Aufgaben
Aus den abgebildeten Netzen lassen sich „Spielwürfel“ mit 4, 6 und 8 Seitenflächen erstellen.
Netze der 4-,6- und 8-seitigen Würfel
  1. Welche Wahrscheinlichkeiten erhältst du für die Augenzahlen 0, 1 und 2 bei den verschiedenen „Spielwürfeln“, wenn du sehr oft würfelst?
  2. Bei einem Spiel würfelt jeder Teilnehmer so lange, bis er zum ersten Mal eine „2“ geworfen hat. Wer am wenigsten Würfe benötigt, gewinnt. Welchen Würfel würdest du für dieses Spiel auswählen? Erläutere deine Entscheidung.
  3. Bei einem anderen Spiel wird reihum gewürfelt. Wer eine „0“ würfelt, scheidet aus. Wie groß ist mit den verschiedenen Würfeln jeweils die Chance, bei einem Wurf keine „0“ zu werfen?
  4. Bei tausend Würfen mit einem der drei Würfel hat sich folgendes Ergebnis ergeben:

Augenzahl

0

1

2

absolute Häufigkeit

241

253

506

Was meinst du, welcher Würfel verwendet wurde? Erläutere deine Antwort.

Teilaufgabe 1

Um die relativen Häufigkeiten bei den jeweiligen Würfeln zu bestimmen, solltest du die Wahrscheinlichkeiten der jeweiligen Zahlen bei den Würfeln betrachten.
Würfel 1
Wahrscheinlichkeit der Zahl 0 =14=25%=\frac14=25\,\% 
Wahrscheinlichkeit der Zahl 1 =14=25%=\frac14=25\,\% 
Wahrscheinlichkeit der Zahl 2 =24=50%=\frac24=50\,\% 
Würfel 2
Wahrscheinlichkeit der Zahl 0 =2633%=\frac26\approx33\,\% 
Wahrscheinlichkeit der Zahl 1 =2633%=\frac26\approx33\,\% 
Wahrscheinlichkeit der Zahl 2 =2633%=\frac26\approx33\,\% 
Würfel 3
Wahrscheinlichkeit der Zahl 0 =38=37,5%=\frac38=37{,}5\,\% 
Wahrscheinlichkeit der Zahl 1 =38=37,5%=\frac38=37{,}5\,\% 
Wahrscheinlichkeit der Zahl 2 =28=14=25%=\frac28=\frac14=25\,\% 

Teilaufgabe 2

Der Würfel, bei dem die Wahrscheinlichkeit am höchsten ist, bei jedem Wurf eine 2 zu würfeln, ist Würfel 1.

Teilaufgabe 3

Ziehe jeweils die Wahrscheinlichkeit, eine 0 zu würfeln, von 100%100\,\% ab.
Würfel 1
100%25%=75%100\,\%-25\,\%=75\,\% 
Würfel 2
100%33%=67%100\,\%-33\,\%=67\,\% 
Würfel 3
100%37,5%=62,5%100\,\%-37{,}5\,\%=62{,}5\,\% 

Teilaufgabe 4

Berechne aus den Angaben die relative Häufigkeit.
Summe aller Würfe =1000\begin{array}{l}=1000\\\end{array}
Anteil 0 =2411000=24,1%=\frac{241}{1000}=24{,}1\,\% 
Anteil 1 =2531000=25,3%=\frac{253}{1000}=25{,}3\,\% 
Anteil 2 =5061000=50,6%=\frac{506}{1000}=50{,}6\,\% 
Der Vergleich mit den Wahrscheinlichkeiten von Teilaufgabe 1 zur relativen Häufigkeit der Zahlen bei den Würfeln zeigt, dass nur Würfel 1 in Frage kommen kann.
Auf einer Fähre befinden sich 20 Personen. Zwei Personen haben Schmuggelware dabei, einer dieser Schmuggler ist Felix. Ein Zollbeamter ruft der Reihe nach 3 Personen zur Kontrolle von der Fähre herunter. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wahrscheinlichkeit

