Aufgaben
Welche der folgenden Vierecke sind Rechtecke?
Rechteck
Rechteck
Rechteck
Drache
Viereck

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechteck

Damit eine Figur als Rechteck bezeichnet werden kann, müssen diese Eigenschaften gelten:
  • Mindestens drei Winkel sind 90° groß
  • Gegenüberliegende Seiten sind parallel zueinander
Die ersten drei Figuren sind Rechtecke, weil alle Winkel in den Figuren 90° groß sind. Außerdem sind gegenüberliegende Seiten parallel.

Für die anderen beiden Figuren gelten diese Eigenschaften nicht alle. Daher sind sie keine Rechtecke.
Gib an, wie du den Umfang UU folgender Formen berechnen kannst.
Quadrat
UQuadrat=a+a+a+aU_{\text{Quadrat}}=a+a+a+a
UQuadrat=4aU_{\text{Quadrat}} = 4 \cdot a
UQuadrat=a2U_{\text{Quadrat}}= a^2
UQuadrat= 2aU_{\text{Quadrat}}=\ 2\cdot a

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Umfang eines Quadrats

Den Umfang des Quadrats berechnest du, indem du alle Seitenlängen addierst. Das Quadrat hat 4 Seiten der Länge a.a. Die richtigen Antworten sind also:
UQuadrat=4aU_{\text{Quadrat}} = 4 \cdot a
und
UQuadrat=a+a+a+aU_{\text{Quadrat}} = a + a + a + a.
Rechteck
URechteck=a+b+a+bU_{\text{Rechteck}}=a+b+a+b
URechteck=2(a+b)U_{\text{Rechteck}}=2\cdot (a+b)
URechteck=2a2bU_{\text{Rechteck}}=2a\cdot 2b
URechteck=abU_{\text{Rechteck}}=a\cdot b

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechteck

In dieser Aufgabe geht es um den Umfang eines Rechtecks mit den Seitenlängen aa und bb. Dieser ergibt sich als Summe der vier Seitenlängen:
URechteck=2a+2bU_{\text{Rechteck}}=2\cdot a+2\cdot b
wwwi=a+a+b+b\displaystyle \phantom{www-i}= a+a+b+b
wwwi=(a+b)+(a+b)\displaystyle \phantom{www-i}= \left( a+b \right)+\left( a+b \right)
Kommutativgesetz und Assoziativgesetz für Addition
wwwi=2(a+b)\displaystyle \phantom{www-i}= 2 \cdot \left( a+b \right)
Folglich sind die richtigen Antworten:
URechteck=a+b+a+bU_{\text{Rechteck}} = a+b+a+b
und
URechteck=2(a+b)U_{\text{Rechteck}} = 2 \cdot \left( a+b \right)
Gib an, wie du den Flächeninhalt AA folgender Formen berechnen kannst.
Quadrat
AQuadrat=a2A_{\text{Quadrat}}=a^2
AQuadrat=aaA_{\text{Quadrat}}=a\cdot a
AQuadrat=a+aA_{\text{Quadrat}}=a+a
AQuadrat=4aA_{\text{Quadrat}}=4\cdot a

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadrat

Um den Flächeninhalt des Quadrats zu berechnen, multiplizierst du zwei Seitenlängen miteinander, nimmst sie also Mal. Bei diesem Quadrat hat jede Seite die Länge aa.
Folglich sind die richtigen Lösungen:
AQuadrat=aaA_{\text{Quadrat}}=a\cdot a
und
AQuadrat=a2A_{\text{Quadrat}}=a^2.
Rechteck
ARechteck=abA_{\text{Rechteck}}=a \cdot b
ARechteck=baA_{\text{Rechteck}}=b \cdot a
ARechteck=a+bA_{\text{Rechteck}}=a + b
ARechteck=2a+2bA_{\text{Rechteck}}=2 \cdot a \,+ 2 \cdot b

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechteck

In dieser Aufgabe musst du die richtige Formel für den Flächeninhalt des Rechtecks finden. Du kannst ihn berechnen, indem du die Längen von zwei aneinanderliegenden Seiten multiplizierst, also Mal nimmst.
Die richtigen Lösungen sind also:
ARechteck=abA_{\text{Rechteck}} = a \cdot b
und
ARechteck=baA_{\text{Rechteck}}=b\cdot a

Berechne für ein Rechteck die fehlenden Größen:

 

$$$$

Länge l

Breite b

Flächeninhalt A

Umfang U

a)

5 cm

7 dm

b)

30 cm

1,4 m

c)

120 m

6 ha

d)

80 cm

4 m²

$$$$

Länge l

Breite b

Flächeninhalt A

Umfang U

a)

5 cm

7 dm

3,5 dm²

15dm

b)

30 cm

0,4 m

0,12 m²

1,4 m

c)

500 m

120 m

6 ha

1240 m

d)

80 cm

5 m

4 m²

11,6 m

a) Berechnung Flächeninhalt A und Umfang U

Gegeben:

Länge l = 5cm Breite b = 7dm

Gesucht: Flächeninhalt A und Umfang U

Die Länge l musst du erst in die Einheit dm umrechnen.

$$A=0,5dm\cdot7dm=3,5dm²$$ $$U=2l+2b$$ $$U=2\cdot0,5dm+2\cdot7dm=15dm$$

Die Länge l wird mit der Breite b multipliziert um den Flächeninhalt A zu erhalten.

