Aufgaben
Vereinfache die Terme so weit wie möglich!
2xy+x24y+2x25xy2xy +x^2-4y+2x^2-5xy

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenz zusammenfassen

Du darfst gleiche Variablen in der gleichen Potenz zusammenfassen.
2xy+x24y+2x25xy=2xy +x^2-4y+2x^2-5xy =
Sortiere den Term mithilfe des Kommutativgesetzes, sodass gleiche Variablen in der gleichen Potenz zusammenstehen! Achte darauf, das Vorzeichen mitzunehmen.
2xy5xy+x2+2x24y=2xy-5xy+x^2+2x^2-4y=
Fasse Terme mit den gleichen Variablen zusammen.
3xy+3x24y-3xy +3x^2-4y
Weiter lässt sich dieser Term nicht vereinfachen.
4u4+ut7u43ut2-4u^4+ut-7u^4-3ut^2

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen zusammenfassen

Du darfst gleiche Variablen in der gleichen Potenz zusammenfassen.
4u4+ut7u43ut2=-4u^4+ut-7u^4-3ut^2=
Sortiere den Term mithilfe des Kommutativgesetzes, sodass gleiche Variablen in der gleichen Potenz zusammenstehen! Achte darauf, das Vorzeichen mitzunehmen.
4u47u4+ut3ut2=-4u^4-7u^4+ut-3ut^2=
Fasse Terme mit den gleichen Variablen zusammen.
11u4+ut3ut2-11u^4+ut-3ut^2
Weiter lässt sich dieser Term nicht vereinfachen.
6h3g+g2+hg+4hg+18g6h-3g+g^2+hg+4hg+18g

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen zusammenfassen

Du darfst gleiche Variablen in der gleichen Potenz zusammenfassen.
6h3g+g2+hg+4hg+18g6h-3g+g^2+hg+4hg+18g
Sortiere den Term mithilfe des Kommutativgesetzes, sodass gleiche Variablen in der gleichen Potenz zusammenstehen! Achte darauf, das Vorzeichen mitzunehmen.
6h3g+18g+g2+hg+4hg6h-3g+18g+g^2+hg+4hg
Fasse Terme mit den gleichen Variablen zusammen.
6h+15g+g2+5hg6h+15g+g^2+5hg
Weiter lässt sich dieser Term nicht vereinfachen.
Vereinfache die Terme so weit wie möglich!
12a(3a)12a-\left(-3a\right)
3c9c+(3c)+4c+5c3c-9c+\left(-3c\right)+4c+5c

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme zusammenfassen

Terme zusammenfassen

3c9c+(3c)+4c+5c  3c-9c+\left(-3c\right)+4c+5c\;
Löse die Klammer auf.
=3c9c3c+4c+5c  =3c-9c-3c+4c+5c\;
Sortiere geschickt um.
=3c3c9c+4c+5c=3c-3c-9c+4c+5c
Fasse zusammen.
=0=0
6k+15k13k-6k+15k-13k

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme zusammenfassen

Term zusammenfassen

6k+15k13k  -6k+15k-13k\;
Da alle Teile des Terms dieselben Variablen enthalten, kannst du sie direkt zusammenfassen.
=4k=-4k
(3a)+5a4a+(a)-\left(-3a\right)+5a-4a+\left(-a\right)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme zusammenfassen

Term zusammenfassen

(3a)+5a4a+(a)  -\left(-3a\right)+5a-4a+\left(-a\right)\;
Löse zunächst die Klammern auf. Achte dabei darauf, dass sich das Vorzeichen in der Klammer umdreht, wenn ein Minus vor der Klammer steht!
=3a+5a4aa=3a+5a-4a-a
Fasse nun den Term zusammen.
=3a=3a
(2d+e)(5d+4e)2d+3e\left(-2d+e\right)-\left(5d+4e\right)-2d+3e

