Aufgaben

Ein rechteckiger Wasserbehälter mit den Maßen %%0{,}8\,\mathrm{m}\cdot0{,}45\,\mathrm{m}\cdot1{,}5\,\mathrm{m}%% soll mit Wasser gefüllt werden.

Wie viel Liter kann er fassen?

%%V_\mathrm{Quader}=l\cdot b\cdot h%%

Setze die Werte ein.

%%V=0{,}8\,\mathrm m\cdot0{,}45\,\mathrm m\cdot1{,}5\,\mathrm m%%

%%V=0{,}54\,\mathrm m^3%%

Rechne %%\mathrm m^3%% in %%\mathrm{dm}^3%% um.

%%V=540\,\mathrm{dm}^3%%

Rechne %%\mathrm{dm}^3%% in Liter um.

%%V=540\,\mathrm l%%

%%\Rightarrow%% Der Wasserbehälter kann %%540\,\mathrm l%% fassen.

Es ist Sommer und du kaufst ein Eis. Du erinnerst Dich, dass bei Eispackungen im Supermarkt die Menge an Eis in Litern angegeben ist. Das bringt Dich dazu, das Volumen in deiner Eistüte bestimmen zu wollen!

  1. Nach Deiner Messung ist die Eistüte %%16\,\text{cm}%% hoch und die Öffnung hat einen Durchmesser von %%6\,\text{cm}%%. Wie viel Liter Eis befinden sich darin?

  2. Wie groß müsste Deine Eistüte sein, um dasselbe Volumen fassen zu können wie eine Packung mit %%1%% Liter Eis?

Eistüte mit Hand

Teilaufgabe 1

Vorüberlegungen

Wenn Du den Rand deiner Eistüte betrachtest erkennst du einen Kreis. Die Spitze der Eistüte denkst Du dir als einen Punkt. Bei deiner Eistüte handelt es sich um einen Kegel.

Volumen eines Kegels

Du benötigst den Radius %%r%% und die Höhe %%h%% des Kegels. Die Höhe ist direkt gegeben und der Radius ist der halbe Durchmesser: $$h=16\,\text{cm} \\ r = 6\,\text{cm} :2 = 3\,\text{cm}$$

Berechne damit nun das Volumen. $$V_{Eistüte}=\dfrac{1}{3} \pi r^2 h= \dfrac{1}{3} \pi \cdot (3 \, \mathrm{cm^3})^2 \cdot 16 \,\mathrm{cm} \approx 150,8 \,\mathrm{cm^3}$$

Umrechnen von %%\text{cm}^3%% in Liter

Für das Umrechnen von Litern gilt %%1\,\text{l} = 1 \,\text{dm}^3%% und %%1\,\text{dm}^3 = 1000\,\text{cm}^3%%

Beides zusammen ergibt

$$1\,\text{l} = 1000\,\text{cm}^3 \\ \dfrac{1}{1000} \,\text{l} = 1 \,\text{cm}^3$$

Rechne damit das Volumen der Eistüte um.

$$V_{Eistüte}\approx 150,8 \,\text{cm}^3 = \dfrac{150,8}{1000} \,\text{l} = 0,1508 \,\text{l} \approx 0,15 \,\text{l}$$

In die Eistüte passen also etwa %%0,15%% Liter Eis.

Teilaufgabe 2

Vorüberlegungen

Du kannst die Eistüte auf verschiedene Arten vergrößern. Du kannst

  • das Verhältnis von %%r%% und %%h%% so belassen wie bei deiner ursprünglichen Eistüte. Dabei würdest du %%r%% und %%h%% mit dem gleichen Faktor %%a%% multiplizieren, also %%r%% durch %%a\cdot r%% und %%h%% durch %%a \cdot h%% ersetzen.

  • das Verhältnis von %%r%% und %%h%% verändern und die Form deiner Eistüte verzerren. Zum Beispiel könntest du den dreifachen Radius %%3r%% und die halbe Höhe %%\dfrac{h}{2}%% nehmen.

Nimm hier an, dass du die ursprüngliche Form der Eistüte beibehalten möchtest.

Aufstellen einer Gleichung

Du kannst bereits das Volumen einer Eistüte berechnen, wenn du %%r%% und %%h%% kennst.