Bilde das Gegenereignis.
P(„Mindestens einer der SchmugglerP(\text{„Mindestens einer der Schmuggler}
  wird entdeckt“)\;\text{wird entdeckt“})
=1P(„Keiner der Schmuggler  wird  entdeckt)=1-P(\text{„Keiner der Schmuggler}\;\mathrm{wird\;entdeckt“)}
18 von 20 Personen an Bord sind keine Schmuggler. Die Chance, dass bei der ersten Kontrolle also keiner der Schmuggler entdeckt wird, ist 1820\frac{18}{20}. Bei der nächsten Kontrolle können nur noch 19 Personen kontrolliert werden, von denen 2 Schmuggler sind. Also ist die Wahrscheinlichkeit 1719\frac{17}{19}. Bei der dritten Kontrolle ist es genauso.
1P(„Keiner der Schmuggler  wird  entdeckt)=1-P(\text{„Keiner der Schmuggler}\;\mathrm{wird\;entdeckt“)} = 1(182017191618)=279528,4%1-\left(\frac{18}{20}\cdot\frac{17}{19}\cdot\frac{16}{18}\right)=\frac{27}{95}\approx28{,}4\,\% 

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Laplace-Wahrscheinlichkeit

P=Anzahl gu¨nstiger ErgebnisseAnzahl mo¨glicher ErgebnisseP=\dfrac{\text{Anzahl günstiger Ergebnisse}}{\text{Anzahl möglicher Ergebnisse}}
Berechne die Anzahl der möglicher Ergebnisse aus.
Es gibt (203)\begin{pmatrix}20\\3\end{pmatrix} Möglichkeiten, 33 Menschen aus 2020 auszuwählen.
Es gibt 18 Möglichkeiten, eine dritte Person auszuwählen. Daher gibt es 1818 günstige Ergebnisse.
(22)18(203)=11820!17!3!=1811400,016\dfrac{\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}\cdot18}{\begin{pmatrix}20\\3\end{pmatrix}}=\dfrac{1\cdot18}{\displaystyle\frac{20!}{17!\cdot3!}}=\frac{18}{1140}\approx0{,}016

Gegeben ist:  %%P(A)=\frac15%%;   %%P(\overline B)=\frac13%%;    %%P\left(A\cap B\right)=\frac16%%.

Berechne:

%%P\left(A\cup B\right)%%

Additionssätze für Wahrscheinlichkeiten

%%P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right)=%%

Bilde das Gegenereignis %%P(B)%% von %%P(\overline B)=\frac13%%.

%%=\frac15+\left(1-\frac13\right)-\frac16%%

%%=\frac15+\frac23-\frac16%%

Addiere, indem du den Hauptnenner bildest und auf diesen erweiterst (Hauptnenner ist 30).

%%=\frac6{30}+\frac{20}{30}-\frac5{30}=\frac{21}{30}%%

%%P\left(\overline A\cup B\right)%%

Additionssätze für Wahrscheinlichkeiten

%%P\left(\overline A\cup B\right)=%%

Verwende die Formel %%P(A \cup B)=P(A) + P(B) - P(A \cap B)%%.

%%=P(\overline A)+P(B)-P(\overline A \cap B)%%

Ziehe vom Ereignis %%B%% das Ereignis, dass %%B%% eintritt und %%A%% nicht eintritt, ab, so erhältst du das Ereignis, dass %%B%% und %%A%% eintreten.

%%=P(\overline A)+P(A \cap B)%%

%%=1-P(A)+P(A\cap B)%%

%%=1-\frac15+\frac16%%

Zum Subtrahieren bilde den Hauptnenner und erweitere auf diesen (hier Hauptnenner 30)

%%=1-\frac6{30}+\frac5{30}%%

%%=1-\frac1{30}%%

%%=\frac{29}{30}%%

Beim Werfen von zwei Würfeln werden folgende Ereignisse definiert:

%%A:={}%%„Die Augensumme ist gerade“

%%B:={}%%„Der erste Würfel zeigt eine gerade Augenzahl“

Für die Wahrscheinlichkeiten gilt: %%P(A)=P(B)=0{,}5%%; %%P(A\cap B)=0{,}25%%.

Berechne die Wahrscheinlichkeit von

             a)  „%%A%% oder %%B%%

             b)  „entweder %%A%% oder %%B%%“.

Teilaufgabe a)

%%P(\text{„}A\text{ oder }B\text{“})=P(A\cup B)%%

Stelle die Wahrscheinlichkeit für %%P(A\cup B)%% auf.

%%P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)%%

Setze die gegebenen Werte ein.

%%=0{,}5+0{,}5-0{,}25%%

%%=0{,}75%%

Teilaufgabe b)

%%P(\text{„entweder }A\text{ oder }B“)=P(\text{„}A\text{ oder }B\text{“}) - P(\text{„}A\text{ und }B\text{ gleichzeitig“})%%

Stelle die Gleichung auf.

%%P(\text{„entweder }A\text{ oder }B\text{“})=P(A\cup B)-P(A\cap B)%%

Wahrscheinlichkeit für %%P(A\cup B)%% wurde in Teilaufgabe a) berechnet.

