Aufgaben
Die Gerade y=7xy=-7x wird an der xx-Achse gespiegelt und anschließend um 33 Einheiten nach unten verschoben. Wie lautet die neue Gleichung?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktion

Stelle lineare Funktionsgleichung auf
Zeichne die Funktion y(x)=7xy(x) = -7x.
Graph Funktion Gerade
Spiegele die Funktion an der xx-Achse.
Graph Funktion Gerade und Spiegelung der Gerade
Lese die neue Funktionsgleichung ab.
Die Funktionsgleichung lautet y(x)=7xy(x) = 7 x.
Verschiebe die Gerade um 33 Einheiten nach unten.
Graph mit Gerade, Spiegelung der Gerade und Verschiebung der Gerade
Dadurch ändert sich der y-Achsenabschnitt der Funktion. Stelle die neue Funktionsgleichung auf.

Ergebnis

Die Funktionsgleichung lautet y(x)=7x3.\displaystyle y(x) = 7x -3.

Folgende Abbildungen enthalten Graphen von linearen Funktionen.

Bestimmen Sie die Funktionsterme.

Aufgabenstellung a

Lineare Funktion f(x)

Stelle die allgemeine Form einer linearen Funktion auf.

%%f(x)=m \cdot x+t%%

Lies den y-Achsenabschnitt an der Abbildung ab.

%%t = 2%%

Lies die Steigung an der Abbildung ab.
Zeichne dazu ein Steigungsdreieck.

%%\displaystyle m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}%%

Lies zwei Punkte auf dem Graphen der linearen Funktion ab.

%%P1: (-3,0)%%
%%x_1= -3%%, %%y_1 = 0%%

%%P2: (0,2)%%
%%x_2= 0%%, %%y_2 = 2%%

Berechne die Steigung.

%%\displaystyle m = \frac{2 - 0}{0 - (-3)} = \frac{2}{3}%%

Gib den Funktionsterm an.

%%f(x) = \frac{2}{3}\cdot x + 2%%

Lineare Funktion g(x)

Stelle die allgemeine Form einer linearen Funktion auf.

%%g(x)=m \cdot x+t%%

Lies die Steigung an der Abbildung ab.
Zeichne dazu ein Steigungsdreieck.

%%\displaystyle m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}%%

Lies zwei Punkte auf dem Graphen der linearen Funktion ab.

%%P1: (2 , -4)%%
%%x_1= 2%%, %%y_1 = -4%%

%%P2: (3,5 , 0)%%
%%x_2= 3,5%%, %%y_2 = 0%%

Berechne die Steigung.

%%\displaystyle m = \frac{0 - (-4)}{3,5 - 2} = \frac{4}{1,5} = 4 \cdot \frac{2}{3} = \frac{8}{3}%%

Da der y-Achsenabschnitt nicht sichtbar ist, berechne ihn. Stelle daher die Geradengleichung auf.

%%\displaystyle y(x) = \frac{8}{3} \cdot x + t%%

Setze den Punkt %%(2,-4)%% ein.

%%\displaystyle -4 = \frac{8}{3} \cdot 2 + t%%

Löse nach %%t%% auf.

%%\displaystyle t = -4- \frac{8}{3} \cdot 2 = -\frac{12}{3}- \frac{16}{3} = -\frac{28}{3}%%

Gib den Funktionsterm an.

%%\displaystyle g(x)=\frac{8}{3} \cdot x - \frac{28}{3}%%

Lineare Funktion h(x)

Stelle die allgemeine Form einer linearen Funktion auf.

%%h(x)=m \cdot x+t%%

Lies die Steigung an der Abbildung ab.
Zeichne dazu ein Steigungsdreieck.

%%\displaystyle m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}%%

Lies zwei Punkte auf dem Graphen der linearen Funktion ab.

%%P1: (0 , -2)%%
%%x_1= 0%%, %%y_1 = -2%%

%%P2: (4 ,-3)%%
%%x_2= 4%%, %%y_2 = -3%%

Berechne die Steigung.

%%\displaystyle m = \frac{-3 - (-2)}{4 - 0} = \frac{-3 + 2}{4} = -\frac{1}{4}%%

Lese entweder %%t=-2%% ab oder berechne ihn. Um ihn zu berechnen, stelle die Geradengleichung auf.

%%\displaystyle y(x) = -\frac{1}{4} \cdot x + t%%

Setze den Punkt %%(4,-3)%% ein.

%%\displaystyle -3 = -\frac{1}{4} \cdot 4 + t%%

Löse nach %%t%% auf.

%%t = -3 + 1 = -2%%

Gib den Funktionsterm an.

%%\displaystyle h(x) = -\frac{1}{4} \cdot x -2%%

Aufgabenstellung b

Lineare Funktion f(x)

Stelle die allgemeine Form einer linearen Funktion auf.

%%f(x)=m \cdot x+t%%

Lies die Steigung an der Abbildung ab.
Konstruiere dazu ein Steigungsdreieck.

%%\displaystyle m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}%%

Lies zwei Punkte auf dem Graphen der linearen Funktion ab.

%%P1: (2,4)%%
%%x_1= 2%%, %%y_1 = 4%%

%%P2: (2,5 , 0)%%
%%x_2= 2,5%%, %%y_2 = 0%%

Berechne die Steigung.

%%\displaystyle m = \frac{0 - 4}{2,5 - 2} = \frac{-4}{0,5} = -4 \cdot \frac{2}{1} = -8%%

Da der y-Achsenabschnitt nicht sichtbar ist, berechne ihn. Stelle daher die Geradengleichung auf.

%%\displaystyle y(x) = -8 \cdot x + t%%

Setze den Punkt %%(2,4)%% ein.

%%\displaystyle 4 = -8 \cdot 2 + t%%

Löse nach %%t%% auf.

%%\displaystyle t = 4 + 8 \cdot 2 = 4 + 16 = 20%%

Gib den Funktionsterm an.

%%f(x) = -8\cdot x + 20%%

Lineare Funktion g(x)

Stelle die allgemeine Form einer linearen Funktion auf.

%%g(x)=m \cdot x+t%%

Lies die Steigung an der Abbildung ab.
Konstruiere dazu ein Steigungsdreieck.

%%\displaystyle m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}%%

Lies zwei Punkte auf dem Graphen der linearen Funktion ab.

%%P1: (0 , -2)%%
%%x_1= 0%%, %%y_1 = -2%%

%%P2: (-4 , -3)%%
%%x_2= -4%%, %%y_2 = -3%%

Berechne die Steigung.

%%\displaystyle m = \frac{-3 - (-2)}{-4 - 0} = \frac{-3 +2}{-4} = \frac{1}{4}%%

Lies den y-Achsenabschnitt an der Abbildung ab.

%%t = -2%%

Gib den Funktionsterm an.

%%\displaystyle g(x)=\frac{1}{4} \cdot x - 2%%

Funktiongleichung bestimmen.

Eine Gerade hat die Steigung  %%a_1%%  und verläuft durch den Punkt P. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung f(x), die Achsenschnittpunkte und zeichnen Sie den Graphen.

%%{\mathrm a}_1=\frac12%%             %%\mathrm P\left(4|-2\right)%%

Bestimmung der Funktionsgleichung

Allgemeine Geradengleichung: %%y=m\cdot x+t%%

hier ist %%m=a_{1}%%

%%\mathrm f\left(\mathrm x\right)=\mathrm a_{1}\cdot\mathrm x+\mathrm t%%

Setze  %%{\mathrm a}_1=\frac12%%  in die allgemeine Geradengleichung ein.

%%\mathrm f\left(\mathrm x\right)=\frac12\mathrm x+\mathrm t%%

Setze P in f(x) ein.

%%-2=\frac12\cdot4+\mathrm t%%

%%\left|-2\right.%%  (löse nach t auf)

%%\mathrm t=-4%%

Setze t in f(x) ein.

%%\mathrm f\left(\mathrm x\right)=\frac12\mathrm x-4%%

Bestimmung des Schnittpunkts mit der y-Achse

Gesucht ist der sogenannte y-Achsenabschnitt (hier: t), also wo y=f(0)= 0 und x=0 ist.

Da die allgemeine Geradengleichung

%%f(x)=m\cdot x+t%% lautet, gilt immer für

%%f(0)=m\cdot0+t=t%%.

Hier ist t= -4

%%\Rightarrow%% Schnittpunkt mit der y-Achse bei %%\left(0/-4\right)%%

Bestimmung des Schnittpunkts mit der x-Achse

%%\mathrm f\left(\mathrm x\right)=0%%

Gesucht ist hier ein x mit f(x) =0 und somit y=0 ist. Setze Funktionsgleichung gleich 0.

%%\frac12\mathrm x-4=0%%

%%\left|+4\right.%%

%%\frac12\mathrm x=4%%

%%\left|:\frac12\right.%%

%%\mathrm x=\frac4{\displaystyle\frac12}%%

 

Du dividierst durch einen Bruch %%\rightarrow%%   Multipliziere mit dem Kehrwert.

