Aufgaben zu Polynomfunktionen

Der charakteristische Verlauf einer Polynomfunktion kann mit ein paar Regeln vorhergesagt werden.

$f$ ist eine eine quadratische Funktion, da der größte Exponent $2$ ist. Wir wissen, dass das Verhalten im Unendlichen vom Grad des Polynoms, sowie vom Vorzeichen des ersten Koeffizienten (nach Sortierung der Terme nach fallenden Exponenten) abhängt.

Für sehr kleine Werte von $x$ (damit sind negative $x$-Werte mit sehr großem Betrag gemeint), sowie sehr große Werte von $x$ dominiert also der Term $-9x^2$. Dieser ist negativ für jedes $x$. Damit ist der charakteristische Verlauf der Funktion $f$:

Also ungefähr so:

Der charakteristische Verlauf einer Polynomfunktion hängt vom Grad der Polynomfunktion und vom Vorzeichen des Koeffizienten mit dem höchsten vorkommenden Exponenten ab.

Die Funktion hat den Grad $6$ und das Vorzeichen des ersten Koeffizienten (nach der Sortierung) ist positiv.

Für sehr kleine Werte von $x$ (damit sind negative $x$-Werte mit sehr großem Betrag gemeint), sowie sehr große Werte von $x$ dominiert also der Term $3x^6$. Dieser ist positiv für jedes $x$. Damit ist der charakteristische Verlauf der Funktion $f$von links oben nach rechts oben.

Da die Polynomfunktion nur Potenzen mit geradem Exponenten enthält, ist die Funktion symmetrisch zur y-Achse.

Der charakteristische Verlauf einer Polynomfunktion hängt vom Grad der Polynomfunktion und vom Vorzeichen des Koeffizienten mit dem höchsten vorkommenden Exponenten ab.

$f(x)=(x-3)(x+4)(2-x)$

Der Grad der Funktion f(x) ergibt sich aus der Summe der Grade der einzelnen Faktoren.

f ist das Produkt von drei Linearfaktoren. Alle drei Faktoren haben den Grad 1.

Grad $f(x)=1+1+1=3$

Somit ist f ein Polynom dritten Grades.

In den Faktoren taucht die Variable x zweimal mit positivem Vorzeichen und einmal mit negativem Vorzeichen auf. Das Vorzeichen des Koeffizienten mit dem höchsten vorkommenden Exponenten $x^3$ ist also negativ.

$-x^3$ ist positiv, wenn $x$ negativ ist und negativ, wenn $x$ positiv ist.

Damit ist der charakteristische Verlauf der Funktion $f$von links oben nach rechts unten.

Da die Polynomfuktion sowohl Potenzen mit geradem als auch ungeradem Exponenten enthält, ist die Funktion weder symmetrisch zur y-Achse noch punktsymmetrisch.

Erste Variante:

Jetzt hat $g$ eine schöne Gestalt, an der der charakteristische Verlauf abgelesen werden kann. Der Grad der Funktion $g$ ist $4$. Der Term $x^4$ dominiert also für große Werte von $x$. Da der Koeffizient vor dem $x^4$ gleich $+1$ ist und $x^4$ selbst positiv ist für alle $x$, hat $g$ den charakteristischen Verlauf "Von links oben nach rechts oben".

Zweite Variante (etwas fortgeschrittener):

Zuerst ermittelst Du den Grad dieser Funktion ohne ausmultiplizieren der Terme. Da $g$ das Produkt von vier Linearfaktoren ist ( der Faktor $(x+3)$ hat den Exponenten $2$ ) ist $g$ ein Polynom vierten Grades. In allen Faktoren taucht die Variable $x$ mit positivem Vorzeichen auf. Diese zwei Informationen genügen um den charakteristischen Verlauf von $g$ angeben zu können. Dieser ist nämlich "Von links oben, nach rechts oben".

