Aufgaben zu quadratischen Gleichungen

Beim Lösen quadratischer Gleichungen erhält man z. B. Ausdrücke der folgenden Art. Vereinfache diese:

$x_{1 / 2} = \frac{- 14 \pm \sqrt{14^{2} - 4 \cdot 8}}{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
$x_{1 / 2}$ $=$ $\frac{- 14 \pm \sqrt{14^{2} - 4 \cdot 8}}{2}$
↓
Fasse alles unter der Wurzel zusammen.
$x_{1 / 2}$ $=$ $\frac{- 14 \pm \sqrt{164}}{2}$
↓
Ziehe $2$ aus der Wurzel .
$x_{1 / 2}$ $=$ $\frac{- 14 \pm \sqrt{4 \cdot 41}}{2} = \frac{- 14 \pm 2 \sqrt{41}}{2}$
↓
Kürze den Bruch mit $2$ .
$x_{1 / 2}$ $=$ $- 7 \pm \sqrt{41}$
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$x_{1 / 2} = \frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} + 4 \cdot \sqrt{7} \cdot 2 \sqrt{7}}}{2 \sqrt{7}}$

Löse die folgenden quadratischen Gleichungen mit quadratischer Ergänzung.

Die Lösungen kannst du durch ein Semikolon getrennt in das Lösungsfeld eingeben.

Sie die Lösungen z.B. $x_{1} = 2$ und $x_{2} = - 3$ , so kannst du entweder " $2; - 3$ " oder " $- 3; 2$ " (ohne die Anführungszeichen) eingeben.

$x^{2} + 6 x - 16 = 0$

$x^{2} + 10 x + 9 = 0$

$0,5 x^{2} - 1,5 x - 14 = 0$

$- \frac{1}{2} x^{2} + 7 x + 7,5 = 0$

$2 x^{2} + 2 x - \frac{8}{9} = 0$

$2 x^{2} = x + 1$

3

Löse die folgenden Gleichungen und überprüfe dein Ergebnis mit dem Satz von Vieta.

Gib die Lösung in der Form " $x_{1}; x_{2}$ " an. Zum Beispiel: " $5; - 4$ "

