Differenzierbarkeit

Differenzierbarkeit überprüfen

Der obige Grenzwert existiert genau dann, wenn linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert des zugehörigen Differenzenquotienten existieren und übereinstimmen, d. h. wenn gilt:

$\lim_{x \to x_0^-}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\;=\;\lim_{x \to x_0^+}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.$

Diese Äquivalenz ist insbesondere dann hilfreich, wenn die Differenzierbarkeit zusammengesetzter Funktionen an einer "Nahtstelle" $x_0$ überprüft werden soll.

Sind die Ableitungen links und rechts von $x_0$ bereits bekannt, kann die Differenzierbarkeit über die Gleichheit der Ableitungen nachgewiesen werden. Eine an der Stelle $x_0$ stetige Funktion $f$ ist also differenzierbar, wenn beide Grenzwerte existieren und gilt:

$\lim_{x \to x_0^-} f^\prime(x)=\lim_{x \to x_0^+}f^\prime(x).$

Nicht differenzierbare Funktionen

Differenzierbarkeit einer Funktion bedeutet, dass der Graph der Funktion an jeder Stelle eine eindeutig bestimmbare Tangente besitzt.

Ist eine Funktion an einer Stelle $x_0$ nicht differenzierbar, so ist die Tangente an dieser Stelle nicht bestimmbar. Dafür kann es verschiedene Gründe geben.

Besitzt der Graph an einer Stelle eine "Spitze", so kann man dort zwei unterschiedliche "Tangenten" konstruieren, eine "linksseitige Tangente" und eine "rechtsseitige Tangente". Aber eben keine eindeutige, "einzige" Tangente. Die Funktion ist an dieser Stelle nicht differenzierbar.

Die durch $f(x)=\sqrt[3]x$ gegebene Funktion ist ein weiteres Beispiel für eine nicht differenzierbare Funktion. Es gilt nämlich: ⁣$\lim_{x\to0}\frac{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{0}}{x-0}=\lim_{x\to0}\frac{1}{\sqrt[3]{x}^2}=\infty$

Somit ist $f$ nicht an der Stelle $x_0=0$ differenzierbar.

Differenzierbarkeit höherer Ordnungen

Wir betrachten eine differenzierbare Funktion $f$. Ist ihre Ableitung ebenfalls differenzierbar, so heißt die Funktion zweimal differenzierbar. Analog lassen sich die Bezeichnungen dreimal / viermal / $n$-mal differenzierbar definieren.

Eine differenzierbare Funktion, deren Ableitungsfunktion $f'$ stetig ist, heißt stetig differenzierbar.

Differenzierbarkeit nachweisen

Der Differentialquotient lässt sich mit der h-Methode berechnen.

Zusammenhang zwischen Differenzierbarkeit und Stetigkeit