Die Werte werden für l und b eingesetzt um das Ergebnis von U zu erhalten.

b) Berechnung Breite b und Flächeninhalt A

Gegeben:

Länge l = 30cm
Umfang U = 1,4m

Gesucht: Breite b und Flächeninhalt A

Die Länge l wird in Meter umgerechnet und der Anteil am Umfang U abgezogen

$$U=2l+2b$$ $$U-2l=1,4m-2\cdot0,3m=0,8m$$ $$2b=0,8m$$ $$b=0,8m:2=0,4m$$ $$A=l\cdot b$$ $$A=0,3m\cdot0,4m=0,12m²$$

Die Breite b bekommst du aus dem Umfang U, indem die Länge l abgezogen wird und die Breite b durch Teilen (Division) hervorgeht.

Um von 2b (2 mal b) den Wert für b rauszubekommen, teilst du das Ergebnis durch 2.

Durch die erhaltene Breite b kannst du dann den Flächeninhalt A ausrechnen.

c) Berechnung Länge l und des Umfang U

Gegeben:

Breite b = 120m
Flächeninhalt A = 6ha

Gesucht: Länge l und Umfang U

Der Flächeninhalt A wird in umgerechnet und durch die Breite b geteilt.

$$A=l\cdot b$$ $$A=60000m²:120m=500m$$ $$l=500m$$

Um die Länge l zu erhalten, teilst du den Flächeninhalt A durch die Breite b.

Als Ergebnis kommt der andere Teil vom Flächeninhalt, die Länge l als Ergebnis heraus.

$$U=2l+2b$$ $$U=2\cdot500m+2\cdot120m=1240m$$

Die Werte der Länge l und der erhaltenen Breite b werden eingesetzt, das Ergebnis ist der Umfang.

d) Berechnung Breite b und Umfang U

Gegeben:

Länge l = 80cm
Flächeninhalt A = 4m²

Gesucht: Breite b und Umfang U

Die Länge l rechnest du in Metern um, damit der Flächeninhalt durch l geteilt wird.

$$A=l\cdot b$$ $$A=4m²:0,8m=5m$$

$$l=5m$$

Durch Teilen vom Flächeninhalt durch die vorhandene Länge l bekommst du das Ergebnis der Breite b.

$$U=2l+2b$$ $$U=2\cdot5m+2\cdot0,8m=9,6m$$

Für den Umfang müssen die Länge l und die ausgerechnete Breite b eingesetzt werden

Ein rechteckiger Garten der Länge 12m und der Breite 9,5m soll eingezäunt werden. Wie lang ist der Zaun, wenn für zwei Gartentore jeweils 2,7m ausgespart werden?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnung am Rechtek

Länge l=12  ml = 12\;\mathrm{m}
Breite b=9,5  mb = 9,5\;\mathrm{m}
Die Zaunlänge entspricht dem Umfang eines Rechtecks. Berechne also den Umfang UU.
U=2l+2bU = 2l + 2b
Setzte die gegebenen Zahlenwerte für ll und bb ein.
U=212  m+29,5  mU = 2 \cdot 12\;\mathrm{m} + 2\cdot 9,5\;\mathrm{m}
U=43  mU = 43\;\mathrm{m}
Für zwei Gartentore sollen jeweils 2,7 m ausgespart werden. Subtrahiere also die Gesamtlänge der Gartentore von dem Umfang des Gartens.
22,7  m=5,4  m2 \cdot 2,7\;\mathrm{m} = 5,4\;\mathrm{m}
43  m5,4  m=37,6  m43\;\mathrm{m} - 5,4\;\mathrm{m} = 37,6\;\mathrm{m}
Der Zaun ist 37,6  m37,6\;\mathrm m lang.

Auf einem unbebauten, rechteckigen Grundstück, das 122,40 m lang und 83,16 m breit ist, soll ein Spiel- und Sportplatz angelegt werden.

Das Gelände soll dazu rundherum mit einem Zaun umgeben werden.

