9Zufallsgrößen (2/2)

Dieser Umweg über Zufallsgrößen scheint auf den ersten Blick unnötig umständlich zu sein, denn bisher haben wir jedem Ergebnis $\omega$ eines Zufallsexperiments direkt eine Wahrscheinlichkeit zugeordnet (vgl. Spielwürfel-Beispiel: $P({\Large ⚁})=\frac{1}{6}$).

Nun ordnen wir jedem Ergebnis $\omega$ zunächst eine Zahl $X(\omega)$ (den Wert der Zufallsgröße $X$) und dann dieser Zahl erst eine Wahrscheinlichkeit zu.

Das hat den Grund, dass wir somit bestimmte Kenngrößen ausrechnen können, die neue Informationen über das Zufallsexperiment liefern.

Erwartungswert

Der Erwartungswert $E(X)$ einer Zufallsgröße $X$ gibt an, welcher Wert der Zufallsgröße auf lange Sicht (also bei sehr vielen Durchführungen des Zufallsexperiments) zu erwarten ist.

Er wird häufig auch mit $\mu$ abgekürzt und berechnet sich folgendermaßen:

Dabei sind $x_1, x_2, \ldots, x_n$ die verschiedenen Werte, die $X$ annehmen kann.

Der Erwartungswert ist somit eine Art gewichteter Mittelwert (die Gewichtung ist deshalb wichtig, weil manche Werte der Zufallsgröße wahrscheinlicher sind als andere und deshalb stärker ins "Gewicht" fallen). Er ist im Allgemeinen kein Wert, den die Zufallsgröße annimmt.

Varianz und Standardabweichung

Die Varianz $Var(X)$ einer Zufallsgröße $X$ ist ein Maß für ihre mittlere quadratische Abweichung vom Erwartungswert $\mu$ (also wie stark die Werte um ihn streuen).

Sie berechnet sich folgendermaßen:

In einigen Situationen ist es allerdings günstiger, wenn die Streuung dieselbe Einheit wie die Werte der Zufallsgröße hat. Deshalb wird oft als äquivalente Kenngröße die Standardabweichung $\sigma$ angegeben, die sich als Wurzel aus der Varianz ergibt: