Aufgaben zu gebrochen-rationalen Funktionen

1
Gegeben ist die Funktion f mit der Abbildungsvorschrift $f : x \mapsto \frac{2 x}{2 x + 3}$ .
1. Welche Zahl kann nicht in der Definitionsmenge enthalten sein?
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsmenge
  $f (x)$ $=$ $\frac{2 x}{2 x + 3}$
  ↓
  Setze den Nenner gleich 0.
  $2 \cdot x + 3$ $=$ $0$ $- 3$
  $2 \cdot x$ $=$ $- 3$ $: 2$
  $x$ $=$ $- \frac{3}{2}$
  $=$ $- 1,5$
  $D_{f}$ $=$ $R \ {- 1,5}$
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2. Berechne f(10), f(100), f(1000).
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionswerte berechnen
  $f (x) = \frac{2 x}{2 x + 3}$
  Setze $x = 10$ , $x = 100$ und $x = 1000$ ein.
  $f (10) = \frac{2 \cdot 10}{2 \cdot 10 + 3} \approx 0,869$
  $f (100) = \frac{2 \cdot 100}{2 \cdot 100 + 3} \approx 0,985$
  $f (1000) = \frac{2 \cdot 1000}{2 \cdot 1000 + 3} \approx 0,999$
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3. Lege eine Wertetabelle an und zeichne den Funktionsgraphen.
  
  $f (x) = \frac{2 x}{2 x + 3}$
  $D_{f} = R \ {- 1,5}$
  Nullstelle: $x = 0$
  $x$
  -4
  -3
  -2
  -1
  0
  1
  2
  3
  4
  $f (x)$
  1,6
  2
  4
  -2
  0
  0,4
  0,57
  0,67
  0,73
  Zeichnung
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4. Gib die Gleichungen der Asymptoten von $G_{f}$ an.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Asymptoten
  $f (x) = \frac{2 x}{2 x + 3}$
  Waagrechte Asymptote
  Zählergrad = Nennergrad $\Rightarrow$ Betrachtung der Koeffizenten
  $y = 1$
  Senkrechte Asymptote
  bei der Definitionslücke
  $x = - 1,5$
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$x$	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4
$f (x)$	1,6	2	4	-2	0	0,4	0,57	0,67	0,73

Gegeben ist die Funktion $h : x \mapsto \frac{1 + x}{x - 2}$

Bestimme die Nullstelle der Funktion h.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen berechnen
Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.
$h (x)$ $=$ $\frac{1 + x}{x - 2}$
↓
Setze den Zahler gleich Null.
$1 + x$ $=$ $0$ $- 1$
$x$ $=$ $- 1$
$\Rightarrow$ Nullstelle ist bei $x = - 1$ .
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An welcher Stelle nimmt die Funktion h den Wert 4 an ?

3
Bestimme den maximal möglichen Definitionsbereich folgender gebrochenrationaler Funktionen:
1. strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
  $f (x) = \frac{7 x - 3}{8 x - 5}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsmenge bestimmen
  $f (x)$ $=$ $\frac{7 x - 3}{8 x - 5}$
  ↓
  Nenner gleich 0 setzten.
  $8 x - 5$ $=$ $0$ $+ 5$
  $8 x$ $=$ $5$ $: 8$
  $x$ $=$ $\frac{5}{8}$
  $D_{f}$ $=$ $ℝ \ {\frac{5}{8}}$
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2. strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
  $f (x) = \frac{x^{3}}{{(x - 1)}^{2}} + 7 x$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsmenge bestimmen
  $f (x)$ $=$ $\frac{x^{3}}{{(x - 1)}^{2}} + 7 x$
  ↓
  Nenner gleich 0 setzen.
  ${(x - 1)}^{2}$ $=$ $0$
  ↓
  Definitionslücke ablesen.
  $x$ $=$ $1$
  $D_{f}$ $=$ $ℝ \ {1}$
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3. strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
  $f (x) = \frac{1}{x (x - 5)}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsmenge bestimmen
  $f (x)$ $=$ $\frac{1}{x (x - 5)}$
  ↓
  Nenner gleich 0 setzten.
  $x (x - 5)$ $=$ $0$
  ↓
  Lese die Nullstellen ab.
  $x_{1}$ $=$ $0$
  $x_{2}$ $=$ $5$
  $D_{f}$ $=$ $ℝ \ {0; 5}$
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Gib den maximal möglichen Definitionsbereich an und untersuche das Verhalten des Graphen an den Definitionslücken sowie für $x \to \pm \infty$ . Skizziere den Graphen.

