Aufgaben
Franz hat in seinem Sommerurlaub viel fotografiert. Er hat insgesamt 50 Fotos geschossen, von denen jedes 2 MB Speicherplatz benötigt. Seine SD-Karte hat eine Speicherkapazität von 1 GB.
a) Wie viel Prozent des Speichers ist nach dem Urlaub noch frei?
b) Wie viele Bilder kann er auf seinem nächsten Ausflug machen, wenn die neuen Bilder doppelt so viel Speicher benötigen und schon 60% des Speichers belegt sind?
Tipp: 1 GB (Gigabyte) sind in etwa 1000 MB (Megabyte).

Teilaufgabe a)

Als erstes musst du ausrechnen, wie viel Speicherplatz die Urlaubsfotos benötigen:
502 MB=10050\cdot 2 \text{ MB}=100 MB
Als nächstes musst du den Speicherplatz der SD-Karte von GB in MB umrechnen, damit du die beiden Größen vergleichen darfst.
1 GB1000 MB1 \text{ GB} \approx 1000\text{ MB}
In dieser Aufgabe ist der Prozentsatz gesucht.
10001000 MB sind der Grundwert und 100100 MB sind der Prozentwert. Diese Größen kannst du nun in die Prozentformel einsetzen:
PS=PW:GW=100 MB:1000 MB=0,1=10%\text{PS}= {\text{PW}}:{\text{GW}}={100 \text{ MB}}:{1000 \text{ MB}}=0,1= 10\% 
Nach dem Urlaub sind 10%10\% des Speichers belegt.

Teilaufgabe b)

Zuerst rechnest du aus, wie viel Speicher er noch zur Verfügung hat.
Du suchst den Prozentwert. Der Grundwert ist der Gesamtspeicher der Karte 10001000 MB. Der Prozentsatz sind 100%60%=40%100\%-60\%=40\%, da 60% belegt sind und damit 40% noch frei sind.
Nun kannst du in die Prozentformel einsetzen:
PW=PSGW=40%1000 MB=0,41000 MB=400 MB\text{PW}=\text{PS}\cdot \text{GW}=40\% \cdot 1000\text{ MB} = 0,4 \cdot 1000\text{ MB} = 400 \text{ MB}
Die neuen Bilder haben eine Größe von 22 MB=4 MB2\cdot 2 \text{ MB}=4 \text{ MB}. Das heißt, er kann 400 MB:4 MB=100400 \text{ MB}: 4 \text{ MB}= 100 Fotos machen.
Ein Fluss fließt durch ein Wüstenland, das zwei Beduinengruppen bewohnen. Die eine Gruppe zweigt 80 von den 125 Hektolitern, die der Fluss pro Stunde mit sich bringt, für ihre Felder ab. Wie viel Prozent der Wassermenge des Flusses kommt dann noch bei der anderen Beduinengruppe an, die bergab des Flusses lebt?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung mittels Dreisatz

Überlege zuerst, wieviel Hektoliter (hl) Wasser bei der zweiten Beduinengruppe ankommt.
Die erste Beduinengruppe zweigt 80 hl Wasser von 125 hl ab, also kommen bei der zweiten Beduinengruppe 125 hl - 80 hl = 45 hl Wasser an.
Ordne die gegebenen Größen den entsprechenden Fachbegriffen zu.
Gegeben:
Prozentwert W=45hlW=45\,\text{hl}
Grundwert G=125hlG=125\,\text{hl}
Ordne die gegebenen Größen den entsprechenden Fachbegriffen zu.
Gesucht: Prozentsatz pp
Stelle das Verhältnis auf.
Dreisatz
Rechne zurück auf 1 hl.
Erweitere auf 45 hl .
Nun kannst du den Prozentsatz 36% ablesen.
Bei der zweiten Beduinengruppe kommen also 36% des Wassers an.
Butter hat einen Fettgehalt von 82%, Creme Fraiche enthält 30% Fett. Wie viel Gramm Butter enthält die gleiche Menge Fett wie ein Becher mit 125 g Creme Fraiche?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentwerte berechnen

Brechne zunächst die Menge an Fett in der Creme Fraiche.
Ordne die gegebenen Werte den passenden Fachbegriffen zu.
Gegeben:
Grundwert GcremeFraiche=125gG_{creme Fraiche}=125\,\text{g} Creme Fraiche
Prozentsatz pcremeFraiche=30%p_{creme Fraiche}=30\% Fettanteil
Gesucht: Prozentwert WW
Berechne den Prozentwert mit Hilfe der Prozentformel.
Lösung: W=pGW=p\cdot G
Setze die gegebenen Werte in die Formel ein.
W=30%125 g=125 g0,3=37,5 gW=30\% \cdot 125 \text{ g} = 125 \text{ g} \cdot 0,3=37,5\text{ g}
Als nächstes berechne die Menge der benötigten Butter.
Diese kannst du mit dem Fettanteil der Butter und der gewünschten Menge Fett berechnen. Die gewünschte Menge sind die 37,5 g, die du gerade eben berechnet hast. Ordne also die Werte nochmals den Fachbegriffen zu.
Gegeben:
Prozentwert W=37,5gW=37,5\,\text{g}
Prozentsatz pButter=82%p_{Butter}=82\% 
Gesucht: Grundwert GButterG_{Butter}
Berechne den Grundwert mit Hilfe der Prozentformel.
Lösung:
G=Wp=37,5g82%=37,5g0,8245,73gG =\frac{W}{p} \\= \frac{37,5 \,\mathrm{g}}{82\%} = \frac{37,5 \,\mathrm{g}}{0,82} \approx 45,73\,\mathrm{g}
Setze die Werte in die Formel ein.
Antwort: Nur Ca. 45,73 g Butter enthalten die gleiche Menge Fett wie ein Becher mit 125 g Creme Fraiche.
Menge an Fett in der Creme Fraiche
Berechne zuerst die Menge an Fett in der Creme Fraiche
Creme Fraiche Dreisatz
Menge an Butter
Berechne als nächstes die Menge an Butter, die für 37,5g Fett benötigt werden.
(Im zweiten Schritt wurde gerundet)
Butter Dreisatz
Antwort: Ca. 45,73 g Butter enthalten die gleiche Menge Fett wie ein Becher mit 125 g Creme Fraiche.
1 € geschenkt!
Zwei Angebote werben beim Kauf eines Getränkekastens mit einem Preisnachlass von 1 €. Welches Angebot ist prozentual günstiger?