Nun ist der Radius und die Höhe der größeren Eistüte aber unbekannt. Du multiplizierst Höhe und Radius mit einer Zahl %%a%%, die du noch nicht kennst.

Du musst %%a%% so wählen, dass das Volumen genau %%1\,\text{l} = 1000\,\text{cm}^3%% ist, was zu folgender Gleichung führt: $$V_{\text{große Eistüte}} = \dfrac{1}{3} \pi (ar)^2 (ah) = 1000 \,\text{cm}^3 = 1 \,\text{l}$$

Lösen einer Gleichung mit einer Unbekannten

$$\begin{array}{rcll} \dfrac{1}{3} \pi (ar)^2 (ah) & = & 1000 \,\text{cm}^3 & \left|\quad \text{Vereinfache die linke Seite}\right. \\ \dfrac{\pi}{3} r^2h \cdot a^3 & = & 1000 \,\text{cm}^3 & \left| :(\dfrac{\pi}{3} rh) \right. \\ a^3 & = & \dfrac{3000 \, \text{cm}^3}{\pi r^2h} & \left| \quad\text{Ersetze }r\text{ und } h \text{ durch die Werte aus Teil 1} \right. \\ a^3 & = & \dfrac{3000\, \text{cm}^3}{\pi\cdot (3\,\mathrm{cm})^2\cdot 16\, \mathrm{cm}} & \\ a^3 & \approx & 6,63 & \left|\sqrt[3]{}\right. \\ a & \approx & 1,88& \end{array}$$

Also müsstest du dir deine Eiswaffel mit einem Volumen von %%0,15%% Litern etwas weniger als doppelt so breit und hoch vorstellen, um das Volumen auf %%1%% Liter zu erhöhen!

Berechne Volumen und Masse des Stahlteils. Alle Längen sind in Millimeter angegeben.

Dichte:  %%\rho_{Stahl}=7,85\frac{kg}{dm^3}%%

03_des

Das Stahlteil setzt sich aus einem Quader und einem Zylinder zusammen. Berechne so zunächst die Volumina der beiden Einzelelemente. Nach Ermittlung des Gesamtvolumens wird die Masse über die Dichte bestimmt.

Volumenberechnung

Zur Berechnung des Quadervolumens rechne die Längen in Dezimeter um und multipliziere Länge, Breite und Höhe des Quaders.

-- %%V_Q=1,5dm\cdot1,2dm\cdot2,5dm=4,5dm^3%%

Rechne die Längen in Dezimeter um und berechne das Volumen des Zylinders mit der bekannten Formel.

%%V_Z=\frac{(0,5dm)^2\cdot\mathrm\pi}4\cdot3,0dm=0,589dm^3%%

Für das Gesamtvolumen gilt nun:

%%V_{Ges}=V_Q+V_Z=4,5dm^3+0,589dm^3=5,089dm^3%%

Bestimmung der Masse

Stelle die Dichteformel nach der Masse %%m%% um und ermittle die Masse als Produkt von Dichte %%\rho%% und Volumen %%V%%.

%%\rho=\frac mV\;\Leftrightarrow m=\rho\cdot V%%

%%m=\rho_{Stahl}\cdot V=7,85\frac{kg}{dm^3}\cdot5,089dm^3=39,949kg%%

Berechne Volumen und Masse des Kupferteils. Das Material ist 12 mm dick.

Dichte:  %%\rho_{Kupfer}=8,96\frac{kg}{dm^3}%%

04_des

Vorgehensweise:

Rechne zunächst die Längen in Dezimeter um. Berechne dann die Kreis-, Quadrat- und Lochfläche. Ermittle danach die Gesamtfläche, sowie das Volumen. Über das Volumen erhälst du dann mit der Dichte das Volumen.

Berechnung der Kreisfläche. Mit einem Durchmesser %%d=3dm%% gilt:

%%A_{Kreis}=\frac{(3dm)^2\cdot\mathrm\pi}4=7,069dm^2%%

Berechnung der Quadratfläche. Mit einer Seitenlänge %%a=1,4\,dm%% gilt:

%%A_{Quadrat}=1,4dm\cdot1,4dm=1,96dm^2%%

Berechnung der Lochfläche. Die Löcher sind kleiner Kreise mit einem Durchmesser %%d=0,4\,dm%%.

