frac2t\right)^2\cdot\;\left[\frac1t-\left(\frac2{t-2}\right)\right]^{-2}$
	↓	Hauptnenner bilden. $\rightarrow\;t\left(t-2\right)$
	$=$	$\displaystyle \left(1+\frac2t\right)^2\cdot\;\left[\frac{1\left(t-2\right)}{t\left(t-2\right)}-\frac{t\cdot2}{t\left(t-2\right)}\right]^{-2}$
	$=$	$\displaystyle \left(1+\frac2t\right)^2\cdot\;\left[\frac{t-2-2t}{t\left(t-2\right)}\right]^{-2}$
	$=$	$\displaystyle \left(1+\frac2t\right)^2\cdot\;\left[\frac{-t-2}{t\left(t-2\right)}\right]^{-2}$
	↓	Potenzgesetz anwenden.
	$=$	$\displaystyle \left(1+\frac2t\right)^2\cdot\;\left[\frac{t\left(t-2\right)}{-t-2}\right]^2$
	↓	Runde Klammer: Hauptnenner bilden. $\rightarrow\;\;t$
	$=$	$\displaystyle \left(\frac tt+\frac2t\right)^2\cdot\;\left[\frac{t\left(t-2\right)}{-t-2}\right]^2$
	$=$	$\displaystyle \left(\frac{2+t}t\right)^2\cdot\;\left[\frac{t\left(t-2\right)}{-t-2}\right]^2$
	↓	Potenzgesetz anwenden.
	$=$	$\displaystyle \left(\frac{\left(2+t\right)\cdot t\left(t-2\right)}{t\cdot\left(-t-2\right)}\right)^2$
	↓	$t$ kürzen.
	$=$	$\displaystyle \left(\frac{\left(2+t\right)\cdot\left(t-2\right)}{\left(-t-2\right)}\right)^2$
	↓	Im Nenner (-1) ausklammern.
	$=$	$\displaystyle \left(\frac{\left(2+t\right)\cdot\left(t-2\right)}{-1\left(t+2\right)}\right)^2$
	↓	mit $2 + t$ kürzen.
	$=$	$\displaystyle \left(\frac{t-2}{-1}\right)^2$
	$=$	$\displaystyle (-(t-2))^2$
	$=$	$\displaystyle \left(t-2\right)^2$

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Gib die Lösung so an, dass sie keine negative Exponenten enthält.

$\frac{4a^{-1}z^2}{\left(x^2y\right)^3}\;:\;\frac{\left(2a\right)^{-3}}{\left(\mathrm{xy}^2z\right)^{-2}}$