$f (x) = \frac{2 - x}{0,2 x^{2} - 1}$

$g (x) = \frac{0,5 x^{2} - 2}{1 - x}$

$h (x) = x - 1 + \frac{2 x}{x^{2} + 1}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich bestimmen
Nenner: $x^{2} + 1$ wird nie 0
$\Rightarrow$ keine Definitionslücke
Bestimme den Definitionsbereich
$\Rightarrow D_{h} = ℝ$
Bestimme das Verhalten der Funktion
Die Funktion besteht nicht nur aus einem Bruch, sondern hat davor noch einen linearen Term.
$\Rightarrow$ Die Funktion hat eine schräge Asymptote.
Bestimme diese. (kann direkt abgelesen werden)
Asymptote: $y = x - 1$
Skizze
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Prüfe, ob der Nenner 0 wird.

$k (x) = \frac{x}{2 x - 4} - \frac{x^{2} + 1}{x}$

$m (x) = \frac{2 + x + 0,5 x^{2}}{x^{2} - 4}$

Gebrochen rationale Funktionen
Definitionsbereich bestimmen
Bestimme die Definitionslücken, indem du schaust, wann der Nenner 0 wird
$x^{2} - 4$ $=$ $0$ $+ 4$
$x^{2}$ $=$ $4$ $\sqrt{}$
$x$ $=$ $\pm 2$
Schließe die Definitionslücken aus und bestimme so den Definitionsbereich
$\Rightarrow D_{m} = ℝ \ {- 2; 2}$
Verhalten einer Funktion
Bestimme die beiden Grenzwerte (von links und von rechts) an der 1.Definitionslücke
$\lim_{x \overset{\overset{}{>}}{\to} - 2} m (x)$ $=$ $" \frac{2 - 2 + 2}{(- 4) \cdot 0^{-}} "$
$=$ $- \infty$
Bestimme die beiden Grenzwerte an der 2.Definitionslücke
$\lim_{x \overset{\overset{}{>}}{\to} 2} m (x)$ $=$ $" \frac{2 + 2 + 2}{4 \cdot 0^{+}} "$
$=$ $+ \infty$
Bestimme das Verhalten der Funktion im Unendlichen. (Bestimme den Grenzwert im Unendlichen)
$\lim_{x \to \pm \infty} m (x) = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{2 + x + 0,5 x^{2}}{x^{2} - 4}$
$\lim_{x \to \pm \infty} m (x)$ $=$ $\lim_{x \to \pm \infty} \frac{2 + x + 0,5 x^{2}}{x^{2} - 4}$
↓
Klammere $x^{2}$ im Zähler und im Nenner aus.
$=$ $\lim_{x \to \pm \infty} \frac{\frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x} + 0,5}{1 - \frac{4}{x^{2}}}$
↓
Berechne den Grenzwert
$=$ $\frac{0 \pm 0 + 0,5}{1 - 0} = 0,5$
Was bedeutet das für das Verhalten im Unendlichen?
$\Rightarrow$ Beidseitige Asymptote bei $y = 0,5$
Skizze
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$n (x) = \frac{2}{x} + \frac{x^{2}}{2 x - 1}$