  1. Wie viele m Zaun braucht man, wenn dabei an einer Stelle 2,12 m für das Eingangstor frei gelassen werden müssen?
  2. Was kostet das Einzäunen des Grundstücks, wenn die Stadtverwaltung für 1 m Zaun 12 € bezahlen muss, und das Tor 264 € kostet?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechteck und Quadrat



Teilaufgabe 1

Diese Aufgabe kannst du
  • entweder schrittweise rechnen,
  • oder lösen, indem du eine Formel anwendest.
Hier stehen beide Möglichkeiten - suche dir die für dich passende aus.

Lösung durch schrittweises Rechnen

Skizze
Zaun
Plan zur Berechnung.
In der Skizze erkennst du: Die Länge des Zauns ist die vier Seiten des Rechtecks zusammengerechnet minus das Tor.
Rechne also zuerst die vier Rechtecksseiten zusammen.
Vier Rechtecksseiten zusammenrechnen
122,40 m83,16 m+122,40 m+83,16 m411,12 m\begin{array}{rr}&122,40\ \mathrm{m}\\ &83,16\ \mathrm{m}\\+& 122,40\ \mathrm{m}\\+& 83,16\ \mathrm{m}\\\hline&411,12\ \mathrm{m}\end{array}
Nun musst du noch das Tor abziehen.
Breite des Tores abziehen
411,12 m2,12 m409,00 m\begin{array}{rr}& 411,12\ \mathrm{m}\\ & 2,12\ \mathrm{m}\\\hline& 409,00\ \mathrm{m}\end{array}

Lösung: Man benötigt 409 m409\ \mathrm{m} Zaun, um das Gelände einzuzäunen.

Lösung mit Formel

Skizze
Zaun
Plan zur Berechnung
Gesucht ist
  • der Umfang eines Rechtecks mit den Seiten 122,40m122,40\, \mathrm{m} und 83,16m83,16\, \mathrm{m}
  • minus die Torbreite von 2,12m2,12\, \mathrm{m}.
Umfang berechnen und Torbreite abziehen
U=2a+2bU=2\cdot a + 2\cdot b
Setze hier die Werte ein:
  • 122,40m122,40\, \mathrm{m} für aa, und
  • 83,16m83,16\, \mathrm{m} für bb
(oder umgekehrt natürlich).
U=2122,40m+283,16mU= 2\cdot 122,40\, \mathrm{m} + 2\cdot 83,16\, \mathrm{m}
Rechne das aus.
U=411,12mU= 411,12\, \mathrm{m}
Ziehe davon nun noch die Torbreite ab, um die Zaunlänge lZaunl_{Zaun} zu erhalten.
lZaun=411,12m2,12m=409 ml_{Zaun}= 411,12\, \mathrm{m}-2,12\, \mathrm{m} = 409\ \mathrm{m}
Lösung: Man benötigt 409 m409\ \mathrm{m} Zaun, um das Gelände einzuzäunen.

Teilaufgabe 2

Gegeben:
  • 1 m1\ \mathrm{m} Zaun kostet 12 €12\ €
  • Das Tor kostet 264 €264\ €
Außerdem weißt du aus Teilaufgabe 1:
  • Man benötigt 409 m409\ \mathrm{m} Zaun.
Gesucht: Gesamtkosten
Die Gesamtkosten sind die Kosten für den Zaun plus die Kosten für das Tor.
Berechne zuerst die Kosten für den gesamten Zaun.

Kosten für gesamten Zaun

1 m1\ \mathrm{m} Zaun kosten 12 €12\ €, also kosten 409 m409\ \mathrm{m} Zaun 40912 €409 \cdot 12\ €.
%%\begin{array}{r}409 \cdot 12\\\hline409\phantom{0}\\818\\\hline4908\end{array}%%
Addiere nun noch die Kosten für das Tor.

Gesamtkosten

Kosten für Zaun + Kosten für Tor =
%%\begin{array}{rr}&4908\ € \\+&264\ €\\\hline&5172\ €\end{array}%%

Lösung: Das Einzäunen kostet die Stadtverwaltung insgesamt 5172 €5172\ €.

Ein Fußballfeld ist 110 m lang und 75 m breit. Berechne die Fläche und den Umfang des Fußballfelds.

Wenn du bei dieser Aufgabe noch Hilfe brauchst kannst du dir den Artikel zum Rechteck anschauen.

Gegeben:

$$\begin{array}{l}l=110\;\\b=75\end{array}$$

%%\qquad%%

%%l%% steht hier für die Länge

%%b%% steht hier für die Breite

Gesucht: $$A;\;U$$

%%\qquad%%

%%A%% mit A wird häufig der Flächeninhalt bezeichnet

%%U%% steht hier für den Umfang

Flächeninhalt

%%Hinweis:%% In dieser Lösung wird ohne Einheiten gerechnet. Daher steht am Ende der Aufgabe zusätzlich ein Antwortsatz. Beachte, dass diese Vorgehensweise nicht ohne Weiteres möglich ist, wenn Werte in verschiedenen Einheiten angegeben werden.