$x^{2} - 5 x + 6 = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Gleichungen
Die Lösung der Gleichung kannst du mit der Mitternachtsformel oder pq-Formel berechnen:
Lösung mit der Mitternachtsformel
$x^{2} - 5 x + 6 = 0$
$a = 1$ , $b = - 5$ und $c = 6$
Die drei Koeffizienten der Gleichung in die Mitternachtsformel einsetzen.
$x_{1,2} = \frac{- (- 5) \pm \sqrt{(- 5)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$
$= \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2}$
$\begin{array}{l} \Rightarrow x_{1} = 3 \\ \Rightarrow x_{2} = 2 \end{array}$
Lösung mit der pq-Formel
$x^{2} - 5 x + 6 = 0$
$p = - 5$ und $q = 6$
Die 2 Koeffizienten in die pq-Formel einsetzen:
$\begin{array}{rcl} x_{1,2} & = & - \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2} )}^{2} - q} \\ = & - \frac{(- 5)}{2} \pm \sqrt{{(\frac{- 5}{2})}^{2} - 6} \\ = & \frac{5}{2} \pm \sqrt{\frac{25}{4} - 6} \\ = & \frac{5}{2} \pm \sqrt{\frac{25}{4} - \frac{24}{4}} \\ = & \frac{5}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4}} \\ = & \frac{5}{2} \pm \frac{1}{2} \end{array}$
$\Rightarrow x_{1} = \frac{5}{2} + \frac{1}{2} = \frac{6}{2} = 3$
$\Rightarrow x_{2} = \frac{5}{2} - \frac{1}{2} = \frac{4}{2} = 2$
Überprüfung der Lösung mit dem Satz von Vieta
Für eine Gleichung der Form $x^{2} + p x + q = 0$ erfüllen die Lösungen $x_{1}$ und $x_{2}$ nach dem Satz von Vieta folgende Bedingungen:
$\begin{array}{ccccc} I & x_{1} + x_{2} & = & - p \\ I I & x_{1} \cdot x_{2} & = & q \end{array}$
Setze $x_{1} = 3, x_{2} = 2, p = - 5$ und $q = 6$ in die Formeln ein und prüfe, ob die Gleichungen $I$ und $I I$ stimmen:
$\begin{array}{ccccc} I & 3 + 2 & = & - (- 5) & ✓ \\ I I & 3 \cdot 2 & = & 6 & ✓ \end{array}$
Die berechneten Ergebnisse sind richtig.
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$x^{2} - 6 x - 27 = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Gleichungen
Die Lösung der Gleichung kannst du mit der Mitternachtsformel oder pq-Formel berechnen:
Lösung mit der Mitternachtsformel
$x^{2} - 6 x - 27 = 0$
$a = 1, b = - 6, c = - 27$
Die drei Kooeffizienten der Gleichung in die Mitternachtsformel einsetzen.
$x_{1,2} = \frac{- (- 6) \pm \sqrt{(- 6)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 27)}}{2 \cdot 1}$
$= \frac{6 \pm \sqrt{36 + 108}}{2} = \frac{6 \pm 12}{2}$
$\Rightarrow$ $x_{1} = \frac{18}{2}$ und $x_{2} = \frac{- 6}{2}$
Die Lösungen sind also $x_{1} = 9$ und $x_{2} = - 3$ .
Lösung mit der pq-Formel
$x^{2} - 6 x - 27 = 0$
$p = - 6$ und $q = - 27$
Die 2 Koeffizienten in die pq-Formel einsetzen:
$\begin{array}{rcl} x_{1,2} & = & - \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q} \\ = & - \frac{- 6}{2} \pm \sqrt{{(\frac{- 6}{2})}^{2} - (- 27)} \\ = & \frac{6}{2} \pm \sqrt{\frac{36}{4} + 27} \\ = & 3 \pm \sqrt{9 + 27} \\ = & 3 \pm \sqrt{36} \\ = & 3 \pm 6 \end{array}$
$\Rightarrow x_{1} = 3 + 6 = 9$
$\Rightarrow x_{2} = 3 - 6 = - 3$
Überprüfung der Lösung mit dem Satz von Vieta
Für eine Gleichung der Form $x^{2} + p x + q = 0$ erfüllen die Lösungen $x_{1}$ und $x_{2}$ nach dem Satz von Vieta folgende Bedingungen:
$\begin{array}{l} \begin{array}{ccccc} I & x_{1} + x_{2} & = & - p \\ I I & x_{1} \cdot x_{2} & = & q \end{array} \end{array}$
Setze $x_{1} = 9, x_{2} = - 3, p = - 6$ und $q = - 27$ in die Formeln ein und prüfe, ob die Gleichungen $I$ und $I I$ stimmen:
$\begin{array}{ccccc} I & 9 + (- 3) & = & - (- 6) & ✓ \\ I I & 9 \cdot (- 3) & = & - 27 & ✓ \end{array}$
Die berechneten Ergebnisse sind richtig.
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$\frac{1}{3} x^{2} + 3 x - 12 = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Gleichungen
Die Lösung der Gleichung kannst du mit der Mitternachtsformel oder pq-Formel berechnen:
Lösung mit Mitternachtsformel
$\frac{1}{3} x^{2} + 3 x - 12 = 0$
Die Koeffizienten sind $a = \frac{1}{3}, b = 3, c = - 12$ .
Eingesetzt in die Mitternachtsformel erhältst du:
$x_{1,2}$ $=$ $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot \frac{1}{3} \cdot (- 12)}}{2 \cdot \frac{1}{3}}$
$=$ $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{\frac{2}{3}}$
$=$ $\frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{\frac{2}{3}}$
$=$ $\frac{- 3 \pm 5}{\frac{2}{3}}$
↓
Multipliziere mit dem Kehrbruch.
$=$ $\frac{(- 3 \pm 5) \cdot 3}{2}$
$\Rightarrow x_{1} = 3$ und $x_{2} = - 12$
Lösung mit der pq-Formel
$\frac{1}{3} x^{2} + 3 x - 12 = 0$
Die pq-Formel lässt sich nur auf Gleichungen der Form $x^{2} + p x + q = 0$ anwenden. Klammere also zuerst $\frac{1}{3}$ aus:
$\begin{array}{rcl} \frac{1}{3} (x^{2} + 9 x - 36) & = & 0 & | \cdot 3 \\ x^{2} + 9 x - 36 & = & 0 \end{array}$
$p = 9$ und $q = - 36$
Die 2 Koeffizienten in die pq-Formel einsetzen:
$\begin{array}{rcl} x_{1,2} & = & - \frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2} )^{2} - q} \\ = & - \frac{9}{2} \pm \sqrt{{(\frac{9}{2})}^{2} - (- 36)} \\ = & - \frac{9}{2} \pm \sqrt{\frac{81}{4} + 36} \\ = & - \frac{9}{2} \pm \sqrt{\frac{81}{4} + \frac{144}{4}} \\ = & - \frac{9}{2} \pm \sqrt{\frac{225}{4}} \\ = & - \frac{9}{2} \pm \sqrt{{(\frac{15}{2})}^{2}} \\ = & - \frac{9}{2} \pm \frac{15}{2} \end{array}$
$\Rightarrow x_{1} = - \frac{9}{2} + \frac{15}{2} = \frac{6}{2} = 3$
$\Rightarrow x_{2} = - \frac{9}{2} - \frac{15}{2} = - \frac{24}{2} = - 12$
Überprüfung der Lösung mit dem Satz von Vieta
Für eine Gleichung der Form $x^{2} + p x + q = 0$ erfüllen die Lösungen $x_{1}$ und $x_{2}$ nach dem Satz von Vieta folgende Bedingungen:
$\begin{array}{ccccc} I & x_{1} + x_{2} & = & - p \\ I I & x_{1} \cdot x_{2} & = & q \end{array}$
Geg: $\frac{1}{3} x^{2} + 3 x - 12 = 0$
Da $a = \frac{1}{3} \neq 1$ ist muss man zuerst $a$ ausklammern, um den Satz von Vieta anwenden zu können.
$\frac{1}{3} (x^{2} + 9 x - 36) = 0$
Hierauf kannst du den Satz von Vieta nun anwenden.
Setze $x_{1} = 3, x_{2} = - 12, p = 9$ und $q = - 36$ in die Formeln ein und prüfe, ob die Gleichungen $I$ und $I I$ stimmen:
$\begin{array}{ccccc} I & 3 + (- 12) & = & - 9 = 5 & ✓ \\ I I & 3 \cdot (- 12) & = & - 36 & ✓ \end{array}$
Die berechneten Ergebnisse sind richtig.
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4