Gebrochen rationale Funktionen
Definitionsbereich bestimmen
$n (x)$ $=$ $\frac{2}{x} + \frac{x^{2}}{2 x - 1}$
$=$ $\frac{x^{3} + 4 x - 2}{x \cdot (2 x - 1)}$
Bestimme die Definitionslücken, indem du schaust, wann der Nenner 0 wird.
$x (2 x - 1)$ $=$ $0$
Betrachte die beiden Faktoren getrennt
$\Rightarrow x = 0$
$2 x - 1$ $=$ $0$ $+ 1 | : 2$
$x$ $=$ $\frac{1}{2}$
Schließe die Definitionslücken aus und bestimme so den Definitionsbereich
$\Rightarrow D_{n} = ℝ \ {0; 0,5}$
Verhalten einer Funktion
Bestimme das Verhalten der Funktion an der 1.Definitionslücke. Bestimme dazu die beiden Grenzwerte, die sich von unten bzw. oben an diese annähern.
$\lim_{x \overset{\overset{}{>}}{\to} 0} n (x)$ $=$ $" \frac{0 + 0 - 2}{0^{+} \cdot (- 1)} "$
$=$ $+ \infty$
Bestimme das Verhalten der Funktion an der 2.Definitionslücke
$n (x)$ $=$ $\frac{x^{3} + 4 x - 2}{2 x^{2} - x}$
↓
Forme den Term mit Polynomdivision um
$=$ $0,5 x + 0,25 + \frac{4,25 x - 2}{2 x^{2} - 2}$
Lese aus dieser Form die Asymptote direkt ab und gib sie an.
$\Rightarrow$ Asymptote bei $y = 0,5 x + 0,25$
Skizze
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5
raschweb.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Günther Rasch
Gib den Term einer (möglichst einfachen) gebrochen rationalen Funktion f an, die folgende Eigenschaften besitzt.
1. Der Graph von $f$ berührt die x-Achse an der Stelle $x = - 1$ ;
  die Funktion $f$ hat die Polstelle $x = 3$ .
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: gebrochen-rationale Funktion
  Überlege dir die Form einer gebrochen-rationalen Funktion und setze die 1. Bedingung ein. Da der Graph die x-Achse bei $x = - 1$ berührt, liegt dort eine doppelte Nullstelle.
  $f (x) = \frac{y}{z} = \frac{(x + 1)^{2}}{z}$
  Setze jetzt die 2. Bedingung ein. Es muss eine nicht-hebbare Definitionslücke bei $x = 3$ geben.
  $f (x) = \frac{(x + 1)^{2}}{x - 3}$
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2. Der Graph von f hat eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel bei $x_{1} = 2$ und für $x \to \pm \infty$ die Asymptote $y = 0,5$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: gebrochen-rationale Funktion
  Stelle eine allgemeine Form einer gebrochenrationalen Funktion auf:
  $f (x) = \frac{y}{z}$
  Setze die 1. Bedingung ein (Polstelle ohne Vorzeichenwechsel bei 2)
  $\Rightarrow$ Funktion bei 2 nicht definiert
  $\Rightarrow f (x) = \frac{y}{{(x - 2)}^{2}}$
  Setze die 2. Bedingung ein (Asymptote bei 0,5), d. h. Zählergrad = Nennergrad und es muss einen Faktor 0,5 geben.
  $\Rightarrow f (x) = \frac{0,5 \cdot x^{2}}{{(x - 2)}^{2}}$
  Zeichne eine Skizze (mit Wertetabelle)
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3. Der Graph von f hat Polstellen mit Vorzeichenwechsel bei $x_{1} = - 1$ und $x_{2} = 2$ und für $x \to \pm \infty$ die Asymptote $y = 0,5 x - 1$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: gebrochen-rationale Funktion
  Allgemeine Form einer gebrochen rationalen Funktion: f(x)= $\frac{y}{z}$
  Setze die 1. Bedingung ein: Polstellen mit Vorzeichenwechsel bei -1 und 2
  $f_{1} (x) = \frac{1}{(x + 1) (x - 2)}$
  Setze die 2. Bedingung ein: Asymptote bei $0,5 x - 1$
  $\Rightarrow f (x) = 0,5 x - 1 + \frac{1}{(x + 1) (x - 2)}$
  Zeichne eine Skizze der Funktion
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4. Der Graph von f hat eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel bei $x_{1} = - 2$ , ist punktsymmetrisch zum Ursprung und hat für $x \to \pm \infty$ die Asymptote $y = 0$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: gebrochen-rationale Funktion
  Allgemeine Form einer gebrochen rationalen Funktion: f(x)= $\frac{y}{z}$
  Setze die 1. Bedingung ein: Polstelle mit Vorzeichenwechsel bei -2
  $\Rightarrow$ auch Polstelle bei 2, da Funktion punktsymmetrisch sein soll
  $f (x) = \frac{1}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{1}{x^{2} - 4}$
  Setze 2. Bedingung ein: punktsymmetrisch zum Ursprung
  $\Rightarrow f (x) = \frac{x}{x^{2} - 4}$
  Zeichne eine Skizze (mit Wertetabelle).
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5. Der Graph von f hat eine Polstelle bei $x_{1} = 0$ und ist achsensymmetrisch zur y-Achse.
  Für $x \to \pm \infty$ hat der Graph die Asymptote $y = 0$ und bei $x_{2} = 2$ befindet sich eine Nullstelle.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: gebrochen-rationale Funktion
  Allgemeine Form einer gebrochen rationalen Funktion: f(x) = $\frac{y}{z}$
  Setze die 1. Bedingung ein: Polstelle bei 0 und achsensymmetrisch
  $\Rightarrow$ bei 0 nicht definiert (unter dem Bruch) und gerade Potenz
  $f (x) = \frac{1}{x^{2 n}}$
