Aufgaben
Die drei Söhne des verstorbenes Piratenkäptn's erben seine 17 Golddukaten. Im Testament heißt es: ”Mein erstgeborener Sohn soll die Hälfte der Dukaten, mein zweitgeborener ein Drittel und mein jüngster ein Neuntel der Dukaten bekommen. Kein Dukate darf geteilt werden.“ Die Söhne sind ratlos. (Warum?) Sie tragen ihr Problem einem Steuermann vor, der als weiser Mann gilt. Er überlegt nicht lange und gibt ihnen den folgenden Rat: ”Ich besitze selbst eine Dukate. Davon leihe ich euch eine. Vollzieht damit die Teilung wie es das Testament verlangt. “Wie viele Dukaten bekommt jeder der Söhne? Was fällt dir auf? Hast du eine Erklärung dafür?
Ein Elefant fraß in der ersten Woche 13\frac13 seines Futtervorrats. In der zweiten Woche fraß er 14\frac14 vom Rest. Danach waren noch 300 kg Futter übrig. Veranschauliche die Situation durch eine Zeichnung. Wie viel Futter war anfangs vorhanden?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bruchterme aufstellen

Futtervorrat nach einer Woche:

Futtervorrat nach einer Woche
Der gesamte Futtervorrat stellt das große Rechteck dar.13\frac13 davon hat der Elefant nach einer Woche gegessen

Futtervorrat nach der zweiten Woche:

Futtervorrat nach der zweiten Wochen
Der gesamte Futtervorrat ist das große Rechteck. Die ersten beiden x geben den Anteil an, den der Elefant in der ersten Woche gegessen hat (also 13\frac13). Das dritte x ist entspricht 14\frac14 vom Rest.
Er hat also nach zwei Wochen die Hälfte des Vorrats gegessen. Das übrige Futter ist also auch die Hälfte des gesamten Futtervorrats.
Also waren anfangs 600 kg vorhanden.
Berechne ein Drittel von 0,03.

Gegeben ist der Term %%\left(4,5:3\right)\cdot\frac23:\left(4-6,5\right)%% .

  1. Berechne den Wert des Terms.

  2. Wie ändert sich der Wert des Terms, wenn man in der ersten Klammer beide Zahlen mit 10 multipliziert? Begründe deine Antwort ohne Rechnung.

  3. Wie ändert sich der Wert des Terms, wenn man in der zweiten Klammer beide Zahlen mit 10 multipliziert? Begründe deine Antwort ohne Rechnung.

Teilaufgabe 1

$$\left(4,5:3\right)\cdot\frac23:\left(4-6,5\right)=$$

Dezimalzahlen in Brüche umformen.

$$=\left(\frac92:3\right)\cdot\frac23:\left(4-\frac{13}2\right)$$

Bruch in der Klammer dividieren, indem man mit dem Kehrbruch multipliziert.

$$=\left(\frac32\right)\cdot\frac23:\left(4-\frac{13}2\right)$$

2-te Klammer ausrechnen, indem man den Hauptnenner von %%4%% und %%\frac{13}2%% bildet und auf diesen erweitert.

$$=\left(\frac32\right)\cdot\frac23:\left(\frac82-\frac{13}2\right)$$

Klammer ausrechnen, indem man den Bruch subtrahiert .

$$=\left(\frac32\right)\cdot\frac23:\left(-\frac52\right)$$

$$=1:\left(-\frac52\right)$$

Bruch dividieren, indem man mit dem Kehrbruch multipliziert.

$$=-\frac25$$

Teilaufgabe 2

Das Ergebnis ändert sich nicht, da sich die 10 wegkürzt!

Teilaufgabe 3

Das Ergebnis wird um %%\frac1{10}%% kleiner, da der Divisor um 10 größer wird. (Man kann die 10 ausklammern)

Ist das Wasser in einem Spülbecken zu heiß, so lässt man kaltes Wasser nachlaufen, bis die gewünschte Temperatur erreicht ist. Werden beispielsweise 10 Liter Wasser der Temperatur 42 °C mit 2 Liter Wasser der Temperatur 12 °C gemischt, so kann die Mischtemperatur mit folgender Formel berechnet werden:

 

Mischtemperatur %%=\frac{10}{10+2}\cdot42^\circ \mathrm{C}+\frac2{10+2}\cdot12^\circ \mathrm C%%

  1. Berechne die Mischtemperatur in obigem Beispiel.

  2. Welche Mischtemperatur stellt sich ein, wenn 2,5 Liter Wasser der Temperatur 27,0 °C mit 2,0 Liter Wasser der Temperatur 13,5 °C gemischt werden?

Teilaufgabe a)

%%\frac{10}{10+2}\cdot 42°C+\frac{2}{10+2}\cdot 12°C=%%

Nenner in den Brüchen addieren.

%%=\frac{10}{12}\cdot 42°C+\frac2{12}\cdot12°C=%%

%%=\frac{420}{12}°C+\frac{24}{12}°C=%%

%%=\frac{444}{12}=%%

Mit 4 Kürzen.

