Aufgaben zu Volumen und Oberflächenberechnung

Ein rechteckiger Wasserbehälter mit den Maßen $0{,}8\,\mathrm{m}\cdot0{,}45\,\mathrm{m}\cdot1{,}5\,\mathrm{m}$ soll mit Wasser gefüllt werden.

Wie viel Liter kann er fassen?

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123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
Berechne Volumen und Masse des Stahlteils. Alle Längen sind in Millimeter angegeben.
Dichte: $\rho_{Stahl}=7{,}85\frac{kg}{dm^3}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Körper und Volumen
Das Stahlteil setzt sich aus einem Quader und einem Zylinder zusammen. Berechne so zunächst die Volumina der beiden Einzelelemente. Nach Ermittlung des Gesamtvolumens wird die Masse über die Dichte bestimmt.
Volumenberechnung
Zur Berechnung des Quadervolumens rechne die Längen in Dezimeter um und multipliziere Länge, Breite und Höhe des Quaders.
-- $V_Q=1{,}5dm\cdot1{,}2dm\cdot2{,}5dm=4{,}5dm^3$
Rechne die Längen in Dezimeter um und berechne das Volumen des Zylinders mit der bekannten Formel.
$V_Z=\frac{(0{,}5dm)^2\cdot\mathrm\pi}4\cdot3{,}0dm=0{,}589dm^3$
Für das Gesamtvolumen gilt nun:
$V_{Ges}=V_Q+V_Z=4{,}5dm^3+0{,}589dm^3=5{,}089dm^3$
Bestimmung der Masse
Stelle die Dichteformel nach der Masse $m$ um und ermittle die Masse als Produkt von Dichte $\rho$ und Volumen $V$ .
$\rho=\frac mV\;\Leftrightarrow m=\rho\cdot V$
$m=\rho_{Stahl}\cdot V=7{,}85\frac{kg}{dm^3}\cdot5{,}089dm^3=39{,}949kg$
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Berechne Volumen und Masse des Kupferteils. Das Material ist 12 mm dick.
Dichte: $\rho_{Kupfer}=8{,}96\frac{kg}{dm^3}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumenberechnung
Rechne zunächst die Längen in Dezimeter um. Berechne dann die Kreis-, Quadrat- und Lochfläche. Ermittle danach die Gesamtfläche, sowie das Volumen.Über das Volumen erhälst du dann mit der Dichte das Volumen.
Berechnung der Kreisfläche. Mit einem Durchmesser $d=3dm$ gilt:
$A_{Kreis}=\frac{(3dm)^2\cdot\mathrm\pi}4=7{,}069dm^2$
Berechnung der Quadratfläche. Mit einer Seitenlänge $a=1{,}4\,dm$ gilt:
$A_{Quadrat}=1{,}4dm\cdot1{,}4dm=1{,}96dm^2$
Berechnung der Lochfläche. Die Löcher sind kleiner Kreise mit einem Durchmesser $d=0{,}4\,dm$ .
$A_{Loch}=\frac{(0{,}4dm)^2\cdot\mathrm\pi}4=0{,}126dm^2$
Berechnung der Gesamtfläche
Aus der Skizze lässt sich entnehmen, dass der Aufriss gerade ein großer Kreis ohne ein mittleres Quadrat und vier kleinere kreisförmige Löcher ist. So gilt für die Fläche des Aufrisses $A_{Ges}$ :
$A_{Ges}=A_{Kreis}-A_{Quadrat}-4\cdot A_{Loch}=7{,}069dm^2-1{,}96dm^2-4\cdot0{,}126dm^2$
$=4{,}605dm^2$
Berechnung des Volumens
Das Volumen des Kupferstücks bestimmt sich als Produkt der Aufrissfläche und der Dicke. Somit gilt mit Dicke $0{,}12dm$ :
--
$V=A_{Ges}\cdot0{,}12dm=4{,}605dm^2\cdot0{,}12dm=0{,}553dm^3$
Berechnung der Masse
Stelle die Dichteformel nach der Masse $m$ um und ermittle die Masse als Produkt von Dichte $\rho$ und Volumen $V$ .
$\rho=\frac mV\;\Leftrightarrow m=\rho\cdot V$
$m=\rho_{Kupfer}\cdot V=8{,}96\frac{kg}{dm^3}\cdot0{,}553dm^3=4{,}955kg$
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123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
Ein Stahlrohr ist 10 m lang ( $L = 10\,m$ ), hat einen Außendurchmesser von $D = 20\,cm$ und einen Innendurchmesser von $d = 160\,mm$ .
Berechnen Sie das Volumen, die Masse und die Wandstärke des Rohres.
$\rho_{Stahl}=7{,}85\frac{kg}{dm^3}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumen- und Massenberechnung
Volumenberechnung
Rechne zunächst die Längen in Dezimeter um. Berechne dann das Volumen des Stahlrohrs als Produkt vom Aufriss und der Länge. Der Aufriss ist ein Kreisring, dessen Flächeninhalt als Differenz der Flächeninhalte des größeren und des kleineren Kreises ermittelt wird.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}V=\lbrack(\frac D2)^2\cdot\mathrm\pi-(\frac d2)^2\cdot\mathrm\pi\rbrack\cdot L=\frac{(D^2-d^2)\cdot\mathrm\pi}4\cdot L=\\=\frac{\lbrack(2dm)^2-(1{,}6dm)^2\rbrack}4\cdot\pi\cdot100dm=113{,}097dm^3\end{array}$
Berechnung der Masse
Stelle die Dichteformel nach der Masse $m$ um und ermittle die Masse als Produkt von Dichte $\rho$ und Volumen $V$ .
$\rho=\frac mV\;\Leftrightarrow m=\rho\cdot V$
$m=\rho_{Stahl}\cdot V=7{,}85\frac{kg}{dm^3}\cdot113{,}097dm^3=887{,}811kg$
Berechnung der Wandstärke
Ermittle die Wandstärke als halbe Differenz von Außendurchmesser und Innendurchmesser des Rohrs.
$\frac{D-d}2=\frac{2dm-1{,}6dm}2=0{,}2dm=20mm$