Die einfachste Lösung: Im Fall A ist 1€ der 12,49te-Teil von 12,49€, im Fall B der 14,96te-Teil von 14,96€.
Prozentualer Nachlass im Fall A:

Prozentualer Nachlass im Fall B:

Das Angebot A gewährt also den höheren Nachlass.

In einer Sportgruppe fahren 70% der Schüler Ski und 60% der Schüler Snowboard. Ein Viertel der Schüler fährt weder Ski noch Snowboard. 11 Schüler der Gruppe fahren Ski und Snowboard.

  1. Stelle die Anteile mittels einer Vierfeldertafel dar.

  2. Ermittle, wie viele Schüler insgesamt in der Sportgruppe sind.

Teilaufgabe a)

 

Vorgehensweise:

  • Setze alle Informationen, die gegeben sind, in die Vierfeldertafel ein. Also die Info, dass 70% der Schüler Ski fahren, 60% Snowboard fahren und 25% weder Ski noch Snowboard.
  • Ergänze einige Komplemente, also die Summe der Nicht-Ski- (30%) bzw. Nicht-Snowboard-Fahrer (40%).
  • Durch Ergänzung lässt sich der Anteil der Snowboarder, die nicht Ski fahren, und der Anteil der Skifahrer, die nicht Snowboard fahren, bestimmen.
  • Das letzte Feld, der Anteil der Schüler, die Ski und Snowboard fahren, lässt sich dann passend ergänzen.

Ski

Nicht-Ski

Summe

Snowboard

55% (11 Schüler)

5%

60%

Nicht-Snowboard

15%

25%

40%

Summe

70%

30%

100%

Teilaufgabe b)

Gesucht wird die gesamte Schülerzahl in der Sportgruppe. Sei diese mit %%x%% bezeichnet.

%%11%% (Schüler) ist der Prozentwert .

 

%%11%% (Schüler) ist der Prozentwert.

%%55\% %% ist der Prozentsatz.

Prozentwert durch Prozentsatz dividieren um 1% auszurechnen.

%%1\%\;\widehat=\;\frac{11}{55}%%

 

%%1\%\;\widehat=\;\frac15%%

Von 1% auf 100% hochrechnen.

%%100\cdot\frac15=20%%

 

%%\;\;\Rightarrow\;\;%%  Es sind ingesamt 20 Schüler in der Sportgruppe.

Der Grundpreis eines Wagens beträgt 27500 €. Die Sonderausstattung erhöht den Preis um 1000 €. Wegen Barzahlung erhält der Käufer 12% Rabatt.      
Wie viel Prozent vom Grundpreis sind tatsächlich gezahlt worden?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung

Prozentrechnen mit vermehrten und verminderten Grundwerten

Überlege dir zunächst wie viel Geld der Käufer tatsächlich bezahlen musste.
Preis nach der Preiserhöhung:
27500+1000=2850027500\,\text{€} + 1000\,\text{€} = 28500\,\text{€}

Preis nach der Rabattaktion:
Berechne den Prozentwert, der angibt wie viel Geld gespart wird.
Gegeben: Grundwert G=28500G=28500\text{€}, Prozentsatz p=12%p=12\% 
Gesucht: Prozentwert WW
Verwende die Prozentformel.
W=pG=28500  12%=28500  0,12=3420  W=p \cdot G\\ =28500\;€ \cdot 12\%\\ =28500\;€ \cdot 0,12\\ =3420\;€
Dieser Betrag wird von dem zuzahlenden Betrag abgezogen.
28500  3420  =25080  28500\; € - 3420\; € = 25080\;€

Anteil des gezahlten Betrags vom ursprünglichen Grundpreis:

Gegeben: Grundwert G=27500G=27500\,\text{€}, Prozentwert W=25080W=25080\,\text{€}
Gesucht: Prozentsatz pp
Berechne den prozentuellen Anteil mit Hilfe der Prozentformel.
p=WG=2508027500=0,912=91,2%p= \frac{W}{G} \\= \frac{25080\,\text{€}}{27500\,\text{€}} \\= 0,912 = 91,2\% 

Antwort: Tatsächlich wurden 91,2% vom Grundpreis gezahlt.

