Aufgaben

Gegeben ist die Funktion f mit der Abbildungsvorschrift %%f:x\mapsto\frac{2x}{2x+3}%% .

Welche Zahl kann nicht in der Definitionsmenge enthalten sein?

Berechne f(10), f(100), f(1000).

Berechnen von Funktionswerten

%%f(x)\;=\;\frac{2x}{2x+3}%%

Einsetzen von x = 10

%%f(10)\;=\;\frac{2\cdot10}{2\cdot10+3}\approx\;0,869%%

 

%%f(x)\;=\;\frac{2x}{2x+3}%%

Einsetzen von x = 100

%%f(100)\;=\;\frac{2\cdot100}{2\cdot100+3}\approx\;0,985%%

 

%%f(x)\;=\;\frac{2x}{2x+3}%%

Einsetzen von x = 1000

%%f(1000)\;=\;\frac{2\cdot1000}{2\cdot1000+3}\approx\;0,999%%

 

Lege eine Wertetabelle an und zeichne den Funktionsgraphen.

Gib die Gleichungen der Asymptoten von  %%G_f%% an.

Gegeben ist die Funktion %%h:\;x\mapsto\frac{1+x}{x-2}%%

Bestimme die Nullstelle der Funktion h.

An welcher Stelle nimmt die Funktion h den Wert 4 an ?

Ermitteln von Funktionswerten

   %%h(x)=\frac{1+x}{x-2}%%

Den Funktionsterm gleich 4 setzen!

%%\frac{1+x}{x-2}=4%%

%%\vert\;\cdot(x-2)%%

  %%1+x=(x-2)\cdot4%%

  %%1+x=4x-8%%

%%\left|{-4x\;-1}\right.%%

%%x-4x=-8-1%%

 

   %%-3x=-9%%

%%\left|{:\left(-3\right)}\right.%%

         %%x=3%%

 

Bestimme den maximal möglichen Definitionsbereich folgender gebrochenrationaler Funktionen:

Gib den maximal möglichen Definitionsbereich an und untersuche das Verhalten des Graphen an den Definitionslücken sowie für %%\mathrm x\rightarrow\pm\infty%% . Skizziere den Graphen.

%%\mathrm f(\mathrm x)=\frac{2-\mathrm x}{0,2\mathrm x^2-1}%%

%%f(x)= \dfrac{2-x}{0,2x^2-1}%%

Untersuche, wann der Nenner null wird.

%%0,2\mathrm x^2-1=0%%

%%\left|+1\;\;\;\;\left|:0,2\right.\right.%%

%%\mathrm x^2=5%%

%%\left|\sqrt{}\right.%%

%%\Rightarrow\;\;\mathrm x=\pm\sqrt5%%

Schließe die Definitionslücken aus und bestimme so den Definitionsbereich

%%\Rightarrow\;\;{\mathrm D}_\mathrm f=\mathbb{R}\;\backslash\;\left\{-\sqrt5\;,\;\sqrt5\right\}%%

Untersuche das Verhalten der Funktion an der 1. Definitionslücke

%%\lim_{\mathrm x\xrightarrow>\sqrt5}\mathrm f(\mathrm x)="\frac{2-\sqrt5}{0^+}"=-\infty%%

%%\lim_{\mathrm x\xrightarrow

Untersuche das Verhalten der Funktion an der 2. Definitionslücke

%%\lim_{\mathrm x\xrightarrow>-\sqrt5}\mathrm f(\mathrm x)="\frac{2+\sqrt5}{0^-}"=-\infty%%

Untersuche das Verhalten der Funktion im Unentlichen (Klammere dazu %%\mathrm x^2%% aus)

%%\lim_{\mathrm x\rightarrow\pm\infty}\mathrm f(\mathrm x)=\lim_{\mathrm x\rightarrow\pm\infty}\frac{{\displaystyle\frac2{\mathrm x^2}}-\displaystyle\frac1{\mathrm x}}{0,2-\displaystyle\frac1{\mathrm x^2}}%%

                   %%=\frac{0\pm0}{0,2-0}=0%%

Skizze

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/7503_aYUw4l9QCh.xml

%%\mathrm g(\mathrm x)=\frac{0,5\mathrm x^2-2}{1-\mathrm x}%%

Bestimme die Definitionlücken, indem zu schaust, wann der nenner 0 wird.

