Aufgaben zum Kurs "Praktische Umformungen zum Ableiten von Bruchtermen"

Hier findest du Übungsaufgaben zur Umformung von Bruchtermen, für das Ableiten. Diese Aufgaben lehnen an den dazu passenden Kurs an.

Vereinfache die nachfolgenden Funktionsterme möglichst geschickt und bilde die Ableitungsfunktionen.

$f (z) = \frac{3 z^{2}}{14} + \frac{2 z^{2}}{7}$

$g (t) = \frac{5 t^{3} + 2 t - 1}{4}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bruchterme
Um diese Funktion abzuleiten, bietet es sich an, dass du zunächst einen Faktor vor den Bruch schreibst und den entstehenden Term dann ableitest.
Umformung des Funktionsterms
$\begin{aligned} g (t) & = \frac{5 t^{3} + 2 t - 1}{4} \\ = \frac{1}{4} \cdot (5 t^{3} + 2 t - 1) \end{aligned}$
Nun ziehst du $\frac{1}{4}$ vor den Bruch.
Ableiten der Funktion
Die Ableitung $g ´ (t)$ lässt sich nun als Polynomfunktion mit Hilfe der Faktorregel, der Summenregel und der Ableitungsregel für Potenzfunktion bestimmen.
Es ergibt sich:
$\begin{aligned} g ´ (t) & = \frac{1}{4} \cdot (5 \cdot 3 t^{2} + 2 \cdot 1) \\ = \frac{1}{4} \cdot (15 t^{2} + 2) \end{aligned}$
Die Faktorregel besagt, dass man bei der Ableitung von Funktionen Konstanten vor Variablen nicht ableiten muss.
Unter Anwendung der Summenregel und der Ableitungsregel für Potenzfunktion lassen sich die einzelnen Potenzfunktionen nun ableiten.
Die Ableitung von $g (t)$ ist $g ´ (t) = \frac{1}{4} \cdot (15 t^{2} + 2)$ .
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$h (t) = - \frac{t^{3}}{3} - \frac{t^{3}}{6}$

$k (s) = \frac{6 s^{3} + 4}{2 \sqrt{2}}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bruchterme
Hier bietet es sich an, den Bruch zuerst zu kürzen, danach $\frac{1}{\sqrt{2}}$ vor den Bruch zu ziehen und anschließend abzuleiten.
Umformung des Funktionsterms
$k (s)$ $=$ $\frac{6 s^{3} + 4}{2 \sqrt{2}}$
↓
Klammere im Zähler den Faktor 2 aus.
$=$ $\frac{2 \cdot (3 s^{2} + 2)}{2 \sqrt{2}}$
↓
Kürze mit 2.
$=$ $\frac{(3 s^{2} + 2)}{\sqrt{2}}$
↓
Ziehe $\frac{1}{\sqrt{2}}$ vor den Bruch.
$=$ $\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot (3 s^{3} + 2)$
Ableiten der Funktion
Leite nun mit der Faktorregel, der Summenregel und der Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen ab.
$k ´ (s)$ $=$ $\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot (9 s^{2} + 0)$
↓
Schreibe $9 s^{2}$ in den Zähler.
$=$ $\frac{9 s^{2}}{\sqrt{2}}$
Alternativ kannst du auch zu Beginn $\frac{1}{2 \sqrt{2}}$ vor den Bruch ziehen und dann ableiten.
Die Ableitung von $k (s)$ ist $k^{'} (s) = \frac{9 s^{2}}{\sqrt{2}}$ .
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2
$f (x) = \frac{x^{3} - 2 x}{70}$
1. Welche der folgenden Umformungen sind richtig?
  $f (x) = \frac{1}{70} \cdot x^{3} - \frac{1}{70} \cdot 2 x$
  $f (x) = \frac{1}{70} \cdot (x^{3} - 2 x)$
  $f (x) = \frac{1}{70} \cdot x^{3} - 2 x$
  