%%=0{,}75-0{,}25%%

%%=0{,}5%%

Drücke die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis E="entweder  A  oder  B"E = "\text{entweder} \;A\;\text{oder}\;B" durch die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse AA, BB und ABA\cap B aus.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wahrscheinlichkeit

Das Ereignis "entweder  A  oder  B""\text{entweder} \;A\;\text{oder}\;B" bedeutet, dass nur das Ereignis AA oder nur das Ereignis BB eintritt, jedoch nicht beide gleichzeitig.
Die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis "A  oder  B""A \;\text{oder}\; B" eintritt, ist:
P("A  oder  B")=P(AB)\displaystyle P("A \;\text{oder}\; B") = P(A \cup B)
Aber bei diesem Ereignis können auch AA und BB gleichzeitig auftreten.
Merke: Das Ereignis "A  oder  B""A\;\text{oder}\;B" heißt immer: Es tritt AA ein oder es tritt BB ein oder es treten AA und BB gleichzeitig ein.
Das heißt, du musst von der Wahrscheinlichkeit P("A  oder  B")P("A \;\text{oder}\; B") noch die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis "A  und  B  gleichzeitig" "A \;\text{und}\; B \;\text{gleichzeitig}" abziehen, um auf das gewünschte Ergebnis zu kommen. Dafür musst du wissen:
P("A  und  B  gleichzeitig")=P(AB)\displaystyle P( "A \;\text{und}\; B \;\text{gleichzeitig}") = P(A \cap B)
Also lautet das Endergebnis:
P("entweder  A  oder  B")=P("A  oder  B")P("A  und  B  gleichzeitig")=P(AB)P(AB)\displaystyle \begin{array}{rcl} && P("\text{entweder}\; A\;\text{oder}\; B")\\ &=& P("A\;\text{oder}\; B") - P("A\;\text{und}\;B\; \text{gleichzeitig}")\\ &=& P(A \cup B) - P(A \cap B) \end{array}

Gegeben: %%P\left(E_1\right)=0{,}4%%;    %%P\left(E_2\right)=0{,}7%%;    %%P\left(E_1\cap E_2\right)=0{,}3%%

Berechne:

%%P\left({\overline E}_1\right);\;P\left({\overline E}_2\right)%%

%%P\left({\overline E}_1\right)%%

Berechne das Gegenereignis zu %%P\left(E_1\right)%%.

%%P\left({\overline E}_1\right)+P\left(E_1\right)=1%%

%%\left|{}-P\left(E_1\right)\right.%%

%%P\left({\overline E}_1\right)=1-P\left(E_1\right)%%

Für %%P\left(E_1\right)%% 0,4 einsetzen.

%%\Rightarrow P\left({\overline E}_1\right)=1-0{,}4=0{,}6%%

%%P\left({\overline E}_2\right)%%

Berechne das Gegenereignis zu %%P\left(E_2\right)%%.

%%P\left({\overline E}_2\right)+P\left(E_2\right)=1%%

%%\left|{}-P\left(E_2\right)\right.%%

%%P\left({\overline E}_2\right)=1-P\left(E_2\right)%%

Für %%P\left(E_2\right)%% den Wert 0,7 einsetzen.

%%\Rightarrow P\left({\overline E}_2\right)=1-0{,}7=0{,}3%%

%%P\left(E_1\cup E_2\right)%%

Verwende Additionssätze für Wahrscheinlichkeiten

%%P\left(E_1\cup E_2\right)%%

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Vereinigung der Ereignisse %%E_1%% und %%E_2%% eintritt.

Verwendung der Formel: %%P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P(B)-P\left(A\cap B\right)%%

%%\begin{array}{l}P\left(E_1\cup E_2\right)=P\left(E_1\right)+P(E_2)-P\left(E_1\cap E_2\right)\;\;\\=\;0{,}4\;+0{,}7-0{,}3\\ =\;0{,}8\end{array}%%

%%P\left(E_1\cap{\overline E}_2\right)%%

Verwende Additionssätze für Wahrscheinlichkeiten

%%\left(E_1\cap E_2\right)\cup\left(E_1\cap{\overline E}_2\right)=E_1%%

%%\Rightarrow P\left(E_1\cap E_2\right)+P\left(E_1\cap{\overline E}_2\right)=P\left(E_1\right)%%

Wir nennen die gesuchte Wahrscheinlichkeit der Einfachheit halber %%x%%.

%%P\left(E_1\cap{\overline E}_2\right)=x%%

Wir setzen die gegebenen Werte ein.

