Aufgaben
Aus den abgebildeten Netzen lassen sich „Spielwürfel“ mit 4, 6 und 8 Seitenflächen erstellen.
Netze der 4-,6- und 8-seitigen Würfel
  1. Welche Wahrscheinlichkeiten erhältst du für die Augenzahlen 0, 1 und 2 bei den verschiedenen „Spielwürfeln“, wenn du sehr oft würfelst?
  2. Bei einem Spiel würfelt jeder Teilnehmer so lange, bis er zum ersten Mal eine „2“ geworfen hat. Wer am wenigsten Würfe benötigt, gewinnt. Welchen Würfel würdest du für dieses Spiel auswählen? Erläutere deine Entscheidung.
  3. Bei einem anderen Spiel wird reihum gewürfelt. Wer eine „0“ würfelt, scheidet aus. Wie groß ist mit den verschiedenen Würfeln jeweils die Chance, bei einem Wurf keine „0“ zu werfen?
  4. Bei tausend Würfen mit einem der drei Würfel hat sich folgendes Ergebnis ergeben:

Augenzahl

0

1

2

absolute Häufigkeit

241

253

506

Was meinst du, welcher Würfel verwendet wurde? Erläutere deine Antwort.

Teilaufgabe 1

Um die relativen Häufigkeiten bei den jeweiligen Würfeln zu bestimmen, solltest du die Wahrscheinlichkeiten der jeweiligen Zahlen bei den Würfeln betrachten.
Würfel 1
Wahrscheinlichkeit der Zahl 0 =14=25%=\frac14=25\,\% 
Wahrscheinlichkeit der Zahl 1 =14=25%=\frac14=25\,\% 
Wahrscheinlichkeit der Zahl 2 =24=50%=\frac24=50\,\% 
Würfel 2
Wahrscheinlichkeit der Zahl 0 =2633%=\frac26\approx33\,\% 
Wahrscheinlichkeit der Zahl 1 =2633%=\frac26\approx33\,\% 
Wahrscheinlichkeit der Zahl 2 =2633%=\frac26\approx33\,\% 
Würfel 3
Wahrscheinlichkeit der Zahl 0 =38=37,5%=\frac38=37{,}5\,\% 
Wahrscheinlichkeit der Zahl 1 =38=37,5%=\frac38=37{,}5\,\% 
Wahrscheinlichkeit der Zahl 2 =28=14=25%=\frac28=\frac14=25\,\% 

Teilaufgabe 2

Der Würfel, bei dem die Wahrscheinlichkeit am höchsten ist, bei jedem Wurf eine 2 zu würfeln, ist Würfel 1.

Teilaufgabe 3

Ziehe jeweils die Wahrscheinlichkeit, eine 0 zu würfeln, von 100%100\,\% ab.
Würfel 1
100%25%=75%100\,\%-25\,\%=75\,\% 
Würfel 2
100%33%=67%100\,\%-33\,\%=67\,\% 
Würfel 3
100%37,5%=62,5%100\,\%-37{,}5\,\%=62{,}5\,\% 

Teilaufgabe 4

Berechne aus den Angaben die relative Häufigkeit.
Summe aller Würfe =1000\begin{array}{l}=1000\\\end{array}
Anteil 0 =2411000=24,1%=\frac{241}{1000}=24{,}1\,\% 
Anteil 1 =2531000=25,3%=\frac{253}{1000}=25{,}3\,\% 
Anteil 2 =5061000=50,6%=\frac{506}{1000}=50{,}6\,\% 
Der Vergleich mit den Wahrscheinlichkeiten von Teilaufgabe 1 zur relativen Häufigkeit der Zahlen bei den Würfeln zeigt, dass nur Würfel 1 in Frage kommen kann.
Auf einer Fähre befinden sich 20 Personen. Zwei Personen haben Schmuggelware dabei, einer dieser Schmuggler ist Felix. Ein Zollbeamter ruft der Reihe nach 3 Personen zur Kontrolle von der Fähre herunter. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass
Felix entdeckt wird?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wahrscheinlichkeit

