Aufgaben

Die Gerade %%y=-7x%% wird an der %%x%%-Achse gespiegelt und anschließend um %%3%% Einheiten nach unten verschoben. Wie lautet die neue Gleichung?

Stelle lineare Funktionsgleichung auf

Zeichne die Funktion %%y(x) = -7x%%.

Graph Funktion Gerade

Spiegele die Funktion an der %%x%%-Achse.

Graph Funktion Gerade und Spiegelung der Gerade

Lese die neue Funktionsgleichung ab.

Die Funktionsgleichung lautet %%y(x) = 7 x%%.

Verschiebe die Gerade um %%3%% Einheiten nach unten.

Graph mit Gerade, Spiegelung der Gerade und Verschiebung der Gerade

Dadurch ändert sich der y-Achsenabschnitt der Funktion. Stelle die neue Funktionsgleichung auf.

Ergebnis

Die Funktionsgleichung lautet %%\displaystyle y(x) = 7x -3.%%

Folgende Abbildungen enthalten Graphen von linearen Funktionen.

Bestimmen Sie die Funktionsterme.

Aufgabenstellung a

Lineare Funktion f(x)

Stelle die allgemeine Form einer linearen Funktion auf.

%%f(x)=m \cdot x+t%%

Lies den y-Achsenabschnitt an der Abbildung ab.

%%t = 2%%

Lies die Steigung an der Abbildung ab.
Konstruiere dazu ein Steigungsdreieck.

%%\displaystyle m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}%%

Lies zwei Punkte auf dem Graphen der linearen Funktion ab.

%%P1: (-3,0)%%
%%x_1= -3%%, %%y_1 = 0%%

%%P2: (0,2)%%
%%x_2= 0%%, %%y_2 = 2%%

Berechne die Steigung.

%%\displaystyle m = \frac{2 - 0}{0 - (-3)} = \frac{2}{3}%%

Gib den Funktionsterm an.

%%f(x) = \frac{2}{3}\cdot x + 2%%

Lineare Funktion g(x)

Stelle die allgemeine Form einer linearen Funktion auf.

%%g(x)=m \cdot x+t%%

Lies die Steigung an der Abbildung ab.
Konstruiere dazu ein Steigungsdreieck.

%%\displaystyle m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}%%

Lies zwei Punkte auf dem Graphen der linearen Funktion ab.

%%P1: (2 , -4)%%
%%x_1= 2%%, %%y_1 = -4%%

%%P2: (3,5 , 0)%%
%%x_2= 3,5%%, %%y_2 = 0%%

Berechne die Steigung.

%%\displaystyle m = \frac{0 - (-4)}{3,5 - 2} = \frac{4}{1,5} = 4 \cdot \frac{2}{3} = \frac{8}{3}%%

Da der y-Achsenabschnitt nicht sichtbar ist, berechne ihn. Stelle daher die Geradengleichung auf.

%%\displaystyle y(x) = \frac{8}{3} \cdot x + t%%

Setze den Punkt %%(2,-4)%% ein.

%%\displaystyle -4 = \frac{8}{3} \cdot 2 + t%%

Löse nach %%t%% auf.

%%\displaystyle t = -4- \frac{8}{3} \cdot 2 = -\frac{12}{3}- \frac{16}{3} = -\frac{28}{3}%%

Gib den Funktionsterm an.

%%\displaystyle g(x)=\frac{8}{3} \cdot x - \frac{28}{3}%%

Lineare Funktion h(x)

Stelle die allgemeine Form einer linearen Funktion auf.

%%h(x)=m \cdot x+t%%

Lies die Steigung an der Abbildung ab.
Konstruiere dazu ein Steigungsdreieck.

%%\displaystyle m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}%%

Lies zwei Punkte auf dem Graphen der linearen Funktion ab.

%%P1: (0 , -2)%%
%%x_1= 0%%, %%y_1 = -2%%

%%P2: (4 ,-3)%%
%%x_2= 4%%, %%y_2 = -3%%

Berechne die Steigung.

%%\displaystyle m = \frac{-3 - (-2)}{4 - 0} = \frac{-3 + 2}{4} = -\frac{1}{4}%%

Lese entweder %%t=-2%% ab oder berechne ihn. Um ihn zu berechnen, stelle die Geradengleichung auf.

%%\displaystyle y(x) = -\frac{1}{4} \cdot x + t%%

Setze den Punkt %%(4,-3)%% ein.

%%\displaystyle -3 = -\frac{1}{4} \cdot 4 + t%%

Löse nach %%t%% auf.

%%t = -3 + 1 = -2%%

Gib den Funktionsterm an.

%%\displaystyle h(x) = -\frac{1}{4} \cdot x -2%%

Aufgabenstellung b

Lineare Funktion f(x)

Stelle die allgemeine Form einer linearen Funktion auf.

%%f(x)=m \cdot x+t%%

Lies die Steigung an der Abbildung ab.
Konstruiere dazu ein Steigungsdreieck.

%%\displaystyle m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}%%

Lies zwei Punkte auf dem Graphen der linearen Funktion ab.