Die Fußballspieler einer Mannschaft der 1. Liga müssen wegen ihren begangenen Unsportlichkeiten Strafen in die Mannschaftskasse zahlen. A. Mateur muss 20.000 € bezahlen, B. Trüger 50.000 €, C. Rung 15.000 €, D. M. Lich 30.000 € und E. Goist 35.000 €.

a) Wieviel Prozent des Gesamtbetrags der Mannschaftskasse muss jeder einzelne Fußballer zahlen?

b) Wieviele der 5 Fußballer müssen jeweils mindestens 20% des Gesamtbetrags zahlen? Wieviel Prozent der Spieler sind das?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung

Teilaufgabe a)

Berechne als erstes wie viel Geld insgesamt in die Mannschaftskasse gezahlt wird. Dieses Geld ist nämlich der Grundwert für die Prozentsätze die gesucht sind.
G = 20.000 € + 50.000 € + 15.000 € + 30.000 € + 35.000 € = 150.000 €
Berechne nun die gesuchten Prozentsätze, indem du die Strafen der einzelnen Spieler jeweils durch das gesamte Geld teilst. (Formel: p=WGp = \frac{W}{G})
Name
Strafe
Rechenweg

A. Mateur
20.000 €
p=20.000150.000=20.000150.000=215=0,1313,3%p = \frac{20.000\,€}{150.000\,€} =\frac{20.000}{150.000} = \frac{2}{15} = 0,1\overline{3} \approx 13,3\%
B. Trüger
50.000 €
p=50.000150.000=50.000150.000=13=0,333,3%p = \frac{50.000\,€}{150.000\,€} = \frac{50.000}{150.000} = \frac{1}{3} = 0,\overline{3} \approx 33,3\% 
C. Rung
15.000 €
p=15.000150.000=15.000150.000=110=10100=10%p = \frac{15.000\,€}{150.000\,€} = \frac{15.000}{150.000} = \frac{1}{10} = \frac{10}{100} = 10\%
D. M. Lich
30.000 €
p=30.000150.000=30.000150.000=15=20100=20%p = \frac{30.000\,€}{150.000\,€} = \frac{30.000}{150.000} = \frac{1}{5} = \frac{20}{100} = 20\%
E. Goist
35.000 €
p=35.000150.000=35.000150.000=730=0,2323,3%p= \frac{35.000\,€}{150.000\,€}=\frac{35.000}{150.000} = \frac{7}{30} = 0,2\overline{3} \approx 23,3\%
Berechne als erstes wie viel Geld insgesamt in die Mannschaftskasse gezahlt wird. Dieses Geld ist nämlich der Grundwert für die Prozentsätze die gesucht sind.
G = 20.000 € + 50.000 € + 15.000 € + 30.000 € + 35.000 € = 150.000 €
Stelle nun das Verhältnis auf und rechne auf eine kleinere Menge herunter (Hier wird nicht auf 1 € sondern auf 1000 € heruntergerechnet, damit die Prozentzahl nicht so klein wird. Es geht jedoch auch anders!)
Dreisatz Fußballspieler
Berechne nun den jeweiligen Prozentsatz für die Spieler.
A. Mateur
A Mateur Dreisatz

B. Trüger
B Trüger Dreisatz

C. Rung
C Rung Dreisatz

D. M. Lich
D M Lich Dreisatz

E. Goist
E Goist Dreisatz


Teilaufgabe b)

In der Teilaufgabe a) hast du bereits die Prozentsätze berechnet. Lies daran ab, welche Fußballspieler je mindestens 20% des Gesamtbetrags zahlen müssen.
Es sind 3 Fußballer, die jeweils mindestens 20% des Gesamtbetrags gezahlt haben, nämlich B. Trüger (ca. 33,3%), D.M. Lich (20%) und E. Goist (ca. 23,3%).
Rechne nun den Anteil (Prozentsatz) der 3 Fußballspieler an allen 5 Fußballspielern aus.
Gegeben: G = 5 Fußballspieler, W = 3 Fußballspieler
Gesucht ist der Prozentsatz
Gesucht: p
Stelle die Formel auf und setze die Werte ein.
p=WG=3Fußballspieler5Fußballspieler=35=60100=60%p = \frac{W}{G} = \frac{3 \,\mathrm{Fußballspieler}}{5\,\mathrm{Fußballspieler}} = \frac{3}{5} = \frac{60}{100} = 60\% 

Antwort: 60% der Fußballer müssen jeweils mindestens 20% des Gesamtbetrags in die Mannschaftskasse zahlen.
In der Teilaufgabe a) hast du bereits die Prozentsätze berechnet. Lies daran ab, welche Fußballspieler je mindestens 20% des Gesamtbetrags zahlen müssen.
Es sind 3 Fußballer, die jeweils mindestens 20% des Gesamtbetrags gezahlt haben, nämlich B. Trüger (33,3%33,\overline3\% ), D.M. Lich (20%20\% ) und E. Goist (23,3%23,\overline3\% ).
Berechne nun den Prozentsatz der 3 Fußballspieler an den 5 Spielern.
Spieler Prozentsatz Dreisatz