%%A_{Loch}=\frac{(0,4dm)^2\cdot\mathrm\pi}4=0,126dm^2%%

Berechnung der Gesamtfläche

Aus der Skizze lässt sich entnehmen, dass der Aufriss gerade ein großer Kreis ohne ein mittleres Quadrat und vier kleinere kreisförmige Löcher ist. So gilt für die Fläche des Aufrisses %%A_{Ges}%%:

%%A_{Ges}=A_{Kreis}-A_{Quadrat}-4\cdot A_{Loch}=7,069dm^2-1,96dm^2-4\cdot0,126dm^2%%

%%=4,605dm^2%%

Berechnung des Volumens

Das Volumen des Kupferstücks bestimmt sich als Produkt der Aufrissfläche und der Dicke. Somit gilt mit Dicke %%0,12dm%%:

--

%%V=A_{Ges}\cdot0,12dm=4,605dm^2\cdot0,12dm=0,553dm^3%%

Berechnung der Masse

Stelle die Dichteformel nach der Masse %%m%% um und ermittle die Masse als Produkt von Dichte %%\rho%% und Volumen %%V%%.

%%\rho=\frac mV\;\Leftrightarrow m=\rho\cdot V%%

%%m=\rho_{Kupfer}\cdot V=8,96\frac{kg}{dm^3}\cdot0,553dm^3=4,955kg%%

Ein Stahlrohr ist 10 m lang (%%L = 10\,m%%), hat einen Außendurchmesser von %%D = 20\,cm%% und einen Innendurchmesser von %%d = 160\,mm%%.

Berechnen Sie das Volumen, die Masse und die Wandstärke des Rohres.

%%\rho_{Stahl}=7,85\frac{kg}{dm^3}%%

05_des

Volumenberechnung

Rechne zunächst die Längen in Dezimeter um. Berechne dann das Volumen des Stahlrohrs als Produkt vom Aufriss und der Länge. Der Aufriss ist ein Kreisring, dessen Flächeninhalt als Differenz der Flächeninhalte des größeren und des kleineren Kreises ermittelt wird.

%%\begin{array}{l}V=\lbrack(\frac D2)^2\cdot\mathrm\pi-(\frac d2)^2\cdot\mathrm\pi\rbrack\cdot L=\frac{(D^2-d^2)\cdot\mathrm\pi}4\cdot L=\\=\frac{\lbrack(2dm)^2-(1,6dm)^2\rbrack}4\cdot\pi\cdot100dm=113,097dm^3\end{array}%%

Berechnung der Masse

Stelle die Dichteformel nach der Masse %%m%% um und ermittle die Masse als Produkt von Dichte %%\rho%% und Volumen %%V%%.

%%\rho=\frac mV\;\Leftrightarrow m=\rho\cdot V%%

%%m=\rho_{Stahl}\cdot V=7,85\frac{kg}{dm^3}\cdot113,097dm^3=887,811kg%%

Berechnung der Wandstärke

Ermittle die Wandstärke als halbe Differenz von Außendurchmesser und Innendurchmesser des Rohrs.

%%\frac{D-d}2=\frac{2dm-1,6dm}2=0,2dm=20mm%%

Das Bild zeigt eine gerade Pyramide mit einem Quadrat als Grundfläche. Der Punkt C halbiert die Höhe h. 

Die Winkel im Dreieck ABC hängen nicht von a ab. Berechne jeweils in Abhängigkeit von a

  1. das Volumen der Pyramide, 

  2. den Oberflächeninhalt der Pyramide.

  3. die drei Seitenlängen im Dreieck ABC.

  4. Berechne die Winkel im Dreieck ABC. 

  5. Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks ABC in Vielfachen von a2 

Pyramide

Das Bild zeigt eine gerade Pyramide mit einem Quadrat der Kantenlänge a als Grundfläche. Die Seitenkanten haben ebenfalls die Länge a.