%%P1: (2,4)%%
%%x_1= 2%%, %%y_1 = 4%%

%%P2: (2,5 , 0)%%
%%x_2= 2,5%%, %%y_2 = 0%%

Berechne die Steigung.

%%\displaystyle m = \frac{0 - 4}{2,5 - 2} = \frac{-4}{0,5} = -4 \cdot \frac{2}{1} = -8%%

Da der y-Achsenabschnitt nicht sichtbar ist, berechne ihn. Stelle daher die Geradengleichung auf.

%%\displaystyle y(x) = -8 \cdot x + t%%

Setze den Punkt %%(2,4)%% ein.

%%\displaystyle 4 = -8 \cdot 2 + t%%

Löse nach %%t%% auf.

%%\displaystyle t = 4 + 8 \cdot 2 = 4 + 16 = 20%%

Gib den Funktionsterm an.

%%f(x) = -8\cdot x + 20%%

Lineare Funktion g(x)

Stelle die allgemeine Form einer linearen Funktion auf.

%%g(x)=m \cdot x+t%%

Lies die Steigung an der Abbildung ab.
Konstruiere dazu ein Steigungsdreieck.

%%\displaystyle m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}%%

Lies zwei Punkte auf dem Graphen der linearen Funktion ab.

%%P1: (0 , -2)%%
%%x_1= 0%%, %%y_1 = -2%%

%%P2: (-4 , -3)%%
%%x_2= -4%%, %%y_2 = -3%%

Berechne die Steigung.

%%\displaystyle m = \frac{-3 - (-2)}{-4 - 0} = \frac{-3 +2}{-4} = \frac{1}{4}%%

Lies den y-Achsenabschnitt an der Abbildung ab.

%%t = -2%%

Gib den Funktionsterm an.

%%\displaystyle g(x)=\frac{1}{4} \cdot x - 2%%

Funktiongleichung bestimmen.

Eine Gerade hat die Steigung  %%a_1%%  und verläuft durch den Punkt P. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung f(x), die Achsenschnittpunkte und zeichnen Sie den Graphen.

%%{\mathrm a}_1=\frac12%%             %%\mathrm P\left(4|-2\right)%%

Bestimmung der Funktionsgleichung

Allgemeine Geradengleichung: %%y=m\cdot x+t%%

hier ist %%m=a_{1}%%

%%\mathrm f\left(\mathrm x\right)=\mathrm a_{1}\cdot\mathrm x+\mathrm t%%

Setze  %%{\mathrm a}_1=\frac12%%  in die allgemeine Geradengleichung ein.

%%\mathrm f\left(\mathrm x\right)=\frac12\mathrm x+\mathrm t%%

Setze P in f(x) ein.

%%-2=\frac12\cdot4+\mathrm t%%

%%\left|-2\right.%%  (löse nach t auf)

%%\mathrm t=-4%%

Setze t in f(x) ein.

%%\mathrm f\left(\mathrm x\right)=\frac12\mathrm x-4%%

Bestimmung des Schnittpunkts mit der y-Achse

Gesucht ist der sogenannte y-Achsenabschnitt (hier: t), also wo y=f(0)= 0 und x=0 ist.

Da die allgemeine Geradengleichung

%%f(x)=m\cdot x+t%% lautet, gilt immer für

%%f(0)=m\cdot0+t=t%%.

Hier ist t= -4

%%\Rightarrow%% Schnittpunkt mit der y-Achse bei %%\left(0/-4\right)%%

Bestimmung des Schnittpunkts mit der x-Achse

%%\mathrm f\left(\mathrm x\right)=0%%

Gesucht ist hier ein x mit f(x) =0 und somit y=0 ist. Setze Funktionsgleichung gleich 0.

%%\frac12\mathrm x-4=0%%

%%\left|+4\right.%%

%%\frac12\mathrm x=4%%

%%\left|:\frac12\right.%%

%%\mathrm x=\frac4{\displaystyle\frac12}%%

 

Du dividierst durch einen Bruch %%\rightarrow%%   Multipliziere mit dem Kehrwert.

%%\mathrm x=4\cdot2=8%%

   %%\Rightarrow%%  Schnittpunkt mit der x-Achse bei  %%\left(8/0\right)%%

 

Zeichnung

Plot der linearen Funktion

%%{\mathrm a}_1=\frac34\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathrm P\left(-1/3\right)%%

Bestimmung der Funktionsgleichung

Allgemeine Gereadengleichung:

%%\mathrm f(\mathrm x)=\mathrm a_{2}\cdot\mathrm x+\mathrm t%%

t: y-Achsenabschnitt

Setze  %%{\mathrm a}_2=\frac34%%  in die allgemeine Geradengleichung ein.

%%\mathrm f(\mathrm x)=\frac34\mathrm x+\mathrm t%%

Setze P(-1/3) in f(x) ein.

%%3=\frac34\cdot\left(-1\right)+\mathrm t%%

%%3=-\frac34+\mathrm t%%

%%\left|+\frac34\right.%%

%%\mathrm t=3+\frac34%%

%%\mathrm t=3,75%%

Setze t in f(x) ein.