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Term zusammenfassen

Term zusammenfassen

(2d+e)(5d+4e)2d+3e  \left(-2d+e\right)-\left(5d+4e\right)-2d+3e\;
Löse zunächst die Klammern auf. Achte dabei darauf, dass sich alle Vorzeichen in der Klammer umdrehen, wenn ein Minus vor der Klammer steht.
=2d+e5d4e2d+3e  =-2d+e-5d-4e-2d+3e\;
Sortiere den Term nach gleichen Variablen
=2d5d2d+e4e+3e  =-2d-5d-2d+e-4e+3e\;
Fasse den Term so weit wie möglich zusammen.
=9d=-9d

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme zusammenfassen

Terme zusammenfassen

12x(12x+3y)+(3y)(3xy)  =12x-\left(12x+3y\right)+\left(-3y\right)-\left(3x-y\right)\;=
Löse die Klammern auf. Achte dabei darauf, dass sich die Vorzeichen in der Klammer umdrehen, wenn vor der Klammer ein Minus steht!
12x12x3y3y3x+y  =12x-12x-3y-3y-3x+y\;=
Sortiere den Term nach gleichen Variablen mithilfe des Kommutativgesetzes.
12x12x3x3y3y+y  =12x-12x-3x-3y-3y+y\;=
Fasse den Term so weit wie möglich zusammen.
=3x5y=-3x-5y
6m(46m)+3m+(43m)-6m-\left(4-6m\right)+3m+\left(4-3m\right)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme zusammenfassen

Term zusammenfassen

6m(46m)+3m+(43m)  =-6m-\left(4-6m\right)+3m+\left(4-3m\right)\;=
Löse die Klammern auf. Achte dabei darauf, dass sich alle Vorzeichen umdrehen, wenn ein Minus vor der Klammer steht!
6m4+6m+3m+43m  =-6m-4+6m+3m+4-3m\;=
Sortiere den Term um, so dass gleiche Variablen beieinander stehen.
6m+6m+3m3m4+4  =-6m+6m+3m-3m-4+4\;=
Fasse den Term nun so weit wie möglich zusammen.
=0=0
abcd(abcd)+(abcd)a-b-c-d-\left(a-b-c-d\right)+\left(a-b-c-d\right)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme zusammenfassen

Addition und Subtraktion von Variablen

abcd(abcd)+(abcd)a-b-c-d-\left(a-b-c-d\right)+\left(a-b-c-d\right)
Löse die Klammern auf. Achte dabei darauf, dass sich alle Vorzeichen in der Klammer umdrehen, wenn ein Minus vor der Klammer steht!
=abcda+b+c+d+abcd=a-b-c-d-a+b+c+d+a-b-c-d
Sortiere den Term mithilfe des Kommutativgesetzes um, so dass gleiche Variablen beieinander stehen.
=aa+ab+bbc+ccd+dd=a-a+a-b+b-b-c+c-c-d+d-d
Fasse den Term so weit wie möglich zusammen.
=abcd=a-b-c-d
7m5n[5m(3nm)(2m+n)5n]7m-5n-\left[5m-\left(3n-m\right)-\left(2m+n\right)-5n\right]

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vereinfachen von Termen mit Klammern

Forme Terme um

7m5n[5m(3nm)(2m+n)5n]7m-5n-\left[5m-\left(3n-m\right)-\left(2m+n\right)-5n\right]
Löse zunächst die inneren Klammern auf. Achte darauf, dass sich alle Vorzeichen in der (inneren) Klammer umdrehen, wenn ein Minus vor der Klammer steht.
=7m5n[5m3n+m2mn5n]=7m-5n-\left[5m-3n+m-2m-n-5n\right]
Löse nun die äußere Klammer auf. Achte auch hier wieder auf die Vorzeichen!
=7m5n5m+3nm+2m+n+5n=7m-5n-5m+3n-m+2m+n+5n
Sortiere den Term, so dass gleiche Variablen beieinander stehen.
=7m5mm+2m5n+3n+n+5n=7m-5m-m+2m-5n+3n+n+5n
Fasse den Term zusammen.
=3m+4n=3m+4n

