Aufgaben zu quadratischen Gleichungen
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Beim Lösen quadratischer Gleichungen erhält man z. B. Ausdrücke der folgenden Art. Vereinfache diese:
x1/2=27−5±52+4⋅7⋅27
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
x1/2 = 27−5±52+4⋅7⋅27 ↓ Fasse alles unter der Wurzel zusammen.
x1/2 = 27−5±81=27−5±9 ↓ Berechne den Bruch einmal mit + und einmal mit −.
x1 = 27−5+9=274 ↓ x1 = 72 ↓ x1 = 7⋅72⋅7=727 x2 = 27−5−9=27−14 ↓ x2 = 277−147=2⋅7−147=14−147 ↓ x2 = −7 Hast du eine Frage oder Feedback?
- 2
Löse die folgenden quadratischen Gleichungen mit quadratischer Ergänzung.
Die Lösungen kannst du durch ein Semikolon getrennt in das Lösungsfeld eingeben.
Sie die Lösungen z.B. x1=2 und x2=−3, so kannst du entweder "2;−3" oder "−3;2" (ohne die Anführungszeichen) eingeben.
x2+6x−16=0
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Ergänzung
x2+6x−16 = 0 ↓ Quadratisch ergänzen mit 32.
x2+6x+32−32−16 = 0 ↓ Zur 1. binomischen Formel zusammenfassen.
(x+3)2−9−16 = 0 ↓ Zusammenfassen
(x+3)2−25 = 0 +25 (x+3)2 = 25 x+3 = ±5 −3 x = ±5−3 x1 = −8 x2 = 2 ↓ Lösungsmenge angeben.
L = {−8;2} Hast du eine Frage oder Feedback?
x2+10x+9=0
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Ergänzung
x2+10x+9 = 0 ↓ Ergänze quadratisch mit 52.
x2+2⋅5x+52−52+9 = 0 ↓ Fasse zusammen.
(x2+2⋅5x+52)−16 = 0 ↓ Fasse als 1. binomische Formel zusammen.
(x+5)2−16 = 0 +16 (x+5)2 = 16 x+5 = ±4 x1 = 4−5 =−1 x2 = −4−5=−9 ↓ Lösungsmenge angeben.
L = {−1;−9} Hast du eine Frage oder Feedback?
0,5x2−1,5x−14=0
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Ergänzung
0,5x2−1,5x−14 = 0 ↓ 0,5 ausklammern.
0,5(x2−3x)−14 = 0 ↓ 0,5(x2−3x+(23)2−(23)2)−14 = 0 ↓ Zur 2. binomischen Formel zusammenfassen.
0,5((x−23)2−49)−14 = 0 ↓ 0,5(x−23)2−89−14 = 0 +14+89 ↓ Gleichung umformen.
0,5(x−23)2 = 14+89 ⋅2 (x−23)2 = 28+49 x−23 = ±4121 +23 x = 23±211 ↓ Lösungsmenge angeben.
L = {−4;7} Hast du eine Frage oder Feedback?
−21x2+7x+7,5=0
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Ergänzung
−21x2+7x+7,5 = 0 ↓ −21(x2−14x)+7,5 = 0 ↓ Ergänze quadratisch mit 72.
−21(x2−2⋅7x+72−72)+7,5 = 0 ↓ Fasse als 2. binomische Formel zusammen.
−21((x−7)2−49)+7,5 = 0 ↓ −21((x−7)2)+24,5+7,5 = 0 ↓ Fasse zusammen.
−21(x−7)2+32 = 0 −32 −21(x−7)2 = −32 −2 (x−7)2 = 64 ↓ Ziehe Wurzel auf beiden Seiten.
x−7 = ±8 ↓ Forme weiter um.
x1 = 8+7=15 x2 = −8+7=−1 ↓ Lösungsmenge angeben.
L = {−1;15} Hast du eine Frage oder Feedback?
2x2+2x−98=0
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Ergänzung
2x2+2x−89 = 0 ↓ 2(x2+x)−98 = 0 ↓ Ergänze quadratisch mit (21)2.