Es gibt 3 verschiedene Möglichkeiten wie Felix entdeckt werden könnte. 1. Bei der ersten Kontrolle. 2. Erst bei der zweiten Kontrolle. Davor wird irgendeiner der anderen Passagiere kontrolliert. 3. Erst bei der dritten Kontrolle. Diese Möglichkeiten müssen addiert werden.
P(„Felix wird entdeckt“)=P(\text{„Felix wird entdeckt“})=
=120bei der 1. Kontrolle+(1920119)bei der 2. Kontrolle=\underbrace{\frac1{20}}_\text{bei der 1. Kontrolle}+\underbrace{\left(\frac{19}{20}\cdot\frac1{19}\right)}_\text{bei der 2. Kontrolle}+(19201819118)bei der 3. Kontrolle=+\underbrace{\left(\frac{19}{20}\cdot\frac{18}{19}\cdot\frac1{18}\right)}_\text{bei der 3. Kontrolle}=
=120+120+120==\frac1{20}+\frac1{20}+\frac1{20}=
=320=0,15=15%=\frac3{20}=0{,}15=15\,\% 
beide Schmuggler bei dieser Kontrolle entdeckt werden?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Laplace-Wahrscheinlichkeit

P=Anzahl gu¨nstiger ErgebnisseAnzahl mo¨glicher ErgebnisseP=\dfrac{\text{Anzahl günstiger Ergebnisse}}{\text{Anzahl möglicher Ergebnisse}}
Berechne die Anzahl der möglicher Ergebnisse aus.
Es gibt (203)\begin{pmatrix}20\\3\end{pmatrix} Möglichkeiten, 33 Menschen aus 2020 auszuwählen.
Es gibt 18 Möglichkeiten, eine dritte Person auszuwählen. Daher gibt es 1818 günstige Ergebnisse.
(22)18(203)=11820!17!3!=1811400,016\dfrac{\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}\cdot18}{\begin{pmatrix}20\\3\end{pmatrix}}=\dfrac{1\cdot18}{\displaystyle\frac{20!}{17!\cdot3!}}=\frac{18}{1140}\approx0{,}016

Gegeben ist:  %%P(A)=\frac15%%;   %%P(\overline B)=\frac13%%;    %%P\left(A\cap B\right)=\frac16%%.

Berechne:

%%P\left(A\cup B\right)%%

Additionssätze für Wahrscheinlichkeiten

%%P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right)=%%

Bilde das Gegenereignis %%P(B)%% von %%P(\overline B)=\frac13%%.

%%=\frac15+\left(1-\frac13\right)-\frac16%%

%%=\frac15+\frac23-\frac16%%

Addiere, indem du den Hauptnenner bildest und auf diesen erweiterst (Hauptnenner ist 30).

%%=\frac6{30}+\frac{20}{30}-\frac5{30}=\frac{21}{30}%%

%%P\left(\overline A\cup B\right)%%

Additionssätze für Wahrscheinlichkeiten

%%P\left(\overline A\cup B\right)=%%

Verwende die Formel %%P(A \cup B)=P(A) + P(B) - P(A \cap B)%%.

%%=P(\overline A)+P(B)-P(\overline A \cap B)%%

Ziehe vom Ereignis %%B%% das Ereignis, dass %%B%% eintritt und %%A%% nicht eintritt, ab, so erhältst du das Ereignis, dass %%B%% und %%A%% eintreten.

%%=P(\overline A)+P(A \cap B)%%

%%=1-P(A)+P(A\cap B)%%

%%=1-\frac15+\frac16%%

Zum Subtrahieren bilde den Hauptnenner und erweitere auf diesen (hier Hauptnenner 30)

%%=1-\frac6{30}+\frac5{30}%%

%%=1-\frac1{30}%%

%%=\frac{29}{30}%%

Beim Werfen von zwei Würfeln werden folgende Ereignisse definiert:

%%A:={}%%„Die Augensumme ist gerade“

%%B:={}%%„Der erste Würfel zeigt eine gerade Augenzahl“

Für die Wahrscheinlichkeiten gilt: %%P(A)=P(B)=0{,}5%%; %%P(A\cap B)=0{,}25%%.

Berechne die Wahrscheinlichkeit von

             a)  „%%A%% oder %%B%%

             b)  „entweder %%A%% oder %%B%%“.

Teilaufgabe a)

%%P(\text{„}A\text{ oder }B\text{“})=P(A\cup B)%%

Stelle die Wahrscheinlichkeit für %%P(A\cup B)%% auf.

%%P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)%%

Setze die gegebenen Werte ein.

%%=0{,}5+0{,}5-0{,}25%%

%%=0{,}75%%

Teilaufgabe b)

%%P(\text{„entweder }A\text{ oder }B“)=P(\text{„}A\text{ oder }B\text{“}) - P(\text{„}A\text{ und }B\text{ gleichzeitig“})%%

Stelle die Gleichung auf.

%%P(\text{„entweder }A\text{ oder }B\text{“})=P(A\cup B)-P(A\cap B)%%

Wahrscheinlichkeit für %%P(A\cup B)%% wurde in Teilaufgabe a) berechnet.

%%=0{,}75-0{,}25%%

%%=0{,}5%%

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wahrscheinlichkeit

Das Ereignis "entweder  A  oder  B""\text{entweder} \;A\;\text{oder}\;B" bedeutet, dass nur das Ereignis AA oder nur das Ereignis BB eintritt, jedoch nicht beide gleichzeitig.
Die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis "A  oder  B""A \;\text{oder}\; B" eintritt, ist:
P("A  oder  B")=P(AB)\displaystyle P("A \;\text{oder}\; B") = P(A \cup B)
Aber bei diesem Ereignis können auch AA und BB gleichzeitig auftreten.
Merke: Das Ereignis "A  oder  B""A\;\text{oder}\;B" heißt immer: Es tritt AA ein oder es tritt BB ein oder es treten AA und BB gleichzeitig ein.
Das heißt, du musst von der Wahrscheinlichkeit P("A  oder  B")P("A \;\text{oder}\; B") noch die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis "A  und  B  gleichzeitig" "A \;\text{und}\; B \;\text{gleichzeitig}" abziehen, um auf das gewünschte Ergebnis zu kommen. Dafür musst du wissen:
P("A  und  B  gleichzeitig")=P(AB)\displaystyle P( "A \;\text{und}\; B \;\text{gleichzeitig}") = P(A \cap B)
Also lautet das Endergebnis:
P("entweder  A  oder  B")=P("A  oder  B")P("A  und  B  gleichzeitig")=P(AB)P(AB)\displaystyle \begin{array}{rcl} && P("\text{entweder}\; A\;\text{oder}\; B")\\ &=& P("A\;\text{oder}\; B") - P("A\;\text{und}\;B\; \text{gleichzeitig}")\\ &=& P(A \cup B) - P(A \cap B) \end{array}

Gegeben: %%P\left(E_1\right)=0{,}4%%;    %%P\left(E_2\right)=0{,}7%%;    %%P\left(E_1\cap E_2\right)=0{,}3%%

Berechne:

%%P\left({\overline E}_1\right);\;P\left({\overline E}_2\right)%%

%%P\left({\overline E}_1\right)%%

Berechne das Gegenereignis zu %%P\left(E_1\right)%%.

%%P\left({\overline E}_1\right)+P\left(E_1\right)=1%%

%%\left|{}-P\left(E_1\right)\right.%%

%%P\left({\overline E}_1\right)=1-P\left(E_1\right)%%

Für %%P\left(E_1\right)%% 0,4 einsetzen.

%%\Rightarrow P\left({\overline E}_1\right)=1-0{,}4=0{,}6%%

%%P\left({\overline E}_2\right)%%

Berechne das Gegenereignis zu %%P\left(E_2\right)%%.

