Sachaufgaben zu Brüchen

1
Joscha ist Winzer und sein Weinfass enthält $43\frac12$ Liter Wein. Davon werden 6 Flaschen zu je 0,75 Liter und 9 Flaschen zu je 0,7 Liter abgefüllt.
Wie viel Liter hat Joscha übrig, die er selbst noch trinken kann?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechnen mit Brüchen
geg.:
Insgesamt: $43\frac12$ Liter
6 Flaschen mit 0,75 Liter
9 Flaschen mit 0,7 Liter
Schreibe zuerst die Kommazahlen als Brüche auf: $0{,}75=\dfrac34$ ; $0{,}7=\dfrac7{10}$
Jetzt musst du jeweils die Anzahl der Flaschen mit dem Inhalt multiplizieren und die Ergebnisse addieren.
$6\cdot0{,}75\mathrm l+9\cdot0{,}7\mathrm l$
$=6\cdot\dfrac34\mathrm l+9\cdot\dfrac7{10}\mathrm l$
$=\dfrac{6\cdot3}4\mathrm l+\dfrac{7\cdot9}{10}\mathrm l$
$=\dfrac{18}4\mathrm l+\dfrac{63}{10}\mathrm l$
Kürze mit 2.
$=\dfrac92\mathrm l+\dfrac{63}{10}\mathrm l$
Addiere. Bilde den Hauptnenner und erweiter auf diesen. $\rightarrow\;10$
$=\dfrac{45}{10}\mathrm l+\dfrac{63}{10}\mathrm l$
$=\dfrac{108}{10}\mathrm l$
Das Ergebnis vom Gesamtinhalt des Fasses subtrahieren.
$43\dfrac12\mathrm l-\dfrac{108}{10}\mathrm l$
In unechte Brüche umwandeln.
$\dfrac{87}{2}\mathrm l-\dfrac{108}{10}\mathrm l=$
Den Hauptnenner bilden und auf diesen erweitern. $\rightarrow\;10$
$\dfrac{435}{10}\mathrm l-\dfrac{108}{10}\mathrm l=$
$=\dfrac{327}{10}\mathrm l$
In gemischten Bruch umwandeln.
$=32\dfrac{7}{10}\mathrm l$
In Dezimalbruch umwandeln.
$=32{,}7 \; \mathrm l$
2
Karin und Uwe lesen in der Zeitung: ”Die Zuschauerzahlen für das jährlich stattfindende Open-Air-Festival in Kreischhausen schwanken in letzter Zeit stark: Während es im Jahre 2007 ein Drittel weniger Zuschauer als im Jahre 2006 gab, kamen im Jahre 2008 ein Drittel mehr Zuschauer als 2007. “Uwe meint:” Also sind es 2008 wieder genauso viele Teilnehmer wie 2006.“ Karin entgegnet: ”Das sieht zwar auf den ersten Blick so aus, aber wenn beispielsweise im Jahr 2006 . . .“

Setze den Gedanken von Karin fort. Begründe damit, dass Uwes Aussage nicht zutrifft.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Brüche
Angenommen, es kamen im Jahre 2006 9000 Zuschauer. 2007: $\frac13$ von 9000 = 3000 9000 - 3000 = 6000 Zuschauer. 2008: $\frac13$ von 6000 = 2000 6000 + 2000 = 8000 Zuschauer. Also kamen 2008 1000 Zuschauer weniger als 2006. Der Grund liegt darin, dass der dritte Teil im Jahre 2006 von mehr Zuschauern errechnet wurde als 2007.
3
Die drei Söhne des verstorbenes Piraten Käptn's erben seine 17 Golddukaten. Im Testament heißt es: ”Mein erstgeborener Sohn soll die Hälfte der Dukaten, mein zweitgeborener ein Drittel und mein jüngster ein Neuntel der Dukaten bekommen. Kein Dukate darf geteilt werden.“ Die Söhne sind ratlos. (Warum?) Sie tragen ihr Problem einem Steuermann vor, der als weiser Mann gilt. Er überlegt nicht lange und gibt ihnen den folgenden Rat: ”Ich besitze selbst eine Dukate. Davon leihe ich euch eine. Vollzieht damit die Teilung wie es das Testament verlangt. “Wie viele Dukaten bekommt jeder der Söhne? Was fällt dir auf? Hast du eine Erklärung dafür?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Brüche
Die ursprüngliche Teilung ist nicht möglich, da 17 nicht durch 2, 3 und 9 teilbar ist. Mit Hilfe des Steuermanns haben sie dann