  1. Zeichne ein Netz der Pyramide für a = 4cm.

  2. Berechne die Höhe h der Pyramide in Vielfachen von a.

  3. Berechne den Oberflächeninhalt O der Pyramide.

Pyramide

Teilaufgabe b

Dreieck

%%h^2+\left(\frac{\sqrt2}2a\right)^2=a^2\;\Rightarrow\;h=\frac{\sqrt2}2a%%

 

Teilaufgabe c

%%\left(h_\bigtriangleup\right)^2+\left(\frac12a\right)^2=a^2\;\Rightarrow\;h_\bigtriangleup=\frac{\sqrt3}2a%%

Die Höhe innerhalb der Dreiecks-Seitenfläche bestimmen.

Satz des Pythagoras  anwenden. 

%%A_\bigtriangleup=\frac12\cdot a\cdot h_\bigtriangleup=\frac{\sqrt3}4a^2%%

Flächeninhalt des  Dreiecks bestimmen.

%%O=4\cdot A_\bigtriangleup+a^2=a^2+4\cdot\frac{\sqrt3}4a^2=\left(1+\sqrt3\right)\cdot a^2%%

Oberflächeninhalt bestimmen.

Das Bild zeigt eine gerade Pyramide mit einem Quadrat der Kantenlänge a als Grundfläche. Die Höhe der Pyramide ist 2a.

  1. Berechne die Länge der Seitenkanten k in Vielfachen von a.

  2. Berechne den Oberflächeninhalt O der Pyramide in Vielfachen von  %%a^2%%

  3. Bestimme a auf Millimeter genau, wenn der Oberflächeninhalt genau %%400cm^2%%  betragen soll.

Pyramide

Teilaufgabe a

Dreieck

%%d=\sqrt{2a^2}=\sqrt2a%%

Diagonale d des Quadrats mit dem Satz des Pythagoras berechnen. 

%%\left(2a\right)^2+\left(\frac{\sqrt2}2a\right)^2=k^2\;\Rightarrow\;k=\frac{3\sqrt2}2a%%

 

Teilaufgabe b

Dreieck

%%k^2=h_\bigtriangleup^2+\left(\frac a2\right)^2%%

%%\left|-\left(\frac a2\right)^2\right.%% (Satz des Pythagoras nach  %%h_\bigtriangleup%%  auflösen)

%%h_\bigtriangleup=\sqrt{k^2-\left(\frac a2\right)^2}=\frac{\sqrt{17}}2a%%

In Flächenformel für Dreiecke einsetzen. 

%%A_\bigtriangleup=\frac12\cdot a\cdot h_\bigtriangleup=\frac{\sqrt{17}}4a^2%%

%%O=a^2+4\cdot F_\bigtriangleup=a^2+\sqrt{17}a^2=\left(1+\sqrt{17}\right)a^2%%

Oberfläche der Pyramide ausrechnen.

 

Teilaufgabe c

%%S=400cm^2%%

Oberfläche gleichsetzen .

%%\left(1+\sqrt{17}\right)a^2=400cm^2%%

%%\left|:\left(1+\sqrt{17}\right)\right.%% ( Gleichung umformen )

%%a^2=\frac{400cm^2}{\left(1+\sqrt{17}\right)}%%

%%\left|\sqrt{}\right.%% ( Gleichung umformen )

%%a=\frac{\sqrt{400cm^2}}{\sqrt{1+\sqrt{17}}}\approx8,8cm%%

 

Ein Würfel und eine gerade Pyramide haben jeweils ein Quadrat der Kantenlange a als Grundfläche. Beide Körper sollen den gleichen Oberflächeninhalt haben.

Wie lang müssen dann die Seitenkanten der Pyramide sein?

Berechne auch die Höhe der Pyramide.

Pyramide+Würfel

Dreieck

%%5a^2=a^2+4\cdot A_\bigtriangleup%%

#

#

Gleichsetzung des Oberflächeninhalts des  Würfels  und der  Pyramide .

%%\left|-a^2\right.%% ( Gleichung umformen )

%%5a^2=4\cdot A_\bigtriangleup%%

Formel für Flächeninhalt eines  Dreiecks für  %%A_\bigtriangleup%% einsetzen.