%%1-\mathrm x=0%%

%%\left|+\mathrm x\right.%%

%%\Rightarrow\;\;\mathrm x=1%%

Schließe die Definitionslücke aus und bestimme so den Definitionsbereich

%%\Rightarrow\;\;{\mathrm D}_\mathrm g=\mathbb{R}\;\backslash\;\left\{1\right\}%%

Bestimme das Verhalten der Funktion an der Definitionslücke

%%\lim_{\mathrm x\xrightarrow>1}\mathrm g(\mathrm x)="\frac{-1,5}{0^+}"=-\infty%%

Untersuche das Verhalten im Unendlichen. Da der Zählergrad, der Funktion größer ist als der Nennergrad, gibt es eine schräge Asymptote .

%%\mathrm g(\mathrm x)=\frac{0,5\mathrm x^2-2}{1-\mathrm x}%%

Bestimme diese Asymptote durch Polynomdivision .

       %%=-0,5\mathrm x-0,5+\frac{1,5}{\mathrm x-1}%%

Gib die schräge Asymptote an, da diese das Verhalten der Funktion im Unendlichen beschreibt.

%%\Rightarrow\;\;%% Asymptote: %%\mathrm y=-0,5\mathrm x-0,5%%

Skizze

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/7509_PpKtdW5Kn6.xml

%%\mathrm h(\mathrm x)=\mathrm x-1+\frac{2\mathrm x}{\mathrm x^2+1}%%

Prüfe, ob der Nenner 0 wird.

Nenner: %%\mathrm x^2+1%% wird nie 0

%%\Rightarrow\;\;%% keine Definitionslücke

Bestimme den Definitionsbereich

%%\Rightarrow\;\;{\mathrm D}_\mathrm h=\mathbb{R}%%

Die Funktion besteht nicht nur aus einem Bruch, sondern hat davor noch einen linearen Term.

%%\Rightarrow%% Die Funktion hat eine schräge Asymptote.

Bestimme diese. (kann direkt abgelesen werden)

Asymptote:  %%\mathrm y=\mathrm x-1%%

Skizze

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/7515_qCNVayIb9d.xml

%%\mathrm k(\mathrm x)=\frac{\mathrm x}{2\mathrm x-4}-\frac{\mathrm x^2+1}{\mathrm x}%%

%%\mathrm k(\mathrm x)=\frac{\mathrm x}{2\mathrm x-4}-\frac{\mathrm x^2+1}{\mathrm x}%%

Bestimme die Definitionslücken, indem du überprüfst, wann die Nenner 0 werden.

%%2\mathrm x-4=0%%

%%\left|+4\;\;\;\left|:2\right.\right.%%

%%\Rightarrow\;\;\mathrm x=2%%

%%\Rightarrow\;\;\mathrm x=0%%

Schließe die beiden Definitionslücken aus und bestimme so den Definitionsbereich

%%\Rightarrow\;\;{\mathrm D}_\mathrm k=\mathbb{R}\;\backslash\;\left\{0\;;\;2\right\}%%

%%\mathrm k(\mathrm x)=\frac{\mathrm x}{2\mathrm x-4}-\frac{\mathrm x^2+1}{\mathrm x}%%

Fasse die beiden Brüche zu einem Bruch zusammen

       %%=\frac{-2\mathrm x^3+5\mathrm x^2-2\mathrm x+4}{2\mathrm x\left(\mathrm x-2\right)}%%

Da der Zählergrad größer ist, als der Nennergrad, gibt es eine schräge Asymptote. Bestimme diese Asymptote durch Polynomdivision .

      %%=-\mathrm x+0,5+\frac2{\mathrm x\cdot\left(\mathrm x-2\right)}%%

Lese aus dieser Form die Asymptote direkt ab. Die Asymptote definiert das verhalten der Funktion im Unendlichen (Sie nähert sich er Asymptote an)

%%\Rightarrow%%   Asymptote: %%\mathrm y=-\mathrm x+0,5%%

Bestimme das Verhalten der Funktion an der 1. Definitionslücke

%%\lim_{\mathrm x\xrightarrow>0}\mathrm k(\mathrm x)="\frac4{0^+\cdot\left(-2\right)}"=-\infty%%

Bestimme das Verhalten der Funktion an der 2. Definitionslücke

%%\lim_{\mathrm x\xrightarrow>2}\mathrm k(\mathrm x)="\frac{-16+20-4+4}{8\cdot0^+}"=+\infty%%