Antwort: 60% der Fußballer müssen jeweils mindestens 20% des Gesamtbetrags in die Mannschaftskasse zahlen.
Die Klasse 8a wird nach ihrem Lieblingsfilm gefragt. 40% von den 25 abgegebenen Stimmzetteln enthalten den Film "Friss oder Stirb". Eva ist sich bei 9 Klassenkameraden sicher, dass sie diesen Film gewählt haben. Wie viele Schüler*innen haben für den Film gestimmt, von denen Eva das nicht weiß?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentwert berechnen

Als erstes berechnet du, wie viele Stimmen für diesen Film abgegebene wurden. Hierfür bestimmst du erstmal was gegeben ist.
Gegeben:
Grundwert G=25  StimmenG = 25 \;\mathrm{Stimmen},
Prozentsatz p=40%p = 40\% 
Als nächstes bestimmst du was gesucht wird. Hier ist es die Anzahl der Stimmen, die für den Film abgegeben wurden, also der Prozentwert.
Gesucht: Prozentwert WW
Als nächstes berechnest du den gesuchten Wert mit der Formel. W=pGW = p \cdot G
Lösung:
W=pGW = p \cdot G
Setze die gegebenen Werte in die Formel ein.
W=40%25 Stimmen=10 StimmenW = 40\% \cdot 25 \text{ Stimmen} = 10 \text{ Stimmen}
Es wurden also 10 Stimmen für "Friss oder Stirb" abgegeben.
Du weißt jetzt, dass es 10 Stimmen für den Film gibt, und Eva sich bei 9 sicher ist. Es bleibt also noch eine Stimme übrig, die für den Film war, ohne dass Eva es weiß.
10 Stimmen9 Stimmen=1 Stimmen10 \text{ Stimmen} - 9 \text{ Stimmen} = 1 \text{ Stimmen}
Antwort: Es gibt in der Klasse eine Person, von der Eva nicht weiß, dass sie für "Friss oder Stirb" gestimmt hat.
Der Grundwert entspricht 100%.
Dreisatz Friss oder Stirb
Rechne auf 1% runter.
Rechne auf 40% hoch.
Du weißt jetzt, dass es 10 Stimmen für den Film gibt, und Eva sich bei 9 sicher ist. Es bleibt also noch eine Stimme übrig, die für den Film war, ohne dass Eva es weiß.
10 Stimmen9 Stimmen=1 Stimmen10 \text{ Stimmen} - 9 \text{ Stimmen} = 1 \text{ Stimmen}
Antwort: Es gibt in der Klasse eine Person, von der Eva nicht weiß, dass sie für "Friss oder Stirb" gestimmt hat.

Der Anglerverein "Petri Heil" hat 120 Mitglieder. 75% davon sind Erwachsene, der restliche Anteil Jugendliche. Dem Verein treten 10 Männer und 5 Jugendliche neu bei.

  1. Wie viele Jugendliche sind danach im Verein?

  2. Wie viel Prozent Erwachsene sind danach im Verein?

Runde den Prozentsatz auf eine Stelle nach dem Komma.

Teilaufgabe 1)

Zahl der Erwachsenen vorher: 75% von 120 = 90.

Zahl der Jugendlichen vorher: 25% von 120 = 30.

Zahl der Erwachsenen nachher: 90 + 10 = 100.
Zahl der Jugendlichen nachher: 30 + 5 = 35.

Denn es kommen 10 neue erwachsene und 5 neue jugendliche Mitglieder hinzu.

%%\Rightarrow%% Es sind nun 35 Jugendliche im Angelverein.

Teilaufgabe 2)

%%\frac{100}{135}\approx0,741=74,1\% %%

Bestimme den Anteil der Erwachsenen (100 Personen) an der neuen Gesamtzahl von Mitgliedern (135).

%%\Rightarrow%% Nach den Neuanmeldungen beträgt der Anteil der Erwachsenen %%74,1% %%.

Im Vorverkauf für ein Open-Air-Festival in einem Stadion mit 20 000 Plätzen wurden 12 000 Eintrittskarten abgesetzt. Während der Veranstaltung war das Stadion zu 90% besetzt. Berechne die Gesamteinnahmen, wenn eine Karte im Vorverkauf für 20 € und an der Stadionkasse für 25 € zu haben war.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung

Gesucht: Gesamteinnahmen
Die Gesamteinnahmen unterteilen sich in Einnahmen aus dem Vorverkauf und aus dem Verkauf an der Abendkasse.
Vorverkauf: 12  00012\;000 Zuschauer*innen bezahlten je 2020\,€ im Vorverkauf.
1200020=24000012\,000 \cdot 20\,€= 240\,000\,€.
Abendkasse:
Berechne zunächst wie viele Zuschauer*innen noch Karten an der Abendkasse gekauft haben. Berechne dazu wie viele Menschen während der Veranstaltung anwesend waren mit der Prozentformel. Dabei ist der Prozentwert WW zu den gegebenen 90% und dem Grundwert 2000020 000 gesucht.
90%90\% der Plätze sind vom Festival besetzt.

W=90%20000W=0,920000W=18000W= 90\% \cdot 20\,000€ \\\phantom{W}=0,9\cdot 20\,000€\\\phantom{W}=18\,000€

Also haben 1800012000=600018\,000-12\,000=6\,000 Zuschauer*innen ihre Karte an der Stadionkasse gekauft.
Berechne nun die Einnahmen durch den Verkauf an der Abendkasse.
600025 €=1500006 000⋅25 €=150 000€
Berechne nun die Gesamteinnahmen.
240000 €+150000 €=390000240 000 €+150 000 €=390 000€
Die Gesamteinnahmen betragen 390  000390\;000€.
  1. In einer Klasse singen 12 Schüler im Chor, das sind ca. 39% der Schüler dieser Klasse. Schreibe einen Rechenausdruck auf, mit dem die Zahl der Schüler dieser Klasse berechnet werden kann, und führe eine Überschlagsrechnung durch!