Benutze nun die Formel für den Flächeninhalt um das Ergebnis zu berechnen.

$$A=l\cdot b$$

Setze nun die gegebenen Werte ein.

$$A=110\cdot75$$ $$A=8250$$

%%\Rightarrow%% Der Flächeninhalt des Fußballfelds beträgt %%8250 m^2%%

Umfang

%%Hinweis:%% In dieser Lösung wird ohne Einheiten gerechnet. Daher steht am Ende der Aufgabe zusätzlich ein Antwortsatz. Beachte, dass diese Vorgehensweise nicht ohne weiteres möglich ist, wenn Werte in verschiedenen Einheiten angegeben werden.

Benutze nun die Formel für den Umfang um das Ergebnis zu berechnen.

$$U=2b+2l$$

Setze nun die gegebenen Werte ein.

$$U=2\cdot75+2\cdot110$$ $$U=370$$ %%\Rightarrow%% Der Umfang des Fußballfelds beträgt %%370 m%%.

Beachte: Punkt vor Strich!

Manuelas Zimmer ist 4 m lang, 3,5 m breit und 2,5 m hoch. Eine der beiden großen Wandflächen soll einen gelben Farbanstrich erhalten. Von einem Farbtopf mit der Aufschrift "Inhalt 2,5 l ausreichend für 20 m2\mathrm{m^2} - 25 m2\mathrm{m^2} " ist noch die Hälfte übrig. Reicht die Menge für den Anstrich der Wand? Begründe deine Antwort durch Rechnung.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnungen am Rechteck

Die "große" Wandfläche ist 4 m lang und 2,5 m hoch. Berechne die rechteckige Fläche der Wand.
4  m2,5  m=10  m24\;\mathrm m\cdot2,5\;\mathrm m=10\;\mathrm m^2
Überlege dir für wie viel m2\mathrm{m}^2 Wandfläche die restliche Farbe noch reicht. Es ist noch die Hälfte der Farbe da.
Die Farbe reicht für

1220  m2=10  m2\frac12 \cdot 20\; \mathrm{m^2}= 10\;\mathrm m^2

bis

1225  m2=12,5  m2\frac12 \cdot 25 \;\mathrm{m^2} = 12,5\;\mathrm m^2.
Vergleiche das Ergebnis mit der erechneten Wandfläche.
Die Farbe im Topf reicht also aus.
Durch Aneinanderlegen von 24 quadratischen Teppichfliesen soll eine lückenlose rechteckige Spielfläche gebildet werden. Jede Teppichfliese hat 0,5m Seitenlänge. Maria hat ein Rechteck mit 6 Fliesen an einer Längsseite und 4 Fliesen an einer Breitseite gelegt. Berechne den Umfang und den Flächeninhalt der Spielfläche. Gib alle weiteren Möglichkeiten an, aus allen 24 Fliesen eine rechteckige Spielfläche zu legen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechteck

U=2(6a)+2(4a)=12a+8a=20aU=2\cdot(6\cdot a)+2\cdot(4\cdot a)=12\cdot a+8\cdot a=20\cdot a
U=200,5m=10mU=20\cdot0,5\mathrm m=10\mathrm m
A=(6a)(4a)=24a2A=(6\cdot a)\cdot(4\cdot a)=24\cdot a^2
A=24(0,5m)2=240,25m2=6m2A=24\cdot(0,5\mathrm m)^2=24\cdot0,25\mathrm m^2=6\mathrm m^2

Längsseite

1

2

3

Breitseite

24

12

8

Eine Landebahn an einem internationalem Flughafen ist im fertigen Zustand insgesamt 45 m breit und 3 500 m lang. Allerdings muss der letzte Abschnitt der Landebahn welcher 10 000 %%m^2%% groß ist noch gebaut werden. Skizziere die Landebahn. Berechne anschließend den Umfang der gesamten Landebahn und den Flächeninhalt des fertigen Landebahnabschnitts.

Wenn du bei dieser Aufgabe noch Hilfe brauchst kannst du dir den Artikel zum Rechteck anschauen.

Skizze der Landebahn

So könnte deine Skizze z.B aussehen: Jetzt kannst du mit dem Rechnen beginnen.