Skizze

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/7517_YoNfdTV90i.xml

%%\mathrm m(\mathrm x)=\frac{2+\mathrm x+0,5\mathrm x^2}{\mathrm x^2-4}%%

Bestimme die Definitionslücken, indem du schaust, wann der Nenner 0 wird

%%\mathrm x^2-4=0%%

%%\left|+4\right.%%

%%\mathrm x^2=4%%

%%\left|\sqrt{}\right.%%

%%\Rightarrow\;\;\mathrm x=\pm2%%

Schließe die Definitionslücken aus und bestimme so den Definitionsbereich

%%\Rightarrow\;\;{\mathrm D}_\mathrm m=\mathbb{R}\;\backslash\;\left\{-2\;;\;2\right\}%%

Bestimme die beiden Grenzwerte (von links und von rechts) an der 1.Definitionslücke

%%\lim_{\mathrm x\xrightarrow>-2}\mathrm m(\mathrm x)="\frac{2-2+2}{\left(-4\right)\cdot0^-}"=-\infty%%

Bestimme die beiden Grenzwerte an der 2.Definitionslücke

%%\lim_{\mathrm x\xrightarrow>2}\mathrm m(\mathrm x)="\frac{2+2+2}{4\cdot0^+}"=+\infty%%

Bestimme das Verhalten der Funktion im Unendlichen. (Bestimme den Grenzwert im Unendlichen)

%%\lim_{\mathrm x\rightarrow\pm\infty}\mathrm m(\mathrm x)=\lim_{\mathrm x\rightarrow\pm\infty}\frac{2+\mathrm x+0,5\mathrm x^2}{\mathrm x^2-4}%%

Klammere %%\mathrm x^2%% im Zähler und im Nenner aus.

                   %%=\lim_{\mathrm x\rightarrow\pm\infty}\frac{{\displaystyle\frac2{\mathrm x^2}}+{\displaystyle\frac1{\mathrm x}}+0,5}{1-\displaystyle\frac4{\mathrm x^2}}%%

Berechne den Grenzwert

                  %%=\frac{0\pm0+0,5}{1-0}=0,5%%

Was bedeutet das für das Verhalten im Unendlichen?

%%\Rightarrow%%   Beidseitige Asymptote bei %%\mathrm y=0,5%%

Skizze

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/7523_f7BjDKngwW.xml

%%\mathrm n(\mathrm x)=\frac2{\mathrm x}+\frac{\mathrm x^2}{2\mathrm x-1}%%

%%\mathrm n(\mathrm x)=\frac2{\mathrm x}+\frac{\mathrm x^2}{2\mathrm x-1}=\frac{\mathrm x^3+4\mathrm x-2}{\mathrm x\cdot\left(2\mathrm x-1\right)}%%

Bestimme die Definitionslücken, indem du schaust, wann der Nenner 0 wird.

%%\mathrm x\left(2\mathrm x-1\right)=0%%

Betrachte die beiden Faktoren getrennt

%%\Rightarrow\;\mathrm x=0%%

%%\Rightarrow\;2\mathrm x-1=0%%

%%\left|+1\;\;\;\left|:2\right.\right.%%

                 %%\mathrm x=\frac12%%

Schließe die Definitionslücken aus und bestimme so den Definitionsbereich

%%\Rightarrow\;\;{\mathrm D}_\mathrm n=\mathbb{R}\;\backslash\;\left\{0\;;\;0,5\right\}%%

Bestimme das Verhalten der Funktion an der 1.DEfinitionslücke. Bestimme dazu die beiden Grenzwerte, die sich von unten bzw. oben an diese annähern.

%%\lim_{\mathrm x\xrightarrow>0}\mathrm n(\mathrm x)="\frac{0+0-2}{0^+\cdot\left(-1\right)}"=+\infty%%

Bestimme das Verhalten der Funktion an der 2.Definitionslücke

%%\lim_{\mathrm x\xrightarrow>0,5}\mathrm n(\mathrm x)="\frac{0,125+2-2}{0,5\cdot0^+}"=+\infty%%

Da der Zählergrad größer ist als der Nennergrad, gibt es eine schräge Asymptote, die das Verhalten der Funktion im Unendlichen beschreibt.

Bestimme also die schräge Asymptote .

%%\mathrm n(\mathrm x)=\frac{\mathrm x^3+4\mathrm x-2}{2\mathrm x^2-\mathrm x}%%

Forme den Term mit Polynomdivision um.

