Aufgaben zur Kurvendiskussion mit Exponentialfunktion und Logarithmus
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Es ist folgende Funktion gegeben:
f(x)=1+x(2x2â2)â ln((xâ1)2)âIn den Teilaufgaben findest du alles, was du fĂŒr diese Funktion berechnen könntest.
Suche dir das heraus, was du ĂŒben möchtest.
Bei spĂ€teren Teilaufgaben kann auf frĂŒhere Ergebnisse zurĂŒckgegriffen werden.
Ist dir nicht sofort klar, woher diese Ergebnisse kommen, dann bearbeite zunĂ€chst diese frĂŒheren Teilaufgaben zur Wissensauffrischung.
Bestimme den Definitionsbereich und die Art der DefinitionslĂŒcken.
Definitionsbereich
Der Definitionsbereich ist der Zahlenbereich, der fĂŒr die Funktion zulĂ€ssig ist. Um ihn zu bestimmen gehst du von den reellen Zahlen R aus und ĂŒberprĂŒfst, welche Zahlen nicht in die Funktion eingesetzt werden dĂŒrfen.
Die Funktion ist eine Kombination aus einem Bruch, Polynomen und einer Logarithmusfunktion. Bei Polynomen darf man fĂŒr x ganz R einsetzen. Bei BrĂŒchen darf der Nenner nicht 0 sein. Logarithmen darf man nur von positiven Zahlen nehmen.
Der Nenner darf nicht Null werden.
Setze den Nenner 1+x gleich 0, um herauszufinden, welche Zahl nicht fĂŒr x eingesetzt werden darf.
1+x = 0 â1 x = â1 x=â1 ist eine DefinitionslĂŒcke.
Das Argument des Logarithmus muss gröĂer als 0 sein.
Setze (xâ1)2>0.
Da Quadratische Funktionen nicht negativ sind, musst du nur ausschlieĂen, dass der Term 0 wird.
(xâ1)2 = 0 â â Ziehe die Wurzel.
xâ1 = 0 +1 x = 1 ï»żx=1 ist eine DefinitionslĂŒcke.
Definitionsmenge
Dfâ=Râ{â1;1}
Art der DefinitionslĂŒcken
Es gibt zwei Arten von DefinitionslĂŒcken: hebbare und nicht hebbare.
Hebbare DefinitionslĂŒcken liegen dann vor, wenn die Funktion an jenen Stellen stetig fortsetzbar sind. Das ist zum Beispiel bei BrĂŒchen der Fall, wenn die Nennernullstelle zugleich eine ZĂ€hlernullstelle ist.
DefinitionslĂŒcke x=â1
Um das zu ĂŒberprĂŒfen, setzt du die oben bestimmte Nennernullstelle in den ZĂ€hler ein:
(2(â1)2â2)â ln(((â1)â1)2)=0â ln(4)=0
Die Nennernullstelle â1 ist also eine ZĂ€hlernullstelle und damit eine hebbare DefinitionlĂŒcke.
DefinitionslĂŒcke x=1
Als nĂ€chstes willst du die Art der DefinitionslĂŒcke von 1 herausfinden. Dabei kannst du nicht analog zu oben argumentieren, da in diesem Fall die LĂŒcke durch die Logarithmusfunktion verursacht wird.
Du musst zeigen, dass die Funktion an der Stelle 1 entweder stetig fortsetzbar ist oder nicht.
Falls die Funktion von rechts und von links an die 1 angenĂ€hert den selben endlichen Wert annehmen, dann ist die Funktion stetig fortsetzbar und damit eine hebbare DefinitionslĂŒcke.
Du ĂŒberprĂŒfst:
xâ1+limâf(x)=xâ1+limâ=21+xâ(2x2â2)=0ââ ln((xâ1)2)=ââââals Logarithmus=âPolynom stašrkerâ0Alternativ kannst du auch mit den Regeln von Regeln von L'Hospital argumentieren.
Analog gilt:
xâ1âlimâf(x)=0Es folgt insgesamt, dass 1 ebenfalls eine hebbare DefinitionslĂŒcke ist.
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Vereinfache die Funktionsgleichung.
Manchmal lohnt es sich, nachdem du den Definitionsbereich bestimmt hast, dir die Funktion etwas genauer anzusehen. Möglicherweise kann man AusdrĂŒcke ausmultiplizieren oder ausklammern und kĂŒrzen und so die Aufgabe vereinfachen.
Klammere zuerst 2 im ZĂ€hler aus.
1+x(2x2â2)â ln((xâ1)2)â = 1+x2(x2â1)â ln((xâ1)2)â â Im Nenner kommt eine 3. binomische Formel vor. Forme diese um.
= 1+x2((xâ1)(x+1))â ln((xâ1)2)â â KĂŒrze (1+x).
= 2(xâ1)â ln((xâ1)2) Hast du eine Frage oder Feedback?
Berechne die Grenzwerte an den RĂ€ndern des Definitionsbereichs.
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Grenzwerte
Zu den RĂ€ndern des Definitionsbereichs zĂ€hlen Grenzen im Unendlichen, Intervallgrenzen und die DefinitionslĂŒcken, also jeder Punkt, der nicht in einem Intervall des Definitionsbereichs liegt.
Der Definitionsbereich lautet Dfâ=Râ{â1;1}
Die RĂ€nder sind also ââ;â1;1;â
Rechne am besten hier schon mit dem vereinfachten Funktionsterm aus der 2. Teilaufgabe.