Gegeben:

$$A_{inBau}=10\;000\;m^2$$ $$l=3500\;m$$ $$b=45\;m$$

%%A_{inBau}%% steht hiebei für den Flächeninhalt der Landebahn der noch unfertig ist

%%l%% steht für die Länge der gesamten Landebahn

%%b%% steht für die Breite der gesamten Landebahn

Gesucht: $$U;\;A_{Gebaut}$$

%%U%% steht für den Umfang der gesamten Landebahn

%%A_{Gebaut}%% steht für den Flächeninhalt der Landebahn der bereits fertiggestellt ist

Umfang der gesamten Landebahn

%%Hinweis:%% In dieser Lösung wird ohne Einheiten gerechnet. Daher steht am Ende der Aufgabe zusätzlich ein Antwortsatz. Beachte, dass diese Vorgehensweise nicht ohne weiteres möglich ist, wenn Werte in verschiedenen Einheiten angegeben werden.

Benutze die Formel für den Umfang, um das Ergebnis zu berechnen.

$$U=2l+2b$$

Setze nun die passenden Werte ein.

$$U=(2\cdot3500)+(2\cdot45)$$

$$U=90+7\;000$$

$$\begin{array}{l}U=7\;090\\\end{array}$$ %%\Rightarrow%% Der Umfang der Landebahn beträgt 7090 m

Flächeninhalt des fertigen Landebahnabschnitts

%%Hinweis:%% In dieser Lösung wird ohne Einheiten gerechnet. Daher steht am Ende der Aufgabe zusätzlich ein Antwortsatz. Beachte, dass diese Vorgehensweise nicht ohne weiteres möglich ist, wenn Werte in verschiedenen Einheiten angegeben werden.

Um den Flächeninhalt des fertigen Landebahnabschnitts zu berechnen, musst du die Fläche des Landebahnabschnitts der sich im Bau befindet von der Fläche der gesamten Landebahn abziehen.

$$A_{Gebaut}=A_{Gesamt}-A_{inBau}$$

Für %%A_{Gesamt}%% musst du nun die passende Formel einsetzen.

$$A_{Gebaut}=(l\cdot b)-A_{inBau}$$

Nun musst du die vorgegebenen Werte einsetzen.

$$\begin{array}{l}A_{Gebaut}=(3500\cdot45)-10\;000\\\end{array}$$

$$A_{Gebaut}=157\;500-10\;000$$

$$A_{Gebaut}=147\;500$$ %%\Rightarrow%% Der Flächeninhalt des fertigen Landebahnabschnitts beträgt 147 500 %%m^2%%

Wie lang muss ein Zaun sein, der ein quadratisches Grundstück der Fläche 6a  25m26a\;25m^2 umgibt?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Viereck

Seitenlänge des Grundstücks

6a  25m26\,a\;25\,m^2
6 Ar umrechnen in Quadratmeter und die gegebene Fläche in die Flächenformel des Quadrats einsetzen.
x2=625m2x^2=625\,m^2
Überlege: Welche Zahl im Quadrat ergibt 625?
x=25mx=25\,m

Umfang des Grundstücks

x=25mx=25\,m
Nimm die Seite des Quadrats mal 4 um den Umfang zu berechnen.
U=425m=100mU=4\cdot25\,m=100\,m
\Rightarrow Der Zaun muss 100m100\,m lang sein.

Ein rechteckiges Grundstück ist 21m lang und hat einen Flächeninhalt von %%14a\;70m^2%% . Berechne die Breite und den Umfang des Grundstücks.

Gegeben:

Länge %%l = 21\;\mathrm{m}%% Flächeninhalt %%A = 14\;\mathrm{a}\; 70\;\mathrm{m^2}%%

Gesucht: Breite %%b%% und Umfang %%U%%

Rechne den gegebenen Flächeninhalt in die Einheit %%\mathrm{m^2}%% um.

%%14\;\mathrm{a}\;70\;\mathrm{m^2}=1400\;\mathrm{m^2}+70\;\mathrm{m^2} = 1470\;\mathrm{m^2}%%

Berechne die Breite %%b%% mit Hilfe der Formel für den Flächeninhalt.

%%A = l \cdot b%%

Setze die gegebenen Zahlenwerte für %%l%% und %%A%% ein.

%%1470\;\mathrm{m^2} = 21\;\mathrm{m} \cdot b%%

Löse die Gleichung nach %%b%% auf.

%%b = \frac{1470\;\mathrm{m^2}}{21\;\mathrm{m}} = 70\;\mathrm{m}%%

Berechne mit diesem Ergebnis den Umfang.

%%U = 2b + 2l%%

Setze die Zahlenwerte ein.

%%U = 2 \cdot 70\;\mathrm{m} +2 \cdot 21\;\mathrm{m}%%

%%U = 182\;\mathrm{m}%%

Das Rechteck hat eine Breite von 70 m und einen Umfang von 182 m.