        %%=0,5\mathrm x+0,25\;+\frac{4,25\mathrm x-2}{2\mathrm x^2-2}%%

Lese aus dieser Form die Asymptote direkt ab und gib sie an.

%%\Rightarrow%%   Asymptote bei %%\mathrm y=0,5\mathrm x%%

Skizze

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/7525_nweD27vnZ5.xml

Gib den Term einer (möglichst einfachen) gebrochen rationalen Funktion f an, die folgende Eigenschaften besitzt.

  • Der Graph von %%f%% berührt die x-Achse an der Stelle %%x=-1%%;
  • die Funktion %%f%% hat die Polstelle %%x=3%%.

Überlege dir die Form einer gebrochen-rationalen Funktion und setze die 1. Bedingung ein. Da der Graph die x-Achse bei %%x=-1%% berührt, liegt dort eine doppelte Nullstelle.

%%f(x)=\dfrac{y}{z}=\dfrac{(x+1)^2}{z}%%

Setze jetzt die 2. Bedingung ein. Es muss eine nicht-hebbare Definitionslücke bei %%x=3%% geben.

%%f(x)=\dfrac{(x+1)^2}{x-3}%%

Der Graph von f hat eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel bei %%{\mathrm x}_1=2%% und für %%\mathrm x\rightarrow\pm\infty%% die Asymptote %%\mathrm y=0,5%%

Stelle eine allgemeine Form einer gebrochenrationalen Funktion auf

  %%\mathrm f(\mathrm x)=\frac{\mathrm y}{\mathrm z}%%

Setze die 1. Bedingung ein (Polstelle ohne Vorzeichenwechsel bei 2)

%%\Rightarrow%%   Funktion bei 2 nicht definiert

%%\Rightarrow\;\;\mathrm f(\mathrm x)=\frac{\mathrm y}{\left(\mathrm x-2\right)^2}%%

Setze die 2. Bedingung ein (Asymptote bei 0,5). D. h. Zählergrad = Nennergrad und es muss einen Faktor 0,5 geben.

  %%\Rightarrow\;\;\mathrm f(\mathrm x)=\frac{0,5\cdot\mathrm x^2}{\left(\mathrm x-2\right)^2}%%

 Zeichne eine Skizze (mit Wertetabelle)

 Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/7469_IcDX9l4Fej.xml

Der Graph von f hat Polstellen mit Vorzeichenwechsel bei %%{\mathrm x}_1=-1%% und  %%{\mathrm x}_2=2%% und für %%\mathrm x\rightarrow\pm\infty%% die Asymptote %%\mathrm y=0,5\mathrm x-1%%

Allgemeine Form einer gebrochen rationalen Funktion: f(x)=%%\frac yz%%

Setze die 1. Bedingung ein: Polstellen mit Vorzeichenwechsel bei -1 und 2

%%{\mathrm f}_1(\mathrm x)=\frac1{\left(\mathrm x+1\right)\left(\mathrm x-2\right)}%%

Setze die 2. Bedingung ein: Asymptote bei %%0,5\mathrm x-1%%

%%\Rightarrow\;\;\mathrm f(\mathrm x)=0,5\mathrm x-1+\frac1{\left(\mathrm x+1\right)\left(\mathrm x-2\right)}%%

Zeichne eine Skizze der Funktion

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/7475_tecuEwo62s.xml

Der Graph von f hat eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel bei %%{\mathrm x}_1=-2%% , ist punktsymmetrisch zum Ursprung und hat für %%\mathrm x\rightarrow\pm\infty%% die Asymptote %%\mathrm y=0%%

Allgemeine Form einer gebrochen rationalen Funktion: f(x)= %%\frac yz%%

Setze die 1. Bedingung ein: Polstelle mit Vorzeichenwechsel bei -2

%%\Rightarrow%% auch Polstelle bei 2, da Funktion punktsymmetrisch sein soll

%%\mathrm f(\mathrm x)=\frac1{\left(\mathrm x+2\right)\left(\mathrm x-2\right)}=\frac1{\mathrm x^2-4}%%

Setze 2. Bedingung ein: punktsymmetrisch zum Ursprung

%%\Rightarrow\;\;\mathrm f(\mathrm x)=\frac{\mathrm x}{\mathrm x^2-4}%%

Zeichne eine Skizze (mit Wertetabelle)

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/7477_7NLeK9E6yH.xml

Der Graph von f hat eine Polstelle bei %%{\mathrm x}_1=0%% und ist achsensymmetrisch zur y-Achse.