  Setze die 2. Bedingung ein: Asymptote bei $y = 0$
  $f (x) = \frac{1}{x^{4}}$
  Setze die 3. Bedingung ein: Nullstelle bei 2 und achsensymmetrisch.
  $\Rightarrow f (x) = \frac{x^{2} - 4}{x^{4}}$
  Zeichne eine Skizze (mit Wertetabelle).
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6
Der Querschnitt einer kreisrunden Wasserschale wird von drei Strecken und dem Graphen der Funktion $f (x) = \frac{4 x^{2} + 32}{x^{2} + 16} - 2$ berandet (siehe Zeichnung; Maßstab 1:10).
Berechne die Wassertiefe in der Schale, wenn die Wasserbreite 40 cm beträgt.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gebrochen-rationale Funktionen
Aufgrund der Symmetrie der Schale zur y-Achse ist bei einer Wasserbreite von 40 cm unter Beachtung des Maßstabs das 10-fache des Funktionswerts f(2) gesucht:
$f (2) = \frac{4 \cdot 4 + 32}{4 + 16} - 2 = 0,4$
Das Wasser steht in der Schale also 4 cm tief.
7
Gegeben ist der Graph einer linearen und einer gebrochenrationalen Funktion
1. Die Zeichnung zeigt die Graphen der Funktionen mit den Funktionsgleichungen $y = \frac{x - 2}{1 + x}$ und $y = - \frac{1}{2} x + 1$ .
  Bestimme anhand der Zeichnung die Lösungsmenge der Gleichung $\frac{x - 2}{1 + x} = - \frac{1}{2} x + 1$ .
  Tipp: Gib deine Lösungen in aufsteigender Reihenfolge und durch ein Leerzeichen getrennt ein.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte zweier Funktionen berechnen
  Tipp: Gib deine Lösungen in aufsteigender Reihenfolge und durch ein Leerzeichen getrennt ein.
  Schnittpunkte von Funktionen
  $\frac{x - 2}{1 + x} = - \frac{1}{2} x + 1$
  Die Lösungsmenge der Gleichung repräsentiert die x-Werte, bei denen sich die Funktionen schneiden.
  $L = {- 3; 2}$
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2. Bestimme mit Hilfe des gegebenen Funktionsgraphen die Lösungsmenge der Gleichung $\frac{x - 2}{1 + x} = - 1$ .
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte zweier Funktionen berechnen
  $\frac{x - 2}{1 + x}$ $=$ $- 1$
  ↓
  An der Stelle, an der die gebrochenrationale Funktion den y-Wert $- 1$ hat, ist der x-Wert $0,5$
  $x$ $=$ $0,5$
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8
strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
Zeichne die Graphen zu den Termen $f (x) = \frac{x}{x - 2}$ und $g (x) = \frac{1}{3} x$ in ein Koordinatensystem.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: gebrochen-rationale Funktionen
Zeichnung
Bestimmung der Nullstelle
$f (x) = \frac{x}{x - 2}$
Ein Bruch wird Null, wenn der Zähler Null ist. $\to$ Setze den Zähler gleich $0$ , also $x = 0$ .
$\Rightarrow x_{N} = 0$
Der Graph hat bei $x_{N} = 0$ eine Nullstelle.
x-Wert mit $f (x) = - 3$
Setze $f (x) = - 3$
$\frac{x}{x - 2}$ $=$ $- 3$ $\cdot (x - 2)$
↓
Multipliziere über Kreuz.
$x$ $=$ $- 3 (x - 2)$
↓
Multipliziere aus.
$x$ $=$ $- 3 x + 6$ $+ 3 x$
$4 x$ $=$ $6$ $: 4$
$x$ $=$ $\frac{6}{4} = 1,5$
Für $x = 1,5$ nimmt $f (x)$ den Wert $- 3$ an.
Bestimmung der Schnittpunkte
$f (x) = \frac{x}{x - 2}$ , $g (x) = \frac{x}{3}$
Setze $f (x)$ und $g (x)$ gleich.
$f (x)$ $=$ $g (x)$
$\frac{x}{x - 2}$ $=$ $\frac{x}{3}$ $\cdot 3 (x - 2)$
↓
Multipliziere über Kreuz.
$3 x$ $=$ $x (x - 2)$
↓
Multipliziere aus.
$3 x$ $=$ $x^{2} - 2 x$ $- 3 x$
$x^{2} - 5 x$ $=$ $0$
↓
Klammer x aus.
$x (x - 5)$ $=$ $0$
Ein Produkt wird 0, wenn einer der beiden Faktoren 0 ist.
$\Rightarrow$ $x_{S 1} = 0 x_{S 2} = 5$
Setze $x_{S 2}$ in eine der beiden Funktionen ein.
$y_{S 2} = \frac{5}{3}$
$\Rightarrow S_{1} (0 | 0); S_{2} (5 | \frac{5}{3})$
In der Definitionsmenge von $f (x)$ muss nur $2$ ausgenommen werden, bei $g (x)$ sind alle rationalen Zahlen erlaubt.
Daher ist die Lösungsmenge: $L = {0; 5}$
9
Zeichne die Graphen der Funktionen $f : x \mapsto \frac{3}{x + 2}$ und $f_{1} : x \mapsto \frac{1}{2 - x}$
Lies die Koordinaten des Schnittpunkts der Graphen aus der Zeichnung ab und überprüfe dein Ergebnis rechnerisch. Trage dein Ergebnis gerne in das Eingabefeld unten in der Form ( | ), also z.B. (5|2), ein, bevor du dann in die Lösung schaust ;)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bruchgleichungen
$f_{} : x \mapsto \frac{3}{x + 2}$
$f_{1} : x \mapsto \frac{1}{2 - x}$
Der Schnittpunkt liegt bei $(1 | 1)$ .
Rechnung
Gleichsetzen der beiden Funktionsterme:
$\frac{3}{2 + x}$ $=$ $\frac{1}{2 - x}$
↓
Über Kreuz multiplizieren.
$3 \cdot (2 - x)$ $=$ $1 \cdot (2 + x)$
↓
Die Klammer ausmultiplizieren.
$6 - 3 x$ $=$ $2 + x$ $- 2 + 3 x$
↓
Nach $x$ auflösen.
$ 4$ $=$ $4 x$ $: 4$
$x$ $=$ $1$
Einsetzen von $x = 1$ in einen der Funktionsterme, z.B. in $f_{1} (x)$ :
$y = \frac{1}{2 - 1} = \frac{1}{1} = 1$