Aus einem Drahtstück wird ein Rechteck der Fläche 28cm228\mathrm{cm}^2 gebogen, wobei eine Seite des Rechtecks 4 cm lang ist. Welche Länge hat der Draht?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechteck

Zweite Seite berechnen:
b=28cm2:4cm=7cmb=28\mathrm{cm}^2:4\mathrm{cm}=7\mathrm{cm}
Länge des Drahtes:
x=2(4cm+7cm)=22cmx=2\cdot(4\mathrm{cm}+7\mathrm{cm})=22\mathrm{cm}

Berechne x am Rechteck ABCD. (Die Zeichnung ist nicht maßstabgerecht.)

 

Gesucht: %%x%%

Zwei gegenüberliegende Seiten eines Rechtecks sind gleich lang.

%%9,37\mathrm{cm}+4,84\mathrm{cm}=3,22\mathrm{cm}+x\mathrm{cm}%%

Löse nach %%x%% auf.

%%x\mathrm{cm}=9,37\mathrm{cm}+4,84\mathrm{cm}-3,22\mathrm{cm}%%

Rechne die rechte Seite aus.

%%x\mathrm{cm}=14,21\mathrm{cm}-3,22\mathrm{cm}%%

%%x\mathrm{cm}=10,99\mathrm{cm}%%

Also: %%x=10,99%%

Ein Rechteck hat den Umfang 64  cm64 \;\text{cm}. Eine Seite ist 13  cm13 \;\text{cm} länger als die benachbarte Seite. Berechne die Seitenlängen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnungen am Rechteck

U=64cmU=64cm
U=2a+2bU=2a+2b
U=2a+2(a+13cm)=4a+26cmU=2a+2(a+13\mathrm{cm})=4a+26\mathrm{cm}
64cm=4a+26cm64\mathrm{cm}=4a+26\mathrm{cm} 26cm\mid-26\mathrm{cm} :4\mid:4
a=9,5cma=9,5\mathrm{cm}
b=a+13cm=22,5cmb=a+13\mathrm{cm}=22,5\mathrm{cm}
Verlängert man zwei gegenüberliegende Seiten eines Quadrats um jeweils 3 cm und verkürzt die anderen Seiten um jeweils 2 cm, so entsteht ein Rechteck, dessen Flächeninhalt um  1  cm21\;\mathrm{cm}^2 größer ist als der des Quadrats. Wie lang sind die Seiten des Quadrats?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Aufstellen und Lösen von Gleichungen

Variable einführen

a = Seite des Quadrats

Gleichung aufstellen

Drücke die Angaben mithilfe von a aus:
aa : Seite des Quadrats
a+3a+3 : lange Seite des Rechtecks
a2a-2 : kurze Seite des Rechtecks
a2+1a^2+1 : Flächeninhalt des Rechtecks in Abhängigkeit vom Quadrat
(a+3)(a2)(a+3)(a-2) : Flächeninhalt in Abhängigkeit von den Rechteckseiten
Gleichung aufstellen:
"Quadrat + 1 = Rechteckfläche (Länge mal Breite)"
a2+1=(a+3)(a2)a^2+1=\left(a+3\right)\left(a-2\right)

Gleichung lösen

Gleichung umformen und Klammern ausmultiplizieren .
a2+1=a22a+3a6a2a^2+1=a^2-2a+3a-6 \hspace{2cm}|-a^2
1= a6+6\hspace{0.75cm} 1 =\ a-6 \hspace{3.64cm}|+6
7=a\hspace{0.75cm} 7 = a

Lösung überprüfen:

Wenn die Quadratseite 7 cm7\ cm ist, dann wäre die Fläche des Quadrats a2=49 cm2a^2=49\ cm^2 und die Fläche vom Rechteck: 10 cm5 cm=50 cm210\ cm\cdot5\ cm=50\ cm^2 und damit 1 cm21\ cm^2 größer als die Fläche des Quadrats.
Die Lösung stimmt also!

Antwortsatz

        \;\;\Rightarrow\;\; Die Länge der Seite a des Quadrats beträgt 7cm.

Ein Quadrat hat den Flächeninhalt %%A_Q=213444\mathrm{cm}^2%% . Ein Rechteck, in dem eine Seite doppelt so lang wie die andere ist, hat den gleichen Umfang wie das Quadrat. Welchen Flächeninhalt hat das Rechteck?

%%213444=2\cdot2\cdot3\cdot3\cdot7\cdot7\cdot11\cdot11%%

Berechne die Primfaktorzerlegung von 213444.

%%\Rightarrow a_Q=2\cdot3\cdot7\cdot11\mathrm{cm}=462\mathrm{cm}%%

%%U=4\cdot462\mathrm{cm}=1848\mathrm{cm}%%

Berechne den Umfang aus der Seitenlänge %%a_Q%% des Quadrats.

%%U=2a+2b%%

Berechne den Umfang des Rechtecks.

%%U=2\cdot(2\cdot b)+2\cdot b=4\cdot b+2\cdot b%%

Benutze, dass %%a=2\cdot b%% ist.