Alternative:
7m5n[5m(3nm)(2m+n)5n]7m-5n-\left[5m-\left(3n-m\right)-\left(2m+n\right)-5n\right]
Löse zunächst die inneren Klammern auf. Achte darauf, dass sich alle Vorzeichen in der (inneren) Klammer umdrehen, wenn ein Minus vor der Klammer steht.
=7m5n[5m3n+m2mn5n]=7m-5n-\left[5m-3n+m-2m-n-5n\right]
Sortiere die Termteile in der Klammer nach gleichen Variablen.
=7m5n[5m+m2m3nn5n]=7m-5n-\left[5m+m-2m-3n-n-5n\right]
Fasse den Term in der Klammer zusammen.
=7m5n[4m9n]=7m-5n-\left[4m-9n\right]
Löse die Klammer auf. Achte wieder auf das Minus vor der Klammer!
=7m5n4m+9n=7m-5n-4m+9n
Sortiere den Term nach gleichen Variablen.
=7m4m5n+9n=7m-4m-5n+9n
Fasse den Term so weit wie möglich zusammen.
=3m+4n=3m+4n
[7a+5b(3a+b)]{[3b(2ab)]5a}\left[7a+5b-\left(3a+b\right)\right]-\left\{\left[3b-\left(2a-b\right)\right]-5a\right\}
Zu jedem der oberen Terme (1 bis 4) gibt es einen äquivalenten unteren Term (mit den Buchstaben). Wenn du sie richtig zuordnest, erhältst du ein Lösungswort!
1:    x2(3xy)4y+3x2y\displaystyle 1: \; \; x^2-(-3xy)-4y+3x^2-y
2:    x2+3y+(3x2)+3xy+(xy)\displaystyle 2: \; \; x^2+3y+(-3x^2)+3xy+(-xy)
3:    xy2+2x6xy2+x2y+2x\displaystyle 3: \; \; xy^2+2x-6xy^2+x^2y+2x
4:    3x2(7xy)y22y22x2\displaystyle 4: \; \; 3x^2-(-7xy)-y^2-2y^2-2x^2
  \displaystyle \;
U:    3x2(5xy2)3x210xy2+4x+x2y\displaystyle U: \; \; 3x^2-(-5xy^2)-3x^2-10xy^2+4x+x^2y
R:    7xy+4x2+y+(6x2+2y)5xy\displaystyle R: \; \; 7xy+4x^2+y+(-6x^2+2y)-5xy
E:    4xy+(3y2)+2x2+3xyx2\displaystyle E: \; \; 4xy+(-3y^2)+2x^2+3xy-x^2
T:    2xy+4x2+5xy(2y+3y)\displaystyle T: \; \; -2xy+4x^2+5xy-(2y+3y)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vereinfachen von Termen

Terme vereinfachen

Um die Terme vergleichen zu können, hilft es wenn du sie so weit wie möglich vereinfachst und dann die vereinfachten Terme vergleichst.
1:    x2(3xy)4y+3x2y\displaystyle 1: \; \; x^2-(-3xy)-4y+3x^2-y
2:    x2+3y+(3x2)+3xy+(xy)\displaystyle 2: \; \; x^2+3y+(-3x^2)+3xy+(-xy)
3:    xy2+2x6xy2+x2y+2x\displaystyle 3: \; \; xy^2+2x-6xy^2+x^2y+2x
4:    3x2(7xy)y22y22x2\displaystyle 4: \; \; 3x^2-(-7xy)-y^2-2y^2-2x^2
  \displaystyle \;
U:    3x2(5xy2)3x210xy2+4x+x2y\displaystyle U: \; \; 3x^2-(-5xy^2)-3x^2-10xy^2+4x+x^2y
R:    7xy+4x2+y+(6x2+2y)5xy\displaystyle R: \; \; 7xy+4x^2+y+(-6x^2+2y)-5xy
E:    4xy+(3y2)+2x2+3xyx2\displaystyle E: \; \; 4xy+(-3y^2)+2x^2+3xy-x^2
T:    2xy+4x2+5xy(2y+3y)\displaystyle T: \; \; -2xy+4x^2+5xy-(2y+3y)
Gehe nun nach immer demselben Schema fort. Im Anschluss folgt die ausführliche Lösung für alle Terme. Wenn du nur die Lösungen vergleichen möchtest, springe direkt zur nächsten Überschrift!
Ausführliche Lösung:
Beginne mit dem Term 11:
x2(3xy)4y+3x2y=x^2-(-3xy)-4y+3x^2-y=
Löse zunächst die Klammern auf! Achte dabei auf die Vorzeichen.
x2+3xy4y+3x2y=x^2+3xy-4y+3x^2-y=
Sortiere nun den Term, so dass gleiche Variablen beieinander stehen.
x2+3x2+3xy4yy=x^2+3x^2+3xy-4y-y=
Fasse nun Terme mit gleichen Variablen zusammen.
4x2+3xy5y4x^2+3xy-5y