%%P\left({\overline E}_2\right)+P\left(E_2\right)=1%%

%%\left|{}-P\left(E_2\right)\right.%%

%%P\left({\overline E}_2\right)=1-P\left(E_2\right)%%

Für %%P\left(E_2\right)%% den Wert 0,7 einsetzen.

%%\Rightarrow P\left({\overline E}_2\right)=1-0{,}7=0{,}3%%

%%P\left(E_1\cup E_2\right)%%

Verwende Additionssätze für Wahrscheinlichkeiten

%%P\left(E_1\cup E_2\right)%%

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Vereinigung der Ereignisse %%E_1%% und %%E_2%% eintritt.

Verwendung der Formel: %%P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P(B)-P\left(A\cap B\right)%%

%%\begin{array}{l}P\left(E_1\cup E_2\right)=P\left(E_1\right)+P(E_2)-P\left(E_1\cap E_2\right)\;\;\\=\;0{,}4\;+0{,}7-0{,}3\\ =\;0{,}8\end{array}%%

%%P\left(E_1\cap{\overline E}_2\right)%%

Verwende Additionssätze für Wahrscheinlichkeiten

%%\left(E_1\cap E_2\right)\cup\left(E_1\cap{\overline E}_2\right)=E_1%%

%%\Rightarrow P\left(E_1\cap E_2\right)+P\left(E_1\cap{\overline E}_2\right)=P\left(E_1\right)%%

Wir nennen die gesuchte Wahrscheinlichkeit der Einfachheit halber %%x%%.

%%P\left(E_1\cap{\overline E}_2\right)=x%%

Wir setzen die gegebenen Werte ein.

%%0{,}3+x=0{,}4%%

Löse nach %%x%% auf.

%%x=0{,}1%%

%%\Rightarrow P\left(E_1\cap{\overline E}_2\right)=0{,}1%%

%%P\left(E_1\cup{\overline E}_2\right)%%

Verwende Additionssätze für Wahrscheinlichkeiten

Wir lösen die Aufgabe über einen Umweg und berechnen zunächst die Wahrscheinlichkeit %%P\left(E_1\cap{\overline E}_2\right)%%.

%%P\left(E_1\cap{\overline E}_2\right)=x%%

Wir nennen die Wahrscheinlichkeit der Einfachheit halber %%x%%.

%%P\left(E_1\cap E_2\right) + P\left(E_1\cap \overline{E_2}\right)=P\left(E_1\right)%%

%%0{,}3+x=0{,}4%% (setze die Werte ein und löse nach %%x%% auf).

%%x=0{,}1%%

%%P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right)%%

%%P\left(E_1\cup{\overline E}_2\right)=P\left(E_1\right)+P\left({\overline E}_2\right)-P\left(E_1\cap{\overline E}_2\right)%%

Setze die entsprechenden Werte ein.

%%P\left(E_1\cup{\overline E}_2\right)=0{,}4+\left(1-0{,}7\right)-0{,}1=0{,}6%%

%%\mathit\Omega=\{\omega_1,\omega_2,\omega_3,\omega_4\}%%

%%E_1:=\{\omega_1,\omega_2\}%%;

%%P\left(E_1\right)=0{,}2%%;

%%E_2:=\{\omega_3\}%%;

%%P\left(E_2\right)=0{,}5%%;

%%E_3:=\left\{\omega_4\right\}%%;

%%P\left(E_3\right)=0{,}5%%;

  1. Begründe, dass diese Wahrscheinlichkeitsverteilung unzulässig ist.

  2. Ändere %%P\left(E_3\right)%% so ab, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung zulässig ist.

  3. Berechne %%P\left(\left\{\operatorname{\omega}_1\right\}\right)%% unter der Voraussetzung, dass %%\operatorname{\omega}_1%% mit einer doppelt so hohen Wahrscheinlichkeit auftritt wie %%\operatorname{\omega}_2%%.

Teilaufgabe 1:

Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten muss immer 1 betragen, deswegen ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung hier unzulässig, da sie 1,2 beträgt.