Bestimme die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen ( $𝔻 = ℝ ∖ {0}$ ) und kontrolliere dein Ergebnis graphisch, z. B. mit Hilfe eines Funktionsplotters.

Gib die Lösung in der Form " $x_{1}, x_{2}$ " in das Eingabefeld ein. Zum Beispiel: " $5; - 2,5$ ". Bei einer Lösung reicht zum Beispiel " $- 2,5$ ".

$11 = 2 x + \frac{12}{x}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Gleichungen
$11$ $=$ $2 x + \frac{12}{x}$ $\cdot x$
$11 x$ $=$ $2 x^{2} + 12$ $- 11 x$
$0$ $=$ $2 x^{2} + 12 - 11 x$
Nun kann man die Diskriminante D berechnen:
$D$ $=$ $121 - 4 \cdot 2 \cdot 12$
$=$ $25$
Da $D = 25 > 0$ , erhalten wir zwei Lösungen. Man kann nun die Mitternachtsformel anwenden. Die Lösungen lauten:
$x_{1}$ $=$ $\frac{11 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2}$
$=$ $\frac{16}{4}$
$=$ $4$
$x_{2}$ $=$ $\frac{11 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2}$
$=$ $\frac{6}{4}$
$=$ $1,5$
Die Lösungsmenge lautet $L = {1,5; 4}$ . Der gezeichnete Graph sieht so aus:
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$3 (x + 2) + \frac{3}{x} = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Gleichung
$0$ $=$ $3 (x + 2) + \frac{3}{x}$
↓
Ausmultiplizieren
$=$ $3 x + 6 + \frac{3}{x}$ $\cdot x$
$0$ $=$ $3 x^{2} + 6 x + 3$
Nun kann man die Diskriminante D berechnen:
$D$ $=$ $36 - 4 \cdot 3 \cdot 3$
$=$ $0$
Da $D = 0$ , erhalten wir eine Lösungen. Man kann nun die Mitternachtsformel anwenden. Die Lösung lautet:
$x$ $=$ $\frac{- 6}{2 \cdot 3}$
$=$ $- \frac{6}{6}$
$=$ $- 1$
Die Lösungsmenge lautet $L = {- 1}$ .
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5

Löse die angegebenen Gleichungen.