Fahre mit Term 22 fort:
x2+3y+(3x2)+3xy+(xy)=x^2+3y+(-3x^2)+3xy+(-xy)=
Löse zunächst die Klammern auf. Achte bei auf die Vorzeichen!
x2+3y3x2+3xyxy=x^2+3y-3x^2+3xy-xy=
Sortiere den Term, so dass gleiche Variablen beieinander stehen.
x23x2+3y+3xyxy=x^2-3x^2+3y+3xy-xy=
Fasse nun Terme mit gleichen Variablen zusammen.
2x2+3y+2xy-2x^2+3y+2xy

Fahre mit Term 33 fort:
xy2+2x6xy2+x2y+2xxy^2+2x-6xy^2+x^2y+2x
Sortiere den Term, so dass gleiche Variablen beieinander stehen.
xy26xy2+x2y+2x+2xxy^2-6xy^2+x^2y+2x+2x
Fasse nun Terme mit gleichen Variablen zusammen.
5xy2+x2y+4x-5xy^2+x^2y+4x

Term 44:
3x2(7xy)y22y22x2=3x^2-(-7xy)-y^2-2y^2-2x^2=
Löse zunächst die Klammern auf! Achte dabei auf die Vorzeichen.
3x2+7xyy22y22x2=3x^2+7xy-y^2-2y^2-2x^2=
Sortiere den Term, so dass gleiche Variablen beieinander stehen.
3x22x2+7xyy22y2=3x^2-2x^2+7xy-y^2-2y^2=
Fasse nun Terme mit gleichen Variablen zusammen.
x2+7xy3y2x^2+7xy-3y^2

Term UU:
3x2(5xy2)3x210xy2+4x+x2y=3x^2-(-5xy^2)-3x^2-10xy^2+4x+x^2y=
Löse zunächst die Klammern auf! Achte dabei auf die Vorzeichen.
3x2+5xy23x210xy2+4x+x2y=3x^2+5xy^2-3x^2-10xy^2+4x+x^2y=
Sortiere den Term, so dass gleiche Variablen beieinander stehen.
3x23x2+5xy210xy2+4x+x2y=3x^2-3x^2+5xy^2-10xy^2+4x+x^2y=
Fasse nun Terme mit gleichen Variablen zusammen.
5xy2+4x+x2y=-5xy^2+4x+x^2y=

Term RR:
7xy+4x2+y+(6x2+2y)5xy=7xy+4x^2+y+(-6x^2+2y)-5xy=
Löse zunächst die Klammern auf! Achte dabei auf die Vorzeichen.
7xy+4x2+y6x2+2y5xy=7xy+4x^2+y-6x^2+2y-5xy=
Sortiere den Term, so dass gleiche Variablen beieinander stehen.
7xy5xy+4x26x2+y+2y=7xy-5xy+4x^2-6x^2+y+2y=
Fasse nun Terme mit gleichen Variablen zusammen.
2xy2x2+3y2xy-2x^2+3y