6
Schreibe als Dezimalzahl.
1. $3\cdot10^7$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
  $3\cdot10^7\ =\ 3\cdot10\ 000\ 000\ =\ 30\ 000\ 000$
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2. $6{,}4\cdot10^{-4}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
  $6{,}4\cdot10^{-4}\ =\ 6{,}4\ \cdot0{,}0001\ =\ 0{,}00064$
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3. $1{,}6\cdot10^{-6}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
  $1{,}6\cdot10^{-6}\ =\ 1{,}6\ \cdot0{,}000001\ =\ 0{,}0000016$
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4. $7{,}4\cdot10^9$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
  $7{,}4\cdot10^9\ =\ 7{,}4\cdot1\ 000\ 000\ 000\ =\ 7\ 400\ 000\ 000$
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7
Gesucht sind Potenzen mit negativen oder positiven Exponenten. Kreuze jeweils alle richtigen Antworten an.
1. $35\ 000\ 000\ 000$
  $35\cdot10^{10}$
  $3{,}5\cdot10^{-8}$
  $3{,}5\cdot10^{10}$
  $3{,}5\cdot10^9$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
  $35\ 000\ 000\ 000\ =\ 35\ \cdot1\ 000\ 000\ 000\ =\ 35\ \cdot10^9\ =\ 3{,}5\ \cdot10^{10}$
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2. $470\ 000\ 000$
  $47\cdot10^6$
  $47\cdot10^7$
  $47\cdot10^8$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
  $470\ 000\ 000\ =\ 47\ \cdot10\ 000\ 000\ =\ 47\ \cdot10^7$
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3. $0,0000001$
  $10^{-6}$
  $10^{-7}$
  $10^{7}$
  $10^{6}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
  $0{,}0000001=10^{-7}$
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4. $0,0000054$
  $5{,}4\cdot10^{-5}$
  $5{,}4\cdot10^{-6}$
  $5{,}4\cdot10^{-7}$
  $54\cdot10^{-7}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
  Es gibt zwei Lösungen:
  $0{,}0000054=5{,}4\cdot10^{-6}=54\cdot10^{-7}$
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8
Atome sind überall
Ein Heliumatom besitzt einen Durchmesser von etwa $6⋅10^{-11}$ Meter, ein Wasserstoffatom wiegt etwa $1{,}7⋅10^{-27}$ Kilogramm.
Die Masse des Jupiters beträgt etwa $1{,}899⋅10^{27}$ kg , wovon etwa $1{,}7⋅10^{27}$ kg Wasserstoff sind.
1. Welche Vorstellung kann man sich von der Größe der Atome und ihrer Masse machen?
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
  Ein Wasserstoffatom hat ungefähr den Durchmesser von $6\ \cdot10^{-11}m$ .
  Die Zehnerpotenz kann man auch als Bruch schreiben. Das sieht dann so aus:
  $10^{-11\ }=\frac{1}{100\ 000\ 000\ 000}$ also sind $6\ \cdot10^{-11}m$ sechs einhundert Milliardstel Meter.
  Stell dir vor, du würdest einen Millimeter auf dem Lineal nochmal in $100$ Millionen Teile teilen. Davon nimmt man $6$ Teile. Dann ist man bei der Größe eines Atoms.
  Die Masse des Atoms beträgt $1{,}7\ \cdot10^{-27}kg$ .
  Jetzt steht im Nenner des Bruchs eine $1$ mit $27$ Nullen. Diese Zahl nennt man auch Quadrilliarde. Ein Atom wiegt also ungefähr ein quadrilliardstel Kilogramm. Stell dir vor du nimmst einen gestrichenen Teelöffel mit Backpulver.
  Dieser wiegt etwa $3$ g, also wiegt ein halber Teelöffel etwa $1,5$ g. Dieses kleine Häufchen Backpulver teilst du in eine Billionen Häufchen. Aber damit nicht getan. Eines dieser Häufchen teilst du nochmals in eine Billionen kleinere Häufchen. Die Masse eines dieser zwei Mal geteilten entspricht in etwa der Masse eines Wasserstoffatoms. Das ist eine unvorstellbar kleine Zahl!
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2. Berechne die Anzahl der Wasserstoffatome, die der Jupiter enthält.
  Verwende für die Lösung folgende Schreibweise: Basis^Exponent
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
  Die Masse des Wasserstoffanteils des Jupiters beträgt $m_J=1{,}7\ \cdot10^{27\ }kg$ und die Masse eines Wasserstoffatoms: $m_H=1{,}7\ \cdot10^{-27}kg$ .
  Teilt man nun die Masse des Wasserstoffanteils im Jupiter durch die Masse eines Wasserstoffatoms, so erhält man die Anzahl an Atomen.
  $\displaystyle \frac{m_J}{m_H}=\frac{1{,}7\cdot10^{27}\ kg}{1{,}7\cdot10^{-27}\ kg}$
  Aus diesem Bruch kann man die Einheit kg und die $1,7$ direkt kürzen, da sie als Produkt im Zähler und im Nenner stehen.
  $\displaystyle \frac{m_J}{m_H}=\frac{1{,}7\cdot10^{27}kg}{1{,}7\cdot10^{-27}kg}=\frac{10^{27}}{10^{-27}}$
  Wende nun das Potenzgesetz zum Dividieren von Potenzen mit gleicher Basis an
  $\displaystyle \frac{m_J}{m_H}=\frac{1{,}7\cdot10^{27}\ kg}{1{,}7\cdot10^{-27}\ kg}=\frac{10^{27}}{10^{-27}}=10^{27-\left(-27\right)}=10^{54}$
  Der Jupiter enthält also die unglaublich hohe Anzahl von $10^{54}$ Wasserstoffatomen!
  Diese Zahl nennt man übrigens Nonillion.
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  Teile die Masse des Wasserstoffanteils des Jupiters durch die Masse eines Atoms um auf die Anzahl der Atome zu kommen.

