10Beispiel zu Zufallsgrößen

Zur Veranschaulichung betrachten wir als Beispiel folgendes einfache Glücksspiel: Nach einem Einsatz von $2\,€$ werden drei Laplace-Münzen (also faire Münzen, bei denen Wappen und Zahl gleichberechtigt sind) geworfen. Anschließend wird die Anzahl der geworfenen Wappen in $€$ ausgezahlt.

Als Zufallsgröße $X$ wollen wir den Gewinn (also Auszahlung minus Einsatz) in $€$ betrachten.

Als mögliche Werte, die $X$ annehmen kann, ergeben sich $-2$, $-1$, $0$ und $1$. Denn schlimmstenfalls zeigen alle drei Münzen Zahl (dann verliert man seinen Einsatz von $2\,€$) und bestenfalls zeigen alle Münzen Wappen (dann erhält man $3\,€$ als Auszahlung und somit einen Gewinn von $1\,€$).

Um die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung und kumulative Verteilungsfunktion zu ermitteln, muss man sich überlegen, welche Ergebnisse zu den jeweiligen Werten von $X$ gehören. Die Resultate sind in der folgenden Tabelle zusammengefasst und in der Grafik veranschaulicht:

Zur Berechnung der Kenngrößen wendet man schließlich die entsprechenden Formeln an:

• Erwartungswert: $\mu = E(X) = -2\cdot\frac{1}{8} + (-1)\cdot\frac{3}{8} + 0\cdot\frac{3}{8} + 1\cdot\frac{1}{8} = -\frac{1}{2}$

• Varianz: $Var(X) = (-2-(-\frac{1}{2}))^2\cdot\frac{1}{8} + (-1-(-\frac{1}{2}))^2\cdot\frac{3}{8} + (0-(-\frac{1}{2}))^2\cdot\frac{3}{8} + (1-(-\frac{1}{2}))^2\cdot\frac{1}{8} = \frac{3}{4}$

• Standardabweichung: $\sigma = \sqrt{Var(X)} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{1}{2}\sqrt{3}\,\,\,(\approx 0{,}87)$

Bei diesem Glücksspiel ist somit auf lange Sicht ein mittlerer Gewinn von $-0{,}50\,€$ zu erwarten, wobei der tatsächliche Gewinn durchschnittlich um $0{,}87\,€$ streut.