16Beispiel zu Binomialverteilung

Als Beispiel soll im Folgenden das Drehen des nebenstehenden Glücksrads betrachtet werden. Dabei steht der rote Sektor für "Treffer" und die übrigen vier weißen Sektoren jeweils für "Niete". (Die fünf Sektoren können als gleich groß angenommen werden.)

Dreht man das Glücksrad nur ein Mal, so handelt es sich dabei um ein Bernoulli-Experiment mit einer Trefferwahrscheinlichkeit $p = \frac{1}{5} =0{,}2$ .

Dreht man das Glücksrad zehn Mal hintereinander (wobei die einzelnen Drehungen als unabhängig voneinander angenommen werden), so handelt es sich dabei um eine Bernoulli-Kette der Länge $n = 10$ mit Parameter $p =0{,}2$ .

Betrachtet man als Zufallsgröße $X$ : "Anzahl der Treffer bei 10 Drehungen des Glücksrads", so ist $X$ binomialverteilt nach $B(10; \frac{1}{5})$ .

Mit der Formel von Bernoulli kann somit bespielsweise die Wahrscheinlichkeit, bei 10 Drehungen 3 Treffer zu erhalten, berechnet werden:

\displaystyle B(10;\frac{1}{5};3) = P(X=3) = \begin{pmatrix}10\\3\end{pmatrix} \cdot 0{,}2^3 \cdot 0{,}8^7 \approx 20{,}1\%

Auf dieselbe Weise kann auch die Wahrscheinlichkeit, bei 10 Drehungen höchstens 4 Treffer zu erhalten, berechnet werden (bequemer geht es allerdings unter Zuhilfenahme eines geeigneten Tafelwerks):

\displaystyle B(10;\frac{1}{5};3) = P(X=3) = \begin{pmatrix}10\\3\end{pmatrix} \cdot 0{,}2^3 \cdot 0{,}8^7 \approx 20{,}1\%

Die Berechnung der Kenngrößen liefert schließlich folgendes Ergebnis:

Erwartungswert: $\mu = 10 \cdot 0{,}2 = 2$
Varianz: $\sigma^2 = 10 \cdot 0{,}2 \cdot 0{,}8 = 1{,}6$
Standardabweichung: $\sigma = \sqrt{1{,}6} \approx 1{,}26$

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