2(x2+2⋅21x+(21)2−(21)2)−98 = 0 ↓ Fasse zu 1. binomischen Formel zusammen.
2((x+21)2−41)−98 = 0 ↓ 2(x+21)2−21−1816 = 0 ↓ Erweitere die Brüche auf den gemeinsamen Nenner.
2(x+21)2−189−1816 = 0 ↓ Fasse zusammen.
2(x+21)2−1825 = 0 +1825 2(x+21)2 = 1825 ⋅21 (x+21)2 = 3625 x+21 = ±65 ↓ Forme weiter um.
x1 = 65−21 = 65−63 = 62=31 x2 = −65−21 = −65−63 = −68=−34 ↓ Lösungsmenge angeben.
L = {−34;31} Hast du eine Frage oder Feedback?
2x2=x+1
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Ergänzung
2x2 = x+1 −x+1 ↓ Alle Summanden auf eine Seite bringen.
2x2−x−1 = 0 ↓ Den Faktor 2 ausklammern.
2(x2−21x)−1 = 0 ↓ 2(x2−21x+(41)2−(41)2)−1 = 0 ↓ Zur 2. binomischen Formel zusammenfassen.
2((x−41)2−161)−1 = 0 ↓ 2(x−41)2−81−1 = 0 ↓ Die Gleichung nach x auflösen.
2(x−41)2−81−1 = 0 +1+81 2(x−41)2 = 81+1 :2 (x−41)2 = 169 x−41 = ±43 +41 x = 41±43 ↓ Lösungsmenge angeben.
L = {−21;1} Hast du eine Frage oder Feedback?
- 3
Löse die folgenden Gleichungen und überprüfe dein Ergebnis mit dem Satz von Vieta.
Gib die Lösung in der Form "x1;x2" an. Zum Beispiel: "5;−4"
x2−5x+6=0
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Gleichungen
Die Lösung der Gleichung kannst du mit der Mitternachtsformel oder pq-Formel berechnen:
Lösung mit der Mitternachtsformel
x2−5x+6=0
a=1, b=−5 und c=6
Die drei Koeffizienten der Gleichung in die Mitternachtsformel einsetzen.
x1,2=2⋅1−(−5)±(−5)2−4⋅1⋅6
=25±25−24=25±1
⇒x1=3⇒x2=2
Lösung mit der pq-Formel
x2−5x+6=0
p=−5 und q=6
Die 2 Koeffizienten in die pq-Formel einsetzen:
x1,2======−2p±(2p)2−q−2(−5)±(2−5)2−625±425−625±425−42425±4125±21
⇒x1=25+21=26=3
⇒x2=25−21=24=2
Überprüfung der Lösung mit dem Satz von Vieta
Für eine Gleichung der Form x2+px+q=0 erfüllen die Lösungen x1 und x2 nach dem Satz von Vieta folgende Bedingungen:
IIIx1+x2x1⋅x2==−pq
Setze x1=3,x2=2,p=−5 und q=6 in die Formeln ein und prüfe, ob die Gleichungen I und II stimmen:
III3+23⋅2==−(−5)6✓✓
Die berechneten Ergebnisse sind richtig.
Hast du eine Frage oder Feedback?
x2−6x−27=0
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Gleichungen
Die Lösung der Gleichung kannst du mit der Mitternachtsformel oder pq-Formel berechnen:
Lösung mit der Mitternachtsformel
x1,2=2⋅1−(−6)±(−6)2−4⋅1⋅(−27)
=26±36+108=26±12
⇒ x1=218 und x2=2−6
Die Lösungen sind also x1=9 und x2=−3.
Lösung mit der pq-Formel
x2−6x−27=0
p=−6 und q=−27
Die 2 Koeffizienten in die pq-Formel einsetzen:
x1,2======−2p±(2p)2−q−2−6±(2−6)2−(−27)26±436+273±9+273±363±6
⇒x1=3+6=9
⇒x2=3−6=−3
Überprüfung der Lösung mit dem Satz von Vieta
Für eine Gleichung der Form x2+px+q=0 erfüllen die Lösungen x1 und x2 nach dem Satz von Vieta folgende Bedingungen:
IIIx1+x2x1⋅x2==−pq
Setze x1=9,x2=−3,p=−6 und q=−27 in die Formeln ein und prüfe, ob die Gleichungen I und II stimmen:
III9+(−3)9⋅(−3)==−(−6)−27✓✓
Die berechneten Ergebnisse sind richtig.
