2019

Ordne die gegebenen Größen den passenden Fachbegriffen zu.

Es handelt sich um eine Preissenkung, also bei 140 € um einen verminderten Grundwert.

a.) Prozentrechnung mittels Formel

Gegeben:

Vermindeter Grundwert $G^- = 140\;€$, Prozentsatz $p = 30\%$

Gesucht: Grundwert $G$

Verwende die Formel für den verminderten Grundwert.

$G^- = G\cdot(1-p)$

Setze zunächst den Prozentsatz ein.

$G^- = G\cdot(1-30\%)$

$=G\cdot(1-0{,}30)= G\cdot0{,}70$

Setze nun den verminderten Grundwert ein.

$140\;€=G\cdot0{,}70$

Stelle die Formel nach G um.

$G = 140\;€ : 0{,}70= 200\;€$

Die Tennisschläger kostete ohne Rabatt 200 €

b.) Prozentrechnung mittels Dreisatz

Wir wissen, dass 140€ (100%-30%) = 70% entsprechen.

Also gilt:

$70\% \hat{=} 140\;€$

$1\% \hat{=}\ 2\;€$

$100\%\ \hat{=} 2\cdot100\ =\ 200\;€$

Löse folgende Ungleichung:

$\text{-2x+4-x>1\hspace{14mm}fasse\ zusammen}$

$-3x +4 >1\hspace{2cm}\vert-4$

$-3x>-3\hspace{24mm}\vert\cdot(-1):(3)$

$\text{\hspace{3mm}x<1\hspace{24mm}\ Das\ Vergleichszeichen\ wurde\ umgedreht,}\ \\\hspace{34mm}\text{da\ mit\ -1\ multipliziert\ wurde.}$

$\mathbb{L}= \{{x|x<1}\}$

Bestimme die Lösungsmenge folgender Gleichung ($\mathbb{G}$= $\mathbb{Q}$).

$-0{,}75x+1+1{,}25x=0{,}5$

Löse die Gleichung nach x auf.

$-0{,}75x+1+1{,}25x=0{,}5$ $\vert-1$

$-0{,}75x+1{,}25x=-0{,}5$ fasse zusammen.

$\ 0{,}5x=-0{,}5$ $\vert{:0{,}5}$

$\ x=-1$

$\mathbb{L}= \{-1\}$

Nein, die Stichprobe einer einzelnen Klasse bildet nicht die Gesamtheit aller Realschulklassen ab.

Sieh dir die Zeichnung des Vektors $\vec{v}$ genau an. $\vec{v}$ kannst du zeichnen, wenn du, beginnend an der Pfeilspitze, in dem Koordinatensystem 5 Einheiten nach rechts und dann 5 Einheiten nach unten gehst. Wähle also in dem Koordinatensystem, in dem das Dreieck ABC gezeichnet ist, auf der Seite [AC] den Punkt, der genau 5 Einheiten über der Seite [AB] liegt. Dies ist der Punkt E.

Gehe nun von E 5 Einheiten nach rechts und 5 Einheiten nach unten und du erhälst den Punkt D auf der Seite AB.

Verbinde nun die Punkte D und E durch den Vektor $\vec{v}$.

Die beiden Halbkreise haben den gleichen Durchmesser d = 2cm, zusammen bilden sie einen Vollkreis. Siehe Skizze oben.

Die Fläche eines Kreises berechnet sich nach der Formel:

$A= d^2\cdot\dfrac{\pi}{4}$

$A= (2cm)^2\cdot\dfrac{\pi}{4}$

$A= 4cm^2\cdot0{,}785$

$A= 3{,}14cm^2$

Die Fläche der markierten Kreisteile beträgt: $\ 3{,}14cm^2$

Beispiel:

Drehe die Gerade $g$ durch die Punkte $A$ und $B$ um das Drehzentrum $Z$ mit dem Drehwinkel von 180°.

Die Parallelverschiebung des Punktes $\text{B}$ mit dem Vektor $\vec{v}=\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \end{pmatrix}$ bedeutet, dass du den Punkt $\text{B}_1$ erzeugst, indem du den Ausgangspunkt B um $6$ Einheiten in Richtung der x-Achse nach rechts und gar nicht ($0$ Einheiten) in Richtung der y-Achse verschiebst. Die folgende Abbildung zeigt das für Punkt $\text{B}_1$ :

Ergänze nun die Punkte $\text{A}_1,\text{B}_1,\text{C}_1$ zu einem Rechteck. Dadurch erhälst du den Punkt $\text{D}_1$. Damit ist der erste Teil der Aufgabe erledigt:

Zum zweiten Teil: Die übrigen 3 Punkte $\text{A}, \text{C}, \text{D}$ des Ausgangsrechtecks erhälst du durch parallele Rückwärtsverschiebung mit dem Vektor $\vec{v}_r=\begin{pmatrix} -6 \\ 0 \end{pmatrix}$. Verschiebe also die 3 Punkte entlang der x-Achse um $6$ Einheiten nach links und und entlang der y-Achse gar nicht. Die nächste Abbildung zeigt das für den Punkt $\text{A}$:

Die Punkte $\text{C}$ und $\text{D}$ erhältst du analog.

