Aufgaben

Der Schuldirektor unterschreibt Zeugnisse. Er hat bereits 270 Zeugnisse fertig.

Die stellvertretende Direktorin fragt ihn, wie lange er noch braucht. Daraufhin antwortet er: "Ich habe bereits 45%."

Wie viele Zeugnisse muss der Direktor insgesamt unterschreiben?

Grundwert berechnen

Gegeben:
Anzahl fertiger Zeugnisse (Prozentwert) = 270
Prozentsatz der fertigen Zeugnisse = 45%

Gesucht: Gesamtzahl aller Zeugnisse (Grundwert)

Rechnung mit Formel

$$G=\frac Wp=\frac{270}{45\%}=\frac{270}{0,45}=600$$

Die Gesamtanzahl (Grundwert G) der Zeugnisse erhältst Du, indem der Prozentwert W mit dem Prozentsatz p als Dezimalzahl dividiert wird. Prozentrechnung mittels Formel

Rechnung mit Dreisatz

$$\begin{array}{l}45\%\;\;\;\widehat=\;270\;Zeugnisse\\1\%\;\;\;\;\;\widehat=\;\frac{270}{45}\\100\%\;\widehat=\;\frac{270}{45}\cdot100\end{array}$$

Die gegebenen Werte werden in die Formel eingesetzt und man rechnet auf 1% zurück, indem der Wert des Prozentsatzes p mit dem Prozentwert W der bereits fertigen Zeugniss (in %) dividiert wird. Dann multipliziert man das Ergebnis auf 100% und der Grundwert kommt heraus.

Der Kauf eines Autos verteuert sich um 1920,45 €, da die Bezahlung in Raten erfolgt.      
Wie hoch war der ursprüngliche Preis des Autos, wenn die Verteuerung 10,5% beträgt?

Ordne die gegebenen Größen den entsprechenden Fachbegriffen zu.

Gegeben:

Prozentsatz %%p=10,5\,\%\;%% ,
Prozentwert %%W=1920,45\,\text{€}\;%%

Gesucht: Grundwert %%G%%

Stelle die Formel auf.

Lösung:

%%G=\frac{W}{p}%%

Setze die Werte ein und rechne das Ergebnis aus.

%%G=\frac{1920,45\,€}{10,5\%}=18.290\,€%%

 

Antwort: Der ursprüngliche Preis des Autos betrug %%18.290\, €.%%

Franz hat in seinem Sommerurlaub viel fotografiert. Er hat insgesamt 50 Fotos geschossen, von denen jedes 2 MB Speicherplatz benötigt. Seine SD-Karte hat eine Speicherkapazität von 1 GB.

a) Wie viel Prozent des Speichers ist nach dem Urlaub noch frei?

b) Wie viele Bilder kann er auf seinem nächsten Ausflug machen, wenn die neuen Bilder doppelt so viel Speicher benötigen und schon 60% des Speichers belegt sind?

Teilaufgabe a)

Als erstes musst du ausrechnen, wie viel Speicherplatz die Urlaubsfotos benötigen:

%%50\cdot 2 \text{ MB}=100%% MB

Als nächstes musst du den Speicherplatz der SD-Karte von GB in MB umrechnen, damit du die beiden Größen vergleichen darfst.

%%1 \text{ GB} \approx 1000\text{ MB}%%

In dieser Aufgabe ist der Prozentsatz gesucht.

%%1000%% MB sind der Grundwert und %%100%% MB sind der Prozentwert. Diese Größen kannst du nun in die Prozentformel einsetzen:

%%\text{PS}= {\text{PW}}:{\text{GW}}={100 \text{ MB}}:{1000 \text{ MB}}=0,1= 10\% %%

Nach dem Urlaub sind %%10\% %% des Speichers belegt.

Teilaufgabe b)

Zuerst rechnest du aus, wie viel Speicher er noch zur Verfügung hat.

Du suchst den Prozentwert. Der Grundwert ist der Gesamtspeicher der Karte %%1000%% MB. Der Prozentsatz sind %%100\%-60\%=40\%%%, da 60% belegt sind und damit 40% noch frei sind.

Nun kannst du in die Prozentformel einsetzen:

%%\text{PW}=\text{PS}\cdot \text{GW}=40\% \cdot 1000\text{ MB} = 0,4 \cdot 1000\text{ MB} = 400 \text{ MB}%%

Die neuen Bilder haben eine Größe von %%2\cdot 2 \text{ MB}=4 \text{ MB}%%. Das heißt, er kann %%400 \text{ MB}: 4 \text{ MB}= 100%% Fotos machen.

Ein Fluss fließt durch ein Wüstenland, das zwei Beduinengruppen bewohnen. Die eine Gruppe zweigt 80 von den 125 Hektolitern, die der Fluss pro Stunde mit sich bringt, für ihre Felder ab. Wie viel Prozent der Wassermenge des Flusses kommt dann noch bei der anderen Beduinengruppe an, die bergab des Flusses lebt?

Überlege zuerst, wieviel Hektoliter (hl) Wasser bei der zweiten Beduinengruppe ankommt.

Die erste Beduinengruppe zweigt 80 hl Wasser von 125 hl ab, also kommen bei der zweiten Beduinengruppe 125 hl - 80 hl = 45 hl Wasser an.

Ordne die gegebenen Größen den entsprechenden Fachbegriffen zu.

Gegeben:

Prozentwert %%W=45\,\text{hl}%%

Grundwert %%G=125\,\text{hl}%%

Ordne die gegebenen Größen den entsprechenden Fachbegriffen zu.

Gesucht: Prozentsatz %%p%%

Stelle das Verhältnis auf.

Dreisatz

Rechne zurück auf 1 hl.

Erweitere auf 45 hl .

Nun kannst du den Prozentsatz 36% ablesen.

Bei der zweiten Beduinengruppe kommen also 36% des Wassers an.

Eine Kundin kauft in einem Sportgeschäft einen Heimtrainer zum Preis von 399,50 €. Als Mitglied eines Sportvereins bekommt sie Ermäßigung und zahlt nur 367,54 €.      
Wie viel % betrug der Preisnachlass?

Überlege dir zuerst wie viel Geld gespart wurde.

%%399,50\,€-367,54\,€=31,96\,€%%

Ordne nun die gegebenen Werte den Fachbegriffen zu.