  2. Die Polizei stellt bei einer Überprüfung von 400 Fahrrädern fest, dass 35% davon nicht verkehrssicher waren. Von diesen wurden %%\frac17%% wegen defekter Bremsen beanstandet. Wie viele Räder waren das?

  3. Wie viel % von 2400 kg sind 72 kg?

     

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung mit Formeln

Teilaufgabe 1)

Ordne die gegebenen Werte den passenden Fachbegriffen zu.
Gegeben:
Prozentsatz p=39%p=39\% 
Prozentwert W=12W=12
Gesucht: Grundwert GG
Berechne den Grundwert mit HIlfe der Prozentformel.
Lösung: G=WpG=\frac{W}{p}
Setze die gegebenen Werte ein.
G=120,3930,7731G=\frac{12}{0,39}\approx30,77\approx31 Schüler

Alternativer Lösungsweg mit Dreisatz:

39%=^1239\%\widehat=12
Dividiere durch 39.
1%=^12391\%\widehat=\frac{12}{39}
Multipliziere mit 100.
100%  entsprechen  4001331  Schu¨lern100\%\;\text{entsprechen}\;\frac{400}{13}\approx31\;\text{Schülern}
\Rightarrow   Die Klasse besteht aus 31 Schülern.

Teilaufgabe 2)

Berechne zuerst wie viele Fahrräder nicht Verkehrstauglich sind.
Ordne die gegebenen Werte den passenden Fachbegriffen zu.
Gegeben:
Grundwert G=400G=400 Fahrräder
Prozentsatz p=35%p=35\%
Gesucht: Prozentwert WW
Berechne den Prozentwert mit Hilfe der Prozentformel.
Lösung: W=pGW=p\cdot G
Setze die gegebenen Werte in die Formel ein.
W=0,35400=140W=0,35\cdot400=140 Fahrräder
\Rightarrow 140 sind nicht verkehrstauglich.
Berechne nun wie viele davon defekte Bremsen haben.
Ordne die gegebenen Werte den passenden Fachbegriffen zu.
Gegeben:
Grundwert G=140G=140 Fahrräder
Prozentsatz p=17p=\frac17
Gesucht: Prozentwert WW
Berechne den Prozentwert mit Hilfe der Prozentformel.
Lösung: W=pGW=p\cdot G
Setze die gegebenen Werte in die Formel ein.
17140=20\frac17\cdot140=20 Fahrräder

Antwort: 20 Fahrräder haben defekte Bremsen.


Teilaufgabe 3)


Ordne die gegebenen Werte den passenden Fachbegriffen zu.
Gegeben:
Grundwert G=2400kgG=2400\,\text{kg}
Prozentwert W=72kgW=72\,\text{kg}
Gesucht: Prozentsatz pp
Berechne den Prozentsatz mit Hilfe der Prozentformel.
Lösung: p=WGp=\frac{W}{G}
Setze die gegebenen Werte in die Formel ein.
p=72kg2400kg=0,03=3%p=\frac{72\,\text{kg}}{2400\,\text{kg}}=0,03=3\% 
Antwort: 72kg72\,\text{kg} entsprechen einem Antei von 33% an 2400kg2400\,\text{kg}.
Laura findet eine Brieftasche mit 1125 € Inhalt. Der glückliche Besitzer der Brieftasche zahlt den gesetzlichen Finderlohn von 5% für die ersten 500 € und 3% für den Rest.
Wie hoch ist der Finderlohn?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung


Berechne zunächst wie viel Geld sich außer den 500 € noch im Geldbeutel befinden.
1125  500  =625  1125\;€-500\;€=625\;€
Ordne nun die gegebenen Werte den Fachbegriffen zu.
Gegeben:
Grundwerte G1=500  G_1=500\;€ , G2=625  G_2=625\;€
Prozentwerte p1=5%p_1=5\% , p2=3%p_2=3\% 
Gesucht:
Summe der Prozentwerte W1W_1 und W2W_2
Berechne den ersten Teil des Finderlohns also W1W_1 mit der Prozentformel.
W1=G1p1W_1=G_1\cdot p_1
Setze die gegebenen Werte ein.
W1=500  5%=500  0,05=25  W_1=500\;€\cdot5\%\\=500\;€\cdot0,05\\=25\;€
Berechne nun genauso W2W_2.
W2=G2p2W_2=G_2\cdot p_2
W1=625  3%=625  0,03=18,75  W_1=625\;€\cdot3\%\\=625\;€\cdot0,03\\=18,75\;€
Addiere nun W1W_1 und W2W_2 um den gesamten Finderlohn zu berechnen.
Finderlohn=25+18,75=43,75\text{Finderlohn} = 25\,€+18,75\,€=43,75\,€

Antwort: Der Finderlohn beläuft sich auf 43,75 €.
In einem Baumarkt werden zwei Artikel zu Einzelpreisen von 65 € und 47,50 € angeboten. Beide Artikel zusammen bekommt man für 102 €.
Wie hoch sind die Rabatte in Prozent, wenn für den ersten Artikel der Rabatt 2,5-mal so hoch ist, wie der Rabatt für den zweiten?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung mittels Formeln