Verbinde dann die Punkte $\text{A}, \text{B},\text{C}, \text{D}$ zu einem Rechteck.

Überlege dir, welche Vektoren du addieren kannst. Für die Addition von 2 Vektoren muss die Spitze eines Vektors der Startpunkt für den zweiten Vektor sein. Dies gilt nur für die beiden Vektoren $\overrightarrow{{OP}}$ und $\overrightarrow{{PQ}}$.

Also gilt: $\overrightarrow{{OQ}}=\overrightarrow{{OP}}+\overrightarrow{{PQ}}$ ist richtig.

Gegeben für das 1. Rechteck:

Länge $a=20m$

Breite $b= 18m$

Fläche $A=a\cdot b$

$A=20m\cdot18m=360m²$

Gegeben für das 2. Rechteck:

Breite $b=15m$

Löse die Flächenformel nach a auf.

$a=A:b$

$a=360m:15m=24m$

Die Länge des 2 Rechtecks beträgt $24m.$

Beide Geraden haben den selben Abstand zu der Geraden s. Somit haben die Punkte $P_1,P_2....P_5$ alle den gleichen Abstand von der Geraden $s$.

Konstruiere zu den 3 Dreieckseiten die Mittelsenkrechten.

1. Zeichne dafür je einen Kreis um $A$ und $B$ mit $\text{r}>\overline{\frac{AB}{2}}$. Die Kreise um $A$ und $B$ müssen den gleichen Radius haben. Markiere die Schnittpunkte $S_1$ und $S_2$.

2. Zeichne dafür je einen Kreis um $A$ und $C$ mit $\text{r}>\overline{\frac{AC}{2}}$. Die Kreise um $A$ und $C$ müssen wieder den gleichen Radius haben. Markiere die Schnittpunkte $S_3$ und $S_4$.

3. Zeichne nun je einen Kreis um $B$ und $C$ mit $\text{r}>\overline{\frac{BC}{2}}$. Die Kreise um $B$ und $C$ müssen wieder den gleichen Radius haben. Markiere die Schnittpunkte $S_{5_{ }}$ und $S_6$.

4. Verbinde die Schnittpunkte $S_1$ und $S_2$, $S_3$ und $S_4$ sowie $S_5$ und $S_6$ wie im Bild dargestellt.

Der Schnittpunkt $M$ der 3 Geraden ist der Mittelpunkt des Umkreisradius.

Da die drei Pfeile gleichmäßig im Kreis auf dem Schild verteilt sind, wird das Schild bei einer Drehung um den eigenen Mittelpunkt und einem Drehwinkel von 120°, 240° und 360° jeweils wieder auf sich selbst abgebildet.

Die Winkelsumme im Dreieck = $180^\circ$ also gilt:

$\alpha+\beta+\gamma = 180^\circ$

Aus der Aufgabenstellung ist bekannt: $\hspace{5mm}\alpha = 3\gamma \\\hspace{57mm}\beta = 2\gamma$

Jetzt kannst Du folgenden Ansatz bilden:

$3\gamma+2\gamma+\gamma = 180^\circ\\\hspace{14mm}6\gamma=\hspace{0.5mm}180^\circ\hspace{5mm}\big\vert:6\\\hspace{16mm}\gamma=\hspace{1.5mm}30^\circ$

Der Winkel $\gamma$ beträgt $30^\circ$.

Ergänze die Lücken so, dass äquivalente Terme entstehen, (a, b $\in \mathbb{Q}$).

$4a+3b+2\cdot(a+.........)=........+7b$ |-$3b$

$4a+2\cdot(a+.........)=........+4b$

Suche nun diejenige Zahl, die mit 2 multipliziert $4b$ ergibt.

Die Zahl in der ersten Lücke lautet $2b$.

Löse nun die folgende Gleichung:

$4a+2\cdot(a+2b)=$

$4a+2\cdot(a+2b)=4a+2a+4b=6a+4b$

Die Zahl in der 2. Lücke nach dem = Zeichen lautet $6a$.

Die ergänzte Gleichung sieht dann folgendermaßen aus

$4a+3b+2\cdot(a+2b)=6a+7b$