Grenzwert im Unendlichen
limxââââf(x)â=limxââââ2âââ(xâ1)ââââln((xâ1)2)ââ=âââ
Ein Faktor geht gegen ââ , einer gegen +â . Da minus mal plus minus ergibt und ââ â=â , ist der Grenzwert ââ .
limxâââf(x)=limxâââ2ââ(xâ1)ââââln((xâ1)2)ââ=â
Grenzwert an den DefinitionslĂŒcken von beiden Seiten
Grenzwerte an x=â1
limxââ1ââf(x)â===âlimxââ1ââ2(xâ1)ln((xâ1)2)2â (â2)â ln(4)â4â ln(4)â
limxââ1+âf(x)â===âlimxââ1+â2(xâ1)ln((xâ1)2)2â (â2)â ln(4)â4â ln(4)â
Grenzwerte an x=1
Hier erhĂ€ltst du Produkt aus 0 und â . Da du nicht weiĂt, wie das Ergebnis lautet, wendest du die Regel von L'Hospital an mit dem Logarithmus im ZĂ€hler und 2(xâ1)1â im Nenner.
xâ1âlimâf(x) = xâ1âlimâ2=0(xâ1)âââââln((xâ1)2)ââ = xâ1âlimââââ2(xâ1)1âââln((xâ1)2)ââââââ â Du leitest jetzt ZĂ€hler und Nenner separat ab.
= xâ1âlimââ2(xâ1)21â(xâ1)22(xâ1)ââ = xâ1âlimâ(xâ1)2â2(xâ1)2â 2(xâ1)â = xâ1âlimââ4(xâ1) = 0 LâHospitalââxâ1âlimâf(x)=0=xâ1+limâf(x)
Die Regel von L'Hospital liefert auch hier mit 0 einen konkreten Wert.
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Setze die Funktion f - wenn möglich - stetig zu einer Funktion f^â fort.
Will man eine Funktion stetig fortsetzen, dann muss man die Funktion an allen Unstetigkeitsstellen - und nur dort - neu definieren.
Deswegen erhÀlt man dann eine abschnittsweise definierte Funktion.
Hier hast du:
f(x)=2(xâ1)â ln((xâ1)2)Diese Funktion hat DefinitionslĂŒcken bei -1 und 1 und damit dort auch Unstetigkeitsstellen.
Beide sind keine Polstellen, sondern behebbare DefinitionslĂŒcken, also ist die Funktion stetig fortsetzbar.
FĂŒr die kritischen Punkte gilt
xââ1limâf(x)limxâ1âf(x)â=â4ln(4)=0â
Nun definierst du die Funktion neu und setzt an den kritischen Stellen jeweils den Grenzwert ein:
fâ(x)=â©âšâ§ââ4â ln(4)0f(x)âfušrfušrsonstâx=â1x=1â
Die Funktion fâ ist jetzt die stetig fortgesetzte Version von f ohne LĂŒcken.
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Bestimme die Asymptoten.
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Asymptote
Es gibt waagerechte, senkrechte und schiefe Asymptoten .
Waagerechte Asymptoten treten auf, wenn ein Grenzwert im Unendlichen einen konkreten Zahlenwert liefert.
Senkrechte Asymptoten treten auf, wenn der Grenzwert an DefinitionslĂŒcken keinen konkreten Zahlenwert, sondern ±â liefert.
Schiefe Asymptoten treten manchmal bei Bruchtermen auf.
Waagerechte Asymptoten
Die Grenzwerte im Unendlichen sind â. Deshalb gibt es keine waagerechten Asymptoten.
Senkrechte Asymptoten
Die Grenzwerte an den DefinitionslĂŒcken sind â4ln(4) und 0. Deshalb gibt es keine senkrechten Asymptoten.
Schiefe Asymptoten
Schiefe Asymptoten können nur bei gebrochen-rationalen Funktionen vorkommen (also ohne den Logarithmus). Deshalb gibt es keine schiefen Asymptoten.
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Bestimme die Nullstellen.
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen
Nullstellen sind diejenigen Punkte, an denen der y-Wert den Wert 0 annimmt.
Zur Berechnung musst du die Funktion nur gleich 0 setzen.
f(x) = 0 2(xâ1)ln((xâ1)2) = 0 Ein Produkt ist 0, wenn einer der Faktoren 0 ist. Setze also die Faktoren des Terms gleich 0.
xâ1=0 gilt, wenn x=1 ist.
ln((xâ1)2)=0, wenn (xâ1)2=1 ist âx=0 oder x=2
Da aber 1â/Dfâ , hat die Funktion nur zwei Nullstellen:
Nst1â(0âŁ0) und Nst2â(2âŁ0)
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Bestimme die Extrempunkte.
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extrempunkte
Extremstellen sind die Stellen des Funktionsgraphen, bei denen der Graph nicht steigt oder fĂ€llt. Die Steigung des Funktionsgraphen berechnet man ĂŒber die Ableitung der Funktion. Soll die Steigung 0 sein, so musst du die Ableitung gleich 0 setzen. Damit erhĂ€ltst du die Lage der Extremstellen.
Extremstelle berechnen
f(x)=2(xâ1)â ln((xâ1)2)
FĂŒr die Ableitung dieser Funktion brauchst du die Produktregel und die Kettenregel.
Bei der Kettenregel leitest du die Funktionen von auĂen nach innen ab, also zuerst den Logarithmus, dann die quadrierte Klammer und zum Schluss das x, das als Ableitung 1 liefert.
fâČ(x) = 2â ln((xâ1)2)+2â (xâ1)â (xâ1)22â (xâ1)â â KĂŒrze den zweiten Summanden mit (xâ1)2.