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle \left(\frac{x^3y^{-4}}{y^{-5}y^2}\right)^{-2}$	$=$	$\displaystyle \left(\frac{y^{-5}y^2}{x^3y^{-4}}\right)^2$
	↓	Potenzgesetz anwenden. Beim Multiplizieren die beiden Exponenten addieren.
	$=$	$\displaystyle \left(\frac{y^{-5+2}}{x^3y^{-4}}\right)^2$
	$=$	$\displaystyle \left(\frac{y^{-3}}{x^3y^{-4}}\right)^2$
	↓	Kürzen mit $y^{- 3}$
	$=$	$\displaystyle \left(\frac{1}{x^3y^{-1}}\right)^2$
	↓	Potenzgesetz anwenden. Das Minus im Exponent von y in Plus setzen, indem der Bruch in einen Kehrbruch umgewandelt wird.
	$=$	$\displaystyle \left(\frac{y}{x^3}\right)^2$
	$=$	$\displaystyle \frac{y^2}{x^6}$

$\displaystyle \left(z^{2k-5}:z^3\right)\;:\;z^{k\;}$	$=$	$\displaystyle \left(z^{2k-5-3}\right):z^k$
	$=$	$\displaystyle z^{2k-8}:z^k$
	$=$	$\displaystyle z^{2k-8-k}$
	$=$	$\displaystyle z^{k-8}$

$\displaystyle \left[\left(\frac x4\right)^3\right]^5:\;\left(\frac x2\right)^6$	$=$	$\displaystyle \left(\frac x4\right)^{3\cdot5}:\left(\frac{x^6}{2^6}\right)$
	$=$	$\displaystyle \left(\frac x4\right)^{15}:\left(\frac{x^6}{2^6}\right)$
	$=$	$\displaystyle \left(\frac{x^{15}}{4^{15}}\right):\left(\frac{x^6}{2^6}\right)$
	$=$	$\displaystyle \left(\frac{x^{15}}{4^{15}}\right)\cdot\left(\frac{2^6}{x^6}\right)$
	↓	$2^{6}$ in $4^{3}$ umwandeln damit kürzen möglich ist.
	$=$	$\displaystyle \left(\frac{x^{15}}{4^{15}}\right)\cdot\left(\frac{4^3}{x^6}\right)$
	↓	Kürze die Potenzen.
	$=$	$\displaystyle \frac{x^9}{4^{12}}$

$\displaystyle \frac{\left(3a-1\right)^{2k-1}}{\left(1-3a\right)^{2k+1}}$	$=$	$\displaystyle \frac{\left(-1\right)^{2k-1}\left(-3a+1\right)^{2k-1}}{\left(-3a+1\right)^{2k+1}}$
	↓	Dividiere und wende die Potenzgesetze an.
	$=$	$\displaystyle \left(-1\right)^{2k-1}\left(-3a+1\right)^{2k-1-\left(2k+1\right)}$
	↓	Klammer auflösen. Nicht vergessen: Vorzeichenänderung
	$=$	$\displaystyle \left(-1\right)^{2k-1}\left(-3a+1\right)^{2k-1-2k-1}$
	$=$	$\displaystyle \left(-1\right)^{2k-1}\left(-3a+1\right)^{-2}$
	↓	Die Klammer mit negativem Exponenten als Bruch schreiben.
	$=$	$\displaystyle \left(-1\right)^{2k-1}\cdot\frac1{\left(-3a+1\right)^2}$
	$=$	$\displaystyle \frac{\left(-1\right)^{2k-1}}{\left(-3a+1\right)^2}$
	$=$	$\displaystyle -\frac1{(-3a+1)^2}$

