2020

Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

1
Gegeben ist die Gerade g mit der Gleichung
$y = –1{,}5x + 0{,}5$ ( $\mathbb{G}=\mathbb{Q}$ x $\mathbb{Q}$ )
1. Zeichne die Gerade g in ein Koordinatensystem (siehe Abbildung).
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gerade zeichnen
  Zeichne zunächst den y-Abschnitt als Punkt ein $y=-1{,}5\cdot0+0{,}5=0{,}5$
  Für die Steigung gehe vom y-Abschnitt 1 nach links und 1,5 nach oben. Verbinde die beiden Punkte durch eine Gerade.
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2. Überprüfe durch Rechnung, ob der Punkt P(–8|12,5) auf der Gerade g liegt.
  Der Punkt $P(-8|12{,}5)$ liegt auf der Geraden.
  Der Punkt $P(-8|12{,}5)$ liegt nicht auf der Geraden.
  
  Setze den x-Wert ( $x_P=-8$ ) des Punkts $P(\textcolor{orange}{-8}|\textcolor{green}{12{,}5})$ in die Geradengleichung ein und überprüfe, ob derselbe y-Wert des Punkts herauskommt ( $y_P=12{,}5$ ).
  $y=(-1{,}5)\cdot(\textcolor{orange}{-8})+0{,}5=12+0{,}5=\textcolor{green}{12{,}5}\;\; \checkmark$
  Der Punkt $P$ liegt auf der Gerade $g$ .
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3. Die Gerade h verläuft parallel zur Gerade g durch den Punkt Q(1|0). Gib die Gleichung der Geraden h an.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
  Die allgemeine Geradengleichung lautet: $\hspace{1mm}\ mx + t = y$
  Aus der Aufgabenstellung sind folgende Werte bekannt:
  $m =-1{,}5\\x=1\\y=0$
  Setze die Werte in die allgemeine Geradengleichung ein, damit kannst Du $t$ berechnen.
  $-1{,}5+t=0\Rightarrow\ t=1{,}5$
  Die Gleichung der Geraden $h$ lautet : $y=-1{,}5x+1{,}5$
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Bestimme die Lösungsmenge der folgenden Gleichung $(\mathbb{G}=\mathbb{Q})$

$-(3x-x^2)=(x-1)\cdot(x+2)$

3
Vergrößert man den Zähler eines Bruches um 6 und seinen Nenner um 2, so hat der dadurch entstandene Bruch den doppelten Wert des ursprünglichen Bruches. Kreuze den ursprünglichen Bruch an.
1/2
3/7
3/4
7/8
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Brüche vergleichen
Betrachte $\dfrac{1}{2}$ : $\dfrac{1+6}{2+2}= \dfrac{7}{4}\neq \dfrac{1+1}{2}=1$ Falsch!
Betrachte $\dfrac{3}{7}:$ $\dfrac{3+6}{7+2}= \dfrac{9}{9}=1\neq \dfrac{3+3}{2}= \dfrac{6}{2}=3$ Falsch!
Betrachte $\dfrac{3}{4}$ : $\dfrac{3+6}{4+2}= \dfrac{9}{6}= \dfrac{3}{2}= \dfrac{3+3}{4}= \dfrac{6}{4}=\dfrac{3}{2}$ Richtig!
Betrachte: $\dfrac{7}{8}$ : $\dfrac{7+6}{8+2}= \dfrac{13}{10}\neq \dfrac{7+7}{8}= \dfrac{14}{8}$ Falsch!
4
Der Faktor –6 wurde ausgeklammert ( $\mathbb{G}= \mathbb{Q}$ ).
Vervollständige die Klammer.
$-6x^2+3xy-6=-6\cdot$ (_____________)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ausklammern
Beachte beim Ausklammern auch die Vorzeichen!
$-6x^2+3xy-6=-6(x^2-0{,}5xy+1)$