Bei der Funktion $h$ muss man etwas vorsichtiger sein. Es scheint so als wäre $h$ in Linearfaktoren zerlegt, doch wenn man genauer hinschaut fällt auf, dass die mittlere Klammer $(1-x^2{)}^2$ kein Linearfaktor ist. Dort taucht ein ${𝐱}^2$ auf!

Das ist nicht schlimm. Weil wir aber diese Klammer nicht ausmultiplizieren wollen ( "Mathematiker sind faul" ), musst Du dir ein paar Überlegungen für dieses Polynom machen.

Was solltest Du über $(1-x^2{)}^2$ zu wissen?

Man braucht ja schließlich den größten Exponenten, der nach ausmultiplizieren der Klammer bleibt. Dieser berechnet sich als das Produkt vom größten Exponenten in der Klammer mit dem Exponenten der Klammer. In unserem Fall wird also $4=2\text{·}2$, der größte Exponent in $(1-x^2{)}^2$ sein.

Stellen wir uns das Ausmultiplizieren der Klammer im Kopf vor, so stellen wir fest: Nur indem wir $-x^2$ mit sich selbst multiplizieren, erreichen wir die Potenz $x^4$.

Somit ist der Koeffizient vor dieser Potenz gleich $1=(-1{)}^2$.

Jetzt können wir endlich weiterrechnen :)

Weiter geht's mit $h$

Da $h$ das Produkt von drei Funktionen ist, erhalten wir den Grad von $h$ indem wir die Grade dieser Funktionen aufsummieren. Der Grad von $h$ ist also $6=1+4+1$. Der Koeffizient vor der größten Potenz in $h$ ist das Produkt der Koeffizienten vor den größten Potenzen in den einzelnen Faktoren. Wir berechnen also $3\text{·}1\text{·}1=3$.

Die Funktion $h$ sieht also so aus: $h(x)=3x^6+\dots$ wobei " … " dafür steht, dass wir Terme mit niedrigeren Exponenten einfach ignorieren.

Da $h$ einen geraden Grad hat und ihr erster Koeffizient positiv ist, ist ihr charakteristischer Verlauf "Von links oben nach rechts oben".

Also ungefähr so:

Wir wissen, dass der charakteristische Verlauf einer Polynomfunktion vom Grad der Polynomfunktion und vom Vorzeichen des Koeffizienten mit dem höchsten vorkommenden Exponenten abhängt.

Der Grad der Funktion f(x) ergibt sich aus der Summe der Grade der einzelnen Faktoren.

$f(x)=(x+1)(2-x)(1+x^2)$

f ist das Produkt von drei Linearfaktoren. Die ersten beiden Faktoren haben den Grad 1, der dritte Faktor hat den Grad 2.

Grad $f(x)=1+1+2=4$

Somit ist f ein Polynom vierten Grades.

In den Faktoren taucht die Variable x zweimal mit positivem Vorzeichen und einmal mit negativem Vorzeichen auf. Das Vorzeichen des Koeffizienten mit dem höchsten vorkommenden Exponenten $x^4$ ist also negativ.

$-x^4$ ist negativ, wenn $x$ negativ ist und negativ, wenn $x$ positiv ist.

Damit ist der charakteristische Verlauf der Funktion $f$von links unten nach rechts unten.

Da die Polynomfuktion sowohl Potenzen mit geradem als auch ungeradem Exponenten enthält, ist die Funktion weder symmetrisch zur Y-Achse noch punktsymmetrisch.

Tipp: Lass dich vom $k$ nicht abschrecken ;) Setze doch mal einen Wert für $k$ ein ( z. B. $k=1$ ) und schaue wie der charakteristische Verlauf in diesem Fall wäre. Bleibt der Verlauf dann gleich, wenn man andere Werte für $k$ wählt? Lassen sich Aussagen für allgemeinere Werte von $k$ machen?

Die Funktion $i$ erfordert zusätzliche Überlegungen gegenüber den anderen, denn $k$ ist kein fester Wert. Es liegt an uns zu untersuchen, was für verschiedene Werte von $k$ mit der Funktion $i$ passiert.