= 2â ln((xâ1)2)+4 = 2â (ln((xâ1)2)+2) Jetzt musst du diesen Ausdruck gleich 0 setzen.
fâČ(x) = 0 2â (ln((xâ1)2)+2) = 0 :2 ln((xâ1)2)+2 = 0 â2 ln((xâ1)2) = â2 â Löse den Logarithmus mithilfe der e-Funktion auf.
eln((xâ1)2) = eâ2 (xâ1)2 = e21â (xâ1)2 = (e1â)2 â â Ziehe die Wurzel.
xâ1 = ±e1â +1 x = 1±e1â Jetzt hast du die Lage (x - Werte) der Extrempunkte bestimmt. Beide liegen im Definitionsbereich. FĂŒr die y- Werte musst du nun die erhaltenen x - Werte in die Funktion f(x) einsetzen.
Koordinaten der Extrempunkte
f(1âe1â)â===â2(1âe1ââ1)â ln((1âe1ââ1)2)âe2ââ ln(e21â)=âe2ââ (â2)ln(e)e4ââ
âEP1â(1âe1ââe4â)
f(1+e1â)â===â2(1+e1ââ1)â ln((1+e1ââ1)2)e2ââ ln(e21â)=e2ââ (â2)ln(e)âe4ââ
âEP2â(1+e1âââe4â)
Art der Extrempunkte bestimmen
Nachdem du die Koordinaten bestimmt hast, fehlt nur noch die Art der Extrempunkte.
Diese lĂ€sst sich entweder durch das ĂberprĂŒfen des Monotonieverhaltens im Definitionsbereich oder durch einsetzen der x - Werte der Extrema in die 2. Ableitung bestimmen.
FĂŒr ein Minimum xminâ gilt: fâČ(xminââ)<0â§fâČ(xmin+â)>0 bzw. meistens fâČâČ(xminâ)>0.
FĂŒr ein Maximum xmaxâ gilt: fâČ(xmaxââ)>0â§fâČ(xmax+â)<0 bzw. meistens fâČâČ(xmaxâ)<0.
FĂŒr einen Terrassenpunkt gilt: fâČ(xTPââ)<0â§fâČ(xTPâ+)>0âšfâČ(xTPââ)>0â§fâČ(xTPâ+)<0 bzw. meistens fâČâČ(xTPâ)=0â§fâČâČâČ(xTPâ)î =0.
FĂŒr eine ErklĂ€rung der Zeichen sieh dir den Artikel LogikverknĂŒpfungen an.
Um unabhĂ€ngig von einer möglicherweise komplizierten 2. Ableitung zu bleiben, ĂŒberprĂŒfst du hier am Besten das Monotonieverhalten.
Art der Extrempunkte (formal)
Hier ist 1â(e1â)â minimal kleiner als 1âe1â .
Diese kleine Abweichung wird die ganze Rechnung mitgezogen.
fâČ((1âe1â)â)=2(ln((1âe1â+â1)2)+2)=2(ln(e21ââ)+2)=2>0(>â2â2<1ln(eâ)ââââ+2)ââ>0â
Beachte, dass die kleine Abweichung je nach Klammersetzung und beim Quadrieren die Richtung Ă€ndert! Diese kleinliche und unanschauliche Vorgehensweise mĂŒsste man fĂŒr jeden Punkt zwei mal durchfĂŒhren. In der Schule reicht es meistens einfacher:
Da du ausgerechnet hast, dass es nur 2 Extrema gibt, muss der Graph dazwischen entweder die ganze Zeit steigen oder fallen (falls keine Polstelle dazwischen liegt!). Deshalb musst du nicht nicht so nahe an der Extremstelle die Steigung ĂŒberprĂŒfen - es reicht ein Punkt auf dem Weg zum nĂ€chsten Extremum.
Art der Extrempunkte (einfacher)
fâČ(0)=2(ln((â1)2)+2)=4>0fâČ(1)â2(ln(02)+2)=âââ
Da 0<1âe1â<1<1+e1â liegen die gewĂ€hlten Punkte um das erste Extremum herum, aber noch vor dem zweiten Extremum.
Da es keine Polstellen gibt, brauchst du dir um die keine Sorgen zu machen.
âHP(1âe1ââe4â)
fâČ(1)â2(ln(02)+2)=ââ<0â
âTP(1+e1âââe4â)
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Bestimme das Monotonieverhalten.
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Monotonieverhalten
Eine Funktion kann entweder streng monoton steigen oder fallen.
Das Monotonieverhalten Ă€ndert sich an den Minima und Maxima und es kann sich an den DefinitionslĂŒcken Ă€ndern, wenn es Polstellen sind.
In den Intervallen zwischen diesen Punkten ist die Funktion stetig und hat dasselbe Monotonieverhalten.
Man kann alle kritischen Punkte nacheinander abarbeiten.
xMonâ
ââ
â1
1âe1â
1
1+e1â
â
xâxMonâlimâf(x)
ââ
â4ln(4)
e4â
0
âe4â
â
Zwischen diesen Punkten ist die Funktion jeweils streng monoton. Ob die Funktion fÀllt oder steigt sieht man an den Grenzwerten.
xMonâ
ââ
â1
1âe1â
1
1+e1â
â
xâxMonâlimâf(x)
ââ
â4ln(4)
e4â
0
âe4â
â
â
â
â
â
â
steigend
steigend
fallend
fallend
steigend
Diese Beobachtungen kann man noch mit Intervallen angeben.