Löse die Klammer auf und fasse so weit wie möglich zusammen

( $3x-2y)^2-6xy=$

6
Eine Figur besteht aus einem Rechteck und einem Quadrat, die sich zum Teil überdecken (siehe Skizze). Wie lässt sich der Flächeninhalt A der dick umrandeten Figur in Abhängigkeit von x darstellen? ( $\mathbb{G}=\mathbb{Q}$ )
A(x) = [(2x + 1)(2x + 3) + x²] cm²
A(x) = [(x + 1) + (2x + 3) + x + 6 + 6+ x] cm²
A(x) = [(2x + 1)(2x + 3) + 36 – x²] cm²
A(x) = [(2x + 1)(2x + 3) + 36] cm²
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt zusammengesetzter Figuren
Eine Figur besteht aus einem Rechteck und einem Quadrat, die sich zum Teil überdecken (siehe Skizze). Wie lässt sich der Flächeninhalt A der dick umrandeten Figur in Abhängigkeit von x darstellen? ( $\mathbb{G}=\mathbb{Q}$ )
Die Figur besteht aus 3 verschiedenen Flächen B; C; und D.
Fläche $B\ =\ \left(2x+1\right)\left(2x+3\right)$ $\left[cm^2\right]$
Fläche $C=x^2$ $\left[cm^2\right]$
Fläche $D=36$ $\left[cm^2\right]$
Der Flächeninhalt $A$ der dick umrandeten Figur ist dann: $B+D-C$
$A=\ \left[\left(2x+1\right)\left(2x+3\right)+36-x^2\right]cm^2$
Kreuze die entsprechende Darstellung an.
7
Marcus sagt: „Ich denke an ein besonderes Viereck mit folgenden Eigenschaften:
Das Viereck ist nicht punktsymmetrisch.
Die Diagonalen stehen aufeinander senkrecht.
Die Diagonalen sind unterschiedlich lang.
Das Viereck hat genau eine Symmetrieachse.
Gib an, welches Viereck Marcus beschreibt.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vierecke
Marcus beschreibt ein Drachenviereck.
Erklärung
Du kennst die folgenden Vierecke: allgemeines Viereck, Trapez, Parallelogramm, Drachenviereck, Raute, Rechteck und Quadrat. Mit den Eigenschaften kannst du Vierecke aus der Auswahl ausschließen.
Das Viereck ist nicht punktsymmetrisch.
Das gesuchte Viereck ist also kein Quadrat, Rechteck, Raute oder Parallelogramm. Somit bleibt nur noch ein Drachenviereck, Trapez oder allg. Viereck übrig.
Die Diagonalen stehen aufeinander senkrecht.
Somit kann es auch kein Trapez sein. Das Drachenviereck bliebt über. Du kannst die restlichen Eigenschaften dennoch weiter überprüfen.
Die Diagonalen sind unterschiedlich lang.
Diese Eigenschaft erfüllt auch das Drachenviereck.
Das Viereck hat genau eine Symmetrieachse.
Diese Eigenschaft erfüllt auch das Drachenviereck.
8
Berechne die Koordinaten des Punktes P(x|y) mit x,y $\in\mathbb{Q}$ , wenn gilt:
$Q(7|– 9)$ und $\overrightarrow{PQ}=\begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektor zwischen zwei Punkten berechnen.
Berechne die Koordinaten des Punktes P(x|y) mit x,y $\in\mathbb{Q}$ , wenn gilt:
$Q(7|-9)$ und $\vec{PQ}=\begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix}$
Um den Verbindungsvektor zwischen den Punkten $P$ und $Q$ zu berechnen, muss man den Ortsvektor zu Punkt $P$ vom Ortsvektor zu Punkt $Q$ subtrahieren.
Als Merkregel gilt: "Spitze minus Fuß"
Der Vektor hat also beim Minuend seine Spitze und beim Subtrahend seinen Fuß.
Bekannt ist aus der Aufgabenstellung der Punkt $Q$ und der Vektor $\vec{PQ}$ .
$Q (7/-9$ ); $\vec{PQ}\begin{pmatrix}5\\1\end{pmatrix}$
$\vec{PQ}=$ $\begin{pmatrix}Q_x-P_x\\Q_y-P_y\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}5\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\;\;7-x\\-9-y\end{pmatrix}$
$5=\;\;\;7-x$
$1=-9-y$
$-x=-2$
$\;\;x=\;\;\;\;2$
$-y=\;\;10$
$\;\;y=-10$
Der Punkt $P$ hat die Koordinaten $(x=2)$ und $(y=-10)$ .
9
Ein Legespiel besteht aus weißen und schwarzen Karten (siehe Skizze). Klaus soll so viele schwarze Karten wegnehmen, dass anschließend nur noch 80% der verbleibenden Karten schwarz sind.
Gib an, wie viele schwarze Karten Klaus entfernen muss.
Karten

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung mittels Dreisatz
Das Legespiel besteht aus 24 Karten. Klaus muss von den schwarzen Karten so viele entfernen, dass die verbleibenden schwarzen Karten 80% des verkleinerten Spiels ausmachen. Das ist gleichbedeutend mit der Aussage, dass die 4 weißen Karten 20% des verkleinerten Legespiels ausmachen.
4 $\mathop{\widehat{=}}$ 20%
16 $\mathop{\widehat{=}}$ 80%
Klaus muss also 4 von den 20 schwarzen Karten aus dem Spiel entfernen,
10
Gegeben ist der quadratische Term
$T(x)=-x^{2 }+17$ ( $\mathbb{G}=\mathbb{Q}$ ).
Welche der folgenden Angaben gibt den Extremwert mit der dazugehörigen Belegung von $x$ für diesen Term an?
$T_{max}= –1$ für $x=17$
$T_{max}= 17$ für $x=0$
$T_{min}=$ 17 für $x=-1$
$T_{min}= 0$ für $x=-17$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelform
Gegeben ist der quadratische Term $T(x) = –x^2 + 17 \ \$ $(\mathbb{G}=\mathbb{Q}).$
Die Scheitelform einer quadratischen Funktion lautet:
$\large{a\cdot\left(x-x_s\right)^2+y_s}$
Da der Öffnungsfaktor $a<0$ ist, handelt es sich hier um eine nach unten geöffnete Parabel.
$a=-1\ ;\ x_s=0\ ;\ y_s=17$
Setze in die Scheitelform ein: $T(x)=-1\cdot(x-0)^2+17$ .
Der richtige Term ist also:
$T_{\max}=17$ für $x=0$
11
Gib die Definitionsmenge für den folgenden Bruchterm an ( $\mathbb{G}=\mathbb{Q})$ .
$T(x)=\dfrac{x-2}{(3-x)\cdot x}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich gebrochener Funktionen
$T(x)$ = $\dfrac{x-2}{(3-x)\cdot x}$
Da man nicht durch Null teilen darf, muss man alle Zahlen x $\in$ $\mathbb{Q}$ ausschließen, für die der Nenner 0 ist. Dies ist der Fall, wenn einer der beiden Faktoren $(3-x)=0$ oder $x=0$ ist, also für $x=3$ oder $x=0$ .
Die Definitionsmenge lautet also: $\mathbb{D}=\mathbb{Q}\backslash\{0 ; 3\}$

Bestimme die Lösungsmenge $\mathbb{L}$ der Bruchgleichung

$\dfrac{4}{x+1}= \dfrac{2}{x}$ , $\mathbb{D}=\mathbb{Q}$ \ {-1 ; 0}

13
Das Diagramm unten stellt das Ergebnis der letzten Klassensprecherwahl dar. Jede Schülerin / jeder Schüler hatte genau eine Stimme. Zwei der folgenden Aussagen treffen zu. Kreuze diese an.
$\dfrac{1}{10}$ der Klasse hat Jonas gewählt
Die beiden Jungen Jonas und Tobias bekamen zusammen mehr als die Hälfte der Stimmen.
Genau $\dfrac{2}{3}$ der Kinder in der Klasse haben Anna nicht gewählt.
Lisa bekam mehr als $20%$ % der Stimmen.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Balkendiagramm
Die Klasse hat 30 Schüler*innen. Davon haben
10 Schüler*innen Tobias gewählt
8 Schüler*innen Lisa
3 Schüler*innen Jonas
9 Schüler*innen Anna
$\dfrac{1}{10}$ der Stimmen sind $\dfrac{30}{10}=3$ Stimmen
$\Rightarrow$ Die Aussage " $\dfrac{1}{10}$ der Schüler*innen haben Jonas gewählt" ist richtig.
Die beiden Jungen Jonas und Tobias haben zusammen $10+3=13$ Stimmen erhalten. Die Hälfte der Stimmen ist 15. Also ist die Aussage "Jonas und Tobias haben zusammen mehr als die Hälfte der Stimmen erhalten" falsch.
9 Kinder haben Anna gewählt. $\Rightarrow$ 21 Kinder haben Anna nicht gewählt. $\dfrac{21}{30}=\dfrac{7}{10}$
$\dfrac{7}{10}\neq \dfrac{2}{3}$ . Die Aussage "genau $\dfrac{2}{3}$ der Kinder haben Anna nicht gewählt" ist falsch.
Lisa hat 8 Stimmen bekommen. 20% der Stimmen sind $\dfrac{30}{100}\cdot 20=\dfrac{600}{100}=6$ Stimmen. Die Aussage "Lisa hat mehr als 20% der Stimmen erhalten" ist richtig.
14
Mit dem abgebildeten Achterwürfel (Zahlen 1 bis 8) wird einmal gewürfelt.
Gib die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „Die gewürfelte Zahl ist durch 3 oder durch 4 teilbar“ an.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wahrscheinlichkeit
Bei einem fairen Würfel ist die Wahrscheinlichkeit eine bestimmte Zahl zu würfeln, für alle Zahlen gleich. Bei dem Würfel mit den Zahlen 1-8 sind die Zahlen 3 und 6 durch 3 teilbar und die Zahlen 4 und 8 durch 4 teilbar. Die Zahlen 1,2,5 und 7 sind weder durch 3 noch durch 4 teilbar.
=> Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „Die gewürfelte Zahl ist durch 3 oder durch 4 teilbar“ an beträgt $\dfrac{1}{2}$ oder 50%.