Für %%\mathrm x\rightarrow\pm\infty%% hat der Graph die Asymptote %%\mathrm y=0%% und bei %%{\mathrm x}_2=2%% befindet sich eine Nullstelle.

Allgemeine Form einer gebrochen rationalen Funktion: f(x) = %%\frac yz%%

Setze die 1. Bedingung ein: Polstelle bei 0 und achsensymmetrisch

%%\Rightarrow%% bei 0 nicht definiert (unter dem Bruch) und gerade Potenz

%%\mathrm f(\mathrm x)=\frac1{\mathrm x^{2\mathrm n}}%%

Setze die 2. Bedingung ein: Asymptote bei %%\mathrm y=0%%

%%\mathrm f(\mathrm x)=\frac1{\mathrm x^4}%%

Setze die 3. Bedingung ein: Nullstelle bei 2 und achsensymmetrisch

%%\Rightarrow\;\;\mathrm f(\mathrm x)=\frac{\mathrm x^2-4}{\mathrm x^4}%%

Zeichne eine Skizze (mit Wertetabelle)

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/7481_6m54KE83kD.xml

Der Querschnitt einer kreisrunden Wasserschale wird von drei Strecken und dem Graphen der Funktion %%f(x)=\frac{4x^2+32}{x^2+16}-2%% berandet (siehe Zeichnung; Maßstab 1:10).

Berechne die Wassertiefe in der Schale, wenn die Wasserbreite 40 cm beträgt.

Aufgrund der Symmetrie der Schale zur y-Achse ist bei einer Wasserbreite von 40 cm unter Beachtung des Maßstabs das 10-fache des Funktionswerts f(2) gesucht:

$$f(2)=\frac{4\cdot4+32}{4+16}-2=0,4$$

Das Wasser steht in der Schale also 4 cm tief.

Gegeben ist der Graph einer linearen und einer gebrochenrationalen Funktion

 

Graph einer linearen und einer gebrochenrationalen Funktion

Die Zeichnung zeigt die Graphen der Funktionen mit den Funktionsgleichungen %%y=\frac{x-2}{1+x}%% und %%y=-\frac12x+1%% .

Bestimme anhand der Zeichnung die Lösungsmenge der Gleichung %%\frac{x-2}{1+x}=-\frac12x+1%% .

Zeichne die Graphen zu den Termen  %%\mathrm f\left(\mathrm x\right)=\frac{\mathrm x}{\mathrm x-2}%%  und  %%\mathrm g\left(\mathrm x\right)\;=\;\frac13\mathrm x%%  in ein Koordinatensystem.

Bestimme rechnerisch die Nullstelle von f, denjenigen x-Wert mit  %%\mathrm f\left(\mathrm x\right)=-3%%  und die Schnittpunkte von f und g.

Zeichnung

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/8480_IDafL00uol.xml

Bestimmung der Nullstelle

%%f(x)=\dfrac{x}{x-2}%%

Ein Bruch wird Null, wenn der Zähler Null ist. %%\rightarrow%% Setze %%\mathrm z\left(\mathrm x\right)=0%%

%%\Rightarrow {\mathrm x}_\mathrm N=0%%

Der Graph hat bei %%x_N=0%% eine Nullstelle.

x-Wert mit  %%f(x)=-3%%

Setze %%f(x)=-3%%

%%\frac{x}{x-2}=-3%%

%%\left|\cdot\left(\mathrm x-2\right)\right.%% Über Kreuz multiplizieren

%%\mathrm x=-3\left(\mathrm x-2\right)%%

Ausmultiplizieren

%%\mathrm x=-3\mathrm x+6%%

%%\left|+3\mathrm x\right.%%

%%4\mathrm x=6%%

%%\left|:4\right.%%

%%x=\frac64%%

%%\mathrm x=1,5%%

Für %%x=1,5%% nimmt die Funktion den Wert %%-3%% an.

Bestimmung der Schnittpunkte

%%f(x)= \dfrac{x}{x-2}%% , %%g(x)=\dfrac x3%%

Setze %%\mathrm f\left(\mathrm x\right)%% und %%\mathrm g\left(\mathrm x\right)%% gleich.

%%\frac{\mathrm x}{\mathrm x-2}=\frac{\mathrm x}3%%

%%\left|\cdot3\left(\mathrm x-2\right)\right.%% Über Kreuz multiplizieren

%%3\mathrm x=\mathrm x\left(\mathrm x-2\right)%%

Ausmultiplizieren.