$17+1=18$ Dukaten. Nun können sie die Dukaten aufteilen, da 18 durch 2,3 und 9 teilbar ist.
Aufteilung:
Ali
$18\cdot\frac12=9$
Abdulla
$18\cdot\frac13=6$
Arif
$18\cdot\frac19=2$
Die Summe der Anteile der Söhne ergibt 17. Das geliehene Dukaten kann wieder zurückgegeben werden. Das Testament war fehlerhaft verfasst: Die Summe der Anteile ergibt kein Ganzes, sondern nur $\frac{17}{18}$ .
4
strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
Ein Elefant fraß in der ersten Woche $\frac13$ seines Futtervorrats. In der zweiten Woche fraß er $\frac14$ vom Rest. Danach waren noch 300 kg Futter übrig. Veranschauliche die Situation durch eine Zeichnung. Wie viel Futter war anfangs vorhanden?
kg

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bruchterme aufstellen
Futtervorrat nach einer Woche:
Der gesamte Futtervorrat stellt das große Rechteck dar. $\frac13$ davon hat der Elefant nach einer Woche gegessen
Futtervorrat nach der zweiten Woche:
Der gesamte Futtervorrat ist das große Rechteck. Die ersten beiden x geben den Anteil an, den der Elefant in der ersten Woche gegessen hat (also $\frac13$ ). Das dritte x ist entspricht $\frac14$ vom Rest.
Er hat also nach zwei Wochen die Hälfte des Vorrats gegessen. Das übrige Futter ist also auch die Hälfte des gesamten Futtervorrats.
Also waren anfangs 600 kg vorhanden.
5
Berechne ein Drittel von 0,03.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Brüche
"Ein Drittel von $0{,}03$ ": "Von" kann man mit "mal" übersetzen.
$\frac{1}{3}\cdot0{,}03=0{,}03:3=0{,}01$
6
Addiert man zu einem Drittel von einem Viertel die Hälfte von einem Fünftel und subtrahiert dann den zehnten Teil von zwei Drittel, so ist dies der 24. Bruchteil einer gesuchten Zahl. Wie lautet die Zahl?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Brüche
Stelle einen Term auf, wobei $x$ die gesuchte Größe ist.
Übersetze dabei das Wort "von" mit " $\cdot$ ". Beachte die Regel "Punkt vor Strich"
$\frac13 \cdot \frac14+\frac12 \cdot \frac15- \frac1{10} \cdot \frac23=\frac1{24}\cdot x$
Multipliziere die einzelnen Brüche.
$\frac1{12}+\frac1{10}-\frac2{30}=\frac x{24}$
Suche für die linke Gleichungsseite einen gemeinsamen Nenner.
$\frac{5}{60}+\frac{6}{60}-\frac{4}{60}=\frac{x}{24}$
Addiere die Brüche.
$\frac7{60}=\frac x{24}$
Multipliziere mit 24, kürze und wandle in einen gemischten Bruch um.
$x=2\frac45$
7
Egon bekommt folgende Aufgabe: $7\frac13:\left(2\frac12-\frac52\right)$ .
Er denkt erst nach, bevor er rechnet. Dann ruft er: ”Die Aufgabe kann man doch im Kopf ausrechnen, da kommt $7\frac13$ heraus!".
Stimmt das? Begründe deine Ansicht.
Ja, er hat Recht.
Nein, er hat nicht Recht.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Brüche
$7\frac13:\left(2\frac12-\frac52\right)=7\frac13:0$
Die Division durch null ist nicht erlaubt! Egon hat nicht recht.
Der Lösungsweg sieht wie folgt aus:
Zuerst wird erst einmal das Innere der Klammer betrachtet. Da wir wissen, dass Klammern in einem mathematischen Ausdruck immer den höchsten Stellenwert haben.
Wer mit den Brüchen seine Probleme hat, darf diese auch gerne als Dezimalzahl schreiben.
Für die Klammer in Dezimal ergibt sich dann folgendes:
Der Wert in der Klammer wird also 0. Da wir nicht durch null teilen dürfen, ist das Ergebnis undefiniert.

Beschreibe alle Fehler, die Klaus gemacht hat. Berechne anschließend den richtigen Wert.