Eine gerade Pyramide hat als Grundfläche ein Rechteck mit den Seitenlängen $a$ und $b = 2a$ . Die Höhe der Pyramide beträgt $h = 1{,}5a$ .

Berechne die Kantenlängen als Vielfache von $a$ .

Berechne den Oberflächeninhalt der Pyramide in Vielfachen von $a^2$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Pyramide

Berechnung der Länge der Diagonalen $d$

Bestimme die Länge der Diagonalen $d$ des Rechtecks mit dem Satz des Pythagoras.

$\displaystyle d^2$	$=$	$\displaystyle a^2+\left(2a\right)^2$
$\displaystyle d^2$	$=$	$\displaystyle 5a^2$	$\displaystyle \sqrt{ }$
	↓	Ziehe die Wurzel.
$\displaystyle d$	$=$	$\displaystyle \pm\sqrt{5}a$

Das negative Ergebnis kannst du vernachlässigen, da Längen nur positiv sein können $\Rightarrow\ d=\sqrt{5}a$

Berechnung der Kantenlänge $k$

Berechne die Länge der Kante $k$ mit dem Satz des Pythagoras.

$\displaystyle k^2$	$=$	$\displaystyle h^2+\left(\frac{d}{2}\right)^2$
	↓	Setze $d=\sqrt 5 a$ und $h=1{,}5a$ ein.
$\displaystyle k^2$	$=$	$\displaystyle \left(\frac{3}{2}a\right)^2+\left(\frac{\sqrt{5}}{2}a\right)^2$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle k^2$	$=$	$\displaystyle \frac{14}{4}a^2$	$\displaystyle \sqrt{ }$
$\displaystyle k$	$=$	$\displaystyle \pm\frac{\sqrt{14}}{2}a$

Das negative Ergebnis kannst du wieder vernachlässigen, da Längen nur positiv sein können $\Rightarrow\ k=\frac{\sqrt{14}}{2}a$

Bestimmung des Oberflächeninhalts der Pyramide

Die Oberfläche der Pyramide $O_\text{Pyramide}$ besteht aus der Fläche der Grundfläche $G$ und der Mantelfläche $M$ . Die Grundfläche $G$ ist ein Rechteck. Die Mantelfläche $M$ besteht aus 4 Dreiecksflächen, von denen je 2 der Dreicksflächen (und zwar die Gegenüberliegenden) gleich groß sind. Hier sind die Dreicksflächen als $m_1$ und $m_2$ bezeichnet.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcllc}O_\text{Pyramide}&=&G&+&M\\&=&G&+&2\cdot m_1+2\cdot m_2\end{array}$

Bestimme erstmal die Grundfläche $G$ .

$G=b\cdot a\\=2a\cdot a\\=2a^2$

Um die Mantelfläche zu bestimmen benötigst du die Höhen der Dreiecksflächen. Sie heißen hier $h_1$ und $h_2$ . Bestimme $h_1$ und $h_2$ mit dem Satz des Pythagoras.