$\displaystyle \left(\frac{2a^{-1}b^2}{3\mathrm{ac}^{-2}}\right)^{-3}$	$=$	$\displaystyle \frac{2^{-3}a^3b^{-6}}{3^{-3}a^{-3}c^6}$
	$=$	$\displaystyle \frac{a^33^3a^3}{2^3c^6b^6}$
	$=$	$\displaystyle \frac{a^3\cdot27a^3}{8c^6b^6}$
	↓	Potenzgesetze im Zähler anwenden.
	$=$	$\displaystyle \frac{27a^6}{8b^6c^6}$

$\displaystyle 3^2\cdot3^1$	$=$
	↓	Wende das Potenzgesetz $a^x \cdot a^y = a^{x+y}$ an. Hier ist $x = 2, y = 1, a = 3$ .
	$=$	$\displaystyle 3^{2+1}$
	↓	Fasse den Exponent zusammen.
	$=$	$\displaystyle 3^3$

$\displaystyle 4^2\cdot4^9\cdot4^{-12}$	$=$
	↓	Wende zunächst die Potenzgesetze auf $4^2 \cdot 4^9$ an.
	$=$	$\displaystyle 4^{2+9}\cdot4^{-12}$
	$=$	$\displaystyle 4^{11}\cdot4^{-12}$
	↓	Wende nun das Potenzgesetz auf $4^{11} \cdot 4^{-12}$ an.
	$=$	$\displaystyle 4^{-1}$
	↓	Der Term lässt sich sogar noch weitervereinfachen, indem du die Regel des negativen Exponenten verwendest, das bedeutet $a^{-1}=\frac{1}{a}.$
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{4}$

$\displaystyle 4^8\cdot2^{-3}\cdot2^5\cdot5^9$	$=$
	↓	Wende das Potenzgesetz $a^{x} \cdot a^y = a^{x +y}$ auf $2^{-3} \cdot 2^5$ an.
	$=$	$\displaystyle 4^8\cdot2^2\cdot5^9$
	↓	Schreibe $2^2=2\cdot2=4=4^1$ .
	$=$	$\displaystyle 4^8\cdot4^1\cdot5^9$
	↓	Wende das Potenzgesetz $a^{x} \cdot a^y = a^{x +y}$ auf $4^8 \cdot 4^1$ an.
	$=$	$\displaystyle 4^9\cdot5^9$
	↓	Wende das Potenzgesetz $a^x \cdot b^x = (a\cdot b)^x$ an.
	$=$	$\displaystyle 20^9$

$\displaystyle \left(7^7\right)^7$	$=$
	↓	Wende das Potenzgesetz $\left(a^x \right)^y=a^{x\cdot y}$ an.
	$=$	$\displaystyle 7^{7\cdot7}$
	↓	Fasse den Exponenten zusammen.
	$=$	$\displaystyle 7^{49}$

$\displaystyle \frac{9^2}{9^{-3}}:3^5$	$=$
	↓	Wende das Potenzgesetz $\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}$ auf $\frac{9^2}{9^{-3}}$ an.
	$=$	$\displaystyle 9^{2-\left(-3\right)}:3^5$
	↓	Fasse den Exponenten von $9$ zusammen.
	$=$	$\displaystyle 9^5:3^5$
	↓	Schreibe $a:b=\frac{a}{b}$ .
	$=$	$\displaystyle \frac{9^5}{3^5}$
	↓	Verwende die Potenzregel $\frac{a^x}{b^x}=\left( \frac {a}{b} \right)^x$ .
	$=$	$\displaystyle \left(\frac{9}{3}\right)^5$
	↓	Fasse die Basis zusammen.
	$=$	$\displaystyle 3^5$

$\displaystyle \frac{\frac{26^2}{26^8}}{\frac{13^{-3}}{13^3}}$	$=$
	↓	Verwende das Potenzgesetz $\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}$ auf die Basis $26$ an.
	$=$	$\displaystyle \frac{26^{-6}}{\frac{13^{-3}}{13^3}}$
	↓	Verwende das Potenzgesetz $\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}$ auf die Basis $13$ an.
	$=$	$\displaystyle \frac{26^{-6}}{13^{-6}}$
	↓	Verwende das Potenzgesetz $\frac{a^x}{b^x}=\left( \frac{a}{b} \right)^x$ .
	$=$	$\displaystyle \left(\frac{26}{13}\right)^{-6}$
	↓	Fasse die Basis zusammen.
	$=$	$\displaystyle 2^{-6}$