Gegeben: Grundwert %%G = 399,50\,€%%, der berechnete Wert entspricht dem Prozentwert %%W=31,96\,€%%

Gesucht: Prozentsatz %%p%%

Berechne den Prozentsatz mit Hilfe der Prozentformel.

Lösung:

%%p=\frac WG \\=\frac{31,96\,€}{399,50\,€}=0,08 =8\% %%

 

Antwort: Der Preisnachlass betrug 8%.

Ein Unternehmer muss für eine Materiallieferung 8229 € bezahlen, da die Preise um 5,5% angehoben wurden.

Wie viel hätte er vor dieser Verteuerung bezahlen müssen?

Der Preisanstieg um 5,5% auf 8229 € lässt sich also erhöhter Grundwert %%G%% auffassen.

Ansatz: Preisanstieg um 5,5% entspricht einer Multiplikation mit dem Faktor %%1+\frac{5,5}{100}%%.

%%1,055\cdot G=8229\,€%%

Teile durch %%1,055%%.

%%G=\frac{8229\,€}{1,055}=7800\,€%%

 

Vor der Verteuerung hätte der Unternehmer 7800 € zahlen müssen.

Herr G. Wicht ist 120 kg schwer. Er beginnt am 1. Oktober eine radikale Abmagerungskur.

  1. Am 1. November hat er 15% seines Körpergewichts verloren. Wie schwer ist er jetzt?

  2. Bis zum 1. Dezember verliert er erneut 15% an Gewicht. Wie schwer ist er zu diesem Zeitpunkt?

  3. Im Januar jedoch - nach den vielen Feiertagen - zeigt die Waage wieder 120 kg an! Um wie viel Prozent hat er in den beiden vergangenen Monaten wieder zugenommen? Runde auf eine Kommastelle.

Teilaufgabe a)

Gegeben: altes Gewicht:120 kg,

Info: Er wiegt nun 15% weniger.

Gesucht: neues Gewicht

Dreisatz anwenden.

Sei %%x%% der Gewichtsverlust.

%%x=15\% %%

%%120\, \mathrm{kg}=100\% %%

%%x=\left(120\, \mathrm{kg}\cdot15\%\right):100\%=18\, \mathrm{kg}%%

Nun subtrahiere den Gewichtsverlust %%x%% von dem ursprünglichen Gewicht.

%%120\, \mathrm{kg}-18\, \mathrm{kg}=102\, \mathrm{kg}%%

 

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Am 1. November wiegt er noch 102 kg.

Teilaufgabe b)

Gegeben: altes Gewicht:102 kg,

Info: Er wiegt bis zum 1. Dezember 15% weniger.

Gesucht: neues Gewicht

Dreisatz anwenden.

Sei %%x%% der Gewichtsverlust.

%%x=15\% %%

%%102\, \mathrm{kg}=100\% %%

%%x=\left(102\, \mathrm{kg}\cdot15\%\right):100\%=15,3\, \mathrm{kg}%%

Nun subtrahiere den Gewichtsverlust %%x%% vom vorherigen Gewicht.

%%102\, \mathrm{kg}-15,3\, \mathrm{kg}=86,7\, \mathrm{kg}%%

 

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Am 1.Dezember wiegt er noch 86,7 kg.

 

Teilaufgabe c)

Gegeben: altes Gewicht:86,7 kg, neues Gewicht:120 kg

Gesucht: prozentuale Gewichtssteigerung %%g%%

Dreisatz anwenden.

%%100\%=86,7\, \mathrm{kg}%%

%%x=120\, \mathrm{kg}%%

%%x%% Steigerungsfaktor.

Bestimme die absolute Gewichtssteigerung, indem du die Differenz von 120 und 86,7 bildest.

 

%%120\, \text{kg}-86,7\, \text{kg}=33,3\, \text{kg}%%

Bestimme die prozentuale Gewichtssteigerung als Anteil der absoluten Gewichtssteigerung am Gesamtgewicht von %%86,7\, \text{kg}%%.

%%g=\frac{33,3\, \text{kg}}{86,7\, \text{kg}}=\frac{111}{289}\approx38,41\% %%

 

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% In den vergangenen beiden Monaten hat er wieder um 38,41% zugenommen.

Butter hat einen Fettgehalt von 82%, Creme Fraiche enthält 30% Fett. Wie viel Gramm Butter enthält die gleiche Menge Fett wie ein Becher mit 125 g Creme Fraiche?

Brechne zunächst die Menge an Fett in der Creme Fraiche.

Ordne die gegebenen Werte den passenden Fachbegriffen zu.

Gegeben:

Grundwert %%G_{creme Fraiche}=125\,\text{g}%% Creme Fraiche

Prozentsatz %%p_{creme Fraiche}=30\% %% Fettanteil

Gesucht: Prozentwert %%W%%

Berechne den Prozentwert mit Hilfe der Prozentformel.

Lösung: %%W=p\cdot G%%

Setze die gegebenen Werte in die Formel ein.

%%W=30\% \cdot 125 \text{ g} = 125 \text{ g} \cdot 0,3=37,5\text{ g}%%

Als nächstes berechne die Menge der benötigten Butter.

Diese kannst du mit dem Fettanteil der Butter und der gewünschten Menge Fett berechnen. Die gewünschte Menge sind die 37,5 g, die du gerade eben berechnet hast. Ordne also die Werte nochmals den Fachbegriffen zu.

Gegeben:

Prozentwert %%W=37,5\,\text{g}%%

Prozentsatz %%p_{Butter}=82\% %%

Gesucht: Grundwert %%G_{Butter}%%

Berechne den Grundwert mit Hilfe der Prozentformel.

Lösung:

%%G =\frac{W}{p} \\= \frac{37,5 \,\mathrm{g}}{82\%} = \frac{37,5 \,\mathrm{g}}{0,82} \approx 45,73\,\mathrm{g}%%

Setze die Werte in die Formel ein.

Antwort: Nur Ca. 45,73 g Butter enthalten die gleiche Menge Fett wie ein Becher mit 125 g Creme Fraiche.

Menge an Fett in der Creme Fraiche

Berechne zuerst die Menge an Fett in der Creme Fraiche

Creme Fraiche Dreisatz

Menge an Butter

Berechne als nächstes die Menge an Butter, die für 37,5g Fett benötigt werden.