%%5a^2=2\cdot a\cdot h_\bigtriangleup%%

%%\left|:2a\right.%% ( Gleichung umformen )

showimage.php?formula=60bb0342bf96bad0e4

Höhe des Dreiecks bestimmen.

%%k^2=h_\bigtriangleup^2+\left(\frac12a\right)^2=\frac{25}4a^2+\frac14a^2=\frac{26}4a^2%%

Satz des Pythagoras anwenden.

%%\left|\sqrt{}\right.%% ( Wurzel ziehen )

%%k=\frac{\sqrt{26}}2a%%

Seitenkante k ausrechnen.

%%d=\sqrt{2a^2}=\sqrt2a%%

Diagonale d des Quadrats mit Satz des Pythagoras bestimmen.

Dreieck

%%k^2=h^2+\left(\frac d2\right)^2%%

%%\left|-\left(\frac d2\right)^2\right.%% ( Gleichung umformen )

%%\begin{array}{l}h^2=k^2-\left(\frac d2\right)^2=\frac{26}4a^2-\left(\frac{\sqrt2}2a\right)^2=\\=\frac{26}4a^2-\frac24a^2=\frac{24}4a^2=6a^2\end{array}%%

%%\left|\sqrt{}\right.%% ( Wurzel ziehen )

%%h=\sqrt6a\approx2,45a%%

Höhe der Pyramide h berechnen

Eine gerade Pyramide hat als Grundfläche ein Rechteck mit den Seitenlängen a und b = 2a. Die Höhe der Pyramide beträgt h = 1,5a. 

Berechne die Seitenkantenlängen in Vielfachen von a. 

Berechne den Oberflächeninhalt der Pyramide in Vielfachen von a².

Pyramide

Volumen und Massenberechnung

Dreieck

%%d^2=a^2+\left(2a\right)^2=5a^2%%

Diagonale d des  Rechtecks  mit Satz des Pythagoras bestimmen. %%\left|\sqrt{}\right.%% ( Wurzel ziehen )

%%d=\sqrt5a%%

Diagonale bestimmen.

%%k^2=h^2+\left(\frac d2\right)^2=\left(\frac32a\right)^2+\left(\frac{\sqrt5}2a\right)^2=\frac{14}4a^2%%

Seitenkante k ausrechnen.

Satz des Pythagoras anwenden.

%%\left|\sqrt{}\right.%% ( Wurzel ziehen )

%%k=\frac{\sqrt{14}}2a%%

%%G=b\cdot a=2a\cdot a=2a^2%%

Grundfläche  G berechnen.

%%k^2=h_{\bigtriangleup1}^2+\left(\frac a2\right)^2%%

Höhen %%h_{\bigtriangleup1}%%   der Mantelfläche berechnen.

%%\left|-\left(\frac a2\right)^2\right.%% ( Gleichung umformen )

%%h_{\bigtriangleup1}^2=k^2-\left(\frac a2\right)^2=\frac{14}4a^2-\frac14a^2=\frac{13}4a^2%%

%%\left|\sqrt{}\right.%% ( Wurzel ziehen )

%%h_{\bigtriangleup1}=\frac{\sqrt{13}}2a%%

%%k^2=h_{\bigtriangleup2}^2+a^2%%

Höhen  %%h_{\bigtriangleup2}%%   der Mantelfläche berechnen.

%%\left|-a^2\right.%% ( Gleichung umformen )

%%h_{\bigtriangleup2}^2=k^2-a^2=\frac{14}4a^2-a^2=\frac{10}4a^2%%

%%\left|\sqrt{}\right.%% ( Wurzel ziehen )

%%h_{\bigtriangleup1}=\frac{\sqrt{10}}2a%%

%%m_1=\frac12\cdot a\cdot h_{\bigtriangleup1}=\frac12\cdot a\cdot\frac{\sqrt{13}}2a=\frac{\sqrt{13}}4a^2%%

Mantelfläche   %%m_1%%  berechnen.

%%m_2=\frac12\cdot b\cdot h_{\bigtriangleup2}=\frac12\cdot2a\cdot\frac{\sqrt{10}}2a=\frac{\sqrt{10}}2a^2%%

Mantelfläche   %%m_2%%  berechnen.