Teilaufgabe 2:

Es muss gelten:

%%P\left(E_1\right)+P\left(E_2\right)+P\left(E_3\right)=1%%

Löse nach %%P(E_3)%% auf.

%%1-P\left(E_1\right)-P\left(E_2\right)=P\left(E_3\right)%%

Setze die Werte aus der Angabe ein.

%%1-0{,}2-0{,}5=0{,}3%%

%%\Rightarrow\;P\left(E_3\right)=0{,}3%%

Teilaufgabe 3:

Aus der Angabe ist bekannt:

%%P\left(E_1\right)=0{,}2%%

%%\operatorname{\omega}_2%% ist nur noch %%\frac13%% von %%P\left(E_1\right)=0{,}2%%.

%%\Rightarrow\;%% %%\operatorname{\omega}_2=\frac13\cdot0{,}2=\frac1{15}%%

%%\operatorname{\omega}_1%% hingegen entspricht %%\frac23%% von %%P\left(E_1\right)=0{,}2%%.

%%\Rightarrow\;%% %%\operatorname{\omega}_1=\frac23\cdot0{,}2=\frac2{15}%%

Zwei Jungen und drei Mädchen sind eingeladen. Sie treffen nacheinander ein. Jede Reihenfolge ist gleich wahrscheinlich. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
abwechselnd ein Junge und ein Mädchen eintreffen

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wahrscheinlichkeit

P(MJMJM)=3524231211P\left(MJMJM\right)=\frac{3}{5}\cdot\frac{2}{4}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1}
=0,1=10%=0{,}1=10\,\% 
Zwei defekte Computermonitore sind mit zwei guten zusammengepackt worden. Man prüft die Monitore der Reihe nach, bis man weiß, welche die zwei fehlerhaften sind. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist man nach Prüfung des zweiten Monitors, mit welcher Wahrscheinlichkeit erst nach Prüfung des dritten fertig?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Baumdiagramm und Pfadregeln

Erstelle zunächst ein Baumdiagramm (Ziehen ohne Zurücklegen). Berechne dann die gesuchten Wahrscheinlichkeiten mithilfe der Pfadregeln. Auch die Betrachtung eines Gegenereignisses kann hilfreich sein.
Es gibt in dieser Aufgabe insgesamt vier Monitore: Zwei kaputte und zwei gute. Es wird ohne Zurücklegen ein Monitor nach dem anderen gezogen und nachgesehen, ob er kaputt ist oder nicht.
Da jeder Monitor nur einmal geprüft werden muss (denn danach weiß man ja, ob er kaputt ist oder nicht), wird hier ohne Zurücklegen gezogen.
Folgende Bezeichnungen für die Ereignisse kannst du hier einführen:

K=der angesehene Monitor ist kaputt\bf{K} = \text{der angesehene Monitor ist \bf{kaputt}}
G=der angesehene Monitor ist gut\bf{G} = \text{der angesehene Monitor ist \bf{gut}}
Das Zufallsexperiment, das hier beschrieben wird, lässt sich mithilfe des Urnenmodells untersuchen:

Die Monitore sind hier Kugeln in einer Urne. Es gibt zwei rote Kugeln (kaputte Monitore)\color{cc0000}\text{rote Kugeln (kaputte Monitore)} und zwei blaue Kugeln (gute Monitore)\color{009999}\text{blaue Kugeln (gute Monitore)}. Man zieht der Reihe nach eine Kugel (bzw. einen Monitor) ohne Zurücklegen aus der Urne, und sieht nach, ob sie rot (kaputt) oder blau (gut) ist.
Um die Wahrscheinlichkeiten aus der Aufgabenstellung zu berechnen, stellst du ein Baumdiagramm auf:
Baumdiagramm
Da man ohne zurücklegen zieht, ändern sich mit jeder Überprüfung die Wahrscheinlichkeiten.
Überlege dir nun, welche Pfade zu den Ereignissen passen, die in der Aufgabenstellung genannt werden.