%%\frac{111}3°C=37°C%%

Teilaufgabe b)

%%\frac{10}{10+2}\cdot42^\circ C+\frac2{10+2}\cdot12^\circ C%%

Neue Angaben in die Formel von Teilaufgabe a einsetzen.

%%\frac{2,5}{2,5+2}\cdot27^\circ C+\frac2{2,5+2}\cdot13,5^\circ C%%

Nenner in den Brüchen addieren.

%%=\frac{2,5}{4,5}\cdot27^\circ C+\frac2{4,5}\cdot13,5^\circ C%%

Umformen der Dezimalzahlen in Brüche .

%%=\frac{5}{2}: \frac 92 \cdot27^\circ C+ 2 : \frac92\cdot {\frac{27}2}^\circ C%%

%%=\frac{5}{2}\cdot \frac 29 \cdot27^\circ C+ \frac 21 \cdot \frac29\cdot {\frac{27}2}^\circ C%%

%%=\frac{5}{9} \cdot27^\circ C+ \frac49\cdot {\frac{27}2}^\circ C%%

%%=15°C+6°C=%%

Addiert man zu einem Drittel von einem Viertel die Hälfte von einem Fünftel und subtrahiert dann den zehnten Teil von zwei Drittel, so ist dies der 24. Bruchteil einer gesuchten Zahl. Wie lautet die Zahl?
Egon bekommt folgende Aufgabe: 713:(21252)7\frac13:\left(2\frac12-\frac52\right) .
Er denkt erst nach, bevor er rechnet. Dann ruft er: ”Die Aufgabe kann man doch im Kopf ausrechnen, da kommt 7137\frac13 heraus!".
Stimmt das? Begründe deine Ansicht.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Brüche

713:(21252)=713:07\frac13:\left(2\frac12-\frac52\right)=7\frac13:0
Die Division durch Null ist nicht erlaubt! Egon hat nicht Recht.
Der Lösungsweg sieht wie folgt aus: 
Zuerst wird erst einmal das Innere der Klammer betrachtet. Da wir wissen, dass Klammern in einem mathematischen Ausdruck immer den höchsten Stellenwert haben. 
Wer mit den Brüchen seine Probleme hat, darf diese auch gerne als Dezimalzahl schreiben. 
Für die Klammer in Dezimal ergibt sich dann folgendes:
(2,5-2,5)
Der Wert in der Klammer wird also 0. Da wir nicht durch Null teilen dürfen, bleibt also folglich nur der Ausdruck vor der Klammer übrig. 
 
Kleiner Hinweiß: Warum darf man nicht durch Null teilen ? 
 
Angenommen wir haben diesen Bruch: 
105\frac{10}5  Als Ergebnis würden wir eine 2 Erhalten, da 10 geteilt durch 5 gleich 2 ergibt. 
Im Umkehrschluss können wir dann logischweise auch sagen 2 mal 5 ergibt 10.
Würde der Bruch nun wie folgt aussehen: 
100\frac{10}0  würde das bedeuten, dass wir 10 geteilt durch 0 erhalten. Und wir wissen jede Zahl mit Null Multipliziert ergibt wieder Null. 
Weil es keinen Umkehrschluss gibt, ist die Division durch Null nicht erlaubt.
Beschreibe alle Fehler, die Klaus gemacht hat. Berechne anschließend den richtigen Wert.
[2,750,25:(71258)]1,6+0,4=[2,5:75128]1,6+0,4=[2,5:24]2=52:12=2512=15=0,2\displaystyle \left[2,75-0,25:\left(\frac7{12}-\frac58\right)\right]\cdot1,6+0,4=\left[2,5:\frac{7-5}{12-8}\right]\cdot1,6+0,4=\left[2,5:\frac24\right]\cdot2=\frac52:\frac12=\frac25\cdot \frac12=\frac15=0,2
  1. Berechne den Wert des Terms %%\left(0,8-2,8\cdot\frac34\right):\left(1-3,6\right)%% .

  2. Peter behauptet: „Die erste Klammer kann man weglassen, ohne dass sich am Ergebnis etwas ändert!“ Hat Peter Recht?

Teilaufgabe a

%%\left(0,8-2,8\cdot\frac34\right):\left(1-3,6\right)=%%

Dezimalzahlen in Brüche umformen.

%%=\left(\frac45-\frac{14}5\cdot\frac34\right):\left(1-\frac{18}5\right)%%

%%=\left(\frac45-\frac{21}{10}\right):\left(1-\frac{18}5\right)%%

Hauptnenner (10) von %%\frac45%% und %%\frac{21}{10}%% bilden und auf diesen erweitern .

Hauptnenner (5) von %%1%% und %%\frac{18}5%% bilden und auf diesen erweitern .

%%=\left(\frac8{10}-\frac{21}{10}\right):\left(\frac55-\frac{18}5\right)%%

%%=\left(-\frac{13}{10}\right):\left(-\frac{13}5\right)%%

Bruch dividieren, indem man mit dem Kehrbruch multipliziert.

%%=\frac12%%


Teilaufgabe b

Nein, er hat nicht Recht. Dadurch würde man das Ergebnis erst am Schluss von 0,8 subtrahieren und dies führt zu einem anderen Ergebnis.

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