$\left[2{,}75-0{,}25:\left(\frac{7}{12}-\frac{5}{8}\right)\right]\cdot1{,}6+0{,}4\\=\left[2{,}5:\frac{7-5}{12-8}\right]\cdot1{,}6+0{,}4\\=\left[2{,}5:\frac{2}{4}\right]\cdot2\\=\frac{5}{2}:\frac{1}{2}\\=\frac{2}{5}\cdot\frac{1}{2}\\=\frac{1}{5}\\=0{,}2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen:

Brüche, Dezimalzahlen

1) Fehlerbeschreibung

Im ersten Schritt wurde Punkt vor Strich nicht beachtet und das Subtrahieren von Brüchen wurde falsch gemacht.

$\displaystyle \left[2{,}75-0{,}25:\left(\dfrac{7}{12}-\dfrac{5}{8}\right)\right]\cdot1{,}6+0{,}4$	$=$	$\displaystyle \left[\textcolor{cc0000}{2{,}5}:\left(\textcolor{cc0000}{\dfrac{7-5}{12-8}}\right)\right]\cdot1{,}6+0{,}4$
	↓	Punkt vor Strich wird nicht beachtet
	$=$	$\displaystyle \left[2{,}5:\dfrac{2}{4}\right]\cdot\textcolor{cc0000}{2}$
	↓	Das Multiplizieren mit 2 wird vergessen hinzuschreiben
	$=$	$\displaystyle \dfrac{5}{2}:\dfrac{1}{2}$
	↓	Beim Dividieren von 2 Brüchen, wird mit dem Kehrwert des 2. (!) Bruches mutlipliziert. Hier wird mit dem 1. multipliziert.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{5}{2}\textcolor{cc0000}{\cdot}\dfrac{1}{2}$
	$=$	$\displaystyle 0{,}2$

2) Korrigieren der Aufgabe

Bilde zuerst den Hauptnenner für die Brüche in der Klammer und erweitere die Brüche auf diesen.

$\displaystyle \left[2{,}75-0{,}25:\left(\dfrac{7}{12}-\dfrac{5}{8}\right)\right]\cdot1{,}6+0{,}4$	$=$	$\displaystyle \left[2{,}75-0{,}25:\left(\frac{14}{24}-\frac{15}{24}\right)\right]\cdot1{,}6+0{,}4$
	↓	Brüche ausrechnen
	$=$	$\displaystyle \left[2{,}75-0{,}25:\left(-\frac{1}{24}\right)\right]\cdot1{,}6+0{,}4$
	↓	Umschreiben aller Dezimalzahlen in Brüche
	$=$	$\displaystyle \left[\frac{11}{4}-\frac{1}{4}:\left(-\frac{1}{24}\right)\right]\cdot\frac{8}{5}+\frac{2}{5}$
	↓	Mit dem Kehrwert des Bruches multiplizieren
	$=$	$\displaystyle \left[\frac{11}{4}-\frac{1}{4}\cdot\left(-\frac{24}{1}\right)\right]\cdot\frac{8}{5}+\frac{2}{5}$
	↓	Multiplikation in der Klammer
	$=$	$\displaystyle \left[\frac{11}{4}+\frac{24}{4}\right]\cdot\frac{8}{5}+\frac{2}{5}$
	↓	Klammer berechnen
	$=$	$\displaystyle \frac{35}{4}\cdot\frac{8}{5}+\frac{2}{5}$
	↓	Multiplikation mit Kürzen
	$=$	$\displaystyle \frac{14}{1}+\frac{2}{5}$
	↓	Umschreiben in Dezimaldarstellung
	$=$	$\displaystyle 14+0{,}4$
	$=$	$\displaystyle 14{,}4$

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9
Untersuche, ob der Quotient aus einem unechten Bruch und seinem Kehrbruch $\frac37$ ergeben kann.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Unechte Brüche
Das ist nicht möglich. Jeder unechte Bruch besitzt einen Wert, der über 1 liegt. Dividiert man einen unechten Bruch durch seinen Kehrbruch, so multipliziert man eigentlich den unechten Bruch nur mit sich selbst. Das Produkt stellt wiederum einen unechten Bruch dar, ist also größer als 1. $\frac37$ ist jedoch ein echter Bruch und damit kleiner als 1.
10
Untersuche, ob die Summe aus einem echten Bruch und seinem Kehrbruch $\frac37$ ergeben kann.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Brüche
Nein, denn der Wert des Kehrbruch eines echten Bruches liegt über 1. Addiert man eine weitere Zahl, so bleibt der Summenwert sicher über 1. Es gilt aber: $\frac37<1$

Welche Zahl ergibt durch ihren 6. Teil geteilt den Wert 6?