Die Funktion f istâŠ
âŠmonoton steigend fĂŒr xâ]ââ;1âe1â[â{â1}âȘ]1+e1â;â[.
monoton fallend fĂŒr xâ]1âe1â;1+e1â[â{1}.
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Berechne die Wendepunkte.
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wendepunkte
Wendepunkte geben Ănderungen der KrĂŒmmung des Funktionsgraphen an. RechtsgekrĂŒmmte Graphen verlaufen in einer Rechtskurve, linksgekrĂŒmmte Graphen in einer Linkskurve.
Ăndert sich dieses Verhalten, dann liegt ein Wendepunkt oder eine DefinitionslĂŒcke im Kurvenverlauf vor.
Die KrĂŒmmung eines Graphen wird durch die 2. Ableitung beschrieben.
Da sich bei einem Wendepunkt die KrĂŒmmung Ă€ndert ist sie am Punkt selber quasi nicht vorhanden, also 0.
Zur Bestimmung der Lage der Wendepunkte musst du also die 2. Ableitung gleich 0 setzen.
Lage der Wendepunkte
Bisher bekannt sind die Funktion und die 1. Ableitung:
f(x)=2(xâ1)ln((xâ1)2)fâČ(x)=2(ln((xâ1)2)+2)â
FĂŒr die 2. Ableitung musst du die 1. Ableitung nochmal ableiten.
Diesmal reicht die Anwendung der Kettenregel aus.
fâČâČ(x)=2(xâ1)22(xâ1)â=xâ14â
Nun musst du noch die 2. Ableitung gleich 0 setzen.
Da der ZĂ€hler aber immer von 0 verschieden ist, wird auch die zweite Ableitung nie 0. Deshalb gibt es keine Wendepunkte.
Bemerkung: Das bedeutet nicht, dass sich die KrĂŒmmung nicht Ă€ndert. Wie du spĂ€ter sehen wirst Ă€ndert sich die KrĂŒmmung des Graphen nĂ€mlich doch einmal. An dieser Stelle ist nur kein Wendepunkt.
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Bestimme das KrĂŒmmungsverhalten.
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: KrĂŒmmungsverhalten
Das KrĂŒmmungsverhalten ist eine Eigenschaft der Funktion, die angibt, in welche Richtung sich der Graph bewegt, bzw. welche Kurve er beschreibt.
Das KrĂŒmmungsverhalten Ă€ndert sich an allen Wendepunkten und es kann sich an allen DefinitionslĂŒcken Ă€ndern.
Diese Punkte musst du nacheinander betrachten. Dabei kannst du ausnutzen, dass das KrĂŒmmungsverhalten sich wie das Monotonieverhalten der Ableitung verhĂ€lt:
xKrušmmâ
ââ
â1
1
â
xâxKrušmmâlimâfâČ(x)
â
2ln(4)+4
ââ
â
Steigung von fâČ
â
â
â
KrĂŒmmung von f
rechtsgekrĂŒmmt
rechtsgekrĂŒmmt
linksgekrĂŒmmt
Du kannst auch mit der 2. Ableitung arbeiten. Dabei setzt du immer einen beliebigen Punkt zwischen den Intervallgrenzen in die 2. Ableitung ein. Ist das Ergebnis positiv, dann ist der Graph der Funktion in dem Intevall, aus dem der Punkt ist linksgekrĂŒmmt.
Ist es negativ, dann ist der Graph der Funktion dort rechtsgekrĂŒmmt.
Auch hier kann man wieder die Intervalle angeben.
Die Funktion f ist
rechtsgekrĂŒmmt fĂŒr xâ]ââ;1[â{â1}.
linksgekrĂŒmmt fĂŒr xâ]1;â[.
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Berechne den Wertebereich.
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wertebereich
Der Wertebereich oder die Wertemenge einer Funktion ist die Menge aller Zahlenwerte, die die Funktion mindestens einmal annimmt.
Ist die Funktion in einem Intervall stetig, dann ist dort auch der Wertebereich ein Intervall.
Grenzen des Wertebereichs
Die Grenzen des Wertebereichs sind der minimale Wert und der maximale Wert, den die Funktion annimmt.
Diese Werte erhÀltst du entweder aus den Grenzwerten oder den Extremwerten.
HP(1âe1ââŁe4â)âymaxâ=e4â
TP(1+e1ââŁâe4â)âyminâ=âe4â
Das wĂ€ren die y-Werte des Minimums und des Maximums. Das sind aber nicht die kleinst- und gröĂtmöglichen Werte, dennâŠ
xâââlimâf(x)=âââyminâ=ââ
xââlimâf(x)=ââymaxâ=â
âŠder Grenzwert im Unendlichen erlaubt Werte im Unendlichen.
LĂŒcken im Wertebereich
Genauso wie es DefinitionslĂŒcken gibt, können an diesen Unstetigkeitsstellen auch LĂŒcken im Wertebereich auftreten. Die musst du noch ĂŒberprĂŒfen, um den Wertebereich angeben zu können.
Bei der Grenzwertbetrachtung wurde berechnet:
xââ1limâf(x)=â4â ln(4)
Dieser Wert ist vom Wertebereich ausgenommen, wenn er nicht an einer anderen Stelle doch noch angenommen wird. Das musst du noch prĂŒfen.
Da die Funktion von ââ kommt und das Maximum bei x=1âe1â liegt, steigt die Funktion im Bereich um -1.
Im weiteren Funktionsverlauf fĂ€llt die Funktion dann nur noch einmal nĂ€mlich auf das Minimum y=âe4â das höher liegt als â4ln(4) Also wird dieser Wert nicht mehr angenommen und ist eine LĂŒcke im Wertebereich.
xâ1limâf(x)=0
Der Wert 0 wird von der Funktion aber schon noch zweimal angenommen (die beiden Nullstellen) und ist daher keine LĂŒcke im Wertebereich.