Fertig nach zwei Überprüfungen

Bei welchen Pfaden weiß man nach zwei überprüften Monitoren schon, welche die kaputten Monitore sind? Das sind genau die Pfade, bei denen es nach dem zweiten Schritt keine Verzweigung mehr gibt. Es gibt also zwei mögliche Pfade:

  • Die ersten beiden Monitore, die angesehen werden, sind kaputt. Das entspricht dem Pfad KKGG\color{cc0000}\text{KK}\color{009999}\text{GG}. Dieser Pfad hat die Wahrscheinlichkeit P(KKGG)=241311=212=16.P(\color{cc0000}\text{KK}\color{009999}\text{GG}\color{000000}) = \dfrac{2}{4}\cdot\dfrac{1}{3}\cdot 1\cdot 1 = \dfrac{2}{12} = \dfrac{1}{6}.
  • Die ersten beiden Monitore sind gut. Das entspricht dem Pfad GGKK\color{009999}\text{GG}\color{cc0000}\text{KK}. In diesem Fall sind genau die beiden übrigen Monitore die kaputten. Der Pfad hat die Wahrscheinlichkeit P(GGKK)=241311=212=16.P(\color{009999}\text{GG}\color{cc0000}\text{KK}\color{000000}) = \dfrac{2}{4}\cdot\dfrac{1}{3}\cdot 1\cdot 1 = \dfrac{2}{12} = \dfrac{1}{6}.
Weil es bei den anderen Pfaden im zweiten Schritt immernoch eine Verzweigung gibt, kommen diese Pfade nicht mehr infrage.

Die Wahrscheinlichkeit dafür, nach zwei Überprüfungen fertig zu sein, ist also:
P(KKGG)+P(GGKK)=16+16=1333,3%.\displaystyle P(\color{cc0000}\text{KK}\color{009999}\text{GG}\color{000000}) + P(\color{009999}\text{GG}\color{cc0000}\text{KK}\color{000000}) = \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{3} \approx 33,3\%.

Fertig nach drei Überprüfungen

Eine Möglichkeit, die Wahrscheinlichkeit zu ermitteln, mit der man nach drei Überprüfungen fertig ist, ist, wieder die Wahrscheinlichkeiten der entsprechenden Pfade auszurechnen und zu Addieren. Eine weitere Möglichkeit, die etwas Arbeit spart, ist, mit der Gegenwahrscheinlichkeit zu argumentieren:

Sieh dir die Pfade an, bei denen man nicht nach zwei Überprüfungen fertig ist. Das sind alle Pfade außer KKGG \color{cc0000}\text{KK}\color{009999}\text{GG} und GGKK\color{009999}\text{GG}\color{cc0000}\text{KK}.
Bei all diesen Pfaden weiß man nach der dritten Überprüfung schon, welche die kaputten Monitore sind. Denn dann kann man schließen, ob der vierte kaputt ist oder nicht. Das heißt:

Das Ereignis "nach drei U¨berpru¨fungen fertig" \text{"nach drei Überprüfungen fertig" } ist genau das Gegenereignis zu "nach zwei U¨berpru¨fungen fertig"\text{"nach zwei Überprüfungen fertig"}. Und die Wahrscheinlichkeit, nach zwei Überprüfungen fertig zu sein, hast du oben schon berechnet. Daher gilt:
P("nach drei U¨berpru¨fungen fertig" )=1P("nach zwei U¨berpru¨fungen fertig")=11366,7%.\displaystyle \begin{array}{rcl} &&P(\text{"nach drei Überprüfungen fertig" })\\ \\ &=& 1 - P(\text{"nach zwei Überprüfungen fertig"}) \\\\ &=& 1 - \dfrac{1}{3} \approx 66,7\%. \end{array}
Wenn du die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses berechnen sollst, das sehr viele Pfade hat, schau nach, ob das Gegenereignis weniger Pfade hat. Dann kannst du die Wahrscheinlichkeit des ursprünglichen Eregnisses wie folgt berechnen:
P(Ereignis)=1P(Gegenereignis).\displaystyle P(\text{Ereignis}) = 1 - P(\text{Gegenereignis}).
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