Doch bevor wir loslegen, schauen wir uns $i$ nochmal genauer an. Der Grad von $i$ ist gleich $k+1$, denn $k+1$ ist immer größer als $k$. Das erspart uns schon mal einiges an Arbeit. Wir wissen ja, dass nur der Teil mit der größten Potenz für den charakteristischen Verlauf von Bedeutung ist.

Wie ist dann der charakteristische Verlauf vom Term $-(x-1{)}^{k+1}$?

Nach dem Ausmultiplizieren des Terms ist der Summand mit dem größten Exponenten $-x^{k+1}$ Hier müssen wir wirklich unterscheiden, was für verschiedene Werte von $k$ passiert.

Wenn $k$ ungerade ist, dann ist der Exponent $k+1$ gerade. Der Koeffizient vor der größten Potenz von x ist gleich $-1$. Somit hat $i$ für $k$ ungerade den charakteristischen Verlauf "von links unten nach rechts unten".

Also ungefähr so:

Wenn $k$ gerade ist, dann ist der Exponent $k+1$ ungerade. Der Koeffizient vor der größten Potenz von x ist weiterhin gleich $-1$. Somit ist der charakteristische Verlauf von $i$ "von links oben nach rechts unten".

Also ungefähr so:

Definitionsbereich festlegen

Der Definitionsbereich gibt an, welche $x$-Werte in eine Funktion eingesetzt werden dürfen.

Da die Funktion keine Brüche , Wurzeln oder Logarithmen mit $x$ enthält, die den Definitionsbereich einschränken könnten, lautet der Definitionsbereich der Funktion $D_f=ℝ$.

Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$-Werte, für die $f(x)=0$ wird.

Substitution

Bei der Substitution wird in einem Term ein Teil (z.B. $x^2$) durch einen neuen Term (z.B. $u$) ersetzt.

Resubstitution

Die Resubstitution beschreibt das Rückgängigmachen der Substitution.

Die Funktion $f(x)$ hat zwei Nullstellen bei $x_3=-1$, $x_4=1$.

Symmetrieverhalten

In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch einfache Betrachtung und durch Berechnung überprüft.

Durch Betrachtung

Alle Exponenten zur Basis $x$ sind gerade.

$\Rightarrow$ Achsensymmetrie bezüglich der $y$-Achse.

Durch Berechnung

$\Rightarrow$ Achsensymmetrie zur $y$-Achse

Grenzwertbetrachtung

Bei der Grenzwertbetrachtung wird das Verhalten einer Funktion und ihres Graphen im Unendlichen oder an einer bestimmten Stelle (meist Definitionslücke) ermittelt.

Bei ganzrationalen Funktionen ist nur die höchste Potenz wichtig, um die Grenzwertbetrachtung durchzuführen.

Wertemenge bestimmen

Die Wertemenge einer Funktion ist die Menge aller möglichen Funktionswerte, die herauskommen können, wenn man alle Zahlen aus der Definitionsmenge in die Funktion einsetzt.

Anhand der Grenzwerte kannst du erkennen, dass der Graph der Funktion eine nach unten geöffnete Parabel ist. Somit beschreibt der Scheitelpunkt den höchsten Punkt des Graphen. Da die Funktion achsensymmetrisch ist, liegt die $x$-Koordinate des Scheitelpunkts zwischen den Nullstellen, also bei $x=0$.

Definitionsbereich festlegen

Der Definitionsbereich gibt an, welche $x$-Werte in eine Funktion eingesetzt werden dürfen.

Da die Funktion keine Brüche , Wurzeln oder Logarithmen mit $x$ enthält, die den Definitionsbereich einschränken könnten, lautet der Definitionsbereich der Funktion $D_g=ℝ$ .

Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$-Werte, für die $f(x)=0$ wird.

Die Funktion $g(x)$ hat eine doppelte Nullstelle bei $x_{\mathrm{1,2}}=-1$.