%%\mathrm x=4\cdot2=8%%

   %%\Rightarrow%%  Schnittpunkt mit der x-Achse bei  %%\left(8/0\right)%%

 

Zeichnung

Plot der linearen Funktion

%%{\mathrm a}_1=\frac34\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathrm P\left(-1/3\right)%%

Bestimmung der Funktionsgleichung

Allgemeine Gereadengleichung:

%%\mathrm f(\mathrm x)=\mathrm a_{2}\cdot\mathrm x+\mathrm t%%

t: y-Achsenabschnitt

Setze  %%{\mathrm a}_2=\frac34%%  in die allgemeine Geradengleichung ein.

%%\mathrm f(\mathrm x)=\frac34\mathrm x+\mathrm t%%

Setze P(-1/3) in f(x) ein.

%%3=\frac34\cdot\left(-1\right)+\mathrm t%%

%%3=-\frac34+\mathrm t%%

%%\left|+\frac34\right.%%

%%\mathrm t=3+\frac34%%

%%\mathrm t=3,75%%

Setze t in f(x) ein.

%%\mathrm f(\mathrm x)=\frac34\mathrm x-3,75%%

Bestimmung der Achsenschnittpunkte

Setze f(x)=0, um die Nullstellen zu bestimmen.

%%\frac34\mathrm x-3,75=0%%

%%\left|+3,75\right.%%

%%\frac34\mathrm x=3,75%%

%%\left|:\frac34\right.%%

%%\mathrm x=3,75:\frac34%%

Du dividierst durch einen Bruch  %%\rightarrow%%   Multipliziere mit dem Kehrwert.

%%\mathrm x=3,75\cdot\frac43%%

%%x=5%%

%%\Rightarrow%% Schnittpunkt mit der x-Achse bei (5,0)

Der y-Achsenabschnitt entspricht dem Schnittpunkt mit der y-Achse.

%%\Rightarrow%% Schnittpunkt mit der y-Achse bei (0,-3,75)

Zeichung

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/6348_VhY2Zs0H43.xml

%%{\mathrm a}_1=2\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathrm P\left(3/-1\right)%%

Bestimmung der Funktionsgleichung

Allgemeine Geradengleichung: Hier mit %%m=a_{3}%%

%%\mathrm f(\mathrm x)=\mathrm a_{3}\cdot\mathrm x+\mathrm t%%

t: y-Achsenabschnitt

Setze  %%{\mathrm a}_3=2%%  in die allgemeine Geradengleichung ein.

%%\mathrm f(\mathrm x)=2\mathrm x+\mathrm t%%

Setze P(3/-1) in f(x) ein.

%%-1=2\cdot3+\mathrm t%%

%%-1=6+\mathrm t%%

%%\left|-6\right.%%

%%\mathrm t=-1-6%%

%%\mathrm t=-7%%

Setze t in f(x) ein.

%%\mathrm f(\mathrm x)=2\mathrm x-7%%

Bestimmung der Achsenschnittpunkte

Setze f(x)=0, um die Nullstellen zu bestimmen.

%%2\mathrm x-7=0%%

%%\left|+7\right.%%

%%2\mathrm x=7%%

%%\left|:2\right.%%

%%\mathrm x=7:2%%

%%x=\frac 7 2=3,5%%

%%\Rightarrow%% Der Schnittpunkt mit der x-Achse bei %%(\frac 7 2,0)%%.

Der y-Achsenabschnitt entspricht dem Schnittpunkt mit der y-Achse.

%%\Rightarrow%% Schnittpunkt mit der y-Achse bei (0,-7)

  

Zeichnung

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/6350_ufOpT5liEV.xml

%%{\mathrm a}_1=\frac45\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathrm P\left(\frac32/4\right)%%

Bestimmung der Funktionsgleichung

Allgemeine Geradengleichung:

%%\mathrm f(\mathrm x)=\mathrm a_{4}\cdot\mathrm x+\mathrm t%%

t: y-Achsenabschnitt

Setze  %%{\mathrm a}_4=\frac45%%  in die allgemeine Geradengleichung ein.

%%\mathrm f(\mathrm x)=\frac45\mathrm x+\mathrm t%%

Setze  %%\mathrm P\left(\frac32/4\right)%%  in f(x) ein.

%%4=\frac45\cdot\frac32+\mathrm t%%

Kürze den Bruch mit 2.

%%4=\frac25\cdot3+\mathrm t%%

%%4=\frac65+\mathrm t%%

%%\left|-\frac65\right.%%

%%\mathrm t=4-\frac65%%

Schreibe 4 als Bruch mit 4 im Nenner.

%%\mathrm t=\frac{20}5-\frac65%%

%%\mathrm t=\frac{14}5=2,8%%

Setze t in f(x) ein.

%%\mathrm f(\mathrm x)=\frac45\mathrm x+2,8%%

 

Bestimmung der Achsenschnittpunkte

Setze f(x)=0, um die Nullstellen zu bestimmen.

%%\frac45\mathrm x+2,8=0%%

%%\left|-2,8\right.%%

%%\frac45\mathrm x=-2,8%%

%%\left|:\frac45\right.%%

%%\mathrm x=-2,8:\frac45%%

%%{\mathrm x}_\mathrm =-\frac 7 2= -3,5%%

%%\Rightarrow%% Der Schnittpunkt mit der x-Achse bei %%(-\frac 7 2,0)%%

Der y-Achsenabschnitt entspricht dem Schnittpunkt mit der y-Achse.

Hier ist %%t=2,8=\frac {14}{5}%%

%%\Rightarrow%%   Schnittpunkt mit der y-Achse bei %%(0,\frac {14}{5})%%.

Zeichnung

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/6354_l2wZiNbUj4.xml

Funktionsgleichung bestimmen.

Eine Gerade verläuft durch die Punkte  %%P_1%%  und  %%P_2%% . Bestimmen Sie die Funktionsgleichung f(x), die Achsenschnittpunkte und zeichnen Sie den Graphen.

%%{\mathrm P}_1\left(2|1\right)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\mathrm P}_2=\left(5|4\right)%%

Bestimmung der Funktionsgleichung

%%\mathrm y=\mathrm m\cdot\mathrm x+\mathrm t%%

Setze %%{\mathrm P}_1%% und %%{\mathrm P}_2%% in die allgemeine Geradengleichung ein.

%%\begin{array}{l}1)\;1=\mathrm m\cdot2+\mathrm t\\2)\;4=\mathrm m\cdot5+\mathrm t\end{array}%%

Wende das Additionsverfahren an.

%%1)-\;2)\;-3=-3\mathrm m%%

%%\left|:(-3)\right.%%

%%\mathrm m=1%%

Setze m in 1) ein.

%%1=1\cdot2+\mathrm t%%

%%\left|-2\right.%%

%%\mathrm t=-1%%

Setze t und m in die allgemeine Geradengleichung ein.

%%\mathrm y=\mathrm x-1\;\Rightarrow\;\mathrm f(x)=x-1%%

Alternative Rechnung

Bestimme die Geradensteigung mit Hilfe des Differenzenquotioneten.

%%\Rightarrow m=\frac{4-1}{5-2}=\frac33=1%%

Setze nun einen der beiden Punkte und m in die allgemeine Geradengleichung.

%%1=1\cdot2+t\Rightarrow t=-1%%

Die Geradengleichung lautet also:

%%y=x-1%%

Bestimmung der Achsenschnittpunkte

Setze y=0, um den Schnittpunkt mit der x-Achse zu bestimmen

%%\mathrm x-1=0%%

%%\left|+1\right.%%

%%{\mathrm x}_\mathrm N=1%%

Der Schnittpunkt mit der x-Achse ist %%\mathrm S_1\left(1|0\right)%%

Der Schnittpunkt mit der y-Achse entspricht dem y-Achsenabschnitt (t) %%\;\;\Rightarrow\;\;\mathrm S_2\left(0|-1\right)%%

Zeichnung

  • Verbinde entweder die beiden Achsenschnittpunkte %%\mathrm S_1%% und %%\mathrm S_2%%,

  • oder die beiden vorgegebenen Punkte %%\mathrm P_1%% und %%\mathrm P_2%%.

  • Oder Wähle einen dieser Punkte und gehe entsprechend der Steigung eins nach rechts und eins nach oben und verbinde diese beiden Punkte.

Bild Zeichnung der Lösungsgerade

%%{\mathrm P}_1\left(-3|-2\right)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\mathrm P}_2\left(2\,|\,3\right)%%

Bestimmung der Funktionsgleichung

%%\mathrm y=\mathrm m\cdot\mathrm x+\mathrm t\\%%

Setze %%{\mathrm P}_1%% und %%{\mathrm P}_2%% in die allgemeine Geradengleichung ein.

%%\begin{array}{l}1)\;-2=\mathrm m\cdot(-3)+\mathrm t\\2)\;3=\mathrm m\cdot2+\mathrm t\end{array}\\%%

Wende das Additionsverfahren an.