%%0{,}3+x=0{,}4%%

Löse nach %%x%% auf.

%%x=0{,}1%%

%%\Rightarrow P\left(E_1\cap{\overline E}_2\right)=0{,}1%%

%%P\left(E_1\cup{\overline E}_2\right)%%

Verwende Additionssätze für Wahrscheinlichkeiten

Wir lösen die Aufgabe über einen Umweg und berechnen zunächst die Wahrscheinlichkeit %%P\left(E_1\cap{\overline E}_2\right)%%.

%%P\left(E_1\cap{\overline E}_2\right)=x%%

Wir nennen die Wahrscheinlichkeit der Einfachheit halber %%x%%.

%%P\left(E_1\cap E_2\right) + P\left(E_1\cap \overline{E_2}\right)=P\left(E_1\right)%%

%%0{,}3+x=0{,}4%% (setze die Werte ein und löse nach %%x%% auf).

%%x=0{,}1%%

%%P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right)%%

%%P\left(E_1\cup{\overline E}_2\right)=P\left(E_1\right)+P\left({\overline E}_2\right)-P\left(E_1\cap{\overline E}_2\right)%%

Setze die entsprechenden Werte ein.

%%P\left(E_1\cup{\overline E}_2\right)=0{,}4+\left(1-0{,}7\right)-0{,}1=0{,}6%%

%%\mathit\Omega=\{\omega_1,\omega_2,\omega_3,\omega_4\}%%

%%E_1:=\{\omega_1,\omega_2\}%%;

%%P\left(E_1\right)=0{,}2%%;

%%E_2:=\{\omega_3\}%%;

%%P\left(E_2\right)=0{,}5%%;

%%E_3:=\left\{\omega_4\right\}%%;

%%P\left(E_3\right)=0{,}5%%;

  1. Begründe, dass diese Wahrscheinlichkeitsverteilung unzulässig ist.

  2. Ändere %%P\left(E_3\right)%% so ab, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung zulässig ist.

  3. Berechne %%P\left(\left\{\operatorname{\omega}_1\right\}\right)%% unter der Voraussetzung, dass %%\operatorname{\omega}_1%% mit einer doppelt so hohen Wahrscheinlichkeit auftritt wie %%\operatorname{\omega}_2%%.

Teilaufgabe 1:

Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten muss immer 1 betragen, deswegen ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung hier unzulässig, da sie 1,2 beträgt.

Teilaufgabe 2:

Es muss gelten:

%%P\left(E_1\right)+P\left(E_2\right)+P\left(E_3\right)=1%%

Löse nach %%P(E_3)%% auf.

%%1-P\left(E_1\right)-P\left(E_2\right)=P\left(E_3\right)%%

Setze die Werte aus der Angabe ein.

%%1-0{,}2-0{,}5=0{,}3%%

%%\Rightarrow\;P\left(E_3\right)=0{,}3%%

Teilaufgabe 3:

Aus der Angabe ist bekannt:

%%P\left(E_1\right)=0{,}2%%

%%\operatorname{\omega}_2%% ist nur noch %%\frac13%% von %%P\left(E_1\right)=0{,}2%%.

%%\Rightarrow\;%% %%\operatorname{\omega}_2=\frac13\cdot0{,}2=\frac1{15}%%

%%\operatorname{\omega}_1%% hingegen entspricht %%\frac23%% von %%P\left(E_1\right)=0{,}2%%.

%%\Rightarrow\;%% %%\operatorname{\omega}_1=\frac23\cdot0{,}2=\frac2{15}%%

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wahrscheinlichkeit

P(MMMJJ)=3524132211=0,1=10%P(MMMJJ)=\frac35\cdot\frac24\cdot\frac13\cdot\frac22\cdot\frac11=0{,}1=10\,\% 
P(JJMMM)=2514332211=0,1=10%P(JJMMM) = \frac25\cdot\frac14\cdot\frac33\cdot\frac22\cdot\frac11=0{,}1=10\,\% 
P(JMMMJ)=2534231211=0,1=10%P(JMMMJ)=\frac25\cdot\frac34\cdot\frac23\cdot\frac12\cdot\frac11=0{,}1=10\,\% 

P(3 Ma¨dchen hintereinander)=10%+10%+10%=30%\Rightarrow P(\text{3 Mädchen hintereinander})= 10\,\%+10\,\%+10\,\%=30\,\% 
In einer Gruppe sind 5 Franzosen, 6 Spanier und 10 Schweizer. Zwei Personen werden zufällig ausgelost. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau ein Schweizer ausgelost wird?
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