%%3\mathrm x=\mathrm x^2-2\mathrm x%%

%%\left|-3\mathrm x\right.%%

%%\mathrm x^2-5\mathrm x=0%%

Klammere x aus.

%%\mathrm x\left(\mathrm x-5\right)=0%%

Ein Produkt wird 0, wenn einer der beiden Faktoren 0 ist.

%%{\mathrm x}_{\mathrm S1}=0\;\;\;\;\;{\mathrm x}_{\mathrm S2}=5%%

Setze  %%{\mathrm x}_{\mathrm S2}%%  in eine der beiden Funktionen ein.

%%{\mathrm y}_{\mathrm S2}=\frac53%%

%%\;\;\Rightarrow\;\;{\mathrm S}_1\left(0/0\right)\;\;\;\;\;{\mathrm S}_2\left(5/\frac53\right)%%

In der Definitionsmenge von %%f(x)%% muss nur %%2%% ausgenommen werden, bei %%g(x)%% sind alle rationalen Zahlen erlaubt.

Daher ist die Lösungsmenge: %%L=\{0,5\}%%

Gegeben ist die Funktion %%f:x\mapsto f\left(x\right)=\frac1{x^2}+2%%   mit maximaler Definitionsmenge.

  1. Gib die maximale Definitionsmenge an.

  2. Weise nach, dass der Graph der Funktion f achsensymmetrisch zur
    y-Achse ist.

  3. Skizziere den Graphen der Funktion in ein Koordinatensystem.

  4. Für welche Werte von x unterscheiden sich die Funktionswerte der Funktion f um weniger als  %%\frac1{100}%% vom Wert 2?

Teilaufgabe a)

%%f\left(x\right)=\frac1{x^2}+2%%

Die Funktion hat eine Definitionslücke bei 0, da nicht durch 0 geteilt werden darf.

  %%\Rightarrow%%   %%D_f=ℝ\backslash\left\{0\right\}%%

 

 

Teilaufgabe b

%%f\left(x\right)=\frac1{x^2}+2%%

Ersetze x durch -x.

%%f\left(-x\right)=\frac1{\left(-x\right)^2}+2%%

 

            %%=\frac1{x^2}+2=f\left(x\right)%%

 

Da %%f\left(-x\right)=f\left(x\right)%% ist die Funktion Achsensymmetrisch zur y-Achse .

 

Teilaufgabe c

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/943.xml

 

Teilaufgabe d

%%\left|f\left(x\right)-2\right|< \frac {1}{100}%%

%%f\left(x\right)%% einsetzen.

%%\left|\frac1{x^2}+2-2\right| < \frac{1}{100}%%

Den Betrag weglassen, da die linke Seite, aufgrund des %%x^2%% immer positiv ist.

%%\frac1{x^2} < \frac{1}{100}%%

%%\left|{\cdot x^2\;\cdot100}\right.%%

%%100 < x^2%%

%%\left|\sqrt{}\right.%%

%%\sqrt{100} < x%%

Wurzel ziehen .

Da nicht bekannt ist, ob x positiv oder negativ ist, gibt es zwei Lösungen.

%%\ \ \ 10 < x%%
%%-10 >x%%

Die gesamte Lösung sind beide Lösungen vereinigt.

%%x<-10%% oder %%x>10%%

 

Zeichne die Graphen der Funktionen %%f:\;x\mapsto\frac3{x+2}%% und %%f_1:\;x\mapsto\frac1{2-x}%%

Lies die Koordinaten des Schnittpunkts der Graphen aus der Zeichnung ab und überprüfe dein Ergebnis rechnerisch.

Schnittpunkte zweier Funktionsgraphen

Zeichnung

%%f_{}:\;x\mapsto\frac3{x+2}%%%%f_1:\;x\mapsto\frac1{2-x}%%

Schnittpunkt A bei (1/1)

Geogebra File: /uploads/legacy/2710_UvQn0LETgM.xml

Rechnung

 

 

Gleichsetzen der beiden Funktionsterme

%%\frac3{2+x}=\frac1{2-x}%%

%%3\cdot(2-x)=1\cdot(2+x)%%

%%6-3x=2+x%%

nach %%x%% auflösen

%%4=4x%%

%%\vert\;:\;4%%

%%x=1%%

 

  %%f_{}:\;x\mapsto\frac3{x+2}%%

Einsetzen von x in einen der Funktionsterme

%%y=\frac1{2-1}=\frac11=1%%

 

Schnittpunkt bei %%(1/1)%%

 

Zeichne mit Hilfe einer Wertetabelle die Graphen zu folgenden Funktionsgleichungen; bestimme waagrechte und senkrechte Asymptote.

$$y=\frac{2x}{x+3}$$

Senkrechte Asymptote

%%f(x)=\dfrac{2x}{x+3}%%

Setzte den Nenner 0, um die Definitionslücke herauszufinden.