Zunächst bestimme den Gesamtrabatt:
Artikel  I:  Einzelpreis:65,00  (Grundwert  I  =  GI)Artikel  II:  Einzelpreis:47,50  (Grundwert  II  =  GII)Preis  ohne  Rabatt:112,50   ⁣Artikel  I  und  Artikel  II:102,00   ⁣Gesamtrabatt:10,50    (Prozentwert  I  +  Prozentwert  II)\begin{array}{ccc}\mathrm{Artikel}\;I:\;\mathrm{Einzelpreis}:&65,00\;€&(\mathrm{Grundwert}\;I\;=\;G_I)\\\mathrm{Artikel}\;\mathrm{II}:\;\mathrm{Einzelpreis}:&\underline{47,50\;€}&(\mathrm{Grundwert}\;\mathrm{II}\;=\;G_\mathrm{II})\\\mathrm{Preis}\;\mathrm{ohne}\;\mathrm{Rabatt}:&112,50\;€&\!\\\mathrm{Artikel}\;I\;\mathrm{und}\;\mathrm{Artikel}\;\mathrm{II}:&\underline{-102,00\;€}&\!\\\mathrm{Gesamtrabatt}:&10,50\;€\;&(\mathrm{Prozentwert}\;I\;+\;\mathrm{Prozentwert}\;\mathrm{II})\end{array}
Es gilt: pI=2,5pIIp_I=2,5\cdot p_\mathrm{II} (1) und WI+WII=10,50  W_I+W_\mathrm{II}=10,50\;€ (2)
Mit den Prozentwerten WI=GIpI100%W_I=\frac{G_I\cdot p_I}{100\%} und WII=GIIpII100%W_{II}=\frac{G_\mathrm{II}\cdot p_\mathrm{II}}{100\%} gelangt man zu folgendem Ansatz:
WI+WII=GIpI100%+GIIpII100%=65,00pI100%+47,50pII100%=10,50W_I+W_\mathrm{II}=\frac{G_I\cdot p_I}{100\%}+\frac{G_\mathrm{II}\cdot p_\mathrm{II}}{100\%}=\frac{65,00\,€\cdot p_I}{100\%}+\frac{47,50\,€\cdot p_\mathrm{II}}{100\%}=10,50\,€
Mit der Gleichung (1) gilt: (Rechnung ohne Einheiten)
65,002,5pII100+47,50pII100=162,5pII+47,50pII100=210pII100=2,1pII=10,50\frac{65,00\cdot2,5\cdot p_\mathrm{II}}{100}+\frac{47,50\cdot p_\mathrm{II}}{100}=\frac{162,5\cdot p_\mathrm{II}+47,50\cdot p_\mathrm{II}}{100}=\frac{210\cdot p_\mathrm{II}}{100}=2,1\cdot p_\mathrm{II}=10,50
pII=10,502,1=5    pII=5%p_\mathrm{II}=\frac{10,50}{2,1}=5\;\Rightarrow\;p_\mathrm{II}=5\% 
Wenn diese Gleichheit nun in Gleichung (1) eingesetzt wird, gilt:
pI=2,5pII=2,55%=12,5%p_I=2,5\cdot p_\mathrm{II}=2,5\cdot5\%=12,5\% 
Auf Artikel I wird also praktisch ein Rabatt von 12,5% und auf Artikel II ein Rabatt von 5% gegeben.
Eine Person steigt eine Treppe mit 50 Stufen empor. Jede Stufe ist 16 cm hoch und 35 cm tief. Wieviel Prozent Steigung überwindet die Person?
Hinweis: Steigung ist der Quotient aus Höhendifferenz und Horizontaldifferenz.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnen

Eine Stufe ist 16 cm hoch.
Für die Berechnung der Höhe, die die Person insgesamt überwindet, multipliziert man die Höhe einer Stufe (16 cm) mit der Gesamtanzahl der Stufen (50).
16cm50=800cm=8m16\,cm\cdot50=800\,cm=8\,m
Die Person überwindet eine Höhendifferenz von 8m.
Eine Stufe ist 35cm tief.
Für die Berechnung der "Länge", die die Person insgesamt überwindet, multipliziert man die Tiefe einer Stufe (35 cm) mit der Gesamtanzahl der Stufen (50).
35cm50=1.750cm=17,5m35\,cm\cdot50=1.750\,cm=17,5\,m
Die Person überwindet eine Horizontaldifferenz von 17,5 m.
Die Steigung der Treppe berechnet man mithilfe der Geradensteigung.
m=yx=Ho¨hendifferenzHorizontaldifferenzm=\frac{\triangle y}{\triangle x}=\frac{Höhendifferenz}{Horizontaldifferenz}
Man berechnet also den Differenzenquotienten, der die Steigung repräsentiert.
m=8m17,5m=16350,4571m=\frac{8\,m}{17,5\,m}=\frac{16}{35}\approx0,4571
\Rightarrow Die Person überwindet also bei einer Treppe mit 50 Stufen dieser Art 45,71%45,71\% Steigung.
Die Tabelle zeigt, wie viele Euro-Geldscheine am 31. Mai 2007 in Umlauf waren. Beispielsweise befanden sich von den 200 Euro-Scheinen 153 Millionen Stück in Umlauf.