Also wurde auch rechnerisch gezeigt, dass der Schnittpunkt bei $(1 | 1)$ liegt.
10
Zeichne mit Hilfe einer Wertetabelle die Graphen zu folgenden Funktionsgleichungen; bestimme waagrechte und senkrechte Asymptote.
1. strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
  $y = \frac{2 x}{x + 3}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gebrochen rationale Funktionen
  Senkrechte Asymptote
  $f (x) = \frac{2 x}{x + 3}$
  Setze den Nenner 0, um die Definitionslücke herauszufinden.
  $x + 3$ $=$ $0$ $- 3$
  $x$ $=$ $- 3$
  Die Funktion hat eine senkrechte Asymptote bei x=-3.
  Waagrechte Asymptote
  $f (x) = \frac{2 x}{x + 3}$
  Um die waagrechten Asymptoten zu berechnen, betrachte die Grenzwerte gegen $+ \infty$ und $- \infty$ .
  Grenzwert gegen $+ \infty$
  $\lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{x + 3}$
  Klammere x aus.
  $\lim_{x \to \infty} \frac{x}{x} \frac{2}{1 + \frac{3}{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{2}{1 + \underset{\to 0}{\underset{⏟}{\frac{3}{x}}}} = 2$
  Grenzwert gegen $- \infty$
  $\lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{x + 3}$
  Klammere x aus.
  $\lim_{x \to \infty} \frac{x}{x} \frac{2}{1 + \frac{3}{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{2}{1 + \underset{\to 0}{\underset{⏟}{\frac{3}{x}}}} = 2$
  Die Funktion hat also eine waagrechte Asymptote bei y=2.
  Wertetabelle
  x
  -4
  -2
  -1
  0
  1
  2
  3
  f(x)
  8
  -4
  -1
  0
  0,5
  $\frac{4}{5}$
  1
  Gezeichnet sieht der Graph dann so aus:
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2. strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
  $y = - \frac{2}{x} + \frac{3}{2}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gebrochen rationale Funktionen
  Senkrechte Asymptote
  $f (x) = - \frac{2}{x} + \frac{3}{2}$
  Bringe alles auf einen Nenner.
  $f (x) = \frac{- 4 + 3 x}{2 x}$
  Lies die senkrechte Asymptote ab:
  Die Funktion hat eine senkrechte Asymptote an der Stelle x=0.
  Waagrechte Asymptote
  $f (x) = - \frac{2}{x} + \frac{3}{2}$
  Betrachte die Grenzwerte gegen $+ \infty$ und $- \infty$ , um waagrechte Asymptoten herauszufinden.
  Grenzwert $+ \infty$
  $\lim_{x \to + \infty} f (x) = \lim_{x \to - \infty} - \frac{2}{x} + \frac{3}{2} = \frac{3}{2}$
  Grenzwert $- \infty$
  $\lim_{x \to - \infty} f (x) = \lim_{x \to - \infty} - \frac{2}{x} + \frac{3}{2} = \frac{3}{2}$
  Die Funktion hat also eine waagrechte Asymptote bei y= $\frac{3}{2}$
  Wertetabelle
  x
  -4
  -3
  -2
  -1
  1
  2
  3
  4
  f(x)
  2
  $\frac{10}{6}$
  1,5
  3,5
  -0,5
  0,5
  $\frac{2}{10}$
  1
  Gezeichnet sieht der Graph dann so aus:
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3. strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
  $y = \frac{1 - x}{2 x + 3}$
4. strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
  $y = \frac{5}{{(3 x + 2)}^{2}}$
11
strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
Spiegeln, verschieben, stauchen
Zeichne den Graphen der Funktion $f (x) = \frac{3}{x}$ und bestimme damit die Graphen von $g (x) = - \frac{3}{x} - 2$ , $h (x) = \frac{3}{x + 1,5}$ und $k (x) = \frac{1,5}{x}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: einfache gebrochen-rationale Funktionen
$f (x) = \frac{3}{x}$
Setze verschiedene Werte für x ein und zeichne das Ergebnis ein. Bsp.: $x = 3; \to y = 1$
$g (x) = - \frac{3}{x} - 2$
$g (x) = - \frac{3}{x} - 2$ $\to$ Das Minus bedeutet, dass der Graph an der y-Achse gespiegelt wird. Die -2 verschieben den Graphen um 2 LE nach unten in y-Achsen Richtung.
$h (x) = \frac{3}{x + 1,5}$
Die hinzugefügte 1,5 im Nenner, bewirkt, dass die Funktion eine senkrechte Asymptote bei x=-1,5 hat.
$k (x) = \frac{1,5}{x}$
Hier wurde der Zähler halbiert, also wird der ganze Ausdruck kleiner, also gestaucht.
12
Gegeben ist die Funktion $f : x \mapsto f (x) = \frac{1}{x^{2}} + 2$ mit maximaler Definitionsmenge.
1. Gib die maximale Definitionsmenge an.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich festlegen
  $f (x) = \frac{1}{x^{2}} + 2$
  Die Funktion hat eine Definitionslücke bei 0, da nicht durch 0 geteilt werden darf.
  $\Rightarrow$ $D_{f} = ℝ \ {0}$
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2. Weise nach, dass der Graph der Funktion $f$ achsensymmetrisch zur y-Achse ist.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie prüfen
  $f (x) = \frac{1}{x^{2}} + 2$
  Ersetze x durch -x.
  $f (- x) = \frac{1}{{(- x)}^{2}} + 2$
  $= \frac{1}{x^{2}} + 2 = f (x)$
  Da $f (- x) = f (x)$ ist die Funktion Achsensymmetrisch zur y-Achse .
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3. Skizziere den Graphen der Funktion in ein Koordinatensystem.
  