Symmetrieverhalten

In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch einfache Betrachtung und durch Berechnung überprüft.

Durch Betrachtung

Da nicht alle Exponenten zur Basis $x$ gerade sind, ist $g$ nicht achsensymmetrisch bezüglich zur $y$-Achse.

Da nicht alle Exponenten zur Basis $x$ ungerade sind, ist $g$ nicht punktsymmetrisch zum Ursprung.

Somit besitzt $g$ also keine Symmetrie bezüglich der $y$-Achse oder des Ursprungs.

Durch Berechnung

$-g(-x)=-(x^2-2x+1)=-x^2+2x-1\ne g(x)$

$\Rightarrow$ keine Punktymmetrie zum Ursprung

Somit liegt bei $g$ keine Symmetrie bezüglich der $y$-Achse oder des Ursprungs vor.

Grenzwertbetrachtung

Bei der Grenzwertbetrachtung wird das Verhalten einer Funktion und ihres Graphen im Unendlichen oder an einer bestimmten Stelle (meist Definitionslücke) ermittelt.

Bei ganzrationalen Funktionen ist nur die höchste Potenz wichtig, um die Grenzwertbetrachtung durchzuführen.

gegen $+\infty$

gegen $-\infty$

$${\displaystyle \underset{x\to -\infty }{\lim }\stackrel{\stackrel{\to \infty }{\text{︷}}}{x^2}+\stackrel{\stackrel{\to -\infty }{\text{︷}}}{2}+1=\infty }$$

Wertemenge bestimmen

Die Wertemenge einer Funktion ist die Menge aller möglichen Funktionswerte, die herauskommen können, wenn man alle Zahlen aus der Definitionsmenge in die Funktion einsetzt.

Anhand der Grenzwerte kannst du erkennen, dass der Graph der Funktion eine nach oben geöffnete Parabel ist. Somit beschreibt der Scheitelpunkt den tiefsten Punkt des Graphen. Da die Funktion eine doppelte Nullstelle bei $x_{\mathrm{1,2}}=-1$ besitzt, ist die Nullstelle zugleich der Scheitelpunkt.

Definitionsbereich festlegen

Der Definitionsbereich gibt an, welche $x$-Werte in eine Funktion eingesetzt werden dürfen.

Da die Funktion keine Brüche , Wurzeln oder Logarithmen mit $x$ enthält, die den Definitionsbereich einschränken könnten, lautet der Definitionsbereich der Funktion $D_h=ℝ$ .

Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$-Werte, für die $f(x)=0$ wird.

Ausklammern

Um diese Aufgabe lösen zu können, brauchst du Wissen über das Ausklammern.

$\begin{array}{rcll}-x^2+4& =& 0& |+x^2\\ 4& =& x^2& |\sqrt{}\\ \pm 2& =& x_{\mathrm{2,3}}& \end{array}$

Die Funktion $h(x)$ hat drei Nullstellen bei $x_1=0$, $x_2=-2$ und $x_3=2$.

Symmetrieverhalten

In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch einfache Betrachtung und durch Berechnung überprüft.

Durch Betrachtung

Alle Exponenten von $x$ sind ungerade.

$\Rightarrow$ Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs.

Durch Berechnung

$\Rightarrow$ Punktymmetrie bezügöich des Ursprungs

Grenzwertbetrachtung

Bei der Grenzwertbetrachtung wird das Verhalten einer Funktion und ihres Graphen im Unendlichen oder an einer bestimmten Stelle (meist Definitionslücke) ermittelt.

gegen $+\infty$

gegen $-\infty$

Wertemenge bestimmen

Die Wertemenge einer Funktion ist die Menge aller möglichen Funktionswerte, die herauskommen können, wenn man alle Zahlen aus der Definitionsmenge in die Funktion einsetzt.

Da es sich um eine ganzrationale Funktion 3. Grades handelt, wird der Wertebereich nicht eingeschränkt. Somit lautet die Wertemenge:

${𝕎}_{𝕗}=ℝ$

Definitionsbereich festlegen

Der Definitionsbereich gibt an, welche $x$-Werte in eine Funktion eingesetzt werden dürfen.