Gib die Lösungen in der Form " $x_{1}; x_{2}$ " an. Zum Beispiel: " $4; - 1$ "

$(x - 3) (x + 1) = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichungen
$(x - 3) (x + 1) = 0$
Damit der Term auf der linken Seite gleich $0$ ist, muss einer der beiden Faktoren gleich $0$ sein. Also entweder:
$(x - 3) = 0$
Dann erhältst du die Lösung $x_{1} = 3$ . Oder:
$(x + 1) = 0$
Dann erhältst du die Lösung $x_{2} = - 1$
Insgesamt hast du also die Lösungsmenge $L = {3; - 1}$ .
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$0,5 {(x - 2)}^{2} = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichungen
$0,5 {(x - 2)}^{2} = 0$
Damit der Term auf der linken Seite gleich $0$ ist, muss der Faktor $(x - 2)$ gleich $0$ sein. Mit:
$(x - 2) = 0$
kommst du auf das Ergebnis $x = 2$ .
Diese Lösung ist eine zweifache Lösung!
Die Lösungsmenge ist $L = {2}$ .
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$0,5 x^{2} - 2 x + 2 = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lösen quadratischer Gleichungen
$0,5 x^{2} - 2 x + 2 = 0$
Diese Gleichung kannst du mit der Mitternachtsformel lösen:
$x_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{(- 2)^{2} - 4 \cdot 0,5 \cdot 2}}{2 \cdot 0,5} = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4}}{1}$
Unter der Wurzel ergibt sich der Wert $0$ , damit gibt es nur genau eine Lösung und zwar: $x = 2$ .
Die Lösungsmenge ist $L = {2}$ .
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6

Berechne möglichst geschickt die Lösungen der folgenden Gleichungen. Überprüfe deine Ergebnisse grafisch, z. B. mithilfe eines Funktionsplotters.

$2 x^{2} + 16 = 12 x$

$2 = {(3 + x)}^{2}$

$- x^{2} - 2 = 0,25 + 9 x$

$2 x + x + 16 = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Äquivalenzumformungen
Lösungen von Gleichungen
$2 x + x + 16$ $=$ $0$
$3 x + 16$ $=$ $0$ $- 16$
$3 x$ $=$ $- 16$ $: 3$
$x$ $=$ $\frac{- 16}{3}$
$=$ $- 5 \frac{1}{3}$
$\approx$ $- 5,3$
Graphen zeichen
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$x^{2} + \sqrt{2} x - 1 = 0$

$x^{2} - x = x - x^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Gleichung
Quadratische Gleichung
$x^{2} - x$ $=$ $x - x^{2}$ $- x + x^{2}$
$x^{2} - x - x + x^{2}$ $=$ $0$
↓
Gleiches zusammenfassen
$2 x^{2} - 2 x$ $=$ $0$
↓
x ausklammern.
$x (2 x - 2)$ $=$ $0$
$\begin{array}{l} \Rightarrow x_{1} \end{array}$ $=$ $0$
$\begin{array}{l} \Rightarrow x_{2} \end{array}$ $=$ $1$
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7

Gib jeweils eine quadratische Gleichung mit der angegebenen Eigenschaft an.

Die Gleichung hat nur die Lösung –2.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Gleichung
Die Gleichung hat nur die Lösung –2.
Zerlegung in Linearfaktoren.
$(x + 2) (x + 2)$
Zusammenfassen.
${(x + 2)}^{2} = 0$
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Die Gleichung hat keine Lösungen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Gleichung
Damit die Gleichung keine Lösung hat muss eine unwahre Aussage entstehen.
Dies geschieht beispielsweise bei allen Gleichungen, auf deren einer Seite $x^{2}$ und auf deren anderen eine negative Zahl steht.
Beispielsweise:
$x^{2} = - 1$
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Die Gleichung hat die Lösungen –2 und 2.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Gleichung
Die Gleichung hat die Lösungen –2 und 2.
Zerlegung in Linearfaktoren.
$(x + 2) (x - 2)$
Binomische Formel anwenden.
$0 = x^{2} - 4$
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Die Gleichung hat die Lösungen –1 und –3.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Gleichung
$x_{1} = - 1; x_{2} = - 3$
Angabe der Nullstellen mit Hilfe der Faktorschreibweise:
$(x + 1) \cdot (x + 3) = 0$
Ausmultiplizieren.
$x^{2} + 3 x + x + 3 = 0$
$x^{2} + 4 x + 3 = 0$
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8

Löse die folgenden Gleichungen.

Gib im Eingabefeld die Lösung in der Form $x_{1}; x_{2}$ an, zum Beispiel "4;-1"