Hast du eine Frage oder Feedback?
31x2+3x−12=0
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: quadratische Gleichungen
Die Lösung der Gleichung kannst du mit der Mitternachtsformel oder pq-Formel berechnen:
Lösung mit Mitternachtsformel
31x2+3x−12=0
Die Koeffizienten sind a=31,b=3,c=−12 .
Eingesetzt in die Mitternachtsformel erhältst du:
x1,2 = 2⋅31−3±32−4⋅31⋅(−12) = 32−3±9+16 = 32−3±25 = 32−3±5 ↓ Multipliziere mit dem Kehrbruch.
= 2(−3±5)⋅3 ⇒x1=3 und x2=−12
Lösung mit der pq-Formel
31x2+3x−12=0
Die pq-Formel lässt sich nur auf Gleichungen der Form x2+px+q=0 anwenden. Klammere also zuerst 31 aus:
31(x2+9x−36)x2+9x−36==00∣⋅3
p=9 und q=−36
Die 2 Koeffizienten in die pq-Formel einsetzen:
x1,2=======−2p±(2p)2−q−29±(29)2−(−36)−29±481+36−29±481+4144−29±4225−29±(215)2−29±215
⇒x1=−29+215=26=3
⇒x2=−29−215=−224=−12
Überprüfung der Lösung mit dem Satz von Vieta
Für eine Gleichung der Form x2+px+q=0 erfüllen die Lösungen x1 und x2 nach dem Satz von Vieta folgende Bedingungen:
IIIx1+x2x1⋅x2==−pq
Geg: 31x2+3x−12=0
Da a=31=1 ist muss man zuerst a ausklammern, um den Satz von Vieta anwenden zu können.
31(x2+9x−36)=0
Hierauf kannst du den Satz von Vieta nun anwenden.
Setze x1=3,x2=−12,p=9 und q=−36 in die Formeln ein und prüfe, ob die Gleichungen I und II stimmen:
III3+(−12)3⋅(−12)==−9=5−36✓✓
Die berechneten Ergebnisse sind richtig.
Hast du eine Frage oder Feedback?
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Bestimme die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen (D=R∖{0}) und kontrolliere dein Ergebnis graphisch, z. B. mit Hilfe eines Funktionsplotters.
Gib die Lösung in der Form "x1,x2" in das Eingabefeld ein. Zum Beispiel: "5;−2,5". Bei einer Lösung reicht zum Beispiel "−2,5".
11=2x+x12
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Gleichungen
11 = 2x+x12 ⋅x 11x = 2x2+12 −11x 0 = 2x2+12−11x Nun kann man die Diskriminante D berechnen:
D = 121−4⋅2⋅12 = 25 Da D=25>0, erhalten wir zwei Lösungen. Man kann nun die Mitternachtsformel anwenden. Die Lösungen lauten:
x1 = 2⋅211+25 = 416 = 4 x2 = 2⋅211−25 = 46 = 1,5 Die Lösungsmenge lautet L={1,5 ; 4} . Der gezeichnete Graph sieht so aus:
Hast du eine Frage oder Feedback?
3(x+2)+x3=0
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Gleichung
0 = 3(x+2)+x3 ↓ = 3x+6+x3 ⋅x 0 = 3x2+6x+3 Nun kann man die Diskriminante D berechnen:
D = 36−4⋅3⋅3 = 0 Da D=0, erhalten wir eine Lösungen. Man kann nun die Mitternachtsformel anwenden. Die Lösung lautet:
x = 2⋅3−6 = −66 = −1 Die Lösungsmenge lautet L={−1}.
Hast du eine Frage oder Feedback?
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Löse die angegebenen Gleichungen.