%%1)-\;2)\;-5=-5\mathrm m\\%%

%%\left|:(-5)\right.%%

%%\mathrm m=1\\%%

Setze m in 2) ein.

%%3=2+\mathrm t\\%%

%%\left|-2\right.%%

%%\mathrm t=1\\%%

Setze m und t in die allgemeine Geradengleichung ein.

%%\mathrm y=\mathrm x+1\Rightarrow\mathrm f(x)=x+1%%

Alternative Rechnung

Bestimme die Geradensteigung mit Hilfe des Differenzenquotioneten.

%%\Rightarrow m=\frac{3-(-2)}{2-(-3)}=\frac55=1%%

Setze nun einen der beiden Punkte und m in die allgemeine Geradengleichung.

%%-2=1\cdot(-3)+t\,\Rightarrow\, t=1%%

Die Geradengleichung lautet also:

%%y=x+1%%

Bestimmung der Achsenschnittpunkte

Setze y=0, um den Schnittpunkt mit der x-Achse zu bestimmen

%%\mathrm x+1=0\\%%

%%\left|-1\right.%%

%%{\mathrm x}_\mathrm N=-1%%

Der Schnittpunkt mit der x-Achse ist %%\mathrm S_1(-1\,|\,0)%%.

Der Schnittpunkt mit der y-Achse entspricht dem y-Achsenabschnitt  %%\Rightarrow\;\mathrm S\left(0\,|\,1\right)%%

Zeichnung

  • Verbinde entweder die beiden Achsenschnittpunkte %%\mathrm S_1%% und %%\mathrm S_2%%,

  • oder die beiden vorgegebenen Punkte %%\mathrm P_1%% und %%\mathrm P_2%%.

  • Oder Wähle einen dieser Punkte und gehe entsprechend der Steigung eins nach recht und eins nach oben und verbinde diese beiden Punkte.

Zeichnung der Lösungsgerade

%%{\mathrm P}_1\left(-2,|\,3\right)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\mathrm P}_2\left(4\,|-1\right)%%

Bestimmung der Funktionsgleichung

%%\mathrm y=\mathrm{mx}+\mathrm t\\%%

Setze %%{\mathrm P}_1%% und %%{\mathrm P}_2%% in die allgemeine Geradengleichung ein.

%%\begin{array}{l}1)\;3=-2\mathrm m+\mathrm t\\2)\;-1=4\mathrm m+\mathrm t\end{array}\\%%

Wende das Additionsverfahren an.

%%1)-\;2)\;4=-6\mathrm m\\%%

%%\left|:(-6)\right.%%

%%\mathrm m=\frac4{-6}\\%%

Kürze mit 2.

%%\mathrm m=-\frac23\\%%

Setze m in 1) ein.

%%3=-2\left(-\frac23\right)+\mathrm t\\%%

%%3=\frac43+\mathrm t\\%%

%%\left|-\frac43\right.%%

%%\mathrm t=3-\frac43\\%%

%%\mathrm t=1\frac23\\%%

Setze m und t in die allgemeine Geradengleichung ein.

%%\mathrm y=-\frac23\mathrm x+1\frac23%%

Alternative Rechnung

Bestimme die Geradensteigung mit Hilfe des Differenzenquotioneten.

%%\Rightarrow m=\frac{(-1)-3}{4-(-2)}=\frac{-4}{6}=-\frac23%%

Setze nun einen der beiden Punkte und m in die allgemeine Geradengleichung.

%%3=-\frac23\cdot(-2)+t\,\Rightarrow\, t=\frac53%%

Die Geradengleichung lautet also:

%%y=-\frac23x+\frac53%%

Bestimmung der Achsenschnittpunkte

Setze y=0, um den Schnittpunkt mit der x-Achse zu erhalten

%%-\frac23\mathrm x+1\frac23=0\\%%

%%\left|-1\frac23\right.%%

%%-\frac23\mathrm x=-1\frac23=-\frac53\\%%

%%\left|:\left(-\frac23\right)\right.%%

%%\mathrm x=\displaystyle\frac{-\frac53}{-\frac23}\\%%

%%{\mathrm x}_\mathrm N=-\frac53\cdot(-\frac32)=\frac52=2,5\\%%

Der Schnittpunkt mit der x-Achse ist %%\mathrm S_1\left(\frac52\,|\,0\right)%%

Schnittpunkt mit der y-Achse entspricht dem y-Achsenabschnitt  %%\Rightarrow\;\;\mathrm S\left(0\,|\,\frac53\right)%%

Zeichnung

  • Verbinde entweder die beiden Achsenschnittpunkte %%\mathrm S_1%% und %%\mathrm S_2%%,

  • oder die beiden vorgegebenen Punkte %%\mathrm P_1%% und %%\mathrm P_2%%.

Zeichnung der Lösungsgerade

%%{\mathrm P}_1\left(-4\,|-1\right)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\mathrm P}_2\left(3\,|\,1\right)%%

Bestimmung der Funktionsgleichung

%%\mathrm y=\mathrm{mx}+\mathrm t\\%%

Setze %%{\mathrm P}_1%% und %%{\mathrm P}_2%% in die allgemeine Geradengleichung ein.

%%\begin{array}{l}1)\;-1=-4\mathrm m+\mathrm t\\2)\;1=3\mathrm m+\mathrm t\end{array}\\%%

Wende das Additionsverfahren an.

%%1)-\;2)\;-2=-7\mathrm m\\%%

%%\left|:\left(-7\right)\right.%%

%%\mathrm m=\frac27\\%%

Setze m in 2) ein.

%%1=\frac27\cdot3+\mathrm t\\%%

%%\left|-\frac67\right.%%

%%\mathrm t=1-\frac67\\%%

%%\mathrm t=\frac17\\%%

Setze m und t in die allgemeine Geradengleichung ein.

%%\mathrm y=\frac27\mathrm x+\frac17\Rightarrow\mathrm f(x)=\frac27x+\frac17%%

Alternative Rechnung

Bestimme die Geradensteigung mit Hilfe des Differenzenquotioneten.

%%\Rightarrow m=\frac{1-(-1)}{3-(-4)}=\frac27%%

Setze nun einen der beiden Punkte und m in die allgemeine Geradengleichung.

%%-1=\frac27\cdot(-4)+t\,\Rightarrow\, t=\frac17%%

Die Geradengleichung lautet also:

%%y=\frac27x+\frac17%%

Bestimmung der Achsenschnittpunkte

Setze y=0, um den Schnittpunkt mit der x-Achse zu bestimmen

%%\frac27\mathrm x+\frac17=0\\%%

%%\left|-\frac17\right.%%

%%\frac27\mathrm x=-\frac17\\%%

%%\left|:\left(\frac27\right)\right.%%

%%\mathrm x=\displaystyle\frac{-\frac17}{\frac27}\\%%

Dividiere die Brüche. %%\rightarrow%% Multipliziere mit dem Kehrwert.

%%\mathrm x=-\frac17\cdot\frac72%%

%%{\mathrm x}_\mathrm N=-\frac12%%

Der Schnittpunkt mit der x-Achse ist %%\mathrm S_1\left(-\frac12\,|\,0\right)%%.

Schnittpunkt mit der y-Achse entspricht dem y-Achsenabschnitt  %%\Rightarrow\;\;\mathrm S_2\left(0\,|\,\frac17\right)%%

Zeichnung

  • Verbinde entweder die beiden Achsenschnittpunkte %%\mathrm S_1%% und %%\mathrm S_2%%,

  • oder die beiden vorgegebenen Punkte %%\mathrm P_1%% und %%\mathrm P_2%%.

  • Oder Wähle einen dieser Punkte und gehe entsprechend der Steigung sieben nach rechts und zwei nach oben und verbinde diese beiden Punkte.

Zeichnung der Lösungsgerade

%%{\mathrm P}_1\left(-3\,|\,\frac92\right)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\mathrm P}_2\left(4\,|-1\right)%%

Bestimmung der Funktionsgleichung

%%\mathrm y=\mathrm{mx}+\mathrm t\\%%

Setze %%{\mathrm P}_1%% und %%{\mathrm P}_2%% in die allgemeine Geradengleichung ein.

%%\begin{array}{l}1)\;\frac92=-3\mathrm m+\mathrm t\\2)\;-1=4\mathrm m+\mathrm t\end{array}\\%%

Wende das Additionsverfahren an.

%%1)-\;2)\;\frac{11}2=-7\mathrm m\\%%

%%\left|:\left(-7\right)\right.%%

%%\mathrm m=\displaystyle\frac{\frac{11}2}{-7}=-\frac{11}{14}\\%%

Setze m in 2) ein.

%%-1=-\frac{11}{14}\cdot4+\mathrm t\\%%

%%-1=-\frac{44}{14}+\mathrm t\\%%

%%\left|+\frac{44}{14}\right.%%

%%\mathrm t=\frac{30}{14}\\%%

Setze m und t in die allgemeine Geradengleichung ein.

%%\mathrm y=-\frac{11}{14}\mathrm x+\frac{30}{14}%%

Alternative Rechnung

Bestimme die Geradensteigung mit Hilfe des Differenzenquotioneten.