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4. Für welche Werte von $x$ unterscheiden sich die Funktionswerte der Funktion $f$ um weniger als $\frac{1}{100}$ vom Wert $2$ ?
  
  $| f (x) - 2 |$ $<$ $\frac{1}{100}$
  ↓
  Setze $f (x)$ ein.
  $| \frac{1}{x^{2}} + 2 - 2 |$ $<$ $\frac{1}{100}$
  $| \frac{1}{x^{2}} |$ $<$ $\frac{1}{100}$
  ↓
  Den Betrag weglassen, da die linke Seite, aufgrund des $x^{2}$ immer positiv ist.
  $\frac{1}{x^{2}}$ $<$ $\frac{1}{100}$ $\cdot x^{2} \cdot 100$
  $100$ $<$ $x^{2}$ $\sqrt{}$
  Da nicht bekannt ist, ob x positiv oder negativ ist, gibt es zwei Lösungsbereiche:
  $10 < x$
  $- 10 > x$
  Die gesamte Lösung sind beide Lösungsbereiche vereinigt.
  $x < - 10$ oder $x > 10$
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x	-4	-2	-1	0	1	2	3
f(x)	8	-4	-1	0	0,5	$\frac{4}{5}$	1

x	-4	-3	-2	-1	1	2	3	4
f(x)	2	$\frac{10}{6}$	1,5	3,5	-0,5	0,5	$\frac{2}{10}$	1

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$k (x)$	$=$	$\frac{x}{2 x - 4} - \frac{x^{2} + 1}{x}$	$- x + 0,5 + \frac{2}{x \cdot (x - 2)}$
	↓	Fasse die beiden Brüche zu einem Bruch zusammen
	$=$	$\frac{- 2 x^{3} + 5 x^{2} - 2 x + 4}{2 x (x - 2)}$
	↓	Da der Zählergrad größer ist, als der Nennergrad, gibt es eine schräge Asymptote. Bestimme diese Asymptote durch Polynomdivision .
	$=$	$- x + 0,5 + \frac{2}{x \cdot (x - 2)}$

$f (x)$	$=$	$\frac{2 x}{2 x + 3}$
	↓	Setze den Nenner gleich 0.
$2 \cdot x + 3$	$=$	$0$	$- 3$
$2 \cdot x$	$=$	$- 3$	$: 2$
$x$	$=$	$- \frac{3}{2}$
	$=$	$- 1,5$
$D_{f}$	$=$	$R \ {- 1,5}$