Wert

Anzahl der Scheine in Millionen

500 EUR

429

200 EUR

153

100 EUR

1116

50 EUR

3983

20 EUR

2244

10 EUR

1804

5 EUR

1325

Zu text-exercise-group 6063: Einordnung Aufgabe ID 6063
Renate 2015-08-11 15:10:20+0200
Diese Aufgabe gehört meiner Meinung nach nicht oder nicht primär zu "Aufgaben zu Zahlwörtern und zur Potenzschreibweise" - auch wenn "Millionen" darin vorkommt.
Hat jemand eine Idee, wo wir sie besser einordnen sollten?
Renate 2015-08-11 15:15:18+0200
Ich habe die Aufgabe jetzt zumindest fürs Erste aus dem Ordner "Aufgaben zu Zahlwörtern und zur Potenzschreibweise" herausgenommen und in den Ordner "Aufgaben zur Prozentrechnung" eingefügt.
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Wie hoch war der Gesamtwert aller 50 Euro-Scheine?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechnen mit großen Zahlen

Gegeben: Anzahl der 50€ Scheine = 3.983 Millionen,
Wert eines Scheines = 50€
Runde und rechne in Milliarden um.
3983  Millionen4000  Millionen  =4  Milliarden3983\;\mathrm{Millionen}\approx4000\;\mathrm{Millionen}\;=4\;\mathrm{Milliarden}
Multipliziere die Anzahl der Scheine mit deren Wert.
4  Milliarden50=200  Milliarden  4\;\mathrm{Milliarden}\cdot50€=200\;\mathrm{Milliarden}\;€
\Rightarrow Der Gesamtwert aller 50 Euro-Scheine betrug ca. 200 Milliarden Euro.
Ungefähr wie viel Prozent aller in Umlauf befindlichen Scheine waren 20 Euro- Scheine?
Die notwendigen Rechnungen brauchen nicht exakt ausgeführt zu werden, es genügt jeweils ein Überschlag.
 
Der Lösungsweg muss nachvollziehbar sein.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechnen mit großen Zahlen

Gegeben: Anzahl der 20€ Scheine = 2244
Berechne die Anzahl aller Scheine im Umlauf.
Berechnung der Gesamtanzahl der Scheine:
429+153+1116+3983+2244+1804+1325=11054\begin{array}{l}429+153+1116+3983+2244+1804+1325\\=11054\end{array}
Berechne den Prozentanteil der 20€ Scheine, indem Du die Anzahl der 20€ Scheine durch die Gesamtzahl der Scheine dividierst.
2244110540,203=20,3%\frac{2244}{11054}\approx0,203=20,3\% 
    \Rightarrow\;\; Der Prozentanteil der 20€ Scheine beträgt etwa 20,3%20,3\% .
Wie viel Zucker darfst du am Tag essen?
Nährwertangaben auf einer Chipspackung
Schätze die empfohlene Tagesmenge ab.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schätzen

Abschätzung durch Überschlagsrechnung

Aus der Angabe kannst du ablesen, dass 31,2 g Zucker 35% der empfohlenen Tageszufuhr entsprechen.
35% ist ungefähr ein Drittel (ein Drittel sind 33,3%33,\overline3\% ), also entsprechen 31,2 g Zucker ungefähr einem Drittel des Tagesbedarfs. Die empfohlene Tagesmenge ist also ungefähr das 3-fache der 31,2 g.
Eine mögliche Schätzung wäre damit zum Beispiel 331g=93g3\cdot 31\,\mathrm{g} = 93\,\mathrm{g}
Berechne die empfohlene Tagesmenge mit dem Dreisatz.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung mittels Dreisatz


In der Angabe kannst du sehen, dass 31,2 g Zucker den 35% des empfohlenen Tagesbedarfs entsprechen.
Gegeben: Prozentsatz p=35%p=35\% , Prozentwert W=31,2gW=31,2\,\text{g}
Gesucht wird die empfohlene Tagesmenge
Gesucht: Empfohlene Tagesmenge also der Grundwert GG
Berechne diesen Grundwert mit dem Dreisatz
Zucker Tagesbedarf Dreisatz
Rechne zurück auf 1%.
Rechne hoch auf 100%.
Lies den Grundwert ab.
Die empfohlene Tagesmenge an Zucker ist ca. 89,14 g.
Vor der Fahrt von Berlin nach München hat Werner sein Auto vollgetankt. Der Tank fasst 50 Liter Benzin. Nach einer Stunde Fahrt zeigt die Tanknadel an, dass mittlerweile 15% verbraucht wurden. Wie viele Liter Benzin werden in 3 Stunden verbraucht?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentwert berechnen

Gegeben: 1 Stunde =^\widehat{=} 15% vom vollen Tank
Berechne zuerst, wieviel diese 15% sind. Dazu berechnest du also einen Prozentwert, mit Grundwert 50 Liter und Prozentsatz 15%
Lösung: W=pG=15%50  Liter=7,5  LiterW = p \cdot G = 15\% \cdot 50 \;\mathrm{Liter} = 7,5\;\mathrm{Liter}
Also verbraucht er in 1 Stunde 7,5 Liter Benzin.
Berechne damit den Verbrauch in den gesamten 3 Stunden Fahrt, indem du diesen Verbrauch mit 3 multipliziert.
Verbrauch in 3 Stunden = 3 \cdot 7,5 Liter = 22,5 Liter
Antwort: Werner wird nach 3 Stunden Fahrt voraussichtlich 22,5 Liter verbraucht haben.