  $f (x)$ $=$ $\frac{x^{3} - 2 x}{70}$
  ↓
  Ziehe den Bruch vor.
  $=$ $\frac{1}{70} \cdot (x^{3} - 2 x)$
  Die Umformung zu $f (x) = \frac{1}{70} \cdot (x^{3} - 2 x)$ ist also richtig.
  Wenn du nun noch die Klammer auflöst, bekommst du eine weitere Umformung, die als Antwortoption zur Auswahl stand.
  $f (x)$ $=$ $\frac{x^{3} - 2 x}{70}$
  ↓
  Ziehe den Bruch vor.
  $=$ $\frac{1}{70} \cdot (x^{3} - 2 x)$
  $=$ $\frac{1}{70} \cdot x^{3} - \frac{1}{70} \cdot 2 x$
  Die Antwort $f (x) = \frac{1}{70} x^{3} - \frac{1}{70} \cdot 2 x$ ist also auch richtig.
  Die andere Umformung $f (x) = \frac{1}{70} \cdot x^{3} - 2 x$ ist aber falsch. Hier wurde die Klammer vergessen.
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  Beachte: im Nenner von $f$ kommt kein $x$ vor! Um $f$ später gut ableiten oder integrieren zu können, bietet es sich an $f$ "bruchfrei" umzuschreiben. Das machst du, indem du die $70$ als Kehrwert vor den Zähler schreibst.
  Wichtig: Vergiss die Klammer nicht, da im Zähler des Bruchs nicht nur eine Zahl, sondern der Term $x^{3} - 2 x$ steht.
2. Leite die Funktion $f$ ab.
  
  Du brauchst hier die Faktorregel und Summenregel .
  Lösungsvorschlag 1
  $f (x) = \frac{1}{70} x^{3} - \frac{1}{70} \cdot 2 x$
  Leite ab.
  $f^{'} (x)$ $=$ $\frac{3}{70} x^{2} - \frac{2}{70}$
  ↓
  Kürze den Bruch $\frac{2}{70}$ .
  $=$ $\frac{3}{70} x^{2} - \frac{1}{35}$
  Lösungsvorschlag 2
  $f (x) = \frac{1}{70} (x^{3} - 2 x)$
  Leite ab.
  $f^{'} (x)$ $=$ $\frac{1}{70} (3 x^{2} - 2)$
  $=$ $\frac{3}{70} x^{2} - \frac{2}{70}$
  ↓
  Kürze den Bruch $\frac{2}{70}$ .
  $=$ $\frac{3}{70} x^{2} - \frac{1}{35}$
  Die Ableitung von $f (x)$ ist $f^{'} (x) = \frac{3}{70} x^{2} - \frac{1}{35}$ .
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$f (z)$	$=$	$\frac{3 z^{2}}{14} + \frac{2 z^{2}}{7}$
	↓	Erweitere $\frac{2 z^{2}}{7}$ mit $2$ .
	$=$	$\frac{3 z^{2}}{14} + \frac{4 z^{2}}{14}$
	↓	Bringe die zwei Brüche auf einen Bruchstrich.
	$=$	$\frac{3 z^{2} + 4 z^{2}}{14}$
	↓	Fasse den Zähler zusammen.
	$=$	$\frac{7 z^{2}}{14}$
	↓	Kürze den Bruch mit $7$ .
	$=$	$\frac{z^{2}}{2}$
	↓	Ziehe den Faktor vor den Bruch.
	$=$	$\frac{1}{2} z^{2}$

$f (z)$	$=$	$\frac{3 z^{2}}{14} + \frac{2 z^{2}}{7}$
	↓	Klammere $z^{2}$ aus.
	$=$	$(\frac{3}{14} + \frac{2}{7}) \cdot z^{2}$
	↓	Erweitere $\frac{2}{7}$ mit $2$ .
	$=$	$(\frac{3}{14} + \frac{4}{14}) z^{2}$
	↓	Bringe die zwei Brüche auf einen Bruchstrich.
	$=$	$\frac{3 + 4}{14} \cdot z^{2}$
	↓	Fasse den Zähler zusammen.
	$=$	$\frac{7}{14} \cdot z^{2}$
	↓	Kürze den Bruch mit $7$ .
	$=$	$\frac{1}{2} \cdot z^{2}$