$\displaystyle h_1^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2$	$=$	$\displaystyle k^2$	$\displaystyle -\left(\frac{a}{2}\right)^2$
$\displaystyle h_1^2$	$=$	$\displaystyle k^2-\left(\frac{a}{2}\right)^2$
$\displaystyle h_1^2$	$=$	$\displaystyle \frac{14}{4}a^2-\frac{1}{4}a^2$
$\displaystyle h_1^2$	$=$	$\displaystyle \frac{13}{4}a^2$	$\displaystyle \sqrt{ }$
$\displaystyle h_1$	$=$	$\displaystyle \pm\frac{\sqrt{13}}{2}a$

Da Längen nur positiv sein können, kannst du das negative Ergebnis vernachlässigen $\Rightarrow\ h_1\ =\ \frac{\sqrt{13}}{2}a$

$\displaystyle h_2^2+a^2$	$=$	$\displaystyle k^2$	$\displaystyle -a^2$
$\displaystyle h_2^2$	$=$	$\displaystyle k^2-a^2$
$\displaystyle h_2^2$	$=$	$\displaystyle \frac{14}{4}a^2-a^2$
$\displaystyle h_2^2$	$=$	$\displaystyle \frac{10}{4}a^2$	$\displaystyle \sqrt{ }$
$\displaystyle h_2$	$=$	$\displaystyle \pm\frac{\sqrt{10}}{2}a$

Da Längen nur positiv sein können, kannst du das negative Ergebnis vernachlässigen $\Rightarrow\ h_2\ =\ \frac{\sqrt{10}}{2}a$

Jetzt kannst du die Dreiecksflächen berechnen.

$m_1=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h_1\\=\frac{1}{2}\cdot a\cdot\frac{\sqrt{13}}{2}a\\=\frac{\sqrt{13}}{4}a^2$

$m_2=\frac12\cdot b\cdot h_{2}\\=\frac12\cdot2a\cdot\frac{\sqrt{10}}2a\\=\frac{\sqrt{10}}2a^2$

Jetzt lässt sich die Oberfläche bestimmen.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}O_\text{Pyramide}&=&G+2\cdot m_1+2\cdot m_2\\&=&2a^2+2\cdot\frac{\sqrt{13}}4a^2+2\cdot\frac{\sqrt{10}}2a^2\\&=&\left(2+\frac{\sqrt{13}}2+\sqrt{10}\right)a^2\\&\approx &6{,}97a^2\end{array}$

Der Oberflächeninhalt der Pyramide beträgt in etwa $6{,}97a^2$ .

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raschweb.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Günther Rasch
Eine gerade Pyramide hat als Grundfläche ein gleichseitiges Dreieck mit der Kantenlänge a. Die Höhe der Pyramide beträgt 2a. Berechne die Seitenkantenlängen in Vielfachen von a. Berechne den Oberflächeninhalt der Pyramide in Vielfachen von a.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tetraeder
Die Seitenkantenlänge $k$
Im gleichseitigen Dreieck gilt mit Pythagoras:
$h_a=\sqrt{a^2-\left(\dfrac{a}{2}\right)^2}=\sqrt{\dfrac{3\cdot a^2}{4}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}a$
$A_{\Delta_G}=\dfrac{1}{2}\cdot g\cdot h=\dfrac{1}{2}\cdot a\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}a=\dfrac{\sqrt{3}}{4}\cdot a^2$
Betrachte das Dreieck $ADS$ .
Die Seite $AD$ ist die Höhe des gleichseitigen Dreiecks $ABC$ .
Die Seitenhalbierenden (Höhen) schneiden sich im Verhältnis $2:1$ .
Für die Strecke $p$ gilt dann:
$p=\dfrac{2}{3}\cdot\overline{AD}=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}a =\dfrac{\sqrt{3}}{3}a$
Für $q$ gilt: $q=\dfrac{1}{3}\cdot\overline{AD}=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}a =\dfrac{\sqrt{3}}{6}a$
Im rechtwinkligen Dreieck $AHS$ ist
$h_P = 2a$ . Dann gilt wieder mit Pythagoras:
$k^2=p^2+h_P^2=\left(\dfrac{\sqrt{3}}{3}a\right)^2+(2a)^2$
$k^2=\dfrac{1}{3}a^2+4a^2=\dfrac{13}{3}a^2$
$\Rightarrow\;k=\sqrt{\dfrac{13}{3}}a=\dfrac{\sqrt{39}}{3 }a$
Die Seitenkantenlänge $k$ ist:
Im rechtwinkligen Dreieck $HDS$ gilt:
$h_{\Delta}^2=h_P^2+q^2=(2a)^2+\left(\dfrac{\sqrt{3}}{6}a\right)^2=4a^2+\dfrac{1}{12}a^2=\dfrac{49}{12}a^2$
$\Rightarrow\;h_{\Delta}=\dfrac{\sqrt{49}}{\sqrt{12}}a=\dfrac{7}{2\sqrt{3}}a=\dfrac{7\cdot \sqrt{3}}{6}a$
Der Oberflächeninhalt der Pyramide:
$O_P=A_{\Delta_G}+3\cdot A_{\text{Seitenfläche}}$
$O_P=\dfrac{\sqrt{3}}{4}\cdot a^2+3\cdot \dfrac{1}{2}\cdot a\cdot\dfrac{7\cdot \sqrt{3}}{6}a=\dfrac{\sqrt{3}}{4}\cdot a^2+\dfrac{7\cdot \sqrt{3}}{4}a^2=\dfrac{8\cdot \sqrt{3}}{4}a^2=2\sqrt{3}a^2$
Der Oberflächeninhalt der Pyramide ist gleich:

Die rechteckige Grundfläche eines Ölbehälters hat die Maße a=60cm und b=40cm.

Der Behälter ist mit V=140 Liter Öl gefüllt.

Welche Höhe h hat der Ölspiegel in ganzen cm?

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strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
Die nebenstehende Figur rotiert um die Achse A.
Berechne das Volumen des Rotationskörpers in Abhängigkeit von a.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rotationskörper
Durch die Rotation entsteht ein Kegel auf einem großen Zylinder, aus dem ein Kleinerer ausgeschnitten wurde.
${\mathrm V}_\mathrm{Rotationskörper}=\;{\mathrm V}_{\mathrm{großer}\;\mathrm{Zylinder}}-\;{\mathrm V}_{\mathrm{kleiner}\;\mathrm{Zylinder}}+\;{\mathrm V}_\mathrm{Kegel}$
Setze die bekannten Größen in die allgemeine Volumenformel des Kegels ein.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}{\mathrm V}_{\mathrm{Kegel}\;}=\frac13\cdot\;({\mathrm r}_\mathrm{Kegel})^2\cdot\mathrm\pi\cdot{\mathrm h}_\mathrm{Kegel}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;\frac13\;\cdot\;(2\mathrm a)^2\;\cdot\mathrm\pi\cdot\mathrm a\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;\frac13\cdot4\mathrm a^2\cdot\mathrm\pi\cdot\mathrm a\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac43\mathrm a^3\cdot\mathrm\pi\end{array}$
Setze die bekannten Größen in die allgemeine Volumenformel des Zylinders ein.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}{\mathrm V}_{\mathrm{großer}\;\mathrm{Zylinder}}=\;({\mathrm r}_{\mathrm{großer}\;\mathrm{Zylinder}})^2\;\cdot\mathrm\pi\cdot{\mathrm h}_{\mathrm{großer}\;\mathrm{Zylinder}}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;(2\mathrm a)^2\cdot\mathrm\pi\cdot\mathrm a\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;4\mathrm a^2\cdot\mathrm\pi\cdot\mathrm a\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;4\mathrm a^3\cdot\mathrm\pi\end{array}$
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}{\mathrm V}_{\mathrm{kleiner}\;\mathrm{Zylinder}}=\;({\mathrm r}_{\mathrm{kleiner}\;\mathrm{Zylinder}})^2\cdot\mathrm\pi\cdot{\mathrm h}_{\mathrm{kleiner}\;\mathrm{Zylinder}}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;\mathrm a^2\;\cdot\mathrm\pi\cdot\mathrm a\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;\mathrm a^3\;\cdot\mathrm\pi\end{array}$
Führe alle Ergebnisse in die ursprüngliche Gleichung zusammen.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}{\mathrm V}_\mathrm{Rotationskörper}=\;4\mathrm a^3\cdot\mathrm\pi\;-\;\mathrm a^3\cdot\mathrm\pi\;+\;\frac43\cdot\mathrm a^3\cdot\mathrm\pi\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;4\frac13\cdot\mathrm a^3\cdot\mathrm\pi\end{array}$
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strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
Berechne Volumen und Oberfläche, wenn der Körper jeweils die Höhe $\mathrm h=5\;\mathrm{cm}$ hat:
1. Prisma mit gleichschenkligem Dreieck als Grundfläche, Schenkellänge $3\;\mathrm{cm}$ und Basis $2\;\mathrm{cm}$ .
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prisma
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}{\mathrm V}_\mathrm{Prisma}=\mathrm G\cdot\mathrm h\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;={\mathrm A}_\mathrm{Dreieck}\cdot\mathrm h\end{array}$
  Allgemeine Volumenformel für Prismen auf gegebenes Prisma anwenden, indem man den Flächeninhalt des gleichschenkligen Dreiecks für die Grundfläche einsetzt.
  Allgemeine Flächenformel des Dreiecks.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}{\mathrm A}_{\mathrm{Dreieck}\;}=\frac12\cdot\mathrm{Basis}\cdot{\mathrm h}_\mathrm{Dreieck}\end{array}$
  Die Höhe des Dreiecks ${\mathrm h}_\mathrm{Dreieck}$ kann mit Hilfe des Satzes des Pythagoras berechnet werden.