$h (x)$	$=$	$\frac{1 + x}{x - 2}$
	↓	Setze den Zahler gleich Null.
$1 + x$	$=$	$0$	$- 1$
$x$	$=$	$- 1$

$h (x)$	$=$	$\frac{1 + x}{x - 2}$
	↓	Den Funktionsterm gleich $4$ setzen.
$\frac{1 + x}{x - 2}$	$=$	$4$	$\cdot (x - 2)$
	↓	Beseitige den Nenner.
$1 + x$	$=$	$4 \cdot (x - 2)$
	↓	Klammer ausmultiplizieren.
$1 + x$	$=$	$4 x - 8$	$- 4 x - 1$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$x - 4 x$	$=$	$- 8 - 1$
	↓	Fasse zusammen.
$- 3 x$	$=$	$- 9$	$: (- 3)$
$x$	$=$	$3$

$f (x)$	$=$	$\frac{7 x - 3}{8 x - 5}$
	↓	Nenner gleich 0 setzten.
$8 x - 5$	$=$	$0$	$+ 5$
$8 x$	$=$	$5$	$: 8$
$x$	$=$	$\frac{5}{8}$
$D_{f}$	$=$	$ℝ \ {\frac{5}{8}}$

$f (x)$	$=$	$\frac{x^{3}}{{(x - 1)}^{2}} + 7 x$
	↓	Nenner gleich 0 setzen.
${(x - 1)}^{2}$	$=$	$0$
	↓	Definitionslücke ablesen.
$x$	$=$	$1$
$D_{f}$	$=$	$ℝ \ {1}$

$f (x)$	$=$	$\frac{1}{x (x - 5)}$
	↓	Nenner gleich 0 setzten.
$x (x - 5)$	$=$	$0$
	↓	Lese die Nullstellen ab.
$x_{1}$	$=$	$0$
$x_{2}$	$=$	$5$
$D_{f}$	$=$	$ℝ \ {0; 5}$

$f (x)$	$=$	$\frac{2 - x}{0,2 x^{2} - 1}$
	↓	Untersuche, wann der Nenner null wird
$0,2 x^{2} - 1$	$=$	$0$	$: 0,2 + 1$
$x^{2}$	$=$	$5$	$\sqrt{}$
$x$	$=$	$\pm \sqrt{5}$
	↓	Schließe die Definitionslücken aus und bestimme so den Definitionsbereich
$\Rightarrow D_{f}$	$=$	$ℝ \ {- \sqrt{5}, \sqrt{5}}$
	↓	Untersuche das Verhalten der Funktion an der 1. Definitionslücke
$\lim_{x \overset{\overset{}{>}}{\to} \sqrt{5}} f (x)$	$=$	$" \frac{2 - \sqrt{5}}{0^{+}} " = - \infty$
	↓	Untersuche das Verhalten der Funktion an der 2. Definitionslücke
$\lim_{x \overset{\overset{}{>}}{\to} \sqrt{5}} f (x)$	$=$	$" \frac{2 + \sqrt{5}}{0^{+}} " = - \infty$
	↓	Untersuche das Verhalten der Funktion im Unentlichen (Klammere dazu $x^{2}$ aus)
$\lim_{x \to \pm \infty} f (x)$	$=$	$\lim_{x \to \pm \infty} \frac{\frac{2}{x^{2}} - \frac{1}{x}}{0,2 - \frac{1}{x^{2}}}$
	$=$	$\frac{0 \pm 0}{0,2 - 0} = 0$

$1 - x$	$=$	$0$	$+ x$
$\Rightarrow x$	$=$	$1$
	↓	Schließe die Definitionslücke aus und bestimme so den Definitionsbereich
$\Rightarrow D_{g}$	$=$	$ℝ \ {1}$
	↓	Bestimme das Verhalten der Funktion an der Definitionslücke
$\lim_{x \overset{\overset{}{>}}{\to} 1} g (x)$	$=$	$" \frac{- 1,5}{0^{+}} " = - \infty$
	↓	Untersuche das Verhalten im Unendlichen. Da der Zählergrad, der Funktion größer ist als der Nennergrad, gibt es eine schräge Asymptote.
$g (x)$	$=$	$\frac{0,5 x^{2} - 2}{1 - x}$
	↓	Bestimme diese Asymptote durch Polynomdivision.
	$=$	$- 0,5 x - 0,5 + \frac{1,5}{x - 1}$
	↓	Gib die schräge Asymptote an, da diese das Verhalten der Funktion im Unendlichen beschreibt.