%%\Rightarrow m=\displaystyle\frac{-1-\frac92}{4-(-3)}=\frac{-\frac{11}2}{7}=-\frac{11}{14}%%

Setze nun einen der beiden Punkte und m in die allgemeine Geradengleichung.

%%-1=-\frac{11}{14}\cdot4+t\,\Rightarrow\, t=\frac{30}{14}%%

Die Geradengleichung lautet also:

%%y=-\frac{11}{14}x+\frac{30}{14}%%

Bestimmung der Achsenschnittpunkte

Setze y=0, um den Schnittpunkt mit der x-Achse zu bestimmen.

%%-\frac{11}{14}\mathrm x+\frac{30}{14}=0\\%%

%%\left|-\frac{30}{14}\right.%%

%%-\frac{11}{14}\mathrm x=-\frac{30}{14}\\%%

%%\left|:\left(-\frac{11}{14}\right)\right.%%

Dividiere die Brüche. Das heißt multipliziere mit dem Kehrbruch.

%%\mathrm x=-\frac{30}{14}\cdot\left(-\frac{14}{11}\right)\\%%

Multipliziere.

%%{\mathrm x}_\mathrm N=\frac{30}{11}%%

Der Schnittpunkt mit der x-Achse ist %%\mathrm S_1\left(\frac{30}{11}\,|\,0\right)%%

Der Schnittpunkt mit der y-Achse entspricht dem y-Achsenabschnitt  %%\Rightarrow\;\;\mathrm S\left(0\,|\,\frac{30}{14}\right)%%

Zeichnung

  • Verbinde die beiden vorgegebenen Punkte %%\mathrm P_1%% und %%\mathrm P_2%%.

  • Oder Wähle einen dieser Punkte und gehe entsprechend der Steigung 14 nach rechts und 11 nach unten und verbinde diese beiden Punkte.

Zeichnung der Lösungsgerade

%%{\mathrm P}_1\left(-4\,|-2\right)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\mathrm P}_2\left(\frac72\,|\,4\right)%%

Bestimmung der Funktionsgleichung

%%\mathrm y=\mathrm{mx}+\mathrm t\\%%

Setze %%{\mathrm P}_1%% und %%{\mathrm P}_2%% in die allgemeine Geradengleichung ein.

%%\begin{array}{l}1)\;-2=-4\mathrm m+\mathrm t\\2)\;4=3,5\mathrm m+\mathrm t\end{array}\\%%

Wende das Additionsverfahren an.

%%-6=-7,5\mathrm m\\%%

%%\left|:\left(-7,5\right)\right.%%

%%\mathrm m=\frac{-6}{-7,5}\\%%

%%\mathrm m=0,8\\%%

Setze m in 1) ein.

%%-2=0,8\cdot\left(-4\right)+\mathrm t\\%%

%%-2=-3,2+\mathrm t\\%%

%%\left|+3,2\right.%%

%%\mathrm t=1,2\\%%

Setze m und t in die allgemeine Geradengleichung ein.

%%\mathrm y=0,8\mathrm x+1,2\Rightarrow\mathrm f(x)=0,8x+1,2%%

Alternative Rechnung

Bestimme die Geradensteigung mit Hilfe des Differenzenquotioneten.

%%\Rightarrow \displaystyle m=\frac{4-(-2)}{\frac72-(-4)}=\frac{6}{\frac{15}2}=\frac{12}{15}=\frac45=0,8%%

Setze nun einen der beiden Punkte und m in die allgemeine Geradengleichung.

%%-2=0,8\cdot(-4)+t\,\Rightarrow\, t=1,2%%

Die Geradengleichung lautet also:

%%y=0,8x+1,2%%

Bestimmung der Achsenschnittpunkte

Setze y=0, um den Schnittpunkt mit der x-Achse zu bestimmen

%%0,8\mathrm x+1,2=0\\%%

%%\left|-1,2\right.%%

%%0,8\mathrm x=-1,2\\%%

%%\left|:0,8\right.%%

%%\mathrm x=\frac{-1,2}{0,8}\\%%

%%{\mathrm x}_\mathrm N=-1,5%%

Der Schnittpunkt mit der x-Achse ist %%\mathrm S_1\left(-1,5\,|\,0\right)%%

Der Schnittpunkt mit der y-Achse entspricht dem y-Achsenabschnitt  %%\Rightarrow\;\;\mathrm S\left(0\,|\,1,2\right)%%

Zeichnung

  • Verbinde entweder die beiden Achsenschnittpunkte %%\mathrm S_1%% und %%\mathrm S_2%%,

  • oder die beiden vorgegebenen Punkte %%\mathrm P_1%% und %%\mathrm P_2%%.

  • Oder Wähle einen dieser Punkte und gehe entsprechend der Steigung 1 nach rechts und 0,8 nach oben und verbinde diese beiden Punkte.

Zeichnung der Lösungsgerade

Zeichnen Sie die Graphen folgender Funktionen jeweils in ein Koordinatensystem.
f(x)=23x+2\mathrm f\left(\mathrm x\right)=-\frac23\mathrm x+2

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gerade ins Koordinatensystem zeichnen

  1. Zeichne den y-Achsenabschnitt als Punkt ein (hier A(0|2)).
  2. Gehe entsprechend der Steigung 3 nach rechts und 2 nach unten und zeichne den Punkt ein (hier B(3|0)).
  3. Verbinde die beiden Punkte zu einer Geraden.
Gerade f(x) = -2/3 x + 2 im Koordinatensystem eingezeichnet
f(x)=2x4\mathrm f\left(\mathrm x\right)=2\mathrm x-4

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gerade ins Koordinatensystem zeichnen

  1. Zeichne den y-Achsenabschnitt als Punkt ein (hier A(0|-4)).
  2. Gehe entsprechend der Steigung 1 nach rechts und 2 nach oben und zeichne den Punkt ein (hier B(1|-2)).
  3. Verbinde die beiden Punkte zu einer Geraden.
Koordinatensystem mit eingezeichneter Gerade
f(x)=54x+1\mathrm f\left(\mathrm x\right)=-\frac54\mathrm x+1

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gerade ins Koordinatensystem zeichnen

  1. Zeichne den y-Achsenabschnitt als Punkt ein (hier A(0|1)).
  2. Gehe entsprechend der Steigung 4 nach rechts und 5 nach unten und zeichne den Punkt ein (hier B(4|-4)).
  3. Verbinde die beiden Punkte zu einer Geraden.
Ergebnis Gerade im Koordinatensystem eingezeichnet
f(x)=4x+5\mathrm f(\mathrm x)=-4\mathrm x+5

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gerade ins Koordinatensystem zeichnen

  1. Zeichne den y-Achsenabschnitt als Punkt ein (hier A(0|5)).
  2. Gehe entsprechend der Steigung 1 nach rechts und 4 nach unten und zeichne den Punkt ein (hier B(3|0)).
  3. Verbinde die beiden Punkte zu einer Geraden.
Gerade eingezeichnet im Koordinatensystem
f(x)=0,3x\mathrm f\left(\mathrm x\right)=-0,3\mathrm x

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gerade ins Koordinatensystem zeichnen

  1. Zeichne den y-Achsenabschnitt als Punkt ein. Die Gerade ist eine Ursprungsgerade, deshalb ist hier A(0|0).
  2. Schreibe die Steigung um zu zeinem Bruch (0,3=310)\left(-0,3=-\frac{3}{10}\right). Gehe entsprechend der Steigung 10 nach rechts und 3 nach unten und zeichne den Punkt ein (hier B(10|-3)).
  3. Verbinde die beiden Punkte zu einer Geraden.
Gerade eingezeichnet in Koordinatensystem
f(x)=2,5\mathrm f\left(\mathrm x\right)=2,5

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gerade ins Koordinatensystem zeichnen

Der y-Wert der Gerade ist immer 2,5. Darum ist die Gerade eine Parallele zur x-Achse.
Zeichnung der Gerade im Koordinatensystem
Bestimme die Gleichung folgender Gerade:
Gerade als Graph im Koordinatensystem




y=mx+t\mathrm y=\mathrm m\cdot\mathrm x+\mathrm t

Lese den y-Achsenabschnitt tt, also die Stelle, an der die Gerade die y-Achse schneidet, aus der Zeichnung ab.
t=1t=-1
Suche zwei Punkte mit (bestenfalls) ganzzahligen Koordinaten.
P(2    2)P\left(2 \;|\;2\right) und Q(4    5)Q(4\;| \;5) liegen auf der Gerade.