Gib die Lösungen in der Form "x1;x2" an. Zum Beispiel: "4;−1"
(x−3)(x+1)=0
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichungen
(x−3)(x+1)=0
Damit der Term auf der linken Seite gleich 0 ist, muss einer der beiden Faktoren gleich 0 sein. Also entweder:
Dann erhältst du die Lösung x1=3. Oder:
Dann erhältst du die Lösung x2=−1
Insgesamt hast du also die Lösungsmenge L={3;−1}.
Hast du eine Frage oder Feedback?
0,5(x−2)2=0
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichungen
0,5(x−2)2=0
Damit der Term auf der linken Seite gleich 0 ist, muss der Faktor (x−2) gleich 0 sein. Mit:
kommst du auf das Ergebnis x=2.
Die Lösungsmenge ist L={2}.
Hast du eine Frage oder Feedback?
0,5x2−2x+2=0
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lösen quadratischer Gleichungen
0,5x2−2x+2=0
Diese Gleichung kannst du mit der Mitternachtsformel lösen:
Unter der Wurzel ergibt sich der Wert 0, damit gibt es nur genau eine Lösung und zwar: x=2.
Die Lösungsmenge ist L={2}.
Hast du eine Frage oder Feedback?
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Berechne möglichst geschickt die Lösungen der folgenden Gleichungen. Überprüfe deine Ergebnisse grafisch, z. B. mithilfe eines Funktionsplotters.
2x2+16=12x
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichung
2x2+16 = 12x −12x 0 = 2x2−12x+16 ↓ Diskriminante berechnen
D = (−12)2−4⋅2⋅16 = 144−128 = 16 ⇒16 > 0 ↓ daher 2 Lösungen
2x2+16 = 2x ↓ In die Mitternachtsformel einsetzen dabei die berechnete Diskriminante einsetzen
x1,2 = 2⋅212±16 ↓ x1 berechnen
x1 = 412+4 = 416=4 x2 = 412−4 = 48=2 L = {4;2} Graphen zeichnen
Hast du eine Frage oder Feedback?
2=(3+x)2
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichung
Gleichung bestimmen
2 = (3+x)2 −2 0 = (3+x)2−2 ↓ Klammer mit Hilfe der 1. Binomischen Formel ausmultiplizieren.
0 = x2+6x+9−2 ↓ Gleiche Elemente zusammenfassen
= x2+6x+7 ↓ Diskriminante berechnen
D = 62−4⋅⋅7 = 36−28 =8 ⇒8 > 0 ↓ daher 2 Lösungen
0 = x2+6x+7 ↓ In die Mitternachtsformel einsetzten, dabei die berechnete Diskriminante einsetzen.
x1,2 = 2⋅1−6±8 x1 = 2−6+22=−3+2 x2 = 2−6−22=−3−2 L = {−3+2;−3−2} Graphen zeichnen
Hast du eine Frage oder Feedback?
−x2−2=0,25+9x
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Mitternachtsformel (Quadratische Lösungsformel)
Quadratische Gleichung lösen
−x2−2 = 0,25+9x ↓ Stelle die Gleichung so um, dass auf einer Seite 0 ist
0 = x2+9x+2,25 ↓ Setze in die Mitternachtsformel ein
x1/2 = 2−9±92−4⋅2,25 ↓ x1 und x2 ausrechnen
x1 ≈ −0,26 x2 ≈ −8,74 L = {−0,26;−8,74} Graphische Darstellung
Hast du eine Frage oder Feedback?
2x+x+16=0
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Äquivalenzumformungen
Lösungen von Gleichungen
2x+x+16 = 0 3x+16 = 0 −16 3x = −16 :3 x = 3−16 = −531 ≈ −5,3 Graphen zeichen
Hast du eine Frage oder Feedback?
x2+2x−1=0
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Mitternachtsformel (Quadratische Lösungsformel)
Lösung mit Hilfe der pq-Formel:
x2+2x−1 = 0 ↓ Die Gleichung liegt in der Normalform vor.
Nach der pq-Formel gilt:
x2+px+p
mit p=2 und q=−1
x1,2 = −qp±(2p)2−q ↓ Einsetzen der Werte
= −22±(22