%%x+3=0%%

|-3

%%x=-3%%

Die Funktion hat eine senkrechte Asymptote bei x=-3.

Waagrechte Asymptote

%%f(x)=\dfrac{2x}{x+3}%%

Um die waagrechten Asymptoten zu berechnen, betrachte die Grenzwerte gegen %%+\infty%% und %%-\infty%%.

Grenzwert gegen %%+\infty%%

%%\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{2x}{x+3}=%%

Klammere x aus.

%%\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{2}{1+\frac 3x}=2%%

Grenzwert gegen %%-\infty%%

%%\lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{2x}{x+3}=%%

Klammere x aus.

%%\lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{2}{1+\frac 3x}=2%%

Die Funktion hat also eine waagrechte Asymptote bei y=2.

Wertetabelle

x

-4

-2

-1

0

1

2

3

f(x)

8

-4

-1

0

0,5

%%\frac 45%%

1

Gezeichnet sieht der Graph dann so aus:

Graph einer gebrochen rationalen Funktion

$$y=-\frac2x+\frac32$$

Senkrechte Asymptote

%%f(x)= -\dfrac 2x + \dfrac 32%%

Bringe alles auf einen Nenner.

%%f(x)= \dfrac{-4+3x}{2x}%%

Lese die senkrechte Asymptote ab:

Die Funktion hat eine senkrechte Asymptote an der Stelle x=0.

Waagrechte Asymptote

%%f(x)= -\dfrac 2x + \dfrac 32%%

Betrachte die Grenzwerte gegen %%+\infty%% und %%-\infty%%, um waagrechte Asymptoten herauszufinden.

Grenzwert gegen %%+\infty%%

%%\lim_{x\rightarrow+\infty} f(x)= \lim_{x\rightarrow-\infty} -\dfrac 2x + \dfrac 32 = \dfrac 32%%

Grenzwert gegen %%-\infty%%

%%\lim_{x\rightarrow-\infty} f(x)= \lim_{x\rightarrow-\infty} -\dfrac 2x + \dfrac 32 = \dfrac 32%%

Die Funktion hat also eine waagrechte Asymptote bei y= %%\dfrac 32%%

Wertetabelle

x

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

f(x)

2

%%\frac {10}{6}%%

1,5

3,5

-0,5

0,5

%%\frac {2}{10}%%

1

Gezeichnet sieht der Graph dann so aus:

Graph mit einer gebrochen-rationalen Funktion

Spiegeln, verschieben, stauchen

Zeichne den Graphen der Funktion %%f(x)=\frac3x%% und bestimme damit die Graphen von %%g(x)=-\frac3x-2%% , %%h(x)=\frac3{x+1,5}%% und %%k(x)=\frac{1,5}x%%

  • %%\mathrm f\left(\mathrm x\right)=\frac3{\mathrm x}%%

Setze verschiedene Werte für x ein und zeichne das Ergebnis ein.
Bsp.: %%\mathrm x=3\;;\;\rightarrow\;\mathrm y=1%%

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/5391_p3pwAagN1e.xml

  • %%g(x)=-\frac3x-2%%

%%g(x)=-\frac3x-2%%    %%\rightarrow%% Das Minus bedeutet, dass der Graph an der y-Achse gespiegelt wird. Die -2 verschieben den Graphen um 2 LE nach unten in y-Achsen Richtung.

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/5393_SjsykLLL6M.xml

  • %%h(x)=\dfrac {3}{x+1,5}%%

Die hinzugefügte 1,5 im Nenner, bewirkt, dass die Funktion eine senkrechte Asymptote bei x=-1,5 hat.

Plot der Funktion h

  • %%k(x)=\frac{1,5}{x}%%

Hier wurde der Zähler halbiert, also wird der ganze Ausdruck kleiner, also gestaucht.

Plot der Funktion k

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