Um die Steigung mm zu bestimmen, gibt es zwei Möglichkeiten:
1.   m=yQyPxQxP\;m=\displaystyle\frac{y_Q-y_P}{x_Q-x_P}
Setze die Koordinaten von PP und QQ ein!
m=5242=32=1,5m=\displaystyle\frac{5-2}{4-2}=\frac32=1,5

2.
Zeichnung des Steigungsdreiecks zwischen Punkten P und Q
Zeichne ein Steigungsdreieck zwischen den Punkten. Der senkrechte Abstand ist der Zähler, der waagerechte Abstand ist der Nenner des Bruches, der die Steigung beschreibt.
m=senkrechtwaagerecht=32=1,5m=\displaystyle\frac{\text{senkrecht}}{\text{waagerecht}}=\frac32=1,5
Die Geradengleichung ist also gegeben durch:
g(x)=32x1=1,5x1\mathrm g\left(\mathrm x\right)=\frac32\cdot\mathrm x-1=1,5x-1


Zeichne die Graphen folgender Geraden mit dem Schnittpunkt mit der y-Achse und dem Steigungsdreick. Berechne den Schnittpunkt mit der x-Achse und überprüfe das Ergebnis anhand des Graphen.

%%f(x)\;=\;2x-5%%

%%\mathrm f(\mathrm x)=2\mathrm x-5%%

Lies den y-Achsenabschnitt aus der Funktionsgleichung ab.

%%\Rightarrow\;{\mathrm P}_\mathrm y\;\left(0\;\left|\;-5\right.\right)%%

Lies die Steigung der Gerade am Funktionsterm ab.

%%\Rightarrow\;m_f=2%%

Berechne den Schnittpunkt mit der x-Achse. Setze dazu den Funktionsterm mit 0 gleich.

%%2x-5=0%%

%%|+5%%

%%2\mathrm x=5%%

%%\left|:2\right.%%

%%\Rightarrow\;x_0=2,5%%

%%\Rightarrow\;{\mathrm P}_\mathrm x\;\left(2,5\;\left|\;0\right.\right)%%

Aufgabe Lineare Funktionen 14a

%%f(x)=-x-3%%

%%\mathrm f(\mathrm x)=-\mathrm x-3%%

Lies den y-Achsenabschnitt aus der Funktionsgleichung ab.

%%\Rightarrow\;{\mathrm P}_\mathrm y\;\left(0\;\left|\;-3\right.\right)%%

Lies die Steigung der Gerade am Funktionsterm ab.

%%\Rightarrow\;m_f=-1%%

Berechne den Schnittpunkt mit der x-Achse. Setze dazu den Funktionsterm mit 0 gleich.

%%-x-3=0%%

%%|+x%%

%%\Rightarrow\;x_0=-3%%

%%\Rightarrow\;{\mathrm P}_\mathrm x\;\left(-3\;\left|\;0\right.\right)%%

Aufgabe Lineare Funktionen 14b

%%f\left(x\right)=\frac12x+1%%

%%\mathrm f(\mathrm x)=\frac12\mathrm x+1%%

Lies den y-Achsenabschnitt aus der Funktionsgleichung ab.

%%\Rightarrow\;{\mathrm P}_\mathrm y\;\left(0\;\left|\;1\right.\right)%%

Lies die Steigung der Gerade am Funktionsterm ab.

%%\Rightarrow\;m_f=\frac12%%

Berechne den Schnittpunkt mit der x-Achse. Setze dazu den Funktionsterm mit 0 gleich.

%%\frac12x+1=0%%

%%|-1%%

%%\frac12x=-1%%

%%|\cdot 2%%

%%\Rightarrow\;x_0=-2%%

%%\Rightarrow\;{\mathrm P}_\mathrm x\;\left(-2\;\left|\;0\right.\right)%%

Aufgabe Lineare Funktionen 14c

%%f\left(x\right)=-\frac12x-2%%

%%\mathrm f(\mathrm x)=-\frac12\mathrm x-2%%

Lies den y-Achsenabschnitt aus der Funktionsgleichung ab.

%%\Rightarrow\;{\mathrm P}_\mathrm y\;\left(0\;\left|\;-2\right.\right)%%

Lies die Steigung der Gerade am Funktionsterm ab.

%%\Rightarrow\;m_f=-\frac12%%

Berechne den Schnittpunkt mit der x-Achse. Setze dazu den Funktionsterm mit 0 gleich.

%%-\frac12x-2=0%%

%%|+2%%

%%-\frac12x=2%%

%%|\cdot(-2)%%

%%\Rightarrow\;x_0=-4%%

%%\Rightarrow\;{\mathrm P}_\mathrm x\;\left(-4\;\left|\;0\right.\right)%%

Aufgabe Lineare Funktionen 14d

%%f\left(x\right)=\frac13x-\frac12%%

%%\mathrm f(\mathrm x)=\frac13\mathrm x-\frac12%%

Lies den y-Achsenabschnitt aus der Funktionsgleichung ab.

%%\Rightarrow\;{\mathrm P}_\mathrm y\;\left(0\;\left|\;-\frac12\right.\right)%%

Lies die Steigung der Gerade am Funktionsterm ab.

%%\Rightarrow\;m_f=\frac13%%

Berechne den Schnittpunkt mit der x-Achse. Setze dazu den Funktionsterm mit 0 gleich.

%%\frac13x-\frac12=0%%

%%\left|+\frac12\right.%%

%%\frac13x=\frac12%%

%%| \cdot 3%%

%%\Rightarrow\;x_0=\frac32%%

%%\Rightarrow\;{\mathrm P}_\mathrm x\;\left(\frac32\left|\;0\right.\right)%%

Aufgabe Lineare Funktionen 14e

%%f\left(x\right)=-\frac14x+\frac32%%

%%\mathrm f(\mathrm x)=-\frac14\mathrm x+\frac32%%

Lies den y-Achsenabschnitt aus der Funktionsgleichung ab.

%%\Rightarrow\;{\mathrm P}_\mathrm y\;\left(0\;\left|\;\frac32\right.\right)%%

Lies die Steigung der Gerade am Funktionsterm ab.

%%\Rightarrow\;m_f=-\frac14%%

Berechne den Schnittpunkt mit der x-Achse. Setze dazu den Funktionsterm mit 0 gleich.

%%-\frac14\mathrm x+\frac32=0%%

%%\left|-\frac32\right.%%

%%-\frac14\mathrm x=-\frac32%%

%%|\cdot(-4)%%

%%\Rightarrow\;x_0=6%%

%%\Rightarrow\;{\mathrm P}_\mathrm x\;\left(6\;\left|\;0\right.\right)%%

Aufgabe Lineare Funktionen 14f

%%f\left(x\right)=\frac23x+2%%

%%\mathrm f(\mathrm x)=\frac23\mathrm x+2%%

Lies den y-Achsenabschnitt aus der Funktionsgleichung ab.

%%\Rightarrow\;{\mathrm P}_\mathrm y\;\left(0\;\left|\;2\right.\right)%%

Lies die Steigung der Gerade am Funktionsterm ab.

%%\Rightarrow\;m_f=\frac23%%

Berechne den Schnittpunkt mit der x-Achse. Setze dazu den Funktionsterm mit 0 gleich.

%%\frac23\mathrm x+2=0%%

%%|-2%%

%%\frac23\mathrm x=-2%%

%%\left|:\frac23\right.%%

%%\Rightarrow\;x_0=-3%%

%%\Rightarrow\;{\mathrm P}_\mathrm x\;\left(-3\;\left|\;0\right.\right)%%

Aufgabe Linare Funktionen 14g

%%f\left(x\right)=-\frac34x-1%%

%%\mathrm f(\mathrm x)=-\frac34\mathrm x-1%%

Lies den y-Achsenabschnitt aus der Funktionsgleichung ab.

%%\Rightarrow\;{\mathrm P}_\mathrm y\;\left(0\;\left|\;-1\right.\right)%%

Lies die Steigung der Gerade am Funktionsterm ab.

%%\Rightarrow\;m_f=-\frac34%%

Berechne den Schnittpunkt mit der x-Achse. Setze dazu den Funktionsterm mit 0 gleich.

%%-\frac34\mathrm x-1=0%%

%%|+1%%

%%-\frac34\mathrm x=1%%

%%\left|:(-\frac34)\right.%%

%%\Rightarrow\;x_0=-\frac43%%

%%\Rightarrow\;{\mathrm P}_\mathrm x\;\left(-\frac43\;\left|\;0\right.\right)%%

Aufgabe Lineare Funktionen 14h

%%f\left(x\right)=-3x+\frac5{10}%%

%%\mathrm f(\mathrm x)=-3\mathrm x+\frac5{10}%%

Lies den y-Achsenabschnitt aus der Funktionsgleichung ab.

%%\Rightarrow\;{\mathrm P}_\mathrm y\;\left(0\;\left|\;\frac5{10}\right.\right)%%

Lies die Steigung der Gerade am Funktionsterm ab.

%%\Rightarrow\;m_f=-3%%

Berechne den Schnittpunkt mit der x-Achse. Setze dazu den Funktionsterm mit 0 gleich.