${(x - 2)}^{2} = 16$

${(x + 3)}^{2} = 25$

${(x + 8)}^{2} = 36$

${(x - 1)}^{2} = 10$

$2 x^{2}$	$=$	$x + 1$	$- x + 1$
	↓	Alle Summanden auf eine Seite bringen.
$2 x^{2} - x - 1$	$=$	$0$
	↓	Den Faktor 2 ausklammern.
$2 (x^{2} - \frac{1}{2} x) - 1$	$=$	$0$
	↓	Quadratisch ergänzen.
$2 (x^{2} - \frac{1}{2} x + {(\frac{1}{4})}^{2} - {(\frac{1}{4})}^{2}) - 1$	$=$	$0$
	↓	Zur 2. binomischen Formel zusammenfassen.
$2 ({(x - \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{16}) - 1$	$=$	$0$
	↓	Die Klammer ausmultiplizieren.
$2 {(x - \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8} - 1$	$=$	$0$
	↓	Die Gleichung nach x auflösen.
$2 {(x - \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8} - 1$	$=$	$0$	$+ 1 + \frac{1}{8}$
$2 {(x - \frac{1}{4})}^{2}$	$=$	$\frac{1}{8} + 1$	$: 2$
${(x - \frac{1}{4})}^{2}$	$=$	$\frac{9}{16}$	$\sqrt{}$
$x - \frac{1}{4}$	$=$	$\pm \frac{3}{4}$	$+ \frac{1}{4}$
$x$	$=$	$\frac{1}{4} \pm \frac{3}{4}$
	↓	Lösungsmenge angeben.
$L$	$=$	${- \frac{1}{2}; 1}$

${(x - 2)}^{2}$	$=$	$16$
	↓	Auf beiden Seiten radizieren. Dabei muss beachtet werden, dass die Ausdrücke auf beiden Seiten stets positiv sind. In diesem Fall ist das so.
$\sqrt{{(x - 2)}^{2}}$	$=$	$\sqrt{16}$
	↓	Beim Wurzelziehen den Betrag nicht vergessen!
$\| x - 2 \|$	$=$	$4$

$x - 2$	$=$	$- 4$	$+ 2$
	↓	Gleichung nach $x$ auflösen.
$x$	$=$	$- 2$

${(x + 3)}^{2}$	$=$	$25$
	↓	Auf beiden Seiten radizieren. Dabei muss beachtet werden, dass die Ausdrücke auf beiden Seiten stets positiv sind. In diesem Fall ist das so.
$\sqrt{{(x + 3)}^{2}}$	$=$	$\sqrt{25}$
	↓	Beim Wurzelziehen den Betrag nicht vergessen!
$\| x + 3 \|$	$=$	$5$

$x + 3$	$=$	$- 5$	$- 3$
	↓	Gleichung nach x auflösen
$x$	$=$	$- 8$

$x_{1 / 2}$	$=$	$\frac{- 14 \pm \sqrt{14^{2} - 4 \cdot 8}}{2}$
	↓	Fasse alles unter der Wurzel zusammen.
$x_{1 / 2}$	$=$	$\frac{- 14 \pm \sqrt{164}}{2}$
	↓	Ziehe $2$ aus der Wurzel .
$x_{1 / 2}$	$=$	$\frac{- 14 \pm \sqrt{4 \cdot 41}}{2} = \frac{- 14 \pm 2 \sqrt{41}}{2}$
	↓	Kürze den Bruch mit $2$ .
$x_{1 / 2}$	$=$	$- 7 \pm \sqrt{41}$

$x_{1 / 2}$	$=$	$\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} + 4 \cdot \sqrt{7} \cdot 2 \sqrt{7}}}{2 \sqrt{7}}$
	↓	Fasse alles unter der Wurzel zusammen.
$x_{1 / 2}$	$=$	$\frac{- 5 \pm \sqrt{81}}{2 \sqrt{7}} = \frac{- 5 \pm 9}{2 \sqrt{7}}$
	↓	Berechne den Bruch einmal mit $+$ und einmal mit $-$ .
$x_{1}$	$=$	$\frac{- 5 + 9}{2 \sqrt{7}} = \frac{4}{2 \sqrt{7}}$
	↓	Kürze den Bruch mit $2$ .
$x_{1}$	$=$	$\frac{2}{\sqrt{7}}$
	↓	Erweitere den Bruch mit $\sqrt{7}$ .
$x_{1}$	$=$	$\frac{2 \cdot \sqrt{7}}{\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}} = \frac{2 \sqrt{7}}{7}$
$x_{2}$	$=$	$\frac{- 5 - 9}{2 \sqrt{7}} = \frac{- 14}{2 \sqrt{7}}$
	↓	Erweitere den Bruch mit $\sqrt{7}$ .
$x_{2}$	$=$	$\frac{- 14 \sqrt{7}}{2 \sqrt{7} \sqrt{7}} = \frac{- 14 \sqrt{7}}{2 \cdot 7} = \frac{- 14 \sqrt{7}}{14}$
	↓	Kürze den Bruch mit 14.
$x_{2}$	$=$	$- \sqrt{7}$

