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15Binomialverteilung (2/2)

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung, die zur betrachteten Zufallsgröße XX: "Anzahl der Treffer" bei einer Bernoulli-Kette gehört, nennt man auch Binomialverteilung.

Allgemein heißt eine Zufallsgröße XX binomialverteilt nach B(n;p)B(n;p) oder Bn;pB_{n;p}, wenn gilt:

  • XX kann die Werte 0;1;;n0;1;\ldots;n annehmen.

  • P(X=k)=(nk)pk(1p)nkP(X=k) = \begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\, mit 0p10\le p\le 1

Dabei sind folgende Schreibweisen gebräuchlich:

P(X=k)=B(n;p;k)=Bn;p(k)P(X=k)=B(n;p;k)=B_{n;p}(k) (Wahrscheinlichkeitsverteilung)

P(Xx)=Fpn(x)P(X\le x) = F_{p}^{n}(x) (kumulative Verteilungsfunktion)

Kenngrößen der Binomialverteilung

Berechnet man für den Fall einer Binomialverteilung die Kenngrößen Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung jeweils nach der allgemeinen Formel, so ergibt sich:

  • μ=E(X)=np\mu = E(X) = n \cdot p

  • Var(X)=np(1p)=npqVar(X) = n \cdot p \cdot (1-p) = n \cdot p \cdot q

  • σ=Var(X)=npq\sigma = \sqrt{Var(X)} = \sqrt{n \cdot p \cdot q}


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