Zur Herstellung eines L-Profils (siehe Skizze) wurde ein kleiner Quader aus einem größeren Quader geschnitten. Das L-Profil hat ein Gesamtvolumen von 130 cm³.

Gib das Maß für die Höhe h an.

16
Die maßstabsgetreue Skizze zeigt eine Badezimmerwand mit einer Tür und einem Fenster. Das Fenster ist rechteckig und hat eine Höhe von 1 m. Wie viele Päckchen Fliesen müssen gekauft werden, um die Wand vom Boden bis zu einer Höhe von 2 m zu fliesen, wenn in einem Päckchen Fliesen für 2 m² enthalten sind? Gib deinen Lösungsweg an.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Fläche eines Rechtecks
Wandfläche: Die Maße der Badezimmerwand betragen $h = 2 m$ , $b = 5$ m,
=> $A_{\text{Wand}}=2m\cdot5m=10m^2$ .
Fensterfläche: $h=1m, b=0{,}5m$
=> $A_{\text{Fenster}}=0{,}5m^2$
Türfläche: $h=2m, b=1m$
$A_{\text{Tür}}=2m^2$
Die Wandfläche ohne Tür und Fenster beträgt also $A'= 7{,}5m^2$ .
In einem Päckchen sind Fliesen für $2m^2$ enthalten. Da nur ganze Päckchen gekauft werden können, braucht man $4$ davon.
Berechne zunächst die gesamte Wandfläche und ziehe dann die Flächen von Fenster und Tür ab.
17
Gib die Winkelmaße α und β an.
Die Skizzen sind nicht maßtreu.
1. Es gilt: $g \Vert h$ und $\overline{AD}=\overline{CD}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Winkel
  Gib das Winkelmaß $\alpha$ an;
  es gilt: $g \Vert h$ und $\overline{AD}=\overline{CD}$
  Die beiden mit $30^\circ$ gekennzeichneten Winkel sind Wechselwinkel, Wechselwinkel sind gleich groß.
  Da in dem Dreieck $\; ADC$ , $\,\overline{AD}=\overline{CD}$ ist, ist es ein gleichschenkliges Dreieck, die Winkel $\angle ACD$ und $\angle DAC$ sind Basiswinkel und sind gleich groß.
  Die Winkelsumme im Dreieck ist $180^\circ$ .
  $\Large{\alpha}$ $= 180^\circ-30^\circ-30^\circ$
  $\Large{\alpha}$ $=120^\circ$
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2. Es gilt: BT ist Tangente an den Kreis k(M; r) mit dem Berührpunkt T.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kreis und besondere Geraden am Kreis
  Gib das Winkelmaß β an. (Die Skizze ist nicht maßtreu.)
  Es gilt: BT ist Tangente an den Kreis k(M; r) mit dem Berührpunkt T.
  Das Dreieck $TBM$ ist ein rechtwinkliges Dreieck. Die Winkelsumme im Dreieck ist $180^\circ$ .
  Der Winkel $TBM =180^\circ-90^\circ-40^\circ= 50^\circ$ .
  Der Winkel $\boldsymbol\beta$ und der Winkel $TBM$ ergeben einen gestreckten Winkel, ein gestreckter Winkel hat eine Größe von 180°.
  Es gilt: $\boldsymbol\beta$ + $\angle\;TBM=180^\circ \Rightarrow \boldsymbol\beta=180^\circ-50^\circ=130^\circ$
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Der Umfang u eines Rechtecks beträgt 60 cm. Die Breite b des Rechtecks ist halb so groß wie seine Länge. Gib den Flächeninhalt A des Rechtecks an.