%%\begin{array}{l}O=G+2\cdot m_1+2\cdot m_2=2a^2+2\cdot\frac{\sqrt{13}}4a^2+2\cdot\frac{\sqrt{10}}2a^2=\\=\left(2+\frac{\sqrt{13}}2+\sqrt{10}\right)a^2\approx6,97a^2\end{array}%%

Oberflächeninhalt O berechnen.

Distributivgesetz anwenden.

Die rechteckige Grundfläche eines Ölbehälters hat die Maße a=60cm und b=40cm.

Der Behälter ist mit V=140 Liter Öl gefüllt.

Welche Höhe h hat der Ölspiegel in cm?

Volumen und Massenberechnung

%%V=140\;l%%

Volumen in %%dm^3%% umrechnen .

%%V=140dm^3%%

%%dm^3%% in %%cm^3%% umrechnen .

%%V=140\;000cm^3%%

%%V=a\cdot b\cdot h%%

%%\left|:\left(a\cdot b\right)\right.%%

%%h=\frac V{a\cdot b}%%

a, b und V einsetzen.

%%h=\frac{140\;000cm^3}{60cm\cdot40cm}%%

%%h=58,\overline3cm\approx58cm%%

Berechne Volumen und Oberfläche, wenn der Körper jeweils die Höhe %%\mathrm h=5\;\mathrm{cm}%% hat:

  1. Prisma mit gleichschenkligem Dreieck als Grundfläche, Schenkellänge %%3\;\mathrm{cm}%% und Basis %%2\;\mathrm{cm}%% .

  2. Zylinder mit Radius %%\mathrm r=3\;\mathrm{cm}%%

  3. Gerade Pyramide (alle Seitenkanten gleich lang) mit Quadrat der Kantenlänge %%24\;\mathrm{cm}%% als Grundfläche.

  4. Kegel mit Radius %%\mathrm r=3\;\mathrm{cm}%%

Volumen- und Oberflächenberechnung

1. Teilaufgabe: Berechnungen am Prisma

Volumen

%%\begin{array}{l}{\mathrm V}_\mathrm{Prisma}=\mathrm G\cdot\mathrm h\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;={\mathrm A}_\mathrm{Dreieck}\cdot\mathrm h\end{array}%%

Allgemeine Volumenformel für Prismen auf gegebenes Prisma anwenden, indem man den Flächeninhalt des gleichschenkligen Dreiecks für die Grundfläche einsetzt.

%%\begin{array}{l}{\mathrm A}_{\mathrm{Dreieck}\;}=\frac12\cdot\mathrm{Basis}\cdot{\mathrm h}_\mathrm{Dreieck}\end{array}%%

Allgemeine Flächenformel des Dreiecks.

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Die Höhe des Dreiecks %%{\mathrm h}_\mathrm{Dreieck}%% kann mit Hilfe des Satzes des Pythagoras berechnet werden.

%%(\mathrm{h}_\mathrm{Dreieck})^2=\left(3\mathrm{cm}\right)^2-\left(1\mathrm{cm}\right)^2\\\Leftrightarrow{\mathrm h}_\mathrm{Dreieck}=\sqrt{8\mathrm{cm}^2}=\sqrt8\mathrm{cm}%%

Vereinfachen und ausrechnen

Einsetzen der bekannten Seitenlängen in die Gleichung für %%{\mathrm A}_\mathrm{Dreieck}%%

%%\begin{array}{l}\begin{array}{l}{\mathrm A}_{\mathrm{Dreieck}\;}=\frac12\cdot2\mathrm c\mathrm m\cdot\sqrt8\mathrm{cm}\end{array}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;\sqrt8\mathrm{cm}^2\end{array}%%

Zusammenfassen

Einsetzen in die Volumformel des Prismas

%%\begin{array}{l}\begin{array}{l}{\mathrm V}_\mathrm{Prisma}=\sqrt8\mathrm{cm}^2\cdot5\mathrm{cm}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=5\sqrt8\mathrm{cm}^3\end{array}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\approx14,14\mathrm{cm}^3\end{array}%%

Ausrechnen

Runden auf zwei Nachkommerstellen

Oberflächeninhalt

%%{\mathrm O}_\mathrm{Prisma}=2\cdot\mathrm G+\mathrm M%%

Allgemeine Oberflächenformel für Prismen auf gegebenes Prisma anwenden, indem die man die Flächeninhalte der rechteckigen Seitenflächen addiert und für die Mantelfläche M einsetzt.