(Im zweiten Schritt wurde gerundet)

Butter Dreisatz

Antwort: Ca. 45,73 g Butter enthalten die gleiche Menge Fett wie ein Becher mit 125 g Creme Fraiche.

Ein Fahrrad, das 400 € kostet, wird um 20% reduziert. Um noch mehr Käufer anzulocken gibt es nach einer Woche noch einmal 10% Rabatt. Würdest du mehr, weniger oder gleich viel bezahlen, wenn das Fahrrad gleich um 30% billiger wird? Begründe deine Antwort!

Logo eines Fahrradgeschäfts

Verminderten Grundwert bestimmen

Ordne die gegebenen Größen den passenden Fachbegriffen Grundwert und Prozentsatz zu.

Gegeben: G = 400 € ; p%%_1%% = 20% ; p%%_2%% = 10% ; p%%_3%% = 30%

Gesucht: G%%^-%%

Der Preis wird reduziert, also ist ein verminderter Grundwert gesucht.

Zweimalige Preissenkung

Berechne den verminderten Grundwert nach dem ersten Rabatt von 20%. Verwende die Formel für den verminderten Grundwert.

G%%^-%% = G %%\cdot%% (1 - p%%_1%%)

Setze die gegebenen Größen ein.

G%%^-%% = 400 € %%\cdot%% (1 - 20%)

Vereinfache.

= 400 € %%\cdot%% (1 - 0,2) = 400 € %%\cdot%% 0,8 = 320 €

%%\rightarrow%% G%%^-%% ist der neue Grundwert G%%_2%%

Berechne den verminderten Grundwert nach dem zweiten Rabatt von 10%. Verwende die Formel für den verminderten Grundwert.

G%%_2^-%% = G%%_2\cdot%% (1 - p%%_2%%)

Setze die gegebenen Größen ein und vereinfache.

= 320 € %%\cdot%% (1 - 10%) = 320 € %%\cdot%% 0,9 = 288 €

Antwort: Das Fahrrad kostet nach einer Reduzierung von 20% und 10% noch 288 €.

Einmalige Preissenkung

Berechne den verminderten Grundwert nach dem Rabatt von 30%.

G%%^-%% = G %%\cdot%% (1 - p%%_3%%)

Setze die gegebenen Größen ein und vereinfache.

G%%^-%% = 400 € %%\cdot%% (1 - 30%) = 400 € %%\cdot%% 0,7 = 280 €

Antwort: Das Fahrrad kostet nach einer Reduzierung von 30% noch 280 €.

%%\Rightarrow%% Antwort insgesamt: Nach der einmaligen Presireduzierung von 30% ist das Fahrrad billiger als nach der zweimaligen Reduzierung von 20% und 10%.

Rechne mit der Formel G%%^-%% = G - W. Bestimme dazu zuerst W mit Hilfe der Prozentformel.

Zweimalige Preissenkung

W = p%%_1\cdot%% G

Setze die gegebenen Größen ein und vereinfache.

= 20% %%\cdot%% 400 € = 0,2 %%\cdot%% 400 € = 80 €

Berechne den verminderten Grundwert.

G%%^-%% = G - W = 400 € - 80 € = 320 €

%%\rightarrow%% G%%^-%% ist der neue Grundwert G%%_2%%

Berechne den verminderten Grundwert nach dem Rabatt von 10% aus. Berechne hierzu den Prozentwert W%%_2%%.

W%%_2%% = p%%_2 \cdot%% G%%_2%%

Setze die gegebenen Größen ein und vereinfache.

W%%_2%% = 10% %%\cdot%% 320 € = 32 €

Berechne den verminderten Grundwert G%%^-_2%%.

G%%_2^-%% = G%%_2%% - W%%_2%% = 320 € - 32 € = 288 €

Antwort: Das Fahrrad kostet nach einer Reduzierung von 20% und 10% noch 288 €.

Einmalige Preissenkung

W = p%%_3 \cdot%% G

Setze die gegebenen Größen ein und vereinfache.

= 30% %%\cdot%% 400 € = 0,3 %%\cdot%% 400 € = 120 €

Berechne den verminderten Grundwert.

G%%_2^-%% = G - W = 400 € - 120 €

Antwort: Das Fahrrad kostet nach einer Reduzierung von 30% noch 280 €.

%%\Rightarrow%% Antwort insgesamt: Nach der einmaligen Presireduzierung von 30% ist das Fahrrad billiger als nach der zweimaligen Reduzierung von 20% und 10%.

1 € geschenkt!

Zwei Angebote werben beim Kauf eines Getränkekastens mit einem Preisnachlass von 1 €. Welches Angebot ist prozentual günstiger?

Die einfachste Lösung: Im Fall A ist 1€ der 12,49te-Teil von 12,49€, im Fall B der 14,96te-Teil von 14,96€.

Prozentualer Nachlass im Fall A: $$(100:12,94)\%\approx7,7\%$$

Prozentualer Nachlass im Fall B:$$(100:14,96)\%\approx6,7\%$$

Das Angebot A gewährt also den höheren Nachlass.

Herr Boller plant in seinem Garten einen Teich anzulegen. Das Volumen des Teiches soll 15,6 %%m^3%% betragen.

Welche Erdmenge muss Herr Boller per Container abfahren lassen, wenn mit einer Auflockerung von 15% zu rechnen ist, also den Arbeiten sogar noch 15% mehr Erde ausgehoben werden müssen?

Vermehrten Grundwert berechnen

Ordne die gegebenen Werte den Fachbegriffen zu.

Gegeben:

Grundwert %%G=15,6\,\text{m}^3%%

Prozentsatz %%p = 15\% %%

Es muss mehr Erde ausgehoben werden als der Grundwert angibt. Bei der gesuchten Größe handelt es sich also um einen vermehrten Grundwert.

Gesucht: vermehrter Grundwert %%G_+%%

Berechne zuerst wie viel Erde zusätzlich ausgehoben wird. Berechne dazu den Prozentwert %%W%% zu den gegebenen Werten %%p%% und %%G%% mit Hilfe der Formel.

