15Binomialverteilung (2/2)

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung, die zur betrachteten Zufallsgröße $X$: "Anzahl der Treffer" bei einer Bernoulli-Kette gehört, nennt man auch Binomialverteilung.

Allgemein heißt eine Zufallsgröße $X$ binomialverteilt nach $B(n;p)$ oder $B_{n;p}$, wenn gilt:

• $X$ kann die Werte $0;1;\ldots;n$ annehmen.

• $P(X=k) = \begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\,$ mit $0\le p\le 1$

Dabei sind folgende Schreibweisen gebräuchlich:

$P(X=k)=B(n;p;k)=B_{n;p}(k)$ (Wahrscheinlichkeitsverteilung)

$P(X\le x) = F_{p}^{n}(x)$ (kumulative Verteilungsfunktion)

Kenngrößen der Binomialverteilung

Berechnet man für den Fall einer Binomialverteilung die Kenngrößen Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung jeweils nach der allgemeinen Formel, so ergibt sich:

• $\mu = E(X) = n \cdot p$

• $Var(X) = n \cdot p \cdot (1-p) = n \cdot p \cdot q$

• $\sigma = \sqrt{Var(X)} = \sqrt{n \cdot p \cdot q}$