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%%\begin{array}{l}{\mathrm O}_\mathrm{Prisma}=2\cdot{\mathrm A}_\mathrm{Dreieck}+{\mathrm S}_1+{\mathrm S}_2+{\mathrm S}_3\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=2\cdot\sqrt8\mathrm{cm}^2+\left(3\mathrm{cm}\cdot5\mathrm{cm}\right)+\left(3\mathrm{cm}\cdot5\mathrm{cm}\right)+\left(2\mathrm{cm}\cdot5\mathrm{cm}\right)\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=2\sqrt8\mathrm{cm}^2+40\mathrm{cm}^2\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\approx45,66\;\mathrm{cm}^2\end{array}%%

Einsetzen der bekannten Werte

Ausrechnen und runden auf zwei Nachkommastellen

Die nebenstehende Figur rotiert um die Achse A.

Berechne das Volumen des Rotationskörpers in Abhängigkeit von a.

7673_uroG79JEPo.xml

%%{\mathrm V}_\mathrm{Rotationskörper}=\;{\mathrm V}_{\mathrm{großer}\;\mathrm{Zylinder}}-\;{\mathrm V}_{\mathrm{kleiner}\;\mathrm{Zylinder}}+\;{\mathrm V}_\mathrm{Kegel}%%

Durch die Rotation entsteh ein Kegel auf einem großen Zylinder, aus dem ein Kleinerer ausgeschnitten wurde.

%%\begin{array}{l}{\mathrm V}_{\mathrm{Kegel}\;}=\frac13\cdot\;({\mathrm r}_\mathrm{Kegel})^2\cdot\mathrm\pi\cdot{\mathrm h}_\mathrm{Kegel}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;\frac13\;\cdot\;(2\mathrm a)^2\;\cdot\mathrm\pi\cdot\mathrm a\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;\frac13\cdot4\mathrm a^2\cdot\mathrm\pi\cdot\mathrm a\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac43\mathrm a^3\cdot\mathrm\pi\end{array}%%

Einsetzen der bekannten Größen in die allgemeine Volumenformel des Kegels

Auflösen der Klammer

Zusammenfassen

%%\begin{array}{l}{\mathrm V}_{\mathrm{großer}\;\mathrm{Zylinder}}=\;({\mathrm r}_{\mathrm{großer}\;\mathrm{Zylinder}})^2\;\cdot\mathrm\pi\cdot{\mathrm h}_{\mathrm{großer}\;\mathrm{Zylinder}}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;(2\mathrm a)^2\cdot\mathrm\pi\cdot\mathrm a\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;4\mathrm a^2\cdot\mathrm\pi\cdot\mathrm a\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;4\mathrm a^3\cdot\mathrm\pi\end{array}%%

Einsetzen der bekannten Größen in die allgemeine Volumenformel des Zylinders

Auflösen der Klammer

Zusammenfassen

%%\begin{array}{l}{\mathrm V}_{\mathrm{kleiner}\;\mathrm{Zylinder}}=\;({\mathrm r}_{\mathrm{kleiner}\;\mathrm{Zylinder}})^2\cdot\mathrm\pi\cdot{\mathrm h}_{\mathrm{kleiner}\;\mathrm{Zylinder}}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;\mathrm a^2\;\cdot\mathrm\pi\cdot\mathrm a\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;\mathrm a^3\;\cdot\mathrm\pi\end{array}%%

Einsetzen der bekannten Größen in die allgemeine Volumenformel des Zylinders

Zusammenfassen

Zusammenführen aller Ergebnisse in die ursprüngliche Gleichung

%%\begin{array}{l}{\mathrm V}_\mathrm{Rotationskörper}=\;4\mathrm a^3\cdot\mathrm\pi\;-\;\mathrm a^3\cdot\mathrm\pi\;+\;\frac43\cdot\mathrm a^3\cdot\mathrm\pi\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;4\frac13\cdot\mathrm a^3\cdot\mathrm\pi\end{array}%%

Zusammenfassen

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