Lösung:

%%W=G\cdot p\\=15,6\,\text{m}^3\cdot15\%\\=15,6\,\text{m}^3\cdot0,15\\= 2,34\,\text{m}^3%%

Dieses Volumen an Erde, wird zusätzlich ausgehoben, wird also zu dem Grundwert addiert.

%%G_+=G + W \\= 15,6\,\text{m}^3+2,34\,\text{m}^3=17,94\,\text{m}^3%%

Antwort: Insgesamt müssen %%17,94\; m^3%% Erdreich ausgehoben werden.

In einer Sportgruppe fahren 70% der Schüler Ski und 60% der Schüler Snowboard. Ein Viertel der Schüler fährt weder Ski noch Snowboard. 11 Schüler der Gruppe fahren Ski und Snowboard.

  1. Stelle die Anteile mittels einer Vierfeldertafel dar.

  2. Ermittle, wie viele Schüler insgesamt in der Sportgruppe sind.

Teilaufgabe a)

 

Vorgehensweise:

  • Setze alle Informationen, die gegeben sind, in die Vierfeldertafel ein. Also die Info, dass 70% der Schüler Ski fahren, 60% Snowboard fahren und 25% weder Ski noch Snowboard.
  • Ergänze einige Komplemente, also die Summe der Nicht-Ski- (30%) bzw. Nicht-Snowboard-Fahrer (40%).
  • Durch Ergänzung lässt sich der Anteil der Snowboarder, die nicht Ski fahren, und der Anteil der Skifahrer, die nicht Snowboard fahren, bestimmen.
  • Das letzte Feld, der Anteil der Schüler, die Ski und Snowboard fahren, lässt sich dann passend ergänzen.

Ski

Nicht-Ski

Summe

Snowboard

55% (11 Schüler)

5%

60%

Nicht-Snowboard

15%

25%

40%

Summe

70%

30%

100%

Teilaufgabe b)

Gesucht wird die gesamte Schülerzahl in der Sportgruppe. Sei diese mit %%x%% bezeichnet.

%%11%% (Schüler) ist der Prozentwert .

 

%%11%% (Schüler) ist der Prozentwert.

%%55\% %% ist der Prozentsatz.

Prozentwert durch Prozentsatz dividieren um 1% auszurechnen.

%%1\%\;\widehat=\;\frac{11}{55}%%

 

%%1\%\;\widehat=\;\frac15%%

Von 1% auf 100% hochrechnen.

%%100\cdot\frac15=20%%

 

%%\;\;\Rightarrow\;\;%%  Es sind ingesamt 20 Schüler in der Sportgruppe.

Der Grundpreis eines Wagens beträgt 27500 €. Die Sonderausstattung erhöht den Preis um 1000 €. Wegen Barzahlung erhält der Käufer 12% Rabatt.      

Wie viel Prozent vom Grundpreis sind tatsächlich gezahlt worden?

Prozentrechnen mit vermehrten und verminderten Grundwerten

Überlege dir zunächst wie viel Geld der Käufer tatsächlich bezahlen musste.

Preis nach der Preiserhöhung:

%%27500\,\text{€} + 1000\,\text{€} = 28500\,\text{€}%%

Preis nach der Rabattaktion:

Berechne den Prozentwert, der angibt wie viel Geld gespart wird.

Gegeben: Grundwert %%G=28500\text{€}%%, Prozentsatz %%p=12\% %%

Gesucht: Prozentwert %%W%%

Verwende die Prozentformel.

%%W=p \cdot G\\ =28500\;€ \cdot 12\%\\ =28500\;€ \cdot 0,12\\ =3420\;€%%

Dieser Betrag wird von dem zuzahlenden Betrag abgezogen.

%%28500\; € - 3420\; € = 25080\;€%%

Anteil des gezahlten Betrags vom ursprünglichen Grundpreis:

Gegeben: Grundwert %%G=27500\,\text{€}%%, Prozentwert %%W=25080\,\text{€}%%

Gesucht: Prozentsatz %%p%%

Berechne den prozentuellen Anteil mit Hilfe der Prozentformel.

%%p= \frac{W}{G} \\= \frac{25080\,\text{€}}{27500\,\text{€}} \\= 0,912 = 91,2\% %%

Antwort: Tatsächlich wurden 91,2% vom Grundpreis gezahlt.

Wie fühlst du dich in einer Klasse, in der es fast nur Mädchen oder fast nur Jungen gibt? Die Geschlechterverteilung unterscheidet sich nicht nur zwischen einzelnen Klassen, sondern sogar zwischen ganzen Ländern.

  1. Formuliere folgenden Satz um, indem du "fast nur" durch eine Prozentangabe ersetzt und den Sinn erhältst: "In unserer Klasse gibt es fast nur Mädchen"!
    1. Gib mit Hilfe deiner Antwort an, wie viel Prozent der Klasse Jungen sind.
  2. Die CIA hat im Internet das Geschlechterverhältnis verschiedener Länder veröffentlicht. Allerdings sind die Angaben nicht in Prozent, sondern in einem Quotienten angegeben. In der Tabelle unten kannst du die Werte für Deutschland und Indien sehen.
    1. Wieviele Männer kommen auf 100 Frauen?
    2. Wie viel Prozent der Deutschen sind Männer? Wie viel Prozent der indischen Bevölkerung sind männlich?

Land

Anzahl Männer pro Frau

Deutschland

0,97

Indien

1,08

1. Teilaufgabe

Interpretation von fast nur als Prozentsatz

Fast nur müssen auf jeden Fall mehr als die Hälfte, also mehr als 50% entsprechen. Nach allgemeinem Verständnis ist wohl auch mehr als 75% sinnvoll. Eine möglichkeit wäre daher
"In unserer Klasse sind 90% der Schüler Mädchen."

Berechnung des verbleibenden Prozentsatzes

Um nun den Prozentsatz der Jungen zu erhalten ziehst du von 100% deinen gewählten Prozentsatz ab. Hier also $$100\%-90\% = 10\%$$ Also gibt es in der besagten Klasse 10% Jungen.

2. Teilaufgabe

Proportionalität erkennen

Du multiplizierst sowohl die Anzahl Frauen als auch Anzahl Männer mit 100 und erhältst immer noch das gleiche Verhältnis.

In Deutschland gibt es 97 Männer und in Indien 108 Männer je 100 Frauen.

Faktor Hundert?