Da die Funktion keine Brüche , Wurzeln oder Logarithmen mit $x$ enthält, die den Definitionsbereich einschränken könnten, lautet der Definitionsbereich der Funktion $D_i=ℝ$ .

Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$-Werte, für die $f(x)=0$ wird.

Die Funktion $i(x)$ hat an der Stelle $x_1=-2$ eine Nullstelle. Da $i(-2)=0$, wissen wir, dass $i(x)$ den dazugehörigen Linearfaktor $(x+2)$ besitzt.

Führe nun die Polynomdivision $i(x):(x+2)$ durch.

$\begin{array}{l}-(x^3-4x^2-3x+18):(x+2)=x^2-6x+9\\ \underline{-(x^3+2x^2)}\\ -6x^2-3x\\ \underline{-(-6x^2-12x)}\\ 9x+18\\ \underline{-(9x+18)}\\ 0\end{array}$

Die Funktion $g(x)$ wird dann $0$, sobald mindestens einer der Faktoren gleich $0$ ist. Da die Nullstelle $x_1=-2$ bereits bekannt ist, kannst du die weiteren Nullstellen von $i$ bestimmen, indem du das erhaltene Polynom gleich $0$ setzt.

Die Funktion $i(x)$ hat eine einfache Nullstelle bei $x_1=-2$ und eine doppelte Nullstelle bei $x_{\mathrm{2,3}}=3$.

Symmetrieverhalten

In dieser Lösung wird die Symmetrie der Funktion durch einfache Betrachtung und durch Berechnung überprüft.

Durch Betrachtung

Da nicht alle Exponenten zur Basis $x$ gerade sind, ist $i$ nicht achsensymmetrisch bezüglich zur $y$-Achse.

Da nicht alle Exponenten zur Basis $x$ ungerade sind, ist $i$ nicht punktsymmetrisch zum Ursprung.

Somit besitzt $i$ also keine Symmetrie bezüglich der $y$-Achse oder des Ursprungs.

Durch Berechnung

$\phantom{i(-x)}=-x^3-4x^2+3x+18\ne i(x)$

$-i(-x)=-(-x^3-4x^2+3x+18)$

$\Rightarrow$ keine Punktymmetrie zum Ursprung

Somit liegt bei $i$ keine Symmetrie bezüglich der $y$-Achse oder des Ursprungs vor.

Grenzwertbetrachtung

Bei der Grenzwertbetrachtung wird das Verhalten einer Funktion und ihres Graphen im Unendlichen oder an einer bestimmten Stelle (meist Definitionslücke) ermittelt.

Bei ganzrationalen Funktionen ist nur die höchste Potenz wichtig, um die Grenzwertbetrachtung durchzuführen.

gegen $+\infty$

$${\displaystyle \underset{x\to \infty }{\lim }\stackrel{\stackrel{\to \infty }{\text{︷}}}{x^3}-\stackrel{\stackrel{\to \infty }{\text{︷}}}{4}-\stackrel{\stackrel{\to \infty }{\text{︷}}}{3}+18=\infty }$$

gegen $-\infty$

$${\displaystyle \underset{x\to -\infty }{\lim }\stackrel{\stackrel{\to -\infty }{\text{︷}}}{x^3}-\stackrel{\stackrel{\to \infty }{\text{︷}}}{4}-\stackrel{\stackrel{\to -\infty }{\text{︷}}}{3}+18=-\infty }$$

Wertemenge bestimmen

Die Wertemenge einer Funktion ist die Menge aller möglichen Funktionswerte, die herauskommen können, wenn man alle Zahlen aus der Definitionsmenge in die Funktion einsetzt.

Da es sich um eine ganzrationale Funktion 3. Grades handelt, wird der Wertebereich nicht eingeschränkt. Somit lautet die Wertemenge:

${𝕎}_{𝕗}=ℝ$