%%-3\mathrm x+\frac5{10}=0%%

%%\left|-\frac5{10}\right.%%

%%-3\mathrm x=-\frac5{10}%%

%%|:(-3)%%

%%\Rightarrow\;x_0=\frac{5}{30}=\frac16%%

%%\Rightarrow\;{\mathrm P}_\mathrm x\;\left(\frac16\;\left|\;0\right.\right)%%

Aufgabe Lineare Funktionen 14i

%%f\left(x\right)=\frac57x-\frac{12}4%%

%%\mathrm f(\mathrm x)=\frac57\mathrm x-\frac{12}4=\frac57\mathrm x-3%%

Lies den y-Achsenabschnitt aus der Funktionsgleichung ab.

%%\Rightarrow\;{\mathrm P}_\mathrm y\;\left(0\;\left|\;-3\right.\right)%%

Lies die Steigung der Gerade am Funktionsterm ab.

%%\Rightarrow\;m_f=\frac57%%

Berechne den Schnittpunkt mit der x-Achse. Setze dazu den Funktionsterm mit 0 gleich.

%%\frac57\mathrm x-3=0%%

%%|+3%%

%%\frac57\mathrm x=3%%

%%\left|:\frac57\right.%%

%%\Rightarrow\;x_0=\frac{21}5%%

%%\Rightarrow\;{\mathrm P}_\mathrm x\;\left(\frac{21}5\;\left|\;0\right.\right)%%

Aufgabe Lineare Funktionen 14j

Stelle die Gleichung der Geraden mit Steigung  m=43m=-\frac43   durch den Punkt P(-2 | -0,5) auf und zeichne sie in ein Koordinatensystem.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung erstellen

Geradengleichung erstellen
m=43m=-\frac43 ;  P(-2 | -0,5)
Setze m und P in die die allgemeine Geradengleichung ein.
12=43(2)+t-\frac12=-\frac43\cdot(-2)+t
Löse nach t auf. 83\left|{-\frac83}\right.   Erläuterung: 43(2)=4(2)3=83-\frac43\cdot\left(-2\right)=\frac{-4\left(-2\right)}3=\frac83
t=1283t=-\frac12-\frac83
t=196t=-\frac{19}6
Wandle in einen gemischten Bruch um.
t=316t=-3\frac16
Setze t und m in die allgemeine Geradengleichung ein.
        \;\;\Rightarrow\;\; y=43x316y=-\frac43x-3\frac16
Wähle einen beliebigen Punkt auf der Geraden z. B. den gegebenen Punkt P(-2|-0,5). Gehe von dort entsprechen der  Steigung m=43m=-\frac43 , 3 nach links und 4 nach oben. Verbinde die beiden Punkte zu einer Geraden.
Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/782.xml

Stelle die Gleichung der Geraden durch die zwei Punkte auf und zeichne sie.

%%P(2|0)%%  und  %%Q(-2|2)%%

Geradengleichung ermitteln

%%P(2|0); Q(-2|2)%%

Ermittle die Steigung %%m%% der allgemeinen Geradengleichung mithilfe des Differenzenqotienten .

%%m=\frac{2-0}{-2-2}=\frac2{-4}=-\frac12%%

Setze %%m%% und die Koordinaten eines Punktes z. B. %%P(2|0)%% in die allgemeine Geradengleichung ein.

%%0=-\frac12\cdot2+t%%

Löse nach %%t%% auf. %%\left|{+\frac12\cdot2}\right.%%

%%t=1%%

Setze %%m%% und %%t%% in die allgemeine Geradengleichung ein.

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% %%y=-\frac12x+1%%

 

Gerade zeichnen

 

Wähle einen beliebigen Punkt auf der Geraden z. B. %%P(2|0)%%. Gehe von dort entsprechend der  Steigung %%m=-\frac12%% , %%2%% nach links und %%1%% nach oben. Verbinde die beiden Punkte zu einer Geraden.

Alternative

Verbinde die beiden vorgegebenen Punkte. Diese legen die Gerade eindeutig fest.

Graph Funktion Gerade zeichnen

%%P(0,5|1,5)%%  und  %%Q(5|3)%%

Geradengleichung ermitteln

%%P(0,5|1,5); Q(5|3)%%

Ermittle die Steigung %%m%% der allgemeinen Geradengleichung mithilfe des Differenzenqotienten.

%%m=\frac{3-1,5}{5-0,5}=\frac{1,5}{4,5}=\frac13%%

Setze %%m%% und die Koordinaten eines Punktes z. B. %%Q(5|3)%% in die allgemeine Geradengleichung ein.

%%3=\frac13\cdot5+t%%

Löse nach %%t%% auf. %%\left|{-\frac13\cdot5}\right.%%

%%t=\frac43%%

Setze %%m%% und %%t%% in die allgemeine Geradengleichung ein.

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% %%y=\frac13x+\frac43%%

 

Gerade zeichnen

Wähle einen beliebigen Punkt auf der Geraden z. B. den %%Q(5|3)%%. Gehe von dort entsprechend der  Steigung %%m=\frac13%% , %%3%% nach rechts und %%1%% nach oben. Verbinde die beiden Punkte zu einer Geraden.

Alternative

Verbinde die beiden vorgegebenen Punkte. Diese legen die Gerade eindeutig fest.

Graph Funktion Gerade Zeichnen Steigungsdreieck

%%P(-2|1)%%  und  %%Q(6|4)%%

%%P(-2|1)%%; %%Q(6|4)%%

%%m=\frac{4-1}{6-(-2)}=\frac38%%

Setze m und die Koordinaten eines Punktes z. B. P(-2|1) in die allgemeine Geradengleichung ein.

%%1=\frac38\cdot(-2)+t%%

%%\frac38\cdot(-2)=-\frac68=-\frac34%%

%%1=-\frac34+t%%

Löse nach t auf. %%\left|{+\frac34}\right.%%

%%t=\frac74%%

Setze m und t in die allgemeine Geradengleichung ein.

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% %%y=\frac38x+\frac74%%

 

Gerade zeichnen

Zeichne die beiden vorgegebenen Punkte %%P(-2|1)%% und %%Q(6|4)%% in das Koordinatensystem ein und verbinde sie zu einer Geraden.

Graph Gerade Funktion zeichnen durch Punkte

%%P(-4|1)%%  und  %%Q(1|-1)%%

%%P(-4|1)%%; %%Q(1|-1)%%

%%m=\frac{-1-1}{1-(-4)}=-\frac25%%

Setze m und die Koordinaten eines Punktes z. B. P(-4|1) in die allgemeine Geradengleichung ein.

%%1=-\frac25\cdot(-4)+t%%

%%1=\frac85+t%%

Löse nach t auf. %%\left|{-\frac85}\right.%%

%%t=-\frac35%%

Setze m und t in die allgemeine Geradengleichung ein.

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% %%y=-\frac25x-\frac35%%

 

Gerade zeichnen

Zeichne die beiden vorgegebenen Punkte %%P(-4|1)%% und %%Q(1|-1)%% in das Koordinatensystem ein und verbinde sie zu einer Geraden.

Gerade Funktion Graph zeichnen durch Punkte

Gegeben sind die Funktionen  %%\mathrm g\left(\mathrm x\right)=0,75\mathrm x+3%%  und  %%\mathrm h\left(\mathrm x\right)=-\mathrm x-2,5%% .

Die Gerade h soll so in y-Richtung verschoben werden, dass g und die verschobene Gerade h die x-Achse im gleichen Punkt schneiden.

Bestimmen Sie den Funktionsterm  %%\mathrm f\left(\mathrm x\right)%%  für die verschobene Gerade.

Zeichnugn der gegebenen linearen Funktionen

f hat die gleiche die Steigung wie h, also %%m= -1%%.

Wie man am Bild erkennen kann, muss man die Gerade h in y-Richtung, so verschieben, dass f und g dann die gleiche Nullstelle haben.

%%0=\frac{3}{4}\cdot x +3%%

Nach x auflösen.

%%\Rightarrow x= -4%%.

Geradengleichung von f bestimmen

%%y=m\cdot x+t%%

Setze die Nullstelle (-4 | 0) und die Steigung von f in die allgemeine Geradengleichung ein.

%%0=(-1) \cdot (-4)+t%%

%%\Rightarrow t=-4%%

Also lautet die Geradengleichung für f:

%%f(x)=-x-4%%

Beschreibe mit Worten die Lage der Geraden mit der Gleichung:

%%\mathrm y=-1%%

Es handelt sich hier um eine konstante Funktion, d.h. die Funktion hängt nicht von %%x%% ab.
Jeder der %%x%%-Werte hat den %%y%%-Wert %%-1%% . Die Gleichung beschreibt eine Gerade, die eine Paralelle zur x-Achse ist, und die 1 unterhalb der x-Achse liegt.

%%\Rightarrow y=-1%% beschreibt also eine Gerade mit Steigung %%0%% durch den Punkt %%(0,-1)%%.

Der Graph

Graph der Gerade

%%\mathrm x+\mathrm y=-2%%

%%y+x=-2%%

Forme um, sodass %%y%% alleine auf der einen Seite des Gleichheitszeichen steht.

%%y=-x-2%%

Lese die Steigung %%m%% und den y-Achsenabschnitt %%t%% ab.