Du kannst auch mit jedem anderen Faktor multiplizieren. So gibt es beispielsweise auf 500 Frauen genau 485 Männer. In der Frage war aber nach der Anzahl Männer auf 100 Frauen gefragt.

Berechnung der Prozentsätze

Deutschland

Es gibt 97 Männer und 100 Frauen, also insgesamt 197 Personen. 97 Männer sind der Prozentwert und 197 der Grundwert.

Das führt zu folgender Rechnung $$\dfrac{W}{G} = \dfrac{97}{197} \approx 0,49 = 49\%$$

Indien

$$\dfrac{W}{G} = \dfrac{108}{208} \approx 0,52 = 52\%$$

Die Fußballspieler einer Mannschaft der 1. Liga müssen wegen ihren begangenen Unsportlichkeiten Strafen in die Mannschaftskasse zahlen. A. Mateur muss 20.000 € bezahlen, B. Trüger 50.000 €, C. Rung 15.000 €, D. M. Lich 30.000 € und E. Goist 35.000 €.

a) Wieviel Prozent des Gesamtbetrags der Mannschaftskasse muss jeder einzelne Fußballer zahlen?

b) Wieviele der 5 Fußballer müssen jeweils mindestens 20% des Gesamtbetrags zahlen? Wieviel Prozent der Spieler sind das?

Teilaufgabe a)

Berechne als erstes wie viel Geld insgesamt in die Mannschaftskasse gezahlt wird. Dieses Geld ist nämlich der Grundwert für die Prozentsätze die gesucht sind.

G = 20.000 € + 50.000 € + 15.000 € + 30.000 € + 35.000 € = 150.000 €

Berechne nun die gesuchten Prozentsätze, indem du die Strafen der einzelnen Spieler jeweils durch das gesamte Geld teilst. (Formel: %%p = \frac{W}{G}%%)

Name

Strafe

Rechenweg

A. Mateur

20.000 €

%%p = \frac{20.000\,€}{150.000\,€} =\frac{20.000}{150.000} = \frac{2}{15} = 0,1\overline{3} \approx 13,3\%%%

B. Trüger

50.000 €

%%p = \frac{50.000\,€}{150.000\,€} = \frac{50.000}{150.000} = \frac{1}{3} = 0,\overline{3} \approx 33,3\% %%

C. Rung

15.000 €

%%p = \frac{15.000\,€}{150.000\,€} = \frac{15.000}{150.000} = \frac{1}{10} = \frac{10}{100} = 10\%%%

D. M. Lich

30.000 €

%%p = \frac{30.000\,€}{150.000\,€} = \frac{30.000}{150.000} = \frac{1}{5} = \frac{20}{100} = 20\%%%

E. Goist

35.000 €

%%p= \frac{35.000\,€}{150.000\,€}=\frac{35.000}{150.000} = \frac{7}{30} = 0,2\overline{3} \approx 23,3\%%%

Berechne als erstes wie viel Geld insgesamt in die Mannschaftskasse gezahlt wird. Dieses Geld ist nämlich der Grundwert für die Prozentsätze die gesucht sind.

G = 20.000 € + 50.000 € + 15.000 € + 30.000 € + 35.000 € = 150.000 €

Stelle nun das Verhältnis auf und rechne auf eine kleinere Menge herunter (Hier wird nicht auf 1 € sondern auf 1000 € heruntergerechnet, damit die Prozentzahl nicht so klein wird. Es geht jedoch auch anders!)

Dreisatz Fußballspieler

Berechne nun den jeweiligen Prozentsatz für die Spieler.

A. Mateur

A Mateur Dreisatz

B. Trüger

B Trüger Dreisatz

C. Rung

C Rung Dreisatz

D. M. Lich

D M Lich Dreisatz

E. Goist

E Goist Dreisatz

Teilaufgabe b)

In der Teilaufgabe a) hast du bereits die Prozentsätze berechnet. Lies daran ab, welche Fußballspieler je mindestens 20% des Gesamtbetrags zahlen müssen.

Es sind 3 Fußballer, die jeweils mindestens 20% des Gesamtbetrags gezahlt haben, nämlich B. Trüger (ca. 33,3%), D.M. Lich (20%) und E. Goist (ca. 23,3%).

Rechne nun den Anteil (Prozentsatz) der 3 Fußballspieler an allen 5 Fußballspielern aus.

Gegeben: G = 5 Fußballspieler, W = 3 Fußballspieler

Gesucht ist der Prozentsatz

Gesucht: p

Stelle die Formel auf und setze die Werte ein.

%%p = \frac{W}{G} = \frac{3 \,\mathrm{Fußballspieler}}{5\,\mathrm{Fußballspieler}} = \frac{3}{5} = \frac{60}{100} = 60\% %%

Antwort: 60% der Fußballer müssen jeweils mindestens 20% des Gesamtbetrags in die Mannschaftskasse zahlen.

In der Teilaufgabe a) hast du bereits die Prozentsätze berechnet. Lies daran ab, welche Fußballspieler je mindestens 20% des Gesamtbetrags zahlen müssen.

Es sind 3 Fußballer, die jeweils mindestens 20% des Gesamtbetrags gezahlt haben, nämlich B. Trüger (%%33,\overline3\% %%), D.M. Lich (%%20\% %%) und E. Goist (%%23,\overline3\% %%).

Berechne nun den Prozentsatz der 3 Fußballspieler an den 5 Spielern.

Spieler Prozentsatz Dreisatz

Antwort: 60% der Fußballer müssen jeweils mindestens 20% des Gesamtbetrags in die Mannschaftskasse zahlen.

Ein Auto setze 40% der in der Tankfüllung steckenden Energie in Bewegung um, nämlich 600 MJ (Energie-Einheit "Megajoule"). Der Rest geht z.B. durch Wärme über die Abgase verloren. Wieviele MJ sind das?

Die Klasse 8a wird nach ihrem Lieblingsfilm gefragt. 40% von den 25 abgegebenen Stimmzetteln enthalten den Film "Friss oder Stirb". Eva ist sich bei 9 Klassenkameraden sicher, dass sie diesen Film gewählt haben. Wie viele Schüler*innen haben für den Film gestimmt, von denen Eva das nicht weiß?