$\displaystyle \frac{a\cdot a\cdot a}{a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a}$	$=$
	↓	Kürze die Faktoren, die sowohl im Nenner als auch im Zähler vorkommen
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{a\cdot a\cdot a}$
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{a^3}=a^{-3}$

$\displaystyle a^3:a^6$	$=$
	↓	Potenzgesetze anwenden
	$=$	$\displaystyle a^{3-6}$
	$=$	$\displaystyle a^{-3}$

$\displaystyle 2x^{-2}\cdot3x^3$	$=$
	↓	Verwende das Kommutativgesetz, damit du vorne die Zahlen multiplizieren kannst.
	$=$	$\displaystyle 2\cdot3\cdot x^{-2}\cdot x^3$
	↓	Wende das Potenzgesetze zur Multiplikation mit gleicher Basis an.
	$=$	$\displaystyle 2\cdot3\cdot x^{-2+3}$
	↓	Verrechne im Exponenten
	$=$	$\displaystyle 6x$

$\displaystyle 10^{-12}:10^{-3}$	$=$
	↓	Wende die Potenzgesetze (Division bei gleicher Basis) an.
	$=$	$\displaystyle 10^{-12-\left(-3\right)}$
	↓	Fasse den Exponenten zusammen.
	$=$	$\displaystyle 10^{-9}$

$\displaystyle \left(2x^3\right)^2$	$=$
	↓	Potenzgesetz : $\left(a\cdot b\right)^x=a^x\cdot b^x$
	$=$	$\displaystyle 2^2\cdot x^{3\cdot2}$
	$=$	$\displaystyle 4\cdot x^6$

$\displaystyle \frac{4a^{-1}z^2}{\left(x^2y\right)^3}\;:\;\frac{\left(2a\right)^{-3}}{\left(\mathrm{xy}^2z\right)^{-2}}$	$=$	$\displaystyle \frac{4\cdot\frac1a\cdot z^2}{x^6\cdot y^3}:\frac{\frac1{\left(2a\right)^3}}{\frac1{\left(\mathrm{xy}^2z\right)^2}}$
	↓	Wegen Division Bruch umkehren.
	$=$	$\displaystyle \frac{4\cdot\frac1a\cdot z^2}{x^6\cdot y^3}\cdot\frac{\frac1{\left(\mathrm{xy}^2z\right)^{-2}}}{\frac1{\left(2a\right)^3}}$
	↓	Wegen Division Bruch umkehren.
	$=$	$\displaystyle \frac{4\cdot\frac1a\cdot z^2}{x^6\cdot y^3}\cdot\frac1{\left(\mathrm{xy}^2z\right)^2}\cdot\frac{\left(2a\right)^3}1$
	↓	Zusammenfassen.
	$=$	$\displaystyle \frac{\frac{4z^2}a}{x^6\cdot y^3}\cdot\frac{8a^3}{x^2\cdot y^4\cdot z^2}$
	↓	Brüche multiplizieren.
	$=$	$\displaystyle \frac{\frac{4z^2\cdot8a^3}a}{x^{6+2}\cdot y^{3+4}\cdot z^2}$
	↓	Kürzen.
	$=$	$\displaystyle \frac{4\cdot8a^2}{x^8y^7}$
	↓	Zusammenfassen.
	$=$	$\displaystyle \frac{32a^2}{x^8y^7}$

$\displaystyle 6:2^3-9\cdot3^{-2}$	$=$
	↓	9 als $3^{2}$ schreiben
	$=$	$\displaystyle 6:2^3-3^2\cdot3^{-2}$
	↓	Wende die Potenzrechengesetze bei gleicher Basis an.
	$=$	$\displaystyle 6:8-3^{2+\left(-2\right)}$
	↓	Vereinfache die Exponenten
	$=$	$\displaystyle 6:8-3^0$
	↓	Ausrechnen
	$=$	$\displaystyle 0{,}75-1$
	$=$	$\displaystyle -0{,}25$