Alternative Lösung: Dreisatz
Verbrauch in der einen Stunde Fahrt
Berechne zuerst, wie viele Liter die 15% vom Tank sind.
Benzin Dreisatz
Gesamtverbrauch in den 3 Stunden Fahrt
Berechne damit den Gesamtverbrauch nach 3 Stunden Fahrt.
Verbrauch in 3 Stunden = 3 \cdot 7,5 Liter = 22,5 Liter
Antwort: Werner wird nach 3 Stunden Fahrt voraussichtlich 22,5 Liter verbraucht haben.

Ein Holzspielzeug "Serlo" wiegt 5 kg, wovon 4,5 kg wiederverwertbar sind. In einer Recyclingstelle befinden sich sehr viele Serlos, die zusammen 750 kg wiegen. Wie viel kg wiederverwertbaren Materials befinden sich darunter?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung

Man weiß, dass 4,5 kg von 5 kg wiederverwertbar sind. Um den Anteil des wiederverwertbaren Materials zu erhalten, berechnet man den Prozentsatz dazu.
Ordne die gegebenen Werte den Fachbegriffen zu.
Gegeben:
Grundwert G=5kgG = 5\,\text{kg}
Prozentwert W = 4,5 kg


Gesucht:
Prozentsatz: pp
Berechne pp mit Hilfe der Prozentformel.
 Lösung:
p=WG=4,5kg5kg=4,55=90100=90%\displaystyle p = \frac{W}{G} \\= \frac{4,5\,\text{kg}}{5\,\text{kg}} = \frac{4,5}{5} = \frac{90}{100} = 90\%
Dieser Anteil ist in jedem Holzspielzeug gleich. Also gilt er auch für die Gesamtmenge der 750 kg.
Gegeben: Grundwert G=750kgG=750\,\text{kg}
Prozentsatz p=90%p=90\% 
Gesucht: Prozentwert WW (die Menge des wiederverwertbaren Materials in den 750 kg)
Berechne WW mit der Prozentformel.
W=pG=90%750 kg=675 kg\displaystyle W = p\cdot G \\= 90\%\cdot 750\,\text{ kg} = 675\,\text{ kg}

Antwort: Insgesamt befinden sich also 675 kg wiederverwertbaren Materials in der Recyclingstelle.
In einer Umfrage sagen 3400 von 4000 Leuten, dass sie Greenpeace toll finden. Inga Schiert macht eine eigene Umfrage. In dieser finden 51 Leute Greenpeace toll. Wie viele Leute hat Inga wohl ungefähr befragt?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Grundwert bestimmen

Überlege dir zuerst, was der Grundwert und was der Prozentwert der großen Umfrage ist.
Gegeben: G=4000LeuteG = 4000\,\mathrm{Leute}, W=3400LeuteW = 3400\,\mathrm{Leute}
Um Aussagen über Ingas Umfrage machen zu können, brauchst du einen Prozentsatz. Für die Schätzung kannst du davon ausgehen, dass dieser gleich ist wie bei der großen Umfrage. Deshalb suchst du den Prozentsatz der großen Umfrage.
p=WG=3400Leute4000Leute=34004000=85100=85%p = \frac{W}{G} = \frac{3400\,\mathrm{Leute}}{4000\,\mathrm{Leute}} =\frac{3400}{4000} = \frac{85}{100}=85\% 
Für Ingas Umfrage kennst du jetzt Prozentsatz und Prozentwert.
Gegeben: p=85%p = 85\% , W=51LeuteW = 51 \,\text{Leute}
Jetzt bist du fast fertig und suchst nur noch den Grundwert von Ingas Umfrage.
Lösung: G=Wp=51Leute85%=51Leute0,85=60LeuteG = \frac{W}{p}= \frac{51\,\mathrm{Leute}}{85\%} = \frac{51\,\mathrm{Leute}}{0,85} = 60\,\mathrm{Leute}
Antwort: Inga hat vermutlich ungefähr 60 Leute befragt.
Um Aussagen über Ingas Umfrage machen zu können, brauchst du einen Prozentsatz. Für die Schätzung kannst du davon ausgehen, dass dieser gleich ist wie bei der großen Umfrage. Deshalb suchst du den Prozentsatz der großen Umfrage.
Große Umfrage Dreisatz
Damit weißt du jetzt den Prozentsatz der großen Umfrage. Berechne nun den Grundwert für Ingas Umfrage
Ingas Umfrage Dreisatz

Antwort: Inga hat vermutlich ungefähr 60 Leute befragt
Unter 4000 Befragten gab es 3400 Befürworter für Greenpeace. Bei Ingas Umfrage wird sich ein ähnliches Verhältnis ergeben. Berechne mit dem Dreisatz, wieviele Leute Inga befragt hat.
DreisatzGreenpeace

Antwort: Inga hat vermutlich ungefähr 60 Leute befragt

Wasser vergrößert sein Volumen beim Gefrieren um 10%.

Wie viele Liter Wasser entstehen, wenn %%5\frac12\mathrm{dm}^3%% Eis geschmolzen sind?

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