Als erstes berechnet du, wie viele Stimmen für diesen Film abgegebene wurden. Hierfür bestimmst du erstmal was gegeben ist.

Gegeben:

Grundwert %%G = 25 \;\mathrm{Stimmen}%%,

Prozentsatz %%p = 40\% %%

Als nächstes bestimmst du was gesucht wird. Hier ist es die Anzahl der Stimmen, die für den Film abgegeben wurden, also der Prozentwert.

Gesucht: Prozentwert %%W%%

Als nächstes berechnest du den gesuchten Wert mit der Formel. %%W = p \cdot G%%

Lösung:

%%W = p \cdot G%%

Setze die gegebenen Werte in die Formel ein.

%%W = 40\% \cdot 25 \text{ Stimmen} = 10 \text{ Stimmen}%%

Es wurden also 10 Stimmen für "Friss oder Stirb" abgegeben.

Du weißt jetzt, dass es 10 Stimmen für den Film gibt, und Eva sich bei 9 sicher ist. Es bleibt also noch eine Stimme übrig, die für den Film war, ohne dass Eva es weiß.

%%10 \text{ Stimmen} - 9 \text{ Stimmen} = 1 \text{ Stimmen}%%

Antwort: Es gibt in der Klasse eine Person, von der Eva nicht weiß, dass sie für "Friss oder Stirb" gestimmt hat.

Der Grundwert entspricht 100%.

Dreisatz Friss oder Stirb

Rechne auf 1% runter.

Rechne auf 40% hoch.

Du weißt jetzt, dass es 10 Stimmen für den Film gibt, und Eva sich bei 9 sicher ist. Es bleibt also noch eine Stimme übrig, die für den Film war, ohne dass Eva es weiß.

%%10 \text{ Stimmen} - 9 \text{ Stimmen} = 1 \text{ Stimmen}%%

Antwort: Es gibt in der Klasse eine Person, von der Eva nicht weiß, dass sie für "Friss oder Stirb" gestimmt hat.

Der Anglerverein "Petri Heil" hat 120 Mitglieder. 75% davon sind Erwachsene, der restliche Anteil Jugendliche. Dem Verein treten 10 Männer und 5 Jugendliche neu bei.

  1. Wie viele Jugendliche sind danach im Verein?

  2. Wie viel Prozent Erwachsene sind danach im Verein?

Runde den Prozentsatz auf eine Stelle nach dem Komma.

Teilaufgabe 1)

Zahl der Erwachsenen vorher: 75% von 120 = 90.

Zahl der Jugendlichen vorher: 25% von 120 = 30.

Zahl der Erwachsenen nachher: 90 + 10 = 100.
Zahl der Jugendlichen nachher: 30 + 5 = 35.

Denn es kommen 10 neue erwachsene und 5 neue jugendliche Mitglieder hinzu.

%%\Rightarrow%% Es sind nun 35 Jugendliche im Angelverein.

Teilaufgabe 2)

%%\frac{100}{135}\approx0,741=74,1\% %%

Bestimme den Anteil der Erwachsenen (100 Personen) an der neuen Gesamtzahl von Mitgliedern (135).

%%\Rightarrow%% Nach den Neuanmeldungen beträgt der Anteil der Erwachsenen %%74,1% %%.

An einer Wahl nahmen 426.688 Wahlberechtigte teil und stimmten je für eine der drei Parteien A, B und C. Die Partei B erhielt 70% der Stimmen von A, die Partei C hingegen 80% der Stimmen von B. Wie viele Stimmen erhielt jede Partei?

%%x_A=x%% ist die Anzahl der Stimmen für Partei A.

%%x_B=x_A\cdot0,7%% ist die Anzahl der Stimmen für Partei B.

%%x_C=x_B\cdot0,8=\left(x_A\cdot0,7\right)\cdot0,8=x\cdot0,56%%

Mache nun einen Gesamtansatz für alle Stimmen.

%%x_A+x_B+x_C=426688%%

Nutze nun die Beziehungen zwischen den Anzahlen, die oben erwähnt sind.

%%x+x\cdot0,7+x\cdot0,56=426688%%

Fasse nun die x-Werte zusammen.

%%x\cdot2,26=426688%%

%%\left|:2,26\right.%%

%%x=188800%%

%%\Rightarrow%% Partei A bekommt 188.800 Stimmen.

Da Partei B 70% der Stimmenanzahl von Partei A bekommt, bekommt sie %%188.800\cdot0,7=132.160%% Stimmen.

Partei C bekommt 80% der Stimmenanzahl von Partei B, also %%188.800\cdot0,56=105.728%% Stimmen.

Im Vorverkauf für ein Open-Air-Festival in einem Stadion mit 20 000 Plätzen wurden 12 000 Eintrittskarten abgesetzt. Während der Veranstaltung war das Stadion zu 90% besetzt. Berechne die Gesamteinnahmen, wenn eine Karte im Vorverkauf für 20 € und an der Stadionkasse für 25 € zu haben war.

Gesucht: Gesamteinnahmen

Die Gesamteinnahmen unterteilen sich in Einnahmen aus dem Vorverkauf und aus dem Verkauf an der Abendkasse. Berechne zunächst die Einnahmen aus dem Vorverkauf.

Vorverkauf: 12.000 Zuschauer*innen bezahlten je 20\,€ im Vorverkauf.

%%12\,000 \cdot 20\,€= 240\,000\,€%%.

Berechne nun die Einnahmen aus der Abendkasse.

Abendkasse:

Berechne zunächst wie viele Zuschauer*innen noch Karten an der Abendkasse gekauft haben. Berechne dazu wie viele Menschen während der Veranstaltung anwesend waren mit der Prozentformel. Dabei ist der Prozentwert %%W%% zu den gegebenen 90% und dem Grundwert 20 000 gesucht.

90% der Plätze sind vom Festival besetzt.

%%W= 90\% \cdot 20\,000 \\=0,9\cdot 20\,000\\=18\,000%%

Also haben %%18\,000-12\,000=6\,000%% Zuschauer*innen ihre Karte an der Stadionkasse gekauft.

Berechne nun die Einnahmen durch den Verkauf an der Abendkasse.

%%6\,000\cdot25\,€=150\,000\,€%%

%%240\,000\,€+150\,000\,€=390\,000\,€%%

Berechne nun die Gesamteinnahmen.