$x^{2} + 6 x - 16$	$=$	$0$
	↓	Quadratisch ergänzen mit $3^{2}$ .
$x^{2} + 6 x + 3^{2} - 3^{2} - 16$	$=$	$0$
	↓	Zur 1. binomischen Formel zusammenfassen.
${(x + 3)}^{2} - 9 - 16$	$=$	$0$
	↓	Zusammenfassen
${(x + 3)}^{2} - 25$	$=$	$0$	$+ 25$
${(x + 3)}^{2}$	$=$	$25$	$\sqrt{}$
$x + 3$	$=$	$\pm 5$	$- 3$
$x$	$=$	$\pm 5 - 3$
$x_{1}$	$=$	$- 8$
$x_{2}$	$=$	$2$
	↓	Lösungsmenge angeben.
$L$	$=$	${- 8; 2}$

$x^{2} + 10 x + 9$	$=$	$0$
	↓	Ergänze quadratisch mit $5^{2}$ .
$x^{2} + 2 \cdot 5 x + 5^{2} - 5^{2} + 9$	$=$	$0$
	↓	Fasse zusammen.
$(x^{2} + 2 \cdot 5 x + 5^{2}) - 16$	$=$	$0$
	↓	Fasse als 1. binomische Formel zusammen.
${(x + 5)}^{2} - 16$	$=$	$0$	$+ 16$
${(x + 5)}^{2}$	$=$	$16$	$\sqrt{}$
$x + 5$	$=$	$\pm 4$
$x_{1}$	$=$	$4 - 5 = - 1$
$x_{2}$	$=$	$- 4 - 5 = - 9$
	↓	Lösungsmenge angeben.
$L$	$=$	${- 1; - 9}$

$0,5 x^{2} - 1,5 x - 14$	$=$	$0$
	↓	0,5 ausklammern.
$0,5 (x^{2} - 3 x) - 14$	$=$	$0$
	↓	Quadratisch ergänzen.
$0,5 (x^{2} - 3 x + {(\frac{3}{2})}^{2} - {(\frac{3}{2})}^{2}) - 14$	$=$	$0$
	↓	Zur 2. binomischen Formel zusammenfassen.
$0,5 ({(x - \frac{3}{2})}^{2} - \frac{9}{4}) - 14$	$=$	$0$
	↓	Ausmultiplizieren.
$0,5 {(x - \frac{3}{2})}^{2} - \frac{9}{8} - 14$	$=$	$0$	$+ 14 + \frac{9}{8}$
	↓	Gleichung umformen.
$0,5 {(x - \frac{3}{2})}^{2}$	$=$	$14 + \frac{9}{8}$	$\cdot 2$
${(x - \frac{3}{2})}^{2}$	$=$	$28 + \frac{9}{4}$	$\sqrt{}$
$x - \frac{3}{2}$	$=$	$\pm \sqrt{\frac{121}{4}}$	$+ \frac{3}{2}$
$x$	$=$	$\frac{3}{2} \pm \frac{11}{2}$
	↓	Lösungsmenge angeben.
$L$	$=$	${- 4; 7}$

$- \frac{1}{2} x^{2} + 7 x + 7,5$	$=$	$0$
	↓	Klammere $- \frac{1}{2}$ vor den x-Termen aus.
$- \frac{1}{2} (x^{2} - 14 x) + 7,5$	$=$	$0$
	↓	Ergänze quadratisch mit $7^{2}$ .
$- \frac{1}{2} (x^{2} - 2 \cdot 7 x + 7^{2} - 7^{2}) + 7,5$	$=$	$0$
	↓	Fasse als 2. binomische Formel zusammen.
$- \frac{1}{2} ({(x - 7)}^{2} - 49) + 7,5$	$=$	$0$
	↓	Multipliziere die Klammer aus.
$- \frac{1}{2} ({(x - 7)}^{2}) + 24,5 + 7,5$	$=$	$0$
	↓	Fasse zusammen.
$- \frac{1}{2} {(x - 7)}^{2} + 32$	$=$	$0$	$- 32$
$- \frac{1}{2} {(x - 7)}^{2}$	$=$	$- 32$	$- 2$
${(x - 7)}^{2}$	$=$	$64$
	↓	Ziehe Wurzel auf beiden Seiten.
$x - 7$	$=$	$\pm 8$
	↓	Forme weiter um.
$x_{1}$	$=$	$8 + 7 = 15$
$x_{2}$	$=$	$- 8 + 7 = - 1$
	↓	Lösungsmenge angeben.
$L$	$=$	${- 1; 15}$