Die Gleichung beschreibt eine Gerade mit der Steigung %%m=-1%% und dem y-Achsenabschitt %%t=-2%% (Sie geht durch den Punkt %%(0,-2)%%) , also die Winkelhalbierende des II und IV Quadranten um %%2%% nach unten verschoben.

Der Graph

Graph der Gerade

Gegeben sind die folgenden Funktionsgraphen:

Geogebra File: /uploads/legacy/8295_ofUZ0yFWC1.xml

Welcher der vier Graphen gehört zur Gleichung  %%\mathrm y=\frac54\mathrm x-1%% ?

Funktionsgraphen linearer Funktionen zuordnen

Finde den Funktionsgraphen, der zur Funktionsgleichung %%y=\frac{5}{4}x−1%% gehört.

Bestimme daher zunächst den y-Achsenabschnitt.

%%y(0) = \frac{5}{4} \cdot 0 -1%%

Multipliziere und subtrahiere.

%%\frac{5}{4} \cdot 0 -1 = -1%%

Gebe den y-Achsenabschnitt an.

Der y-Achsenabschnitt ist -1, der Graph schneidet also im Punkt (0,-1) die y-Achse.
Somit können nur Graph 1 (rot) und Graph 2 (grün) zu der Funktion gehören.

Betrachte nun die Steigung der Graphen. Gib zuerst die Funktionsgleichung der Funktion an.

%%y=\frac{5}{4}x−1%%

Gib die Steigung der Funktion an, indem du sie von der Geradengleichung abliest.

%%m = \frac 54%%

Graph 1 (rot)

Bestimme die Steigung von Graph 1 (rot), indem du ein Steigungsdreieck konstruierst. Lies dazu den Wert an der Stelle %%x_2 = 1%% ab.

%%x_2 = 1%%
%%y_2 = y(x_2) = - 0,25%%

Für die Konstruktion eines Steigungsdreieck benötigst du einen zweiten Punkt. Gib dazu den schon berechneten Punkt des y-Achsenabschnitts an.

%%x_1 = 0%%
%%y_1 = -1%%

Berechne nun die Steigung gemäß %%m = \frac{y_2 - y_1}{x_2-x_1}%%.

%%m = \frac{-0,25 -(-1)}{1-0} = \frac{0,75}{1} = 0,75%%

Die Steigung des Graphen ist offenbar zu klein, als dass Graph 1 (rot) der zugehörige Funktionsgraph sein könnte.

Graph 2 (grün)

Bestimme die Steigung von Graph 2 (grün), indem du ein Steigungsdreieck konstruierst. Lies dazu den Wert an der Stelle %%x_2 = 1%% ab.

%%x_2 = 1%%
%%y_2 = y(x_2) = 0,25%%

Gib den Punkt des y-Achsenabschnitts an.

%%x_1 = 0%%
%%y_1 = -1%%

Für die Konstruktion eines Steigungsdreieck benötigst du einen zweiten Punkt. Gib dazu den schon berechneten Punkt des y-Achsenabschnitts an.

%%m = \frac{0,25 -(-1)}{1-0} = \frac{1,25}{1} = 1,25 = \frac54%%

Ergebnis

Der zugehörige Graph ist Graph 2 (grün), da seine Steigung und sein y-Achsenabschnitt mit der Geradengleichung übereinstimmen.

Ermittle (näherungsweise) den Funktionsterm zum Graphen 3.

Funktionsgleichung einer linearen Funktionen angeben

Gib zunächst die allgemeine Form der Geradengleichung an:

Die allgemeine Geradengleichung lautet %%y= m x + t.%%

y-Achsenabschnitt

Bestimme den y-Achsenabschnitt des Funktionsgraphen 3 (blau).

Der y-Achsenabschnitt ist der Schnittpunkt des Funktionsgraphen mit der y-Achse, also der Funktionswert von %%x = 0%%.

Lese den Punkt ab, in dem der Funktionsgraph die y-Achse schneidet.

(0 | 1,25)

Gib den y-Achsenabschnitt %%t%% an.

%%t = 1,25%%

Steigung

Bestimme die Steigung des Funktionsgraphen 3 (blau). Verwende dazu ein Steigungsdreieck und gib den Ausdruck für die Steigung an.

%%\displaystyle m = \frac{y_2 - y_1}{x_2-x_1}%%

Lies zwei Punkte am Graphen 3 (blau) ab, um dann die Steigung zu berechnen.

%%x_1 = 0%%
%%y_1 = y(x_1) = 1,25%%

%%x_2 = -1%%
%%y_2 = y(x_2) = 0,25%%

Berechne nun die Steigung %%m%%.

%%\displaystyle m = \frac{0,25 - 1,25}{-1 -0} = \frac{-1}{-1} = 1%%

Ergebnis

Die Funktionsgleichung vom Funktionsgraph 3 (blau) lautet %%\displaystyle y (x) = x + 1,25%% .

Gegeben sind die folgenden Funktionsgraphen:

Koordinatensystem mit 4 Graphen

  1. Welcher der vier Graphen gehört zum Gleichung %%y=\frac54x-1%%

  2. Wie lautet die Gleichung zum Graphen III?

Teilaufgabe 1:

Vorgegebene Graphengleichung: %%y=\frac54x-1%%

Du kannst die Steigung und den y-Achsenabschnitt dieses Graphen an der Gleichung ablesen.

%%m=\frac54%%

%%t=-1%%

Überprüfe zuerst bei welchen Funktionen der y-Achsenabschnitt %%t=-1%% beträgt, indem du den y-Wert jedes Graphen abliest, indem die y-Achse geschnitten wird.

Nur Graph I und II haben den y-Achsenabschnitt %%-1%% also kannst du jeden anderen Graphen ausschließen.

Überprüfe nun welcher der beiden Graphen die Steigung %%m=\frac54%% besitzt, indem du vom Punkt %%x=0%% ausgehend eins nach rechts gehtst und überprüfst welcher der beiden y-Werte sich um  %%\frac54%% erhöht.

Beide Graphen beginnen beim Punkt %%P\left(0;-1\right)%%. Da die gesuchte Gerade die Steigung %%\frac54%% hat, geht sie auch durch den Punkt
%%(0+4|-1 +5)=(4|4)%%.

Durch diesen Punkt läuft nur die Gerade II.

  %%\Rightarrow%%   Der Graph II ist der Graph, der zu der vorgegebenen Gleichung gehört.

Teilaufgabe 2:

zu überprüfende Gerade: Graph III

Lies zuerst wo der Graph die y-Achse schneidet, um den y-Achsenabschnitt zu ermitteln.

Der y-Wert des Punktes, indem die  y-Achse geschnitten wird, beträgt %%y=1,25%%.
Somit ist %%t=1,25%% .

Lies nun ab um wieviel sich der y-Wert verändert, wenn du ausgehend von %%x=0%% , eins nach rechts gehst. Dadurch ermittelst du die Steigung .

Der y-Wert erhöht sich von %%y=1,25%% auf %%y=2,25%%.
Somit beträgt die Steigung %%m=\frac{2,25-1,25}{1}=\frac11=1%% .

Stelle die Gleichung auf.

  %%\Rightarrow%%   Der Graph III hat die Gleichung %%y=x+1,25%% .

Gegeben ist der Punkt %%P\left(\left.t\;\right|\;\frac t2+3\right)%% mit %%t\in\mathbb{R}%%

Wählen Sie für t einige Werte und tragen Sie die dazugehörigen Punkte in ein Koordinatensystem ein.

Wie liegen die Punkte im Koordinatensystem? Für welche t- Werte gilt:
x- Koordinate ist gleich y- Koordinate des Punktes P?

Setze beispielsweise %%t=\left\{0;1;2;3;4\right\}%% ein und berechne die zugehörigen y-Werte. Auch andere Zahlen für %%t%% sind zulässig.

%%t=0:\;y=\frac02+3%%

%%\hphantom{t=0:.;}y=3%%

%%\Rightarrow\;A(0\;|\;3)%%

%%t=1:\;y=\frac12+3%%

%%\hphantom{t=1::.}y=3,5%%

%%\Rightarrow\;B(1\;|\;3,5)%%


%%t=2:\;y=\frac22+3%%

%%\hphantom{t=2;;.}y=4%%

%%\Rightarrow\;C(2\;|\;4)%%

%%t=3:\;y=\frac32+3%%

%%\hphantom{t=3::.}y=4,5%%

%%\Rightarrow\;D(3\;|\;4,5)%%


%%t=4:\;y=\frac42+3%%

%%\hphantom{t=4;;.}y=5%%

%%\Rightarrow\;E(4\;|\;5)%%

Zeichne die Punkte A, B, C, D und E in ein Koordinatensystem.

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/5417_XxJr5qfvGR.xml

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Alle Punkte liegen auf einer Geraden. Diese hat die Gleichung %%y=\frac t2+3%% .


Berechne, wann die x - und y - Koordinate den gleichen Wert haben.

Setze dafür y mit t gleich.

%%t=y%%

Ersetze %%y%% durch den Term %%\frac t2+3%%.

