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10Beispiel zu Zufallsgrößen

Zur Veranschaulichung betrachten wir als Beispiel folgendes einfache Glücksspiel: Nach einem Einsatz von 22\,€ werden drei Laplace-Münzen (also faire Münzen, bei denen Wappen und Zahl gleichberechtigt sind) geworfen. Anschließend wird die Anzahl der geworfenen Wappen in ausgezahlt.

Als Zufallsgröße XX wollen wir den Gewinn (also Auszahlung minus Einsatz) in betrachten.

Als mögliche Werte, die XX annehmen kann, ergeben sich 2-2, 1-1, 00 und 11. Denn schlimmstenfalls zeigen alle drei Münzen Zahl (dann verliert man seinen Einsatz von 22\,€) und bestenfalls zeigen alle Münzen Wappen (dann erhält man 33\,€ als Auszahlung und somit einen Gewinn von 11\,€).

Um die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung und kumulative Verteilungsfunktion zu ermitteln, muss man sich überlegen, welche Ergebnisse zu den jeweiligen Werten von XX gehören. Die Resultate sind in der folgenden Tabelle zusammengefasst und in der Grafik veranschaulicht:

Tabelle
Abbildungsvorschrift

Zur Berechnung der Kenngrößen wendet man schließlich die entsprechenden Formeln an:

  • Erwartungswert: μ=E(X)=218+(1)38+038+118=12\mu = E(X) = -2\cdot\frac{1}{8} + (-1)\cdot\frac{3}{8} + 0\cdot\frac{3}{8} + 1\cdot\frac{1}{8} = -\frac{1}{2}

  • Varianz: Var(X)=(2(12))218+(1(12))238+(0(12))238+(1(12))218=34Var(X) = (-2-(-\frac{1}{2}))^2\cdot\frac{1}{8} + (-1-(-\frac{1}{2}))^2\cdot\frac{3}{8} + (0-(-\frac{1}{2}))^2\cdot\frac{3}{8} + (1-(-\frac{1}{2}))^2\cdot\frac{1}{8} = \frac{3}{4}

  • Standardabweichung: σ=Var(X)=34=123(0,87)\sigma = \sqrt{Var(X)} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{1}{2}\sqrt{3}\,\,\,(\approx 0{,}87)

Bei diesem Glücksspiel ist somit auf lange Sicht ein mittlerer Gewinn von 0,50-0{,}50\,€ zu erwarten, wobei der tatsächliche Gewinn durchschnittlich um 0,870{,}87\,€ streut.


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