Welche Zahl ergibt durch ihren 6. Teil geteilt den Wert 5?

Gegeben ist der Term $\left(0{,}8-2{,}8\cdot \frac{3}{4}\right):\left(1-3{,}6\right)$ .

Berechne den Wert des Terms.

Peter behauptet: „Die erste Klammer kann man weglassen, ohne dass sich am Ergebnis etwas ändert!“ Hat Peter Recht?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Brüche
Nein, er hat nicht Recht. Dadurch würde man das Ergebnis erst am Schluss von $0{,}8$ subtrahieren und dies führt zu einem anderen Ergebnis.
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Ist das Wasser in einem Spülbecken zu heiß, so lässt man kaltes Wasser nachlaufen, bis die gewünschte Temperatur erreicht ist. Werden beispielsweise $10\ l$ Wasser der Temperatur $42 °C$ mit $2\ l$ Wasser der Temperatur $12 °C$ gemischt, so kann die Mischtemperatur mit folgender Formel berechnet werden:

Mischtemperatur $=\frac{10}{10+2}\cdot42^{\circ}\mathrm{C}+\frac{2}{10+2}\cdot12^{\circ}\mathrm{C}$

Berechne die Mischtemperatur in obigem Beispiel.

°C

Welche Mischtemperatur stellt sich ein, wenn $2{,}5\ l$ Wasser der Temperatur $27{,}0 °C$ mit $2{,}0\ l\$ Wasser der Temperatur $13{,}5 °C$ gemischt werden?

°C

Gegeben ist der Term $\left(4{,}5:3\right)\cdot\frac23:\left(4-6{,}5\right)$ .

Berechne den Wert des Terms.

Brüche kann man mit einem "/" in das Eingabefeld eingeben. Zum Beispiel "3/8".

Wie ändert sich der Wert des Terms, wenn man in der ersten Klammer beide Zahlen mit $10$ multipliziert? Begründe deine Antwort ohne Rechnung.
- Das Ergebnis wird um $10$ größer.
- Das Ergebnis wird um das $10$ -fache größer.
- Das Ergebnis wird um das $10$ -fache kleiner.
- Das Ergebnis ändert sich nicht.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Division
In der ersten Klammer steht dann $(4{,}5 \cdot 10) : (3 \cdot 10)$ .
Das Ergebnis ändert sich nicht, da sich die $10$ wegkürzt!
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Wie ändert sich der Wert des Terms, wenn man in der zweiten Klammer beide Zahlen mit $10$ multipliziert? Begründe deine Antwort ohne Rechnung.
- Das Ergebnis wird um $10$ kleiner.
- Das Ergebnis wird um das $10$ -fache kleiner.
- Das Ergebnis wird um das $10$ -fache größer.
- Das Ergebnis ändert sich nicht.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Division
Das Ergebnis wird um das $10$ -fache kleiner, da der Divisor um $10$ größer wird. (Man kann die $10$ ausklammern)
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Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle x:(\dfrac16 \cdot x)$	$=$	$\displaystyle 6$
	↓	Nach $x$ auflösen.
$\displaystyle x:(\dfrac x6)$	$=$	$\displaystyle 6$
	↓	Mit dem Kehrbruch multiplizieren.
$\displaystyle x\cdot \dfrac 6x$	$=$	$\displaystyle 6$
	↓	$x$ kürzen.
$\displaystyle 6$	$=$	$\displaystyle 6$

$\displaystyle x:(\dfrac16 \cdot x)$	$=$	$\displaystyle 5$
	↓	$x$ mit dem Bruch multiplizieren
$\displaystyle x:(\dfrac x6 )$	$=$	$\displaystyle 5$
	↓	Mit Kehrbruch multiplizieren.
$\displaystyle x \cdot (\dfrac 6x )$	$=$	$\displaystyle 5$
	↓	Mit $x$ kürzen.
$\displaystyle 6$	$=$	$\displaystyle 5$