Antwort: Insgesamt wurden also %%390\,000\,€%% eingenommen.

  1. In einer Klasse singen 12 Schüler im Chor, das sind ca. 39% der Schüler dieser Klasse. Schreibe einen Rechenausdruck auf, mit dem die Zahl der Schüler dieser Klasse berechnet werden kann, und führe eine Überschlagsrechnung durch!

  2. Die Polizei stellt bei einer Überprüfung von 400 Fahrrädern fest, dass 35% davon nicht verkehrssicher waren. Von diesen wurden %%\frac17%% wegen defekter Bremsen beanstandet. Wie viele Räder waren das?

  3. Wie viel % von 2400 kg sind 72 kg?

     

Teilaufgabe 1)

Ordne die gegebenen Werte den passenden Fachbegriffen zu.

Gegeben:

Prozentsatz %%p=39\% %%

Prozentwert %%W=12%%

Gesucht: Grundwert %%G%%

Berechne den Grundwert mit HIlfe der Prozentformel.

Lösung: %%G=\frac{W}{p}%%

Setze die gegebenen Werte ein.

%%G=\frac{12}{0,39}\approx30,77\approx31%% Schüler

Alternativer Lösungsweg mit Dreisatz:

%%39\%\widehat=12%%

%%\left|:39\right.%%

%%1\%\widehat=\frac{12}{39}%%

%%\left|\cdot100\right.%%

%%100\%\;\text{entsprechen}\;\frac{400}{13}\approx31\;\text{Schülern}%%

%%\Rightarrow%%   Die Klasse besteht aus 31 Schülern.

Teilaufgabe 2)

Berechne zuerst wie viele Fahrräder nicht Verkehrstauglich sind.

Ordne die gegebenen Werte den passenden Fachbegriffen zu.

Gegeben:

Grundwert %%G=400%% Fahrräder

Prozentsatz %%p=35\% %%

Gesucht: Prozentwert %%W%%

Berechne den Prozentwert mit Hilfe der Prozentformel.

Lösung: %%W=p\cdot G%%

Setze die gegebenen Werte in die Formel ein.

%%W=0,35\cdot400=140%% Fahrräder

%%\Rightarrow%% 140 sind nicht verkehrstauglich.

Berechne nun wie viele davon defekte Bremsen haben.

Ordne die gegebenen Werte den passenden Fachbegriffen zu.

Gegeben:

Grundwert %%G=140%% Fahrräder

Prozentsatz %%p=\frac17%%

Gesucht: Prozentwert %%W%%

Berechne den Prozentwert mit Hilfe der Prozentformel.

Lösung: %%W=p\cdot G%%

Setze die gegebenen Werte in die Formel ein.

%%\frac17\cdot140=20%% Fahrräder

Antwort: 20 Fahrräder haben defekte Bremsen.

Teilaufgabe 3)

Ordne die gegebenen Werte den passenden Fachbegriffen zu.

Gegeben:

Grundwert %%G=2400\,\text{kg}%%

Prozentwert %%W=72\,\text{kg}%%

Gesucht: Prozentsatz %%p%%

Berechne den Prozentsatz mit Hilfe der Prozentformel.

Lösung: %%p=\frac{W}{G}%%

Setze die gegebenen Werte in die Formel ein.

%%p=\frac{72\,\text{kg}}{2400\,\text{kg}}=0,03=3\% %%

Antwort: %%72\,\text{kg}%% entsprechen einem Antei von %%3% %% an %%2400\,\text{kg}%%.

Laura findet eine Brieftasche mit 1125 € Inhalt. Der glückliche Besitzer der Brieftasche zahlt den gesetzlichen Finderlohn von 5% für die ersten 500 € und 3% für den Rest.

Wie hoch ist der Finderlohn?

Berechne zunächst wie viel Geld sich außer den 500 € noch im Geldbeutel befinden.

%%1125\;€-500\;€=625\;€%%

Ordne nun die gegebenen Werte den Fachbegriffen zu.

Gegeben:

Grundwerte %%G_1=500\;€%% , %%G_2=625\;€%%

Prozentwerte %%p_1=5\% %% , %%p_2=3\% %%

Gesucht:

Summe der Prozentwerte %%W_1%% und %%W_2%%

Berechne den ersten Teil des Finderlohns also %%W_1%% mit der Prozentformel.

%%W_1=G_1\cdot p_1%%

Setze die gegebenen Werte ein.

%%W_1=500\;€\cdot5\%\\=500\;€\cdot0,05\\=25\;€%%

Berechne nun genauso %%W_2%%.

%%W_2=G_2\cdot p_2%%

%%W_1=625\;€\cdot3\%\\=625\;€\cdot0,03\\=18,75\;€%%

Addiere nun %%W_1%% und %%W_2%% um den gesamten Finderlohn zu berechnen.

%%\text{Finderlohn} = 25\,€+18,75\,€=43,75\,€%%

Antwort: Der Finderlohn beläuft sich auf 43,75 €.

In einem Baumarkt werden zwei Artikel zu Einzelpreisen von 65 € und 47,50 € angeboten. Beide Artikel zusammen bekommt man für 102 €.

Wie hoch sind die Rabatte in Prozent, wenn für den ersten Artikel der Rabatt 2,5-mal so hoch ist, wie der Rabatt für den zweiten?

Zunächst bestimme den Gesamtrabatt:

%%\begin{array}{ccc}\mathrm{Artikel}\;I:\;\mathrm{Einzelpreis}:&65,00\;€&(\mathrm{Grundwert}\;I\;=\;G_I)\\\mathrm{Artikel}\;\mathrm{II}:\;\mathrm{Einzelpreis}:&\underline{47,50\;€}&(\mathrm{Grundwert}\;\mathrm{II}\;=\;G_\mathrm{II})\\\mathrm{Preis}\;\mathrm{ohne}\;\mathrm{Rabatt}:&112,50\;€&\!\\\mathrm{Artikel}\;I\;\mathrm{und}\;\mathrm{Artikel}\;\mathrm{II}:&\underline{-102,00\;€}&\!\\\mathrm{Gesamtrabatt}:&10,50\;€\;&(\mathrm{Prozentwert}\;I\;+\;\mathrm{Prozentwert}\;\mathrm{II})\end{array}%%