$\displaystyle x^{-n}\cdot x$	$=$
	↓	$x$ entspricht $x^{1}$
	$=$	$\displaystyle x^{-n}\cdot x^1$
	↓	Wende die Potenzrechengesetze an.
	$=$	$\displaystyle x^{-n+1}$

$\displaystyle x^{-n}\cdot x$	$=$
	↓	Negative Potenzen werden als Bruch mit $1$ im Zähler und mit der Basis der Potenz und positivem Exponent im Nenner dargestellt.
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{x^n}\cdot x^1$
	↓	Multiplizieren
	$=$	$\displaystyle \frac{x^1}{x^n}$
	↓	Potenzgesetz: Potenzen gleicher Basis werden dividiert, indem man die Exponenten subtrahiert
	$=$	$\displaystyle x^{1-n}$

$\displaystyle 0{,}5x^2+1{,}5x^3$	$=$
	↓	$0{,}5x^2\;$ ausklammern.
	$=$	$\displaystyle 0{,}5x^2\left(1+3x\right)$

$\displaystyle 10\cdot10^{-2}:10^4+10^0$	$=$
	↓	Da die Basen des Dividenden 10 sind, wende dort das 1. Potenzgesetz an. Achtung, Potenzgesetze bei dem Divisor nicht anwendbar, da es keine Potenzgesetze für Addition und Subtraktion gibt.
	$=$	$\displaystyle 10^{1-2}:10^4+10^0$
	↓	Berechne die Differenz der ersten Potenz.
	$=$	$\displaystyle 10^{-1}:10^4+1$
	↓	Wende nun das 2. Potenzgesetz an, da Dividend und Divisor die gleiche Basis besitzen
	$=$	$\displaystyle 10^{-1-4}+1$
	↓	Berechne die Differenz der Potenz.
	$=$	$\displaystyle 10^{-5}+1$
	↓	Potenziere und addiere.
	$=$	$\displaystyle 1{,}00001$

$\displaystyle x^{-1}\cdot x^2\cdot x^0\cdot x^{-3}\cdot x^4$	$=$
	↓	Potenzgesetze anwenden.
	$=$	$\displaystyle x^{-1+2+0-3+4}$
	$=$	$\displaystyle x^2$

$\displaystyle 10^{-1}+10^{-2}$	$=$
	↓	In Bruchform umwandeln
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{10}+\frac{1}{100}$
	↓	Den Hauptnenner bilden (100) und den 1. Bruch auf diesen erweitern.
	$=$	$\displaystyle \frac{10}{100}+\frac{1}{100}$
	$=$	$\displaystyle \frac{11}{100}$

$\displaystyle x^{-1}+x^{-2}$	$=$
	↓	Potenzgesetze anwenden
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}$
	↓	Hauptnenner ( $x^{2}$ ) bilden.
	$=$	$\displaystyle \frac{x}{x^2}+\frac{1}{x^2}$
	$=$	$\displaystyle \frac{1+x}{x^2}$

$\displaystyle x^{-2}-\frac{x^2}{x^4}$	$=$
	↓	Potenzgesetz anwenden
	$=$	$\displaystyle x^{-2}-x^{2-4}$
	$=$	$\displaystyle x^{-2}-x^{-2}$
	$=$	$\displaystyle 0$

$\displaystyle \left(\frac{1}{x}+x^{-2}\right)\cdot2x$	$=$
	↓	Schreibweise als Bruch
	$=$	$\displaystyle \left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}\right)\cdot2x$
	↓	Ausmultiplizieren
	$=$	$\displaystyle \frac{2x}{x}+\frac{2x}{x^2}$
	$=$	$\displaystyle \frac{2\cdot x}{x}+\frac{2\cdot x}{x\cdot x}$
	↓	Kürzen
	$=$	$\displaystyle 2+\frac{2}{x}$