  $(\mathrm{h}_\mathrm{Dreieck})^2=\left(3\mathrm{cm}\right)^2-\left(1\mathrm{cm}\right)^2\\\Leftrightarrow{\mathrm h}_\mathrm{Dreieck}=\sqrt{8\mathrm{cm}^2}=\sqrt8\mathrm{cm}$
  Einsetzen der bekannten Seitenlängen in die Gleichung für ${\mathrm A}_\mathrm{Dreieck}$
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\begin{array}{l}{\mathrm A}_{\mathrm{Dreieck}\;}=\frac12\cdot2\mathrm c\mathrm m\cdot\sqrt8\mathrm{cm}\end{array}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;\sqrt8\mathrm{cm}^2\end{array}$
  Einsetzen in die Volumenformel des Prismas
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\begin{array}{l}{\mathrm V}_\mathrm{Prisma}=\sqrt8\mathrm{cm}^2\cdot5\mathrm{cm}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=5\sqrt8\mathrm{cm}^3\end{array}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\approx14{,}14\mathrm{cm}^3\end{array}$
  Oberflächeninhalt
  $\mathrm{O}_{\mathrm{\Pr isma}}=2\cdot \mathrm{G}+\mathrm{M}$
  Allgemeine Oberflächenformel für Prismen auf gegebenes Prisma anwenden, indem die man die Flächeninhalte der rechteckigen Seitenflächen addiert und für die Mantelfläche $M$ einsetzt.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}{\mathrm O}_\mathrm{Prisma}=2\cdot{\mathrm A}_\mathrm{Dreieck}+{\mathrm S}_1+{\mathrm S}_2+{\mathrm S}_3\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=2\cdot\sqrt8\mathrm{cm}^2+\left(3\mathrm{cm}\cdot5\mathrm{cm}\right)+\left(3\mathrm{cm}\cdot5\mathrm{cm}\right)+\left(2\mathrm{cm}\cdot5\mathrm{cm}\right)\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=2\sqrt8\mathrm{cm}^2+40\mathrm{cm}^2\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\approx45{,}66\;\mathrm{cm}^2\end{array}$
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2. Zylinder mit Radius $\mathrm r=3\;\mathrm{cm}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumenformeln
  Das Volumen eine Zylinders berechen wir mit
  $V=r^2\cdot \pi\cdot h$
  Mit $r=3$ und $h=5$ ist
  $V=3^2\cdot \pi\cdot 5 \;cm^3=45 \pi cm^3\approx 141{,}37\; cm^3$
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3. Gerade Pyramide (alle Seitenkanten gleich lang) mit Quadrat der Kantenlänge $24\;\mathrm{cm}$ als Grundfläche.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumenformeln
  Bei jeder Pyramide gilt $V=\frac{1}{3}G\cdot h$ .
  Da die Grundfläche ein Quadrat mit Kantenlänge $24\; cm$ ist, ist
  $G=24^2\ cm^2$ und
  $V=\dfrac{1}{3} 24^2\cdot 5 \; cm^3=960\; cm^3$
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4. Kegel mit Radius $\mathrm r=3\;\mathrm{cm}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumenformeln
  Für das Kegelvolumen gilt
  $V=\dfrac{1}{3}r^2 \cdot \pi \cdot h$
  Mit $r=3\; cm$ und $h=5\; cm$ ist
  $V=\dfrac{1}{3}\cdot 9\cdot\pi\cdot 5\; cm^3=15\pi\; cm^3 \approx 42{,}12cm^3$
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raschweb.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Günther Rasch
Das Bild zeigt eine gerade Pyramide mit einem Quadrat als Grundfläche. Der Punkt $C$ halbiert die Höhe $h$ .
Die Winkel im Dreieck $ABC$ hängen nicht von $a$ ab.
Berechne jeweils in Abhängigkeit von $a$
1. Das Volumen der Pyramide
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Pyramide
  Die Diagonalenlänge der Grundfläche ist $d=\sqrt{2}a$ .
  Der Mittelpunkt der Diagonalen ist $M$ .
  Dann gilt im Dreieck $AMS$ mit dem Satz des Pythagoras:
  $h^2=(3a)^2-\left(\dfrac{d}{2}\right)^2$
  $h^2=9a^2-\left(\dfrac{\sqrt{2}a}{2}\right)^2$
  $\Rightarrow\;h=\sqrt{9a^2-\dfrac{1}{2}a^2}=\dfrac{\sqrt{34}}{2}a$
  Damit kann nun das Volumen der Pyramide berechnet werden:
  $V=\dfrac{1}{3}\cdot G\cdot h$
  $V=\dfrac{1}{3}\cdot a^2\cdot \dfrac{\sqrt{34}}{2}a=\dfrac{\sqrt{34}}{6}a^3\approx0{,}972 a^3$
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2. Den Oberflächeninhalt der Pyramide
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Pyramide