%%t=\frac t2+3%%

%%\left|\cdot2\right.%%

%%2t=t+6%%

%%\left|-t\right.%%

%%t=6%%

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Die x - und y - Koordinate haben den gleichen Wert, wenn %%t= 6%% ist. Der zugehörige Punkt ist %%P\left(6\;|\;6\right)%% .

Zeichne die Graphen der Funktionen mit folgender Funktionsgleichung:
y=3x2y=3x-2
y=2xy=2-x

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineare Funktionen

Gleichung umstellen

y=2xy=2-x
Die Gleichung wird umgestellt, damit sie das Format der allgemeinen Geradengleichung hat.
y=x+2y=-x+2

Einen Punkt ermitteln

y=x+2y=-x+2
+2+2 entspricht tt der allgemeinen Geradengleichung und ist damit der Berührpunkt mit der y-Achse .
        P(02)\;\;\Rightarrow\;\;P\left(0\vert2\right)

Steigung ermitteln

Bestimme nun die Steigung.
y=x+2y=-x+2
1-1 entspricht mm der allgemeinen Geradengleichung und ist damit die Steigung der Geraden.
m=1m=-1

Gerade zeichnen

Von dem zuvor ermittelten Punkt eine Einheit nach rechts und entsprechend m, 11 nach unten gehen, da m negativ ist. Hier befindet sich ein zweiter Punkt der Funktion .
Anschließend die beiden Punkte zu einer Geraden verbinden.
Graphik Gerade zeichnen
y=34x1y=-\frac34x-1

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineare Funktionen

Ein Punkt ermitteln

y=34x1y=-\frac34x-1
1-1 entspricht tt der allgemeinen Geradengleichung und ist damit der Berührpunkt mit der y-Achse .
        P(01)\;\;\Rightarrow\;\;P\left(0\vert-1\right)

Steigung ermitteln

Bestimme nun die Steigung.
y=34x1y=-\frac34x-1
34-\frac34 entspricht mm der allgemeinen Geradengleichung und ist damit die Steigung der Geraden.
m=34m=-\frac34

Gerade zeichnen

Von dem zuvor ermittelten Punkt eine Einheit nach rechts und entsprechend mm34\frac34 nach unten gehen, da m negativ ist. Hier befindet sich ein zweiter Punkt der Funktion.

Anschließend die beiden Punkte zu einer Geraden verbinden.
Graph Funktion Gerade zeichnen
y=12x+2y=-\frac12x+2

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineare Funktionen

Einen Punkt ermitteln

y=12x+2y=-\frac12x+2
+2+2 entspricht tt der allgemeinen Geradengleichung und ist damit der Berührpunkt mit der y-Achse .
        P(02)\;\;\Rightarrow\;\;P\left(0\vert2\right)

Steigung ermitteln

Bestimme nun die Steigung.
y=12x+2y=-\frac12x+2
12-\frac12 entspricht mm der allgemeinen Geradengleichung und ist damit die Steigung der Geraden.
m=12m=-\frac12

Gerade zeichnen

Von dem zuvor ermittelten Punkt eine Einheit nach rechts und entsprechend mm12\frac12 nach unten gehen, da m negativ ist. Hier befindet sich ein zweiter Punkt der Funktion .
Anschließend die beiden Punkte zu einer Geraden verbinden.
Graph Funktion Gerade zeichnen
y=34x+1\mathrm y=\frac34\mathrm x+1

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineare Funktionen

Einen Punkt ermitteln

y=34x+1\mathrm y=\frac34\mathrm x+1
11 entspricht tt der allgemeinen Geradengleichung und ist damit der Berührpunkt mit der y-Achse .
        P(01)\;\;\Rightarrow\;\;P\left(0\vert1\right)

Steigung ermitteln

Bestimme nun die Steigung.
y=34x+1\mathrm y=\frac34\mathrm x+1
34\frac34  entspricht m der allgemeinen Geradengleichung und ist damit die Steigung der Geraden.
m=34m=\frac34

Gerade zeichnen

Von dem zuvor ermittelten Punkt eine Einheit nach rechts und entsprechend m,  34\frac34 nach oben gehen, da m positiv ist. Hier befindet sich ein zweiter Punkt der Funktion .
Anschließend die beiden Punkte zu einer Geraden verbinden.
Graph Funktioin Gerade zeichnen
Zeichne die folgenden Geraden und gib den Funktionsterm an.
GfG_f hat die Steigung 0 und schneidet die y-Achse bei 3.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Aufstellen einer Geradengleichung

Funktionsterm aufstellen


m=0;  t=3m=0;\;t=3
Setze m und t in die allgemeine Geradengleichung y=mx+t y=mx+t ein.
y=3\Rightarrow y=3




Gerade zeichnen


Die Gerade verläuft durch den y-Abschnitt (0|3) parallel zur x-Achse, da die Gerade die Steigung 0 hat.
Graph Funktion Gerade zeichnen
GfG_f geht durch den Punkt  P  (32)(-3\vert-2)   und ist parallel zur x-Achse.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Aufstellen einer Geradengleichung

Funktionsterm aufstellen

Da die Gerade Parallel zur x-Achse liegt, ist ihre Steigung 0 m=0\Rightarrow m=0 .
Die Gerade geht durch den Punkt (32)(-3\vert-2) geht. Da du Steigung 0 ist, hat die Gerade bei x=0 den y-Wert -2. Ihr y-Abschnitt liegt also bei 2t=2. -2 \Rightarrow t=-2.
m=0;  t=2m=0;\;t=-2
Setze mm und tt in die allgemeine Funktion y=mx+ty=mx+t ein.
y=2y=-2




Gerade zeichnen


Die Gerade verläuft durch den y-Abschnitt (0|-2) parallel zur x-Achse, da die Gerade die Steigung 0 hat.
Graph Funktion Gerade zeichnen
GfG_f geht durch den Punkt  P (42)(-4\vert2)   und ist parallel zur y-Achse.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Aufstellen einer Geradengleichung

Funktionsterm aufstellen

Diese Gerade kann nicht durch eine Funktionsgleichung beschrieben werden. Die Steigung wäre unendlich groß.
 
Wir können die Gerade aber trotzdem zeichnen.



Gerade zeichnen


Die Gerade verläuft durch den Punkt (42)(-4\vert2) parallel zur y-Achse.
Gerade Funktion Graph zeichnen

Gegeben sind die Punkte A(40|220), B(100|250), C(200|300), D(80|240).

  1. Zeichne die Punkte A-D in ein geeignetes Koordinatensystem ein.

  2. Bestimme die Geradengleichung der durch die Punkte A-D verlaufenden Gerade.

  3. Gib drei weitere Punkte an, die auf der Gerade liegen.

1.

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/5373_YY7IuAMwyu.xml

2.

Betrachte A(40|220) und B(100|250).

Wähle %%\ \ x_1 = 40, y_1 = 220 \\%% von A und %%x_2 = 100, y_2 = 250%% von B.

%%m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{250 - 220}{100 - 40} = \frac {30} {60} = 0.5%%

Da die Punkte A-D alle auf einer Geraden liegen, reicht es, wenn du dir nur zwei Punkte (beispielsweise A und B) heraussuchst. Mit deren Hilfe bestimmst du die Steigung der Gerade. Hierfür ziehst du die y-Koordinate vom Punkt A von der y-Koordinate vom Punkt B ab, und die x-Koordinate vom Punkt A von der x-Koordinate vom Punkt B.

Nun wird der y-Abschnitt bestimmt, indem man einen Punkt auf der Gerade (zum Beispiel C), in die Geradengleichung %%\ \ y = mx + t \\%% einsetzt und nach %%t%% auflöst.

Setze Punkt C in die Geradengleichung %%y = mx + t%% ein, wobei wir das zuvor berechnete %%m = 0.5%% einsetzen:

%%y = 0.5 \cdot x + t%%

%%300 = 0.5 \cdot 200 + t%%

%%\ \Leftrightarrow \ \ t=200%%

Damit haben wir sowohl %%m%% als auch %%t%% bestimmt, so dass unsere Geradengleichung lautet:

%%\ \ y = 0.5 \cdot x + 200%%

3.

%%\ \ y = 0.5 \cdot x + 200%%

Setze drei beliebige x-Werte in die Geradengleichung ein, um den jeweiligen y-Wert zu bekommen, z.B. %%x_1 = 0, x_2 = -100%% und %%x_3 = 300%%.

%%y_1 = 0.5 \cdot x_1 + 200%%

%%\ \ \ \ = 0.5 \cdot 0 + 200 = 200%%

%%y_2 = 0.5 \cdot x_2 + 200%% %%\ \ \ \ = 0.5 \cdot (-100) + 200 = 150%%

%%y_3 = 0.5 \cdot x_3 + 200%%

%%\ \ \ \ = 0.5 \cdot 300 + 200 = 350%%

Damit erhalten wir also folgende drei Punkte D, E und F:

%%D(0|200), E(-100|150)%% und %%F(300|350)%%

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