Es gilt: %%p_I=2,5\cdot p_\mathrm{II}%% (1) und %%W_I+W_\mathrm{II}=10,50\;€%% (2)

Mit den Prozentwerten %%W_I=\frac{G_I\cdot p_I}{100\%}%% und %%W_{II}=\frac{G_\mathrm{II}\cdot p_\mathrm{II}}{100\%}%% gelangt man zu folgendem Ansatz:

%%W_I+W_\mathrm{II}=\frac{G_I\cdot p_I}{100\%}+\frac{G_\mathrm{II}\cdot p_\mathrm{II}}{100\%}=\frac{65,00\,€\cdot p_I}{100\%}+\frac{47,50\,€\cdot p_\mathrm{II}}{100\%}=10,50\,€%%

Mit der Gleichung (1) gilt: (Rechnung ohne Einheiten)

%%\frac{65,00\cdot2,5\cdot p_\mathrm{II}}{100}+\frac{47,50\cdot p_\mathrm{II}}{100}=\frac{162,5\cdot p_\mathrm{II}+47,50\cdot p_\mathrm{II}}{100}=\frac{210\cdot p_\mathrm{II}}{100}=2,1\cdot p_\mathrm{II}=10,50%%

%%p_\mathrm{II}=\frac{10,50}{2,1}=5\;\Rightarrow\;p_\mathrm{II}=5\% %%

Wenn diese Gleichheit nun in Gleichung (1) eingesetzt wird, gilt:

%%p_I=2,5\cdot p_\mathrm{II}=2,5\cdot5\%=12,5\% %%

Auf Artikel I wird also praktisch ein Rabatt von 12,5% und auf Artikel II ein Rabatt von 5% gegeben.

Eine Person steigt eine Treppe mit 50 Stufen empor. Jede Stufe ist 16 cm hoch und 35 cm tief. Wieviel Prozent Steigung überwindet die Person?

Hinweis: Steigung ist der Quotient aus Höhendifferenz und Horizontaldifferenz.

Eine Stufe ist 16 cm hoch.

Für die Berechnung der Höhe, die die Person insgesamt überwindet, multipliziert man die Höhe einer Stufe (16 cm) mit der Gesamtanzahl der Stufen (50).

%%16\,cm\cdot50=800\,cm=8\,m%%

Die Person überwindet eine Höhendifferenz von 8m.

Eine Stufe ist 35cm tief.

Für die Berechnung der "Länge", die die Person insgesamt überwindet, multipliziert man die Tiefe einer Stufe (35 cm) mit der Gesamtanzahl der Stufen (50).

%%35\,cm\cdot50=1.750\,cm=17,5\,m%%

Die Person überwindet eine Horizontaldifferenz von 17,5 m.

Die Steigung der Treppe berechnet man mithilfe der Geradensteigung.

%%m=\frac{\triangle y}{\triangle x}=\frac{Höhendifferenz}{Horizontaldifferenz}%%

Man berechnet also den Differenzenquotienten, der die Steigung repräsentiert.

%%m=\frac{8\,m}{17,5\,m}=\frac{16}{35}\approx0,4571%%

%%\Rightarrow%% Die Person überwindet also bei einer Treppe mit 50 Stufen dieser Art %%45,71\% %% Steigung.

Die Tabelle zeigt, wie viele Euro-Geldscheine am 31. Mai 2007 in Umlauf waren. Beispielsweise befanden sich von den 200 Euro-Scheinen 153 Millionen Stück in Umlauf.

Wert

Anzahl der Scheine in Millionen

500 EUR

200 EUR

100 EUR

50   EUR

20   EUR

10   EUR

5     EUR

429

153

1116

3983

2244

1804

1325

 

Zu text-exercise-group 6063: Einordnung Aufgabe ID 6063
Renate 2015-08-11 15:10:20
Diese Aufgabe gehört meiner Meinung nach nicht oder nicht primär zu "Aufgaben zu Zahlwörtern und zur Potenzschreibweise" - auch wenn "Millionen" darin vorkommt.
Hat jemand eine Idee, wo wir sie besser einordnen sollten?
Renate 2015-08-11 15:15:18
Ich habe die Aufgabe jetzt zumindest fürs Erste aus dem Ordner "Aufgaben zu Zahlwörtern und zur Potenzschreibweise" herausgenommen und in den Ordner "Aufgaben zur Prozentrechnung" eingefügt.
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Wie hoch war der Gesamtwert aller 50 Euro-Scheine?

Rechnen mit großen Zahlen

Diese Aufgabe behandelt das Rechnen mit großen Zahlen.

Gegeben: Anzahl der 50€ Scheine = 3.983 Millionen,

Wert eines Scheines = 50€

Runde und rechne in Milliarden um.

%%3983\;\mathrm{Millionen}\approx4000\;\mathrm{Millionen}\;=4\;\mathrm{Milliarden}%%

Multipliziere die Anzahl der Scheine mit deren Wert.

%%4\;\mathrm{Milliarden}\cdot50€=200\;\mathrm{Milliarden}\;€%%

Formuliere einen Antwortsatz.

%%\Rightarrow%% Der Gesamtwert aller 50 Euro-Scheine betrug ca. 200 Milliarden Euro.

Ungefähr wie viel Prozent aller in Umlauf befindlichen Scheine waren 20 Euro- Scheine?

Die notwendigen Rechnungen brauchen nicht exakt ausgeführt zu werden, es genügt jeweils ein Überschlag.

 

Der Lösungsweg muss nachvollziehbar sein.

Rechnen mit großen Zahlen

Diese Aufgabe beschäftigt sich mit dem Rechnen mit großen Zahlen.

Gegeben: Anzahl der 20€ Scheine = 2244

Berechne die Anzahl aller Scheine im Umlauf.

Berechnung der Gesamtanzahl der Scheine:

%%\begin{array}{l}429+153+1116+3983+2244+1804+1325\\=11054\end{array}%%

Berechne den Prozentanteil der 20€ Scheine, indem Du die Anzahl der 20€ Scheine durch die Gesamtzahl der Scheine dividierst.

%%\frac{2244}{11054}\approx0,203=20,3\% %%

%%\Rightarrow\;\;%% Der Prozentanteil der 20€ Scheine beträgt etwa %%20,3\% %%.

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