  Für den Oberflächeninhalt muss die Fläche der Pyramidendreiecke berechnet werden.
  Im gezeichneten Dreieck ist die Dreiecksgrundseite die halbe Dreiecksseite $a$ .
  Im Dreieck gilt dann mit dem Satz des Pythagoras:
  $h_{\Delta}=\sqrt{(3a)^2-\left(\dfrac{a}{2}\right)^2}=\sqrt{9a^2-\dfrac{a^2}{4}}$
  $h_{\Delta}=\dfrac{\sqrt{35}}{2}a$
  Für den Oberflächeninhalt folgt dann:
  $O=G+4\cdot A_{\Delta}=G+4\cdot\frac{1}{2}\cdot a\cdot h_{\Delta}$
  $O=a^2+4\cdot\dfrac{1}{2}\cdot a\cdot \dfrac{\sqrt{35}}{2}\cdot a$
  $O=a^2+\sqrt{35}\cdot a^2=(1+\sqrt{35})\cdot a^2$
  $O\approx6{,}916 a^2$
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3. Die drei Seitenlängen im Dreieck $ABC$ .
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreieck
  Die Länge der Dreiecksseite $[AB]$ ist die Diagonalenlänge $d=\sqrt{2}a$ .
  Die Höhe $h$ in diesem Dreieck ist die halbe Pyramidenhöhe.
  $\Rightarrow\;h=\dfrac{1}{2}\dfrac{\sqrt{34}}{2}a=\dfrac{\sqrt{34}}{4}a$
  Die Längen der beiden Seiten $[AC]$ und $[BC]$ sind gleich groß. Die Länge wird wieder mit dem Satz des Pythagoras berechnet:
  $\overline{AC}=\overline{BC}=\sqrt{h^2+\left(\dfrac{d}{2}\right)^2}=\sqrt{\left(\dfrac{\sqrt{34}}{4}a\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt{2}a}{2}\right)^2}$
  $\overline{AC}=\overline{BC}=\sqrt{\dfrac{34}{16}a^2+\dfrac{1}{2}a^2}=\dfrac{\sqrt{42}}{4}a$
  Ergebnis: $\overline{AC}=\overline{BC}=\dfrac{\sqrt{42}}{4}a$ und $\overline{AB}=\sqrt{2}a$ .
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4. Die Winkel im Dreieck $ABC$ .
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Trigonometrische Funktionen
  Im linken Dreieck gilt:
  $\tan\alpha=\dfrac{h}{\frac{d}{2}}=\dfrac{2\cdot h}{d}$
  $\tan\alpha=\dfrac{2\cdot \dfrac{\sqrt{34}}{4}a}{\sqrt{2}a}$
  $\tan\alpha=\dfrac{\sqrt{34}}{2\cdot \sqrt{2}}$
  $\Rightarrow\;\alpha=\tan^{-1}\left(\dfrac{\sqrt{34}}{2\cdot \sqrt{2}}\right)\approx 64{,}12^\circ$
  Der Winkel $ABC$ ist gleich dem Winkel $\alpha$ .
  Der Winkel $ACB=180^\circ-2\cdot \alpha=180^\circ-128{,}24^\circ=51{,}56^\circ$ .
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5. Den Flächeninhalt des Dreiecks $ABC$ .
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreieck
  $A=\dfrac{1}{2}\cdot d\cdot h$
  $A=\dfrac{1}{2}\cdot \sqrt{2}a\cdot \dfrac{\sqrt{34}}{4}a=\dfrac{\sqrt{17}}{4}a^2$
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raschweb.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Günther Rasch
Das Bild zeigt eine gerade Pyramide mit einem Quadrat der Kantenlänge $a$ als Grundfläche. Die Seitenkanten haben ebenfalls die Länge $a$ .
1. Zeichne ein Netz der Pyramide für $a=4\;\text{cm}$ .
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Pyramide
  Teilaufgabe a
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2. Berechne die Höhe $h$ der Pyramide in Vielfachen von $a$ .
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Pyramide
  Teilaufgabe b
  Satz des Pythagoras anwenden
  $\displaystyle h^2+\left(\frac{\sqrt2}2a\right)^2=a^2\;\Rightarrow\;h=\frac{\sqrt2}2a$
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3. Berechne den Oberflächeninhalt $O$ der Pyramide
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Pyramide
  Teilaufgabe c
  Die Höhe innerhalb der Dreiecks-Seitenfläche bestimmen. Satz des Pythagoras anwenden.
  $\displaystyle \left(h_\bigtriangleup\right)^2+\left(\frac12a\right)^2=a^2\;\Rightarrow\;h_\bigtriangleup=\frac{\sqrt3}2a$
  Flächeninhalt des Dreiecks bestimmen:
  $A_\bigtriangleup=\frac12\cdot a\cdot h_\bigtriangleup=\frac{\sqrt3}4a^2$
  Oberflächeninhalt bestimmen:
  $O=4\cdot A_\bigtriangleup+a^2=a^2+4\cdot\frac{\sqrt3}4a^2=\left(1+\sqrt3\right)\cdot a^2$
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Das Bild zeigt eine gerade Pyramide mit einem Quadrat der Kantenlänge $a$ als Grundfläche. Die Höhe der Pyramide ist $2a$ .