%%U=6\cdot b%%

%%b=U:6=1848\mathrm{cm}:6=308\mathrm{cm}%%

%%a=2\cdot b=2\cdot308\mathrm{cm}=616\mathrm{cm}%%

%%A_R=a\cdot b=616\mathrm{cm}\cdot308\mathrm{cm}=189728\mathrm{cm}^2%%

Die Nationalfahne der Schweiz zeigt ein weißes Kreuz auf rotem Grund. Für die vier kongruenten Arme des Kreuzes ist durch Beschluss der Schweizer Bundesversammlung aus dem Jahr 1889 festgelegt: Die Länge l eines Arms ist um  %%\frac16%% der Breite b größer als b (vergleiche Abbildung).

 

  1. Wie lang ist ein Arm, wenn seine Breite 18 cm beträgt?

  2. Stelle einen Term auf, der den Flächeninhalt des weißen Kreuzes in Abhängigkeit von der Breite b eines Arms beschreibt. Fasse den Term, in dem nur noch b als Variable vorkommen soll, so weit wie möglich zusammen.

1. Teilaufgabe

Breite %%b=18\;\mathrm{cm}%%

Länge %%l%% ist um %%\frac16%% länger als %%b%%

Stelle eine Gleichung für die Länge %%l%% auf.

%%l\;=\;\frac76\cdot b%%

Setze den gegebenen Zahlenwert für %%b%% ein.

%%l = \frac76 \cdot 18\;\mathrm{cm}%%

%%l = 21 \mathrm{cm}%%

2. Teilaufgabe

%%A=4\cdot b\cdot l+b^2%%

Stelle eine Gleichung für den Flächeninhalt auf. Ersetze die Breite %%b%% durch das Ergebnis für die Länge %%l%% aus der 1. Teilaufgabe

%%=4\cdot b\cdot\left(\frac76b\right)+b^2%%

Vereinfache soweit wie möglich.

%%=\frac{17}3b^2%%

Rechteck Umkreis
Ein Rechteck hat die Seitenlängen a=4cma=4\,\text{cm} und b=3cmb=3\,\text{cm}. Wie groß ist die Fläche AA des Umkreises? Runde auf 3 Kommastellen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Satz des Pythagoras

Mit dieser Strategie kannst du die Aufgabe lösen:
  • Für die Fläche des Kreises brauchst du entweder den Radius oder den Durchmesser.
  • Der Durchmesser des Kreises ist die Diagonale des Rechtecks.
  • Die Diagonale des Rechtecks kannst du mithilfe des Satz des Pythagoras berechnen
1) Diagonale des Rechtecks
Die Diagonale drd_r kannst du mit dem Satz des Pythagoras berechnen:
dR2=a2+b2=(4cm)2+(3cm)2=16cm2+9cm2=25cm²d_R^2=a^2+b^2= (4\,\text{cm})^2 + (3\,\text{cm})^2 = 16\,\text{cm}^2 + 9 \,\text{cm}^2 = 25 \,\text{cm}²
Ziehe nun die Wurzel, um drd_r zu bekommen:
dr=25cm²=5cmd_r= \sqrt{25 \,\text{cm}²}= 5 \,\text{cm}
2) Radius des Kreises
Der Radius des Kreises ist die Hälfte der Diagonalen des Rechtecks:
r=dr2=5cm2=2,5cmr= \frac{d_r}2= \frac{5 \,\text{cm}}2= 2,5 \,\text{cm}
3) Fläche des Kreises
Die Fläche kannst du nun mit der Formel berechnen:
A=r²π=(2,5cm)²π19,635cm2A= r² \cdot \pi= ( 2,5 \,\text{cm} )² \cdot \pi \approx 19,635\,\text{cm}^2
Antwort: Die Fläche des Umkreises ist 19,635cm219,635\,\text{cm}^2.

Das ist ein Bild der Nationalflagge von England. Diese Fahne ist aus einem Tuch gefertigt worden, das 5,40m lang und 3,00m breit ist.

 

  1. Zeichne die Figur für %%b=8\,cm,\;a=5\,cm\;\mathrm{und}\;x=1\,cm%%.

  2. Berechne den Flächeninhalt eines der weißen Rechtecke im Inneren, wenn das Kreuz  %%\frac29%% der Gesamtfläche einnimmt und die vier weißen Rechtecke kongruent sind.

Teilaufgabe 1

-- Skizze nach Anweisung ins Heft zeichnen.

Teilaufgabe 2

-- Der Flächeninhalt der Fahne beträgt %%3\,m\cdot5,40\,m=16,20\,m^2%%.

Nach Aufgabenstellung nimmt das Kreuz %%\frac29%% des gesamten Flächeninhalts ein. Die vier Rechtecke nehmen als Komplement zusammen %%1-\frac29=\frac79%% der Fahnenfläche ein.