âWfâ=Râ{â4â ln(4)}
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Zeichne den Graph.
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Graphen zeichnen
Wenn du den Funktionsgraphen zeichnen sollst, musst du alle GröĂen einzeichnen, die du zuvor ausgerechnet hast.
Wenn alles richtig ausgerechnet wurde, dann kannst du auch den Graphen sinnvoll zeichnen.
In dieser Zeichnung sind eingetragen:
DefinitionslĂŒcken: A(â1âŁâ4â ln(4)),B(1âŁ0)
Nullstellen: Nst1â(0âŁ0),Nst2â(2âŁ0)
Extrempunkte: HP(1âe1ââe4â),TP(1+e1âââe4â)
Bemerkungen:
Der nicht vorhandene Wendepunkt wĂŒrde sich im Punkt B befinden (Der Graph macht davor eine Rechtskurve und danach eine Linkskurve). Der Punkt B ist aber eine DefinitionslĂŒcke.
Am Punkt B gehört die x-Achse des Koordinatensystems natĂŒrlich eigentlich durchgezeichnet. Der weiĂe Fleck dient zur Verdeutlichung der DefinitionslĂŒcke.
Auch die Grenzwerte sind hier abzulesen: Richtung +â geht auch der Graph nach +â und Richtung ââ gegen ââ .
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ĂberprĂŒfe das Symmetrieverhalten.
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrieverhalten
Es gibt zwei Arten von Symmetrie: Achsensymmetrie und Punktsymmetrie
FĂŒr einen zu einer Achse x=c achsensymmetrischen Graphen gilt f(c+x)=f(câx) Gewöhnlich ĂŒberprĂŒft man nur Achsensymmetrie zur y-Achse mit x=0, also f(x)=f(âx)
FĂŒr einen zum Punkt (câŁd) punktsymmetrischen Graphen gilt dâf(câx)=âd+f(c+x) Gewöhnlich ĂŒberprĂŒft man nur Punktsymmetrie zum Ursprung (0âŁ0), also âf(x)=f(âx)
Da man nicht alle Punkte und Achsen ĂŒberprĂŒft werden können, prĂŒft man nur Ursprung und y-Achse.
Dabei beginnt man mit f(âx) und vergleicht das Aussehen dieser Funktion mit f(x) und âf(x).
Symmetrie zum Ursprung / zur y-Achse
f(âx)â==â2(âxâ1)â ln((âxâ1)2)â2(x+1)â ln((x+1)2)â
aber
âf(x)f(x)â==ââ2(xâ1)â ln((xâ1)2)î =f(âx)2(xâ1)â ln((xâ1)2)î =f(âx)â
Deshalb keine Symmetrie zu Ursprung oder y-Achse
Symmetrie zum vermuteten Symmetriezentrum
Soll man aber die Symmetrie zu einem gegebenen Punkt ĂŒberprĂŒfen oder mit dem Funktionsgraphen das Symmetriezentrum bestimmen, dann kann man auch die allgemeine Formel anwenden mĂŒssen.
Mit dem groben Bild des Funktionsgraphen aus der vorigen Aufgabe im Hinterkopf, vermutest du, dass der Graph punktsymmetrisch zum Punkt (1âŁ0) sein könnte. Das ĂŒberprĂŒfst du jetzt.
âf(1âx)=â2(1âxâ1)â ln((1âxâ1)2)=2xâ ln(x2)
und
f(1+x)=2(1+xâ1)â ln((1+xâ1)2)=2xâ ln(x2)
Die beiden AusdrĂŒcke sind identisch, was auf Punktsymmetrie zum Punkt (1âŁ0) schlieĂen lĂ€sst.
Jetzt sind wir aber noch nicht fertig. Sehen wir uns den Graphen nochmal an, dann erkennen wir, dass die linke Seite bei x = -1 eine LĂŒcke im Graphen hat, die die rechte Seite nicht hat. Der Graph deckt sich also bei einer Spiegelung nicht immer auf sich selbst. Deshalb keine Symmetrie!
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Bestimme die Tangente zur Funktion f am allgemeinen Punkt (pâŁf(p)).
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangenten
Die Tangente zum Punkt (pâŁf(p)) ist eine Gerade, die den Graph Gfâ von f bei (pâŁf(p)) berĂŒhrt.
Sie hat also das Aussehen einer Geradengleichung y=mx+t.
Da die Tangente den Graphen von f berĂŒhrt, lĂ€uft sie an genau dem einen BerĂŒhrpunkt quasi parallel zu Gfâ, hat also die gleiche Steigung. Damit kannst du etwas anfangen:
y=mx+t
Das ist die allgemeine Geradengleichung. FĂŒr die Tangentengleichung musst du nun m und t bestimmen.
Da, wie oben beschrieben, die Steigung der Tangente am BerĂŒhrpunkt gleich der Steigung des Funktionsgraphen ist, kannst du die beiden Terme gleichsetzen.
m=fâČ(p)=2â (ln((pâ1)2)+2)
FĂŒr das fehlende t benötigst du den BerĂŒhrpunkt (pâŁf(p)).