$2 x^{2} + 2 x - \frac{9}{8}$	$=$	$0$
	↓	Klammere den Faktor $2$ vor den x-Termen aus.
$2 (x^{2} + x) - \frac{8}{9}$	$=$	$0$
	↓	Ergänze quadratisch mit ${(\frac{1}{2})}^{2}$ .
$2 (x^{2} + 2 \cdot \frac{1}{2} x + {(\frac{1}{2})}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}) - \frac{8}{9}$	$=$	$0$
	↓	Fasse zu 1. binomischen Formel zusammen.
$2 ({(x + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}) - \frac{8}{9}$	$=$	$0$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
$2 {(x + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{2} - \frac{16}{18}$	$=$	$0$
	↓	Erweitere die Brüche auf den gemeinsamen Nenner.
$2 {(x + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{9}{18} - \frac{16}{18}$	$=$	$0$
	↓	Fasse zusammen.
$2 {(x + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{25}{18}$	$=$	$0$	$+ \frac{25}{18}$
$2 {(x + \frac{1}{2})}^{2}$	$=$	$\frac{25}{18}$	$\cdot \frac{1}{2}$
${(x + \frac{1}{2})}^{2}$	$=$	$\frac{25}{36}$	$\sqrt{}$
$x + \frac{1}{2}$	$=$	$\pm \frac{5}{6}$
	↓	Forme weiter um.
$x_{1}$	$=$	$\frac{5}{6} - \frac{1}{2}$
	$=$	$\frac{5}{6} - \frac{3}{6}$
	$=$	$\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
$x_{2}$	$=$	$- \frac{5}{6} - \frac{1}{2}$
	$=$	$- \frac{5}{6} - \frac{3}{6}$
	$=$	$- \frac{8}{6} = - \frac{4}{3}$
	↓	Lösungsmenge angeben.
$L$	$=$	${- \frac{4}{3}; \frac{1}{3}}$

$x_{1,2}$	$=$	$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot \frac{1}{3} \cdot (- 12)}}{2 \cdot \frac{1}{3}}$
	$=$	$\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{\frac{2}{3}}$
	$=$	$\frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{\frac{2}{3}}$
	$=$	$\frac{- 3 \pm 5}{\frac{2}{3}}$
	↓	Multipliziere mit dem Kehrbruch.
	$=$	$\frac{(- 3 \pm 5) \cdot 3}{2}$

$11$	$=$	$2 x + \frac{12}{x}$	$\cdot x$
$11 x$	$=$	$2 x^{2} + 12$	$- 11 x$
$0$	$=$	$2 x^{2} + 12 - 11 x$

$x_{1}$	$=$	$\frac{11 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2}$
	$=$	$\frac{16}{4}$
	$=$	$4$

$x_{2}$	$=$	$\frac{11 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2}$
	$=$	$\frac{6}{4}$
	$=$	$1,5$

$0$	$=$	$3 (x + 2) + \frac{3}{x}$
	↓	Ausmultiplizieren
	$=$	$3 x + 6 + \frac{3}{x}$	$\cdot x$
$0$	$=$	$3 x^{2} + 6 x + 3$

$2 x^{2} + 16$	$=$	$12 x$	$- 12 x$
$0$	$=$	$2 x^{2} - 12 x + 16$
	↓	Diskriminante berechnen
$D$	$=$	${(- 12)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 16$
	$=$	$144 - 128$
	$=$	$16$
$\Rightarrow 16$	$>$	$0$
	↓	daher 2 Lösungen
$2 x^{2} + 16$	$=$	$2 x$
	↓	In die Mitternachtsformel einsetzen dabei die berechnete Diskriminante einsetzen
$x_{1,2}$	$=$	$\frac{12 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 2}$
	↓	$x_{1}$ berechnen
$x_{1}$	$=$	$\frac{12 + 4}{4}$
	$=$	$\frac{16}{4} = 4$
$x_{2}$	$=$	$\frac{12 - 4}{4}$
	$=$	$\frac{8}{4} = 2$
$𝕃$	$=$	${4; 2}$