cm²

19
Von dem Dreieck ABC sind die Maße a = 5 cm und b = 3 cm bekannt. Begründe, warum die Seitenlänge c mehr als 2 cm betragen muss.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreiecke
Für jedes Dreieck gilt:
Die Länge einer Dreiecksseite muss immer kleiner sein als die Summe der Längen der anderen beiden Seiten, also
$a<b+c$
$b<a+c$ und
$c<a+b$
Aus der ersten Ungleichungen ergibt sich:
$5cm<3cm+c$ , also $c>2cm$
20
Der Preis eines Schokoriegels wurde um 10% auf 0,55 € angehoben. Gib an, wie viel der Schokoriegel vor der Preiserhöhung gekostet hat.
€

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung
Der Preis eines Schokoriegels wurde um 10% auf 0,55 € angehoben. Gib an, wie viel der Schokoriegel vor der Preiserhöhung gekostet hat.
Prozentwert $W$ = $0{,}55$ $€$
Prozentsatz $p=110\%$
Grundwert $G=\dfrac{W}{p}\Rightarrow$ $G=\dfrac{0{,}55€}{110\%} =\dfrac{0{,}55€\cdot100}{110}=0{,}50€$
Der Schokoriegel hat vor der Preiserhöhung $\textbf{0{,}50€}$ gekostet.

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle -(3x-x^2)$	$=$	$\displaystyle (x-1)\cdot(x+2)$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
$\displaystyle -3x+x^2$	$=$	$\displaystyle x^2+2x-x-2$	$\displaystyle -x^2$
	↓	Subtrahiere $x^2$ auf beiden Seiten.
$\displaystyle -3x$	$=$	$\displaystyle x-2$	$\displaystyle -x$
$\displaystyle -4x$	$=$	$\displaystyle -2$	$\displaystyle :\left(-4\right)$
	↓	Teile durch 4.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 0{,}5$

$\displaystyle (3x-2y)^2-6xy$	$=$	$\displaystyle \left(\left(3x\right)^2-2\cdot3x\cdot\left(-2y\right)+\left(2y\right)^2\right)-6xy$
	$=$	$\displaystyle \left(9x^2-12xy+4y^2\right)-6xy$
	↓	Fasse zusammen
	$=$	$\displaystyle 9x^2-18xy+4y^2$

$\displaystyle \frac{4}{x+1}$	$=$	$\displaystyle \frac{2}{x}$
	↓	Brüche auf den gemeinsamen Hauptnenner bringen
$\displaystyle \frac{4x}{x(x+1)}$	$=$	$\displaystyle \frac{2\cdot(x+1)}{x\cdot(x+1)}$
	↓	Mit dem Hauptnenner multiplizieren
$\displaystyle 4x$	$=$	$\displaystyle 2\cdot(x+1)$
	↓	multipliziere die Klammer aus
$\displaystyle 4x$	$=$	$\displaystyle 2x+2$	$\displaystyle -2\cdot x$
$\displaystyle 2x$	$=$	$\displaystyle 2$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 1$

$\displaystyle V_2$	$=$	$\displaystyle l\cdot b\cdot h$	$\displaystyle :\left(l\cdot b\right)$
	↓	dividiere
$\displaystyle \dfrac{V_2}{l\cdot b}$	$=$	$\displaystyle h$
	↓	tausche die Seiten
$\displaystyle h$	$=$	$\displaystyle \dfrac{V_2}{l\cdot b}$
	↓	setze die Zahlen ein
$\displaystyle h$	$=$	$\displaystyle \dfrac{30cm^3}{10cm\cdot1cm}$
	↓	berechne
$\displaystyle h$	$=$	$\displaystyle 3cm$

$\displaystyle 60cm$	$=$	$\displaystyle 2\cdot2b+2b$
	↓	fasse zusammen
$\displaystyle 60cm$	$=$	$\displaystyle 6b$
	↓	tausche die Seiten
$\displaystyle 6b$	$=$	$\displaystyle 60cm$	$\displaystyle :6$
$\displaystyle b$	$=$	$\displaystyle 10cm$

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