FĂŒr diesen ist die Gleichung nĂ€mlich auch erfĂŒllt. Deshalb kannst du den Punkt fĂŒr x und y einsetzen und kannst die letzte Unbekannte t bestimmen
f(p) = fâČ(p)â p+t 2â (pâ1)ln((pâ1)2) = 2â (ln((pâ1)2)+2)â p+t â Bringe t auf eine Seite der Gleichung.
t = 2(pâ1)ln((pâ1)2)â2(ln((pâ1)2)+2)p t = 2â ln((pâ1)2)â ((pâ1)âp)â4p t = â2â ln((pâ1)2)â4p Als allgemeine Tangentengleichung erhĂ€ltst du also:
y=2(ln((pâ1)2)+2)â xâ2â ln((pâ1)2)â4p
Bemerkungen:
Auch wenn diese Gleichung unschön aussieht: FĂŒr ein konkretes p wird die Gleichung kĂŒrzer und viel schöner und da du sie allgemein ausgerechnet hast, kann man jeden Punkt (pâŁf(p)) ohne Bedenken einsetzen.
Auch die Tangenten sind natĂŒrlich nur dann definiert, wenn auch die Funktion f definiert ist. Allerdings sehen die Tangenten zur Funktion fâ genau gleich aus!
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Bestimme die Schnittpunkte des Funktionsgraphen Gfâ von f mit dem Funktionsgraphen Gg von der Funktion
g:xâŠ2(xâ1)â ln(x),Dgâ=R+FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte zweier Funktionsgraphen
Wenn sich zwei Graphen schneiden, dann liefern beide Funktionen an den Schnittpunkten das gleiche Ergebnis. Die Funktionswerte sind an diesen Punkten identisch.
x- Werte bestimmen
Zur Bestimmung der Schnittpunkte reicht es also, die Funktionen gleich zu setzen und nach x aufzulösen, da man dann die x-Werte erhĂ€lt, fĂŒr die die Funktionen dasselbe Ergebnis liefern.
Du setzt an:
f(x)2(xâ1)ln((xâ1)2)â==âg(x)2(xâ1)ln(x)â
Auf beide Seiten stehen Produkte mit dem gleichen Faktor 2(xâ1). Falls dieser Faktor nicht 0 ist, darfst du durch ihn dividieren.
Du machst eine Fallunterscheidung:
Fall 1: 2(xâ1)î =0:
ln((xâ1)2)(xâ1)2x2â2x+1x2â3x+1â====âln(x)xx0ââŁeâŁâxâ
Im ersten Fall erhÀltst du eine quadratische Gleichung, die du nun mit der Mitternachtsformel lösen kannst.
x1;2ââ==â2aâb±b2â4acââ23±9â4âââ
âx1â=21â(3+5â) und x2â=21â(3â5â)
Mit der Mitternachtsformel erhÀltst du die x-Werte von zwei Schnittpunkten.
Nun muss aber noch der 2. Fall betrachtet werden!
Fall 2: 2(xâ1)=0
ââ2(xâ1)xâ==â01ââ/Dfââ
Fall 2 tritt nur ein, wenn x=1 gilt. Da 1 nicht im Definitionsbereich liegt, kann auch dieser Fall nicht eintreten und du bist fertig.
y-Werte bestimmen
Um die Schnittpunkte angeben zu können, muss man sowohl x- als auch y- Werte kennen. Du setzt deshalb die gefundenen x-Werte noch in eine Funktion ein und erhÀltst die gesuchten y-Werte.
Da du Schnittpunkte berechnest, sind die Funktionswerte bei beiden Funktionen gleich - du wÀhlst also am besten die einfachere.
g(21â(3+5â))â==â2(21â(3+5â)â1)ln(21â(3+5â))(1+5â)ln(21â(3+5â))â
g(21â(3â5â))â==â2(21â(3â5â)â1)ln(21â(3â5â))(1â5â)ln(21â(3â5â))â
Die Ergebnisse sind nicht schön, aber genau und richtig. Du hast also die Schnittpunkte S1â und S2â bestimmt:
S1â(21â(3+5â)â(1+5â)ln(21â(3+5â)))S2â(21â(3â5â)â(1â5â)ln(21â(3â5â)))
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Berechne die Stammfunktion.
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stammfunktion
Um eine Stammfunktion fĂŒr f zu finden muss man die Funktion f integrieren . Bei komplizierteren Funktionen kann das schwierig werden, aber bei der Integration gibt es Techniken, die es auch erlauben, solche Funktionen zu integrieren, z.B. Substitution und Partielle Integration
F(x)=â«f(t)dt
Zuerst stellst du die Gleichung fĂŒr das Integral auf.
F(x) ist dabei die gesuchte Stammfunktion zu f.
Dann setzt man die Funktion f ein.
Es gibt zwei Wege, um das Integral zu lösen.
Version 1: Partielle Integration
F(x)=â«2(tâ1)â ln((tâ1)2)dt
Hier habst du ein Produkt, das sich nicht ohne Weiteres integrieren lÀsst. Versuch es mit partieller Integration, wobei
uâČ(x)=2(xâ1)â§v(x)=ln((xâ1)) .
F(t)â====ââ«uâČ(t)v(t)dtu(x)v(x)ââ«u(t)vâČ(t)dt(xâ1)2ln((xâ1)2)ââ«(tâ1)2(tâ1)22(tâ1)âdtâŠâ
Dass (xâ1)2 eine mögliche Stammfunktion von 2(xâ1) ist, kann man durch Ableiten der Stammfunktion ĂŒberprĂŒfen.
Eigentlich wĂ€re â«2(tâ1)dt=x2â2x, da man aber bei Stammfunktionen Konstanten beliebig addieren kann kommt man auch auf das schönere x2â2x+1=(xâ1)2 .