$\lim_{x \overset{\overset{}{>}}{\to} 0} k (x)$	$=$	$" \frac{4}{0^{+} \cdot (- 2)} "$
	$=$	$- \infty$

$\lim_{x \overset{\overset{}{>}}{\to} 2} k (x)$	$=$	$" \frac{- 16 + 20 - 4 + 4}{8 \cdot 0^{+}} "$
	$=$	$+ \infty$

$n (x)$	$=$	$\frac{2}{x} + \frac{x^{2}}{2 x - 1}$
	$=$	$\frac{x^{3} + 4 x - 2}{x \cdot (2 x - 1)}$

$\| f (x) - 2 \|$	$<$	$\frac{1}{100}$
	↓	Setze $f (x)$ ein.
$\| \frac{1}{x^{2}} + 2 - 2 \|$	$<$	$\frac{1}{100}$
$\| \frac{1}{x^{2}} \|$	$<$	$\frac{1}{100}$
	↓	Den Betrag weglassen, da die linke Seite, aufgrund des $x^{2}$ immer positiv ist.
$\frac{1}{x^{2}}$	$<$	$\frac{1}{100}$	$\cdot x^{2} \cdot 100$
$100$	$<$	$x^{2}$	$\sqrt{}$

$\lim_{x \overset{\overset{}{>}}{\to} - 2} m (x)$	$=$	$" \frac{2 - 2 + 2}{(- 4) \cdot 0^{-}} "$
	$=$	$- \infty$

$\lim_{x \overset{\overset{}{>}}{\to} 2} m (x)$	$=$	$" \frac{2 + 2 + 2}{4 \cdot 0^{+}} "$
	$=$	$+ \infty$

$\lim_{x \to \pm \infty} m (x)$	$=$	$\lim_{x \to \pm \infty} \frac{2 + x + 0,5 x^{2}}{x^{2} - 4}$
	↓	Klammere $x^{2}$ im Zähler und im Nenner aus.
	$=$	$\lim_{x \to \pm \infty} \frac{\frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x} + 0,5}{1 - \frac{4}{x^{2}}}$
	↓	Berechne den Grenzwert
	$=$	$\frac{0 \pm 0 + 0,5}{1 - 0} = 0,5$

$\lim_{x \overset{\overset{}{>}}{\to} 0} n (x)$	$=$	$" \frac{0 + 0 - 2}{0^{+} \cdot (- 1)} "$
	$=$	$+ \infty$

$n (x)$	$=$	$\frac{x^{3} + 4 x - 2}{2 x^{2} - x}$
	↓	Forme den Term mit Polynomdivision um
	$=$	$0,5 x + 0,25 + \frac{4,25 x - 2}{2 x^{2} - 2}$

$\frac{x - 2}{1 + x}$	$=$	$- 1$
	↓	An der Stelle, an der die gebrochenrationale Funktion den y-Wert $- 1$ hat, ist der x-Wert $0,5$
$x$	$=$	$0,5$

$\frac{x}{x - 2}$	$=$	$- 3$	$\cdot (x - 2)$
	↓	Multipliziere über Kreuz.
$x$	$=$	$- 3 (x - 2)$
	↓	Multipliziere aus.
$x$	$=$	$- 3 x + 6$	$+ 3 x$
$4 x$	$=$	$6$	$: 4$
$x$	$=$	$\frac{6}{4} = 1,5$

$\frac{3}{2 + x}$	$=$	$\frac{1}{2 - x}$
	↓	Über Kreuz multiplizieren.
$3 \cdot (2 - x)$	$=$	$1 \cdot (2 + x)$
	↓	Die Klammer ausmultiplizieren.
$6 - 3 x$	$=$	$2 + x$	$- 2 + 3 x$
	↓	Nach $x$ auflösen.
$ 4$	$=$	$4 x$	$: 4$
$x$	$=$	$1$

Aufgaben zu gebrochen-rationalen Funktionen

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Zeichnung

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Waagrechte Asymptote

Senkrechte Asymptote

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Skizze

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Schnittpunkte von Funktionen

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Zeichnung

Bestimmung der Nullstelle

x-Wert mit f(x)=−3

Bestimmung der Schnittpunkte

Rechnung

Senkrechte Asymptote

Waagrechte Asymptote

Grenzwert gegen +∞

Grenzwert gegen −∞

Wertetabelle

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Senkrechte Asymptote

Waagrechte Asymptote

Grenzwert +∞

Grenzwert −∞

Wertetabelle

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x-Wert mit $f (x) = - 3$

Grenzwert gegen $+ \infty$

Grenzwert gegen $- \infty$

Grenzwert $+ \infty$

Grenzwert $- \infty$