$2$	$=$	${(3 + x)}^{2}$	$- 2$
$0$	$=$	${(3 + x)}^{2} - 2$
	↓	Klammer mit Hilfe der 1. Binomischen Formel ausmultiplizieren.
$0$	$=$	$x^{2} + 6 x + 9 - 2$
	↓	Gleiche Elemente zusammenfassen
	$=$	$x^{2} + 6 x + 7$
	↓	Diskriminante berechnen
$D$	$=$	$6^{2} - 4 \cdot^{\cdot 7}$
	$=$	$36 - 28 = 8$
$\Rightarrow 8$	$>$	$0$
	↓	daher 2 Lösungen
$0$	$=$	$x^{2} + 6 x + 7$
	↓	In die Mitternachtsformel einsetzten, dabei die berechnete Diskriminante einsetzen.
$x_{1,2}$	$=$	$\frac{- 6 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$
$x_{1}$	$=$	$\frac{- 6 + 2 \sqrt{2}}{2} = - 3 + \sqrt{2}$
$x_{2}$	$=$	$\frac{- 6 - 2 \sqrt{2}}{2} = - 3 - \sqrt{2}$
$L$	$=$	${- 3 + \sqrt{2}; - 3 - \sqrt{2}}$

$- x^{2} - 2$	$=$	$0,25 + 9 x$
	↓	Stelle die Gleichung so um, dass auf einer Seite 0 ist
$0$	$=$	$x^{2} + 9 x + 2,25$
	↓	Setze in die Mitternachtsformel ein
$x_{1 / 2}$	$=$	$\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 2,25}}{2}$
	↓	$x_{1} u n d x_{2}$ ausrechnen
$x_{1}$	$\approx$	$- 0,26$
$x_{2}$	$\approx$	$- 8,74$
$𝕃$	$=$	${- 0,26; - 8,74}$

$2 x + x + 16$	$=$	$0$
$3 x + 16$	$=$	$0$	$- 16$
$3 x$	$=$	$- 16$	$: 3$
$x$	$=$	$\frac{- 16}{3}$
	$=$	$- 5 \frac{1}{3}$
	$\approx$	$- 5,3$

$x^{2} + \sqrt{2} x - 1$	$=$	$0$
	↓	Die Gleichung liegt in der Normalform vor. Nach der pq-Formel gilt: $x^{2} + px + p$ mit $p = \sqrt{2}$ und $q = - 1$
$x_{1,2}$	$=$	$- \frac{p}{q} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^{2} - q}$
	↓	Einsetzen der Werte
	$=$	$- \frac{\sqrt{2}}{2} \pm \sqrt{(\frac{\sqrt{2}}{2})^{2} + 1}$
	↓	Vereinfachen der Wurzel
	$=$	$\begin{array}{l} - \frac{\sqrt{2}}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{2} + 1} = - \frac{\sqrt{2}}{2} \pm \sqrt{\frac{3}{2}} \end{array}$
$x_{1}$	$=$	$x_{1} = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{2}} \lor$
$x_{2}$	$=$	$- \frac{1 + \sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

$x^{2} - x$	$=$	$x - x^{2}$	$- x + x^{2}$
$x^{2} - x - x + x^{2}$	$=$	$0$
	↓	Gleiches zusammenfassen
$2 x^{2} - 2 x$	$=$	$0$
	↓	x ausklammern.
$x (2 x - 2)$	$=$	$0$
$\begin{array}{l} \Rightarrow x_{1} \end{array}$	$=$	$0$
$\begin{array}{l} \Rightarrow x_{2} \end{array}$	$=$	$1$

${(x + 8)}^{2}$	$=$	$36$
	↓	Auf beiden Seiten radizieren. Dabei muss beachtet werden, dass die Ausdrücke auf beiden Seiten stets positiv sind. In diesem Fall ist das so.
$\sqrt{{(x + 8)}^{2}}$	$=$	$\sqrt{36}$
	↓	Beim Wurzelziehen den Betrag nicht vergessen!
$\| x + 8 \|$	$=$	$6$

$x + 8$	$=$	$6$	$- 8$
	↓	Gleichung nach $x$ auflösen.
$x$	$=$	$- 2$

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$x + 8$	$=$	$- 6$	$- 8$
	↓	Gleichung nach $x$ auflösen.
$x$	$=$	$- 14$

${(x - 1)}^{2}$	$=$	$10$
	↓	Auf beiden Seiten radizieren. Dabei muss beachtet werden, dass die Ausdrücke auf beiden Seiten stets positiv sind. In diesem Fall ist das so.
$\sqrt{{(x - 1)}^{2}}$	$=$	$\sqrt{10}$
	↓	Beim Wurzelziehen den Betrag nicht vergessen!
$\| x - 1 \|$	$=$	$\sqrt{10}$

$x - 1$	$=$	$\sqrt{10}$	$+ 1$
	↓	Gleichung nach $x$ auflösen.
$x$	$=$	$1 + \sqrt{10}$

$x - 1$	$=$	$- \sqrt{10}$	$+ 1$
	↓	Gleichung nach $x$ auflösen.
$x$	$=$	$1 - \sqrt{10}$