Im neuen Integral kĂŒrzt sich dann einiges wegâŠ
=(xâ1)2ln((xâ1)2)ââ«2(tâ1)dt=(xâ1)2ln((xâ1)2)â(xâ1)2+C=(xâ1)2â (ln((xâ1)2)â1)+Câ
(mit einer Konstanten C)
âŠbis auf das bereits bekannte Integral von 2(xâ1).
Nachdem das letzte Integral bestimmt ist, dĂŒrfen wir nicht vergessen, eine Konstante C zu addieren, die möglicherweise vorhanden, aber nicht auffĂ€llt, weil sie beim Ableiten sofort wegfĂ€llt.
âF(x)=(xâ1)2â (ln((xâ1)2)â1)+C
Wird nur verlangt, dass man eine Stammfunktion angeben soll, dann kann man auch C=0 setzen und die Konstante weglassen.
Version 2: Substitution
F(x)=â«2(tâ1)â ln((tâ1)2)dt
FĂŒr eine Substitution benötigst du ein Integral der Form
â«gâČ(t)f(g(t))dt .
Genau das liegt aber vor. Wir wÀhlen
f(x)=lnx und g(x)=(xâ1)2=z .
F(x)F(z)â===ââ«2(tâ1)â ln((tâ1)2)dtâ«ln(z)dzz(ln(z)â1)+Dâ
Da du ein unbestimmtes Integral hast, kannst du die Integrationsgrenzen natĂŒrlich nicht anpassen.
Die Stammfunktion des Logarithmus solltest du aus der Schule kennen, kurz irgendwo nachschlagen oder aber nochmal mit partieller Integration nachrechnen.
Nun musst du nur noch resubstituieren.
z=(xâ1)2
âF(x)=(xâ1)2(ln((xâ1)2)â1)+C
Schon bist du fertig. Das zeigt wieder: Wenn du bestimmte Eigenarten von Funktionen siehst, kannst du dir einiges an Arbeit sparen.
Beachte: Die Stammfunktion ist nur auf stetigen Abschnitten der Ausgangsfunktion f definiert, also nicht auf den DefinitionslĂŒcken -1 und 1 !
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Bestimme die GröĂe der FlĂ€che zwischen dem Graphen der Funktion f, der x-Achse und den Geraden x=â0,5 und x=0,5.
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration
Zur Berechnung der FlĂ€che unter dem Graphen zwischen zwei bestimmten Stellen muss man die Funktion von der linken Grenze bis zur rechten Grenze integrieren. Dabei darf die Funktion zwischen den Grenzen die x-Achse nicht schneiden, da sich sonst die FlĂ€chen unter und ĂŒber der x-Achse wieder gegenseitig wegheben können.
Wenn die Funktion eine Nullstelle im Integrationsintervall hat muss man zuerst bis zur Nullstelle integrieren und dann von der Nullstelle aus weiter, da man nur positive FlÀchen betrachtet.
Aâ=======ââââ«â0,50,5ââŁf(x)âŁdxâââ«â0,50âf(x)dx+â«00,5âf(x)dxââŁF(0)âF(â0,5)+F(0,5)âF(0)âŁâŁâ1â0,25â (ln(2,25)â1)+0,25â (ln(0,25)â1)+1âŁâŁ0,25(ln(0,25)âln(2,25))âŁâ0,25â ln(2,250,25â)ââ0,25â ln(91â)â0,55â
Die FlÀche berechnet sich also als der Betrag des Integrals der positiven Funktion von -0,5 bis 0,5.
Spaltet man das Integral an der Nullstelle 0 auf und verwendet die Stammfunktion, dann braucht man nur die Grenzen einzusetzen und zu vereinfachen.
Je nachdem, wie es verlangt wird, kann man das Ergebnis auch als genauen Wert stehen lassen und muss den Logarithmus nicht mehr ausrechnen.
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Bestimme die GröĂe der FlĂ€che die der Graph der stetigen Funktion fâ mit dem Graphen der Tangente von fâ am Punkt (1âe1ââe4â) einschlieĂt.
Hinweis: Runde die Integrationsgrenzen und das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integration
Will man die FlÀche zwischen zwei Graphen berechnen, so berechnet man zuerst die FlÀche unter den "höheren" Graphen und zieht dann die FlÀche unter dem "tieferen" Graphen ab.
Da sich die Lage zueinander bei jedem Schnittpunkt Àndert muss man zuerst die Schnittpunkte der beiden Graphen kennen:
Schnittpunkte der Graphen
Du kannst hier entweder die Tangentengleichung am Punkt (1âe1ââe4â) aufstellen und damit arbeiten oder du erinnerst dich, dass (1âe1ââe4â) der Hochpunkt von f war.
Deshalb hat die Tangente tHPâ an diesem Punkt die Steigung 0 und lautet:
tHPâ:y=e4â
Mit diesem Wissen hast du auch schon den ersten Schnittpunkt gefunden Es ist der Hochpunkt HP(1âe1ââe4â).
FĂŒr die anderen Schnittpunkte musst du nun beide Funktionen gleichsetzen:
fâ(x)=e4â
Sei xî =â1;1
2(xâ1)ln((xâ1)2)=e4â
Da diese Gleichung nicht exakt lösbar ist, hilft das Newton'sche NÀherungsverfahren bei der Funktion
fâ(x)=2(xâ1)ln((xâ1)2)âe4âĂberprĂŒfst du den Funktionsgraphen, dann stellst du fest, dass es nur einen zweiten Schnittpunkt gibt. Dieser liegt zwischen den Werten 2 und 3. Wir wĂ€hlen x0â=3 .
x1ââ==âx0ââfâČâ(x0â)fâ(x0â)â3â2(ln(4)+2)4ln(4)âe4âââ2,40â
Der erste Newtonschritt liefert als neuen Ausgangswert ungefÀhr 2,40.