Berechne die Länge der Seitenkanten $k$ in Vielfachen von $a$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Pyramide
Teilaufgabe 1
Diagonale $d$ des Quadrats mit dem Satz des Pythagoras berechnen.
$\displaystyle d$ $=$ $\displaystyle \sqrt{2a^2}$
$\displaystyle d$ $=$ $\displaystyle \sqrt{2}a$
Seitenkante $k$ mit Pythagoras berechnen:
$\displaystyle \left(2a\right)^2+\left(\frac{\sqrt{2}}{2}a\right)^2$ $=$ $\displaystyle k^2$
$\displaystyle k$ $=$ $\displaystyle \frac{3\sqrt{2}}{2}a$
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Berechne den Oberflächeninhalt $O$ der Pyramide in Vielfachen von $a^2$ .

Bestimme $a$ auf Millimeter genau, wenn der Oberflächeninhalt genau $400\;\text{cm}^2$ betragen soll.

Ein Würfel und eine gerade Pyramide haben jeweils ein Quadrat der Kantenlänge $a$ als Grundfläche. Beide Körper sollen den gleichen Oberflächeninhalt haben.

Wie lang müssen dann die Seitenkanten der Pyramide sein?

Berechne auch die Höhe der Pyramide.

$\displaystyle V_{\mathrm{Quader}}$	$=$	$\displaystyle l\cdot b\cdot h$
	↓	Setze die Werte ein
	$=$	$\displaystyle 0{,}8\,\mathrm m\cdot0{,}45\,\mathrm m\cdot1{,}5\,\mathrm m$
	↓	Multipliziere
	$=$	$\displaystyle 0{,}54\,\mathrm m^3$
	↓	Rechne $\mathrm m^3$ in $\mathrm{dm}^3$ um
	$=$	$\displaystyle 540\,\mathrm{dm}^3$
	↓	Rechne $\mathrm{dm}^3$ in Liter um
	$=$	$\displaystyle 540 \,\mathrm l$

$\displaystyle V$	$=$	$\displaystyle 140\;l$
	↓	Volumen in $dm^3$ umrechnen
$\displaystyle V$	$=$	$\displaystyle 140dm^3$
	↓	$dm^3$ in $cm^3$ umrechnen
$\displaystyle V$	$=$	$\displaystyle 140 000cm^3$

$\displaystyle V$	$=$	$\displaystyle c \cdot b \cdot h$	$\displaystyle :(a\cdot b)$
$\displaystyle h$	$=$	$\displaystyle \frac V{a\cdot b}$
	↓	a, b und V einsetzen
$\displaystyle h$	$=$	$\displaystyle \frac{140\;000cm^3}{60cm\cdot40cm}$
	↓	multiplizieren und dividieren
$\displaystyle h$	$=$	$\displaystyle 58,\overline3cm$
	↓	auf eine ganze Stelle runden
$\displaystyle h$	$≈$	$\displaystyle 58cm$

$\displaystyle A_{\Delta}$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot a\cdot h_{\Delta}$
	$=$	$\displaystyle \frac{\sqrt{17}}{4}a^2$

$\displaystyle O$	$=$	$\displaystyle a^2+4\cdot A_{\Delta}$
	$=$	$\displaystyle a^2+\sqrt{17}a^2$
	$=$	$\displaystyle \left(1+\sqrt{17}\right)a^2$

Aufgaben zu Volumen und Oberflächenberechnung

Volumenberechnung

Bestimmung der Masse

Berechnung der Gesamtfläche

Berechnung des Volumens

Berechnung der Masse

Volumenberechnung

Berechnung der Masse

Berechnung der Wandstärke

Berechnung der Länge der Diagonalen $d$

Berechnung der Kantenlänge $k$

Bestimmung des Oberflächeninhalts der Pyramide

Die Seitenkantenlänge $k$

Der Oberflächeninhalt der Pyramide:

Oberflächeninhalt

$\mathrm{O}_{\mathrm{\Pr isma}}=2\cdot \mathrm{G}+\mathrm{M}$

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Teilaufgabe a

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Teilaufgabe b

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Teilaufgabe c

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Teilaufgabe 1

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Teilaufgabe 2

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Teilaufgabe 3

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Würfel und Pyramide

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$\displaystyle d$	$=$	$\displaystyle \sqrt{2a^2}$
$\displaystyle d$	$=$	$\displaystyle \sqrt{2}a$

$\displaystyle \left(2a\right)^2+\left(\frac{\sqrt{2}}{2}a\right)^2$	$=$	$\displaystyle k^2$
$\displaystyle k$	$=$	$\displaystyle \frac{3\sqrt{2}}{2}a$

$\displaystyle k^2$	$=$	$\displaystyle h_{\Delta}^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2$	$\displaystyle -\left(\frac{a}{2}\right)^2$
$\displaystyle h_{\Delta}$	$=$	$\displaystyle \sqrt{k^2-\left(\frac{a}{2}\right)^2}$
$\displaystyle h_{\Delta}$	$=$	$\displaystyle \frac{\sqrt{17}}{2}a$

$\displaystyle S$	$=$	$\displaystyle 400\;\text{cm}^2$
	↓	Oberfläche gleichsetzen.
$\displaystyle \left(1+\sqrt{17}\right)a^2$	$=$	$\displaystyle 400\;\text{cm}^2$	$\displaystyle :\left(1+\sqrt{17}\right)$
	↓	Gleichung umformen.
$\displaystyle a^2$	$=$	$\displaystyle \dfrac{400\;\text{cm}^2}{\left(1+\sqrt{17}\right)}$
	↓	Gleichung umformen.
$\displaystyle a$	$=$	$\displaystyle \dfrac{\sqrt{400\;\text{cm}^2}}{\sqrt{1+\sqrt{17}}}$
$\displaystyle a$	$=$	$\displaystyle 8{,}8\;\text{cm}$

$\displaystyle 6a^2$	$=$	$\displaystyle a^2+4\cdot A_{\Delta}$	$\displaystyle -a^2$
$\displaystyle 5a^2$	$=$	$\displaystyle 4\cdot A_{\Delta}$
	↓	Formel für Flächeninhalt eines Dreiecks für $A_\bigtriangleup$ einsetzen.
$\displaystyle 5a^2$	$=$	$\displaystyle 2\cdot a\cdot h_{\Delta}$	$\displaystyle :2a$
$\displaystyle \dfrac{5}{2}a$	$=$	$\displaystyle h_{\Delta}$

$\displaystyle k^2$	$=$	$\displaystyle h^2+\left(\frac{d}{2}\right)^2$	$\displaystyle -\left(\frac{d}{2}\right)^2$
$\displaystyle h^2$	$=$	$\displaystyle k^2-\left(\frac{d}{2}\right)^2$
$\displaystyle h^2$	$=$	$\displaystyle \frac{26}{4}a^2-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}a\right)^2$
$\displaystyle h^2$	$=$	$\displaystyle \frac{26}{4}a^2-\frac{2}{4}a^2$
$\displaystyle h^2$	$=$	$\displaystyle \frac{24}{4}a^2$
$\displaystyle h^2$

Aufgaben zu Volumen und Oberflächenberechnung

Volumenberechnung

Bestimmung der Masse

Berechnung der Gesamtfläche

Berechnung des Volumens

Berechnung der Masse

Volumenberechnung

Berechnung der Masse

Berechnung der Wandstärke

Berechnung der Länge der Diagonalen ddd

Berechnung der Kantenlänge kkk

Bestimmung des Oberflächeninhalts der Pyramide

Die Seitenkantenlänge kkk

Der Oberflächeninhalt der Pyramide:

Oberflächeninhalt

OPr⁡isma=2⋅G+M\mathrm{O}_{\mathrm{\Pr isma}}=2\cdot \mathrm{G}+\mathrm{M}OPrisma​=2⋅G+M

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Teilaufgabe a

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Teilaufgabe b

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Teilaufgabe c

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Teilaufgabe 1

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Teilaufgabe 2

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Teilaufgabe 3

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Würfel und Pyramide

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Berechnung der Länge der Diagonalen $d$

Berechnung der Kantenlänge $k$

Die Seitenkantenlänge $k$

$\mathrm{O}_{\mathrm{\Pr isma}}=2\cdot \mathrm{G}+\mathrm{M}$