$h (t)$	$=$	$- \frac{t^{3}}{3} - \frac{t^{3}}{6}$
	↓	Erweitere den Bruch $\frac{t^{3}}{3}$ mit 2.
	$=$	$- \frac{2 t^{3}}{6} - \frac{t^{3}}{6}$
	↓	Bringe die zwei Brüche auf einen Bruchstrich.
	$=$	$\frac{- 2 t^{3} - t^{3}}{6}$
	↓	Fasse den Zähler zusammen.
	$=$	$\frac{- 3 t^{3}}{6}$
	↓	Ziehe den Faktor vor den Bruch.
	$=$	$- \frac{t^{3}}{2}$

$h (t)$	$=$	$- \frac{t^{3}}{3} - \frac{t^{3}}{6}$
	↓	Ziehe die Fakoren vor die Brüche.
	$=$	$- \frac{1}{3} t^{3} - \frac{1}{6} t^{3}$
	↓	Du kann hier $t^{3}$ ausklammern.
	$=$	$(- \frac{1}{3} - \frac{1}{6}) \cdot t^{3}$
	↓	Erweitere den Bruch $- \frac{1}{3}$ mit 2.
	$=$	$(- \frac{2}{6} - \frac{1}{6}) \cdot t^{3}$
	↓	Bringe die zwei Brüche auf einen Bruchstrich.
	$=$	$(\frac{- 2 - 1}{6}) \cdot t^{3}$
	↓	Fasse den Zähler zusammen.
	$=$	$- \frac{3}{6} \cdot t^{3}$
	↓	Kürze den Bruch mit 3.
	$=$	$- \frac{1}{2} t^{3}$

Aufgaben zum Kurs "Praktische Umformungen zum Ableiten von Bruchtermen"

Lösungsvorschlag 1

Lösungsvorschlag 2

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Umformung des Funktionsterms

Ableiten der Funktion

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Lösungsvorschlag 1:

Lösungsvorschlag 2:

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Umformung des Funktionsterms

Ableiten der Funktion

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Lösungsvorschlag 1

Lösungsvorschlag 2

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$k (s)$	$=$	$\frac{6 s^{3} + 4}{2 \sqrt{2}}$
	↓	Klammere im Zähler den Faktor 2 aus.
	$=$	$\frac{2 \cdot (3 s^{2} + 2)}{2 \sqrt{2}}$
	↓	Kürze mit 2.
	$=$	$\frac{(3 s^{2} + 2)}{\sqrt{2}}$
	↓	Ziehe $\frac{1}{\sqrt{2}}$ vor den Bruch.
	$=$	$\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot (3 s^{3} + 2)$

$k ´ (s)$	$=$	$\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot (9 s^{2} + 0)$
	↓	Schreibe $9 s^{2}$ in den Zähler.
	$=$	$\frac{9 s^{2}}{\sqrt{2}}$

$f (x)$	$=$	$\frac{x^{3} - 2 x}{70}$
	↓	Ziehe den Bruch vor.
	$=$	$\frac{1}{70} \cdot (x^{3} - 2 x)$

$f^{'} (x)$	$=$	$\frac{3}{70} x^{2} - \frac{2}{70}$
	↓	Kürze den Bruch $\frac{2}{70}$ .
	$=$	$\frac{3}{70} x^{2} - \frac{1}{35}$

$f^{'} (x)$	$=$	$\frac{1}{70} (3 x^{2} - 2)$
	$=$	$\frac{3}{70} x^{2} - \frac{2}{70}$
	↓	Kürze den Bruch $\frac{2}{70}$ .
	$=$	$\frac{3}{70} x^{2} - \frac{1}{35}$