Der Wert liegt links von 3 auf der Seite der Nullstelle von fâ, die ja der Schnittpunkt ist.
Weitere Newtonschritte liefern
x2â=x1ââfâČâ(x1â)fâ(x1â)â=2,32x3â=x2ââfâČâ(x2â)fâ(x2â)â=2,32â
Das Newtonverfahren konvergiert also sehr schnell gegen einen Wert.
ĂberprĂŒfst du diesen Wert durch Einsetzen in f, erhĂ€ltst du f(2,32)â1,47âe4â. Das Ergebnis stimmt also im Rahmen der Rechenungenauigkeit.
Das Integral zur FlĂ€chenbestimmung geht also von 1âe1â bis 2,32 .
FlÀchenberechnung
Die FlĂ€che zwischen zwei Graphen berechnet sich ĂŒber die Differenz der FlĂ€chen unter den einzelnen Integralen.
Aâ===ââââ«1âe1â2,32âtHPâ(x)dxââ«1âe1â2,32âfâ(x)dxâ«1âe1â2,32âe4âdxââ«1âe1â2,32â2(xâ1)ln((xâ1)2)dx[e4âx]1âe1â2,32ââF(2,32)+F(1âe1â)3,41â0,93+0,77â0,412,8â
(Man kann hier auf die Stammfunktion von f zurĂŒckgreifen, die dieselbe ist, wie die von fâ, aber ĂŒberall definiert ist.
Integriert man die Konstante und setzt man die Grenzen ein, so erhĂ€lt man einen ungefĂ€hren Wert fĂŒr die gesuchte FlĂ€che.)
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Berechne den Umfang und den FlĂ€cheninhalt des Vierecks Nst1âTPNst2âHP
Runde Zwischenergebnisse notfalls auf zwei Nachkommastellen.
Das ist keine typische Analysisaufgabe, sondern eher ein kurzer Abstecher in die Geometrie. Willst du nur Analysis ĂŒben, dann kannst du diese Aufgabe gerne ignorieren.
Was wir wissen
Die vier gegebenen Punkte sind die Nullstellen und die Extrema. Ihre Koordinaten lauten
Nst1â(0âŁ0),TP(1+e1âââe4â),Nst2â(2âŁ;0),HP(1âe1ââe4â).
ZusÀtzlich sind die Achsen des Koordinatensystems zueinander senkrecht, was die Bestimmung der SeitenlÀngen des Vierecks mittels Pythagoras ermöglicht.
Umfang
Bestimme die LĂ€ngen der Seiten ĂŒber Pythagoras:
Nst1âTPâ=(1+e1â)2+(âe4â)2ââ2
TPNst2ââ=(2â(1+e1â))2+(âe4â)2ââ1,6
Nst2âHPâ=(2â(1âe1â))2+(e4â)2ââ2
HPNst1ââ=(1âe1â)2+(e4â)2ââ1,6
Du stellst fest, dass jeweils zwei gegenĂŒberliegende Seiten gleich lang sind. Das Vierecks ist also schlimmstenfalls ein Parallelogramm.
Der Umfang lÀsst sich aber jetzt schon berechnen:
UViereckââ2+1,6+2+1,6=7,2
FlÀcheninhalt
Um den FlĂ€cheninhalt eines Parallelogramms zu berechnen brauchen wir noch eine GröĂe, z.B. die Höhe.
Die Höhe zu bestimmen ist aber viel zu umstĂ€ndlich. FĂŒr die FlĂ€chenberechnung gibt es einfachere Wege:
Methode 1: Analytische Geometrie in der Ebene
Versuche einen Weg ĂŒber die analytische Geometrie. FĂŒr die FlĂ€che eines Paralellogramms gilt im R2:
Aâ±â=âdet(AB;AD)â
mit den aufspannenden Vektoren AB und AD .
In unserem Fall haben wir die Vektoren
AB=Nst1âTPâ=(1+e1ââe4ââ),AD=Nst1âHPâ=(1âe1âe4ââ)
AViereckââ=====ââdet(AB;AD)ââdet(1+e1ââe4ââ1âe4âe4ââ)ââ((1+e1â)(e4â)â(1âe1â)(âe4â)â)ââe8âââe8ââ
Somit hast du die FlÀche des Vierecks berechnet.
Methode 2: Aufspalten in Dreiecke
Siehst du dir den Funktionsgraphen an, kannst du erkennen, dass das gesuchte Viereck durch die x-Achse in zwei Dreiecke aufgeteilt wird. FĂŒr die DreiecksflĂ€chen brauchst du nur Grundseite und Höhe. Beides ist durch die Koordinaten gegeben.
Dreieck Nst1âNst2âHP:
Grundseite: Subtrahiere die x-Koordinaten der Nullstellen: g1â=2â0=2
Höhe: Der Betrag der y-Koordinate des Hochpunktes: h1â=e4â
Dreieck Nst1âTPNst2â:
Grundseite: Subtrahiere die x-Koordinaten der Nullstellen: g2â=2â0=2
Höhe: Der Betrag der y-Koordinate des Tiefpunktes: h2â=e4â
FlĂ€che des Vierecks Nst1âTPNst2âHP:
Aâ±â=21âg1âh1â+21âg2âh2â=21ââ 2â e4â+21ââ 2â e4â=e8â
Auch hier ergibt sich - sogar sehr schnell - die VierecksflÀche.
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