Term EE:
4xy+(3y2)+2x2+3xyx2=4xy+(-3y^2)+2x^2+3xy-x^2=
Löse zunächst die Klammern auf! Achte dabei auf die Vorzeichen.
4xy3y2+2x2+3xyx2=4xy-3y^2+2x^2+3xy-x^2=
Sortiere den Term, so dass gleiche Variablen beieinander stehen.
4xy+3xy3y2+2x2x2=4xy+3xy-3y^2+2x^2-x^2=
Fasse nun Terme mit gleichen Variablen zusammen.
7xy3y2+x27xy-3y^2+x^2

Term TT:
2xy+4x2+5xy(2y+3y)=-2xy+4x^2+5xy-(2y+3y)=
Löse zunächst die Klammern auf! Achte dabei auf die Vorzeichen.
2xy+4x2+5xy2y3y=-2xy+4x^2+5xy-2y-3y=
Sortiere den Term, so dass gleiche Variablen beieinander stehen.
2xy+5xy+4x22y3y=-2xy+5xy+4x^2-2y-3y=
Fasse nun Terme mit gleichen Variablen zusammen.
3xy+4x25y3xy+4x^2-5y


Äquivalente Terme zuordnen

Die Terme haben vereinfacht folgende Formen:
1:    4x2+3xy5y\displaystyle 1: \; \; 4x^2+3xy-5y
2:    2x2+3y+2xy\displaystyle 2: \; \; -2x^2+3y+2xy
3:    5xy2+x2y+4x\displaystyle 3: \; \; -5xy^2+x^2y+4x
4:    x2+7xy3y2\displaystyle 4: \; \; x^2+7xy-3y^2
  \displaystyle \;
U:    5xy2+4x+x2y\displaystyle U: \; \; -5xy^2+4x+x^2y
R:    2xy2x2+3y\displaystyle R: \; \; 2xy-2x^2+3y
E:    7xy3y2+x2\displaystyle E: \; \; 7xy-3y^2+x^2
T:    3xy+4x25y\displaystyle T: \; \; 3xy+4x^2-5y
Vergleiche nun die Terme. Beachte dabei, dass du mithilfe des Kommutativgesetzes die einzelnen Teile umstellen könntest.
Du erhältst folgende Paare:
1T1 \rightarrow T
2R2 \rightarrow R
3U3 \rightarrow U
4E4 \rightarrow E
Das Lösungswort lautet TRUETRUE
Fasse folgende Terme zusammen und vereinfache sie soweit wie möglich.
5x+7yx+13y5x+7y-x+13y
5x+7yx+13y=5x+7y-x+13y=
Nach den Variablenn sortieren.
=5xx+7y+13y==5x-x+7y+13y=
Gleiche Variablen zusammenfassen.
=4x+20y==4x+20y=
Der Faktor 4 lässt sich ausklammern .
=4(x+5y)=4\cdot\left(x+5y\right)


13a+49b+56a+119b+16a=\frac13a+\frac49b+\frac56a+\frac{11}9b+\frac16a=
Nach den Variablen sortieren.
13a+56a+16a+49b+119b=\frac13a+\frac56a+\frac16a+\frac49b+\frac{11}9b=
Der Hauptnenner muss für beide Variablen gebildet werden (a=6 b=9).
Alle Brüche auf die jeweiligen Hauptnenner erweitern.
26a+56a+16a+49b+119b=\frac26a+\frac56a+\frac16a+\frac49b+\frac{11}9b=
Gleiche Variablen zusammenfassen.
86a+159b=\frac86a+\frac{15}9b=
Beide Brüche lassen sich kürzen (a mit 2 und b mit 3).
43a+53b=\frac43a+\frac53b=
Der Faktor 13\frac13 lässt sich ausklammern .
=13(4a+5b)=\frac13\cdot\left(4a+5b\right)