%%\frac79\;\mathrm{von}\;16,20m^2=12,60m^2%%.

Die Rechtecke sind kongruent, also insbesondere gleich groß. Somit besitzt ein Rechteck im Inneren eine Fläche von %%3,15m^2%%.

Ein Grundstück wird vermessen und die Länge auf 83,5 m und die Breite auf 42 m festgelegt.

a) Welchen Flächeninhalt besitzt das Grundstück?

b) Ein Käufer bietet für das Grundstück 250000 €. Von welchem Preis pro Quadratmeter geht der Käufer aus? (auf Euro genau).

c) Der Käufer will auf dem Grundstück ein Hotel einrichten. Die örtlichen Bauvorschriften besagen, dass höchstens ein Drittel des Grundstücks bebaut werden darf. Welche Grundfläche hat das Hotel, wenn der Käufer das Höchstmaß dafür sogar um 200 Quadratmeter unterschreitet.

Wie viele Quadrate zu je 2,5 cm Seitenlänge ergeben einen Quadratmeter?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadrat

40 dieser Quadrate müssen aneinander gelegt werden, um ein Rechteck der Fläche 2,5 cm x 100 cm zu erhalten.
Erneutes Zusammenlegen von 40 Rechtecken der Fläche 2,5 cm x 100 cm ergibt einen Quadratmeter.
Insgesamt werden also 4040=160040\cdot40=1600 Quadrate der Seitenlänge 2,5 cm benötigt.
Zeichne verschiedene Rechtecke mit einem Flächeninhalt von 12 Flächeneinheiten (FE).

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechtecke

Der Flächeninhalt eines Rechtecks mit den Seitenlängen (in Längeneinheiten LE) aa und bb wird mit der Formel ARechteck= abA_{\text{Rechteck}}=\ a\cdot b berechnet. Nun kannst du, durch Ausprobieren, Seitenlängen aa und bb finden, so dass ab = 12 FEa\cdot b\ =\ 12\ \text{FE}.
Du kannst auch für aa die Werte von 11 bis 1212 einsetzen und dann, falls möglich, den Wert von bb durch die Division 12 : a12\ :\ a erhalten.
Beispiele für mögliche Lösungen mit ganzen Zahlen sind dann:
3 LE  4 LE = 12 FE 3\ \text{LE}\ \cdot\ 4\ \text{LE}\ =\ 12\ \text{FE}\ 
2 LE  6 LE = 12 FE 2\ \text{LE}\ \cdot\ 6\ \text{LE}\ =\ 12\ \text{FE}\ 
1 LE  12 LE = 12 FE 1\ \text{LE}\ \cdot\ 12\ \text{LE}\ =\ 12\ \text{FE}\ 
Zeichne verschiedene Rechtecke mit einem Umfang von 16 Längeneinheiten (LE).

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Umfang eines Rechtecks

Den Umfang eines Rechtecks mit den Seitenlängen aa und bb berechnest du mit der Formel URechteck=2a+2bU_{\text{Rechteck}}=2\cdot a+2\cdot b.
Systematisch suchst du Zahlen für aa und bb, sodass 16=2a+2b16=2\cdot a+2\cdot b gilt.
Dies geschieht, indem du für aa zuerst einmal die Zahlen von 11 bis 1616 einsetzt und dazu das jeweilige passende bb findest.
Beim systematischen Ausprobieren stellst du jetzt fest, dass die größte Zahl, die du für aa bzw. bb einsetzen kannst, die 88 ist, damit 16=2a+2b16=2\cdot a+2\cdot b erfüllt ist.
Klammert man bei URechteck=2a+2bU_{\text{Rechteck}}=2\cdot a+2\cdot b die 22 aus und setzt die neu erhaltene Formel mit dem Umfang von 1616 LE gleich, erhält man:
16=2(a+b)16=2\cdot\left(a+b\right)
Teilt man beide Seiten durch 22, ergibt das:
8=a+b8=a+b
Subtrahiere beide Seiten noch mit aa und du erhältst:
b=8ab=8-a
Jedoch müssen alle Seitenlängen positiv sein, damit man ein Rechteck zeichnen kann. Deshalb ist in dieser Aufgabe die größtmögliche natürliche Zahl für aa bzw. bb die 77.
Folglich sind alle möglichen Rechtecke mit ganzzahligen Seitenlängen die Folgenden:
Denn es gilt:
16=24+2416=25+2316=26+2216=27+2116=2 \cdot 4 + 2 \cdot 4 \newline 16=2 \cdot 5 + 2 \cdot 3 \newline 16=2 \cdot 6 + 2 \cdot 2 \newline 16=2 \cdot 7 + 2 \cdot 1
Kommentieren Kommentare