12Urnenmodelle (2/2)

Ausgehend von diesen kombinatorischen Überlegungen lassen sich Wahrscheinlichkeiten in vielen Fällen recht einfach bestimmen.

Eine wichtige Anwendung ist dabei das Ziehen mit einem Griff:

Aus einer Urne mit insgesamt $N$ Kugeln, von denen $R$ rot sind, zieht man mit einem Griff $n$ Kugeln. Als Zufallsgröße $X$ interessiert man sich für die Anzahl der gezogenen roten Kugeln.

Das Ziehen mit einem Griff ist äquivalent zu der Situation, bei der man die Kugeln nacheinander ohne Zurücklegen und ohne Beachten der Reihenfolge zieht.

Daher ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den gezogenen Kugeln genau $r$ rot sind, gegeben durch:

\displaystyle P(X=r) = \frac{\begin{pmatrix}R\\r\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}N-R\\n-r\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}N\\n\end{pmatrix}}

Beispiel

Als Beispiel betrachten wir das Glücksspiel Lotto "6 aus 49" und berechnen die Wahrscheinlichkeit für "4 Richtige".

Die Situation lässt sich mit einer Urne modellieren, in der sich insgesamt $49$ Kugeln befinden, von denen $6$ rot sind (das sind die "Richtigen"). Beim Ziehen von $6$ Kugeln soll die Zufallsgröße $X$ : "Anzahl der gezogenen roten Kugeln" den Wert $4$ annehmen.

Die Wahrscheinlichkeit für "4 Richtige" beträgt damit:

\displaystyle P(X=r) = \frac{\begin{pmatrix}R\\r\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}N-R\\n-r\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}N\\n\end{pmatrix}}

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