10k+6m8n+5km2n10k+6m-8n+5k-m-2n
10k+6m8n+5km2n10k+6m-8n+5k-m-2n
Nach den Variablen sortieren.
=10k+5k+6mm8n2n=10k+5k+6m-m-8n-2n
Gleiche Variablen zusammenfassen.
=15k+5m10n=15k+5m-10n
Der Faktor 5 lässt sich ausklammern .
=5(3k+m2n)=5\cdot\left(3k+m-2n\right)


413u+112v4z212u+314z412v4\frac13u+1\frac12v-4z-2\frac12u+3\frac14z-4\frac12v
413u+112v4z212u+314z412v=4\frac13u+1\frac12v-4z-2\frac12u+3\frac14z-4\frac12v=
Nach den Variablen sortieren und in Brüche umwandeln.
=133u52u+32v92v41z+134z==\frac{13}3u-\frac52u+\frac32v-\frac92v-\frac41z+\frac{13}4z=
Der Hauptnenner (12) muss für beide Variablen gebildet werden.Alle Brüche auf den Hauptnenner erweitern.
=5212u3012u+1812v5412v4812z+3912z==\frac{52}{12}u-\frac{30}{12}u+\frac{18}{12}v-\frac{54}{12}v-\frac{48}{12}z+\frac{39}{12}z=
Gleiche Variablen zusammenfassen.
=2212u3612v912z==\frac{22}{12}u-\frac{36}{12}v-\frac9{12}z=
Der Faktor 112\frac1{12} lässt sich ausklammern .
=112(22u36v9z)=\frac1{12}\cdot\left(22u-36v-9z\right)


1,8x+2,3y+3,2z0,9x1,1y1,4z1,8x+2,3y+3,2z-0,9x-1,1y-1,4z
1,8x+2,3y+3,2z0,9x1,1y1,4z=1,8x+2,3y+3,2z-0,9x-1,1y-1,4z=

Nach den Variablen sortieren.
=1,8x0,9x+2,3y1,1y+3,2z1,4z==1,8x-0,9x+2,3y-1,1y+3,2z-1,4z=

Gleiche Variablen zusammenfassen.
=0,9x+1,2y+1,8z=0,9x+1,2y+1,8z


714ax312bx+523cx218ax+456bx219cx7\frac14\mathrm{ax}-3\frac12\mathrm{bx}+5\frac23\mathrm{cx}-2\frac18\mathrm{ax}+4\frac56\mathrm{bx}-2\frac19\mathrm{cx}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terme zusammenfassen

714ax312bx+523cx218ax+456bx219cx=7\frac14\mathrm{ax}-3\frac12\mathrm{bx}+5\frac23\mathrm{cx}-2\frac18\mathrm{ax}+4\frac56\mathrm{bx}-2\frac19\mathrm{cx}=
Nach den Variablen sortieren und in Brüche umwandeln.
294ax178ax72bx+296bx+173cx199cx=\frac{29}4\mathrm{ax}-\frac{17}8\mathrm{ax}-\frac72\mathrm{bx}+\frac{29}6\mathrm{bx}+\frac{17}3\mathrm{cx}-\frac{19}9\mathrm{cx}=
Der Hauptnenner muss für die drei Variablen gebildet werden (ax=8 bx=6 cx=9).
Alle Brüche auf die jeweiligen Hauptnenner erweitern.
588ax178ax216bx+296bx+519cx199cx=\frac{58}8\mathrm{ax}-\frac{17}8\mathrm{ax}-\frac{21}6\mathrm{bx}+\frac{29}6\mathrm{bx}+\frac{51}9\mathrm{cx}-\frac{19}9\mathrm{cx}=
Gleiche Variablen zusammenfassen.
418ax+86bx+329cx=\frac{41}8\mathrm{ax}+\frac86\mathrm{bx}+\frac{32}9\mathrm{cx}=
Der Faktor x lässt sich ausklammern .
=x(418a+86b+329c)=x\cdot\left(\frac{41}8a+\frac86b+\frac{32}9c\right)


Löse auf

%%4(5a+3b)%%

4(5a+3b)4(5a+3b)
=45a+43b=4\cdot5a+4\cdot3b
=20a+12b=20a+12b