Aufgaben zu den Potenzgesetzen

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1. Darstellung

2. Darstellung

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Potenzgesetze

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Potenzgesetze

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Alternativer Lösungsweg

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Atome sind überall

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$\displaystyle a^4\cdot d^{-2}\cdot c^9\cdot a^2\cdot b^6\cdot d^{-9}\cdot c^5$	$=$
	↓	Da hier nur multipliziert wird, kannst du das 1. Potenzgesetz, bei gleichen Basen, immer anwenden
	$=$	$\displaystyle a^{4+2}\cdot b^6\cdot c^{9+5}\cdot d^{\left(-2\right)+\left(-9\right)}$
	↓	rBerechne durch Addition nun die jeweiligen Potenzen.
	$=$	$\displaystyle a^6\cdot b^6\cdot c^{14}\cdot d^{-11}$
	↓	Die Basen sind zwar unterschiedlich, aber da die Potenzen gleich sind, kannst du hier das 3. Potenzgesetz anwenden.
	$=$	$\displaystyle \left(ab\right)^6\cdot c^{14}\cdot d^{-11}$

$\displaystyle 90\cdot3^{n-2}-3^n$	$=$	$\displaystyle 10\cdot3^2\cdot3^{n-2}-3^n$
	↓	Wende die Potenzgesetze an.
	$=$	$\displaystyle 10\cdot3^{2+n-2}-3^n$
	$=$	$\displaystyle 10\cdot3^n-3^n$
	↓	Klammere $3^{n}$ aus.
	$=$	$\displaystyle 3^n\cdot(10-1)$
	$=$	$\displaystyle 9\cdot3^n$
	↓	Schreibe 9 in eine 3er Potenz um
	$=$	$\displaystyle 3^2\cdot3^n$
	↓	Wende die Potenzgesetze an.
	$=$	$\displaystyle 3^{2+n}$

$\displaystyle \frac{x^5+1}{x^{m+2}}-\frac{2x^2-2}{x^m}+\frac{2-x}{x^{m-2}}$	$=$	$\displaystyle \frac{x^5+1}{x^{m+2}}-\frac{2x^4-2x^2}{x^{m+2}}+\frac{2-x}{x^m\cdot x^{-2}}$
	↓	$x^{- 2}$ mit Hilfe der Potenzgesetze mit dem Zähler multiplizieren.
	$=$	$\displaystyle \frac{x^5+1}{x^{m+2}}-\frac{2x^4-2x^2}{x^{m+2}}+\frac{2x^2-x^3}{x^m}$
	↓	Den dritten Bruch mit $x^{2}$ erweiteren.
	$=$	$\displaystyle \frac{x^5+1}{x^{m+2}}-\frac{2x^4-2x^2}{x^{m+2}}+\frac{2x^4-x^5}{x^{m+2}}$
	$=$	$\displaystyle \frac{x^5+1-2x^4+2x^2+2x^4-x^5}{x^{m+2}}$
	$=$	$\displaystyle \frac{1+2x^2}{x^{m+2}}$

$\displaystyle \left(\frac{z-3}{z+5}\right)^{2p+1}\cdot\;\left(\frac{5+z}{z-3}\right)^{p+1}:\;\left(\frac{z-3}{z+5}\right)^{4p}$	$=$	$\displaystyle \left(\frac{z-3}{z+5}\right)^{2p+1-4p}\cdot\;\left(\frac{5+z}{z-3}\right)^{p+1}$
	$=$	$\displaystyle \left(\frac{z-3}{z+5}\right)^{1-2p}\cdot\;\left(\frac{5+z}{z-3}\right)^{p+1}$
	$=$	$\displaystyle \left(\frac{z-3}{z+5}\right)^{1-2p}\cdot\;\left(\frac{z-3}{z+5}\right)^{-\left(p+1\right)}$
	↓	Klammer auflösen.
	$=$	$\displaystyle \left(\frac{z-3}{z+5}\right)^{1-2p}\cdot\;\left(\frac{z-3}{z+5}\right)^{-p-1}$
	↓	Potenzgesetz anweden.
	$=$	$\displaystyle \left(\frac{z-3}{z+5}\right)^{1-2p+(-p)-1}$
	$=$	$\displaystyle \left(\frac{z-3}{z+5}\right)^{-3p}$
	$=$	$\displaystyle \left(\frac{z+5}{z-3}\right)^{3p}$