$\displaystyle \left(0{,}8-2{,}8\cdot\frac{3}{4}\right):\left(1-3{,}6\right)$	$=$	$\displaystyle \left(\frac{4}{5}-\frac{14}{5}\cdot\frac{3}{4}\right):\left(1-\frac{18}{5}\right)$
	↓	Bruch multiplizieren.
	$=$	$\displaystyle \left(\frac{4}{5}-\frac{21}{10}\right):\left(1-\frac{18}{5}\right)$
	↓	Hauptnenner (10) von $\frac45$ und $\frac{21}{10}$ bilden und auf diesen erweitern . Hauptnenner (5) von $1$ und $\frac{18}5$ bilden und auf diesen erweitern .
	$=$	$\displaystyle \left(\frac{8}{10}-\frac{21}{10}\right):\left(\frac{5}{5}-\frac{18}{5}\right)$
	↓	Bruch subtrahieren.
	$=$	$\displaystyle \left(-\frac{13}{10}\right):\left(-\frac{13}{5}\right)$
	↓	Bruch dividieren, indem man mit dem Kehrbruch multipliziert.
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}$

$\displaystyle \left(4{,}5:3\right)\cdot \frac{2}{3}:\left(4-6{,}5\right)$	$=$	$\displaystyle \left(\frac{9}{2}:3\right)\cdot \frac{2}{3}:\left(4-\frac{13}{2}\right)$
	↓	Bruch in der Klammer dividieren, indem man mit dem Kehrbruch multipliziert.
	$=$	$\displaystyle \left(\frac{3}{2}\right)\cdot \frac{2}{3}:\left(4-\frac{13}{2}\right)$
	↓	2-te Klammer ausrechnen, indem man den Hauptnenner von $4$ und $\frac{13}{2}$ bildet und auf diesen erweitert.
	$=$	$\displaystyle \left(\frac{3}{2}\right)\cdot \frac{2}{3}:\left(\frac{8}{2}-\frac{13}{2}\right)$
	↓	Klammer ausrechnen, indem man den Bruch subtrahiert .
	$=$	$\displaystyle \left(\frac{3}{2}\right)\cdot \frac{2}{3}:\left(-\frac{5}{2}\right)$
	↓	Bruch multiplizieren.
	$=$	$\displaystyle 1:\left(-\frac{5}{2}\right)$
	↓	Bruch dividieren, indem man mit dem Kehrbruch multipliziert.
	$=$	$\displaystyle -\frac{2}{5}$

$\displaystyle \frac{10}{10+2}\cdot42°C+\frac{2}{10+2}\cdot12°C$	$=$	$\displaystyle \frac{10}{12}\cdot42°C+\frac{2}{12}\cdot12°C$
	↓	Multipliziere.
	$=$	$\displaystyle \frac{420}{12}°C+\frac{24}{12}°C$
	↓	Addiere.
	$=$	$\displaystyle \frac{444}{12}$
	↓	Kürze mit 4.
	$=$	$\displaystyle \frac{111}{3}°C$
	$=$	$\displaystyle 37°C$

$\displaystyle \frac{2{,}5}{2{,}5+2}\cdot27^{\circ}C+\frac{2}{2{,}5+2}\cdot13{,}5^{\circ}C$	$=$	$\displaystyle \frac{2{,}5}{4{,}5}\cdot27^{\circ}C+\frac{2}{4{,}5}\cdot13{,}5^{\circ}C$
	↓	Umformen der Dezimalzahlen in Brüche.
	$=$	$\displaystyle \frac{5}{2}:\frac{9}{2}\cdot27^{\circ}C+2:\frac{9}{2}\cdot\frac{27}{2}^{\circ}C$
	↓	Mit dem jeweiligen Kehrwert der Brüche multiplizieren.
	$=$	$\displaystyle \frac{5}{2}\cdot\frac{2}{9}\cdot27^{\circ}C+\frac{2}{1}\cdot\frac{2}{9}\cdot\frac{27}{2}^{\circ}C$
	$=$	$\displaystyle \frac{5}{9}\cdot27^{\circ}C+\frac{4}{9}\cdot\frac{27}{2}^{\circ}$
	↓	Multiplikation
	$=$	$\displaystyle 15^{\circ}C+6^{\circ}C$
	↓	Addition
	$=$	$\displaystyle 21^\circ$

Sachaufgaben zu Brüchen

Futtervorrat nach einer Woche:

Futtervorrat nach der zweiten Woche:

1) Fehlerbeschreibung

2) Korrigieren der Aufgabe

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