%%\mathrm f(\mathrm x)=\frac34\mathrm x-3,75%%

Bestimmung der Achsenschnittpunkte

Setze f(x)=0, um die Nullstellen zu bestimmen.

%%\frac34\mathrm x-3,75=0%%

%%\left|+3,75\right.%%

%%\frac34\mathrm x=3,75%%

%%\left|:\frac34\right.%%

%%\mathrm x=3,75:\frac34%%

Du dividierst durch einen Bruch  %%\rightarrow%%   Multipliziere mit dem Kehrwert.

%%\mathrm x=3,75\cdot\frac43%%

%%x=5%%

%%\Rightarrow%% Schnittpunkt mit der x-Achse bei (5,0)

Der y-Achsenabschnitt entspricht dem Schnittpunkt mit der y-Achse.

%%\Rightarrow%% Schnittpunkt mit der y-Achse bei (0,-3,75)

Zeichung

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/6348_VhY2Zs0H43.xml

%%{\mathrm a}_1=2\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathrm P\left(3/-1\right)%%

Bestimmung der Funktionsgleichung

Allgemeine Geradengleichung: Hier mit %%m=a_{3}%%

%%\mathrm f(\mathrm x)=\mathrm a_{3}\cdot\mathrm x+\mathrm t%%

t: y-Achsenabschnitt

Setze  %%{\mathrm a}_3=2%%  in die allgemeine Geradengleichung ein.

%%\mathrm f(\mathrm x)=2\mathrm x+\mathrm t%%

Setze P(3/-1) in f(x) ein.

%%-1=2\cdot3+\mathrm t%%

%%-1=6+\mathrm t%%

%%\left|-6\right.%%

%%\mathrm t=-1-6%%

%%\mathrm t=-7%%

Setze t in f(x) ein.

%%\mathrm f(\mathrm x)=2\mathrm x-7%%

Bestimmung der Achsenschnittpunkte

Setze f(x)=0, um die Nullstellen zu bestimmen.

%%2\mathrm x-7=0%%

%%\left|+7\right.%%

%%2\mathrm x=7%%

%%\left|:2\right.%%

%%\mathrm x=7:2%%

%%x=\frac 7 2=3,5%%

%%\Rightarrow%% Der Schnittpunkt mit der x-Achse bei %%(\frac 7 2,0)%%.

Der y-Achsenabschnitt entspricht dem Schnittpunkt mit der y-Achse.

%%\Rightarrow%% Schnittpunkt mit der y-Achse bei (0,-7)

  

Zeichnung

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/6350_ufOpT5liEV.xml

%%{\mathrm a}_1=\frac45\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathrm P\left(\frac32/4\right)%%

Bestimmung der Funktionsgleichung

Allgemeine Geradengleichung:

%%\mathrm f(\mathrm x)=\mathrm a_{4}\cdot\mathrm x+\mathrm t%%

t: y-Achsenabschnitt

Setze  %%{\mathrm a}_4=\frac45%%  in die allgemeine Geradengleichung ein.

%%\mathrm f(\mathrm x)=\frac45\mathrm x+\mathrm t%%

Setze  %%\mathrm P\left(\frac32/4\right)%%  in f(x) ein.

%%4=\frac45\cdot\frac32+\mathrm t%%

Kürze den Bruch mit 2.

%%4=\frac25\cdot3+\mathrm t%%

%%4=\frac65+\mathrm t%%

%%\left|-\frac65\right.%%

%%\mathrm t=4-\frac65%%

Schreibe 4 als Bruch mit 4 im Nenner.

%%\mathrm t=\frac{20}5-\frac65%%

%%\mathrm t=\frac{14}5=2,8%%

Setze t in f(x) ein.

%%\mathrm f(\mathrm x)=\frac45\mathrm x+2,8%%

 

Bestimmung der Achsenschnittpunkte

Setze f(x)=0, um die Nullstellen zu bestimmen.

%%\frac45\mathrm x+2,8=0%%

%%\left|-2,8\right.%%

%%\frac45\mathrm x=-2,8%%

%%\left|:\frac45\right.%%

%%\mathrm x=-2,8:\frac45%%

%%{\mathrm x}_\mathrm =-\frac 7 2= -3,5%%

%%\Rightarrow%% Der Schnittpunkt mit der x-Achse bei %%(-\frac 7 2,0)%%

Der y-Achsenabschnitt entspricht dem Schnittpunkt mit der y-Achse.

Hier ist %%t=2,8=\frac {14}{5}%%

%%\Rightarrow%%   Schnittpunkt mit der y-Achse bei %%(0,\frac {14}{5})%%.

Zeichnung

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/6354_l2wZiNbUj4.xml

Funktionsgleichung bestimmen.

Eine Gerade verläuft durch die Punkte  %%P_1%%  und  %%P_2%% . Bestimmen Sie die Funktionsgleichung f(x), die Achsenschnittpunkte und zeichnen Sie den Graphen.

%%{\mathrm P}_1\left(2|1\right)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\mathrm P}_2=\left(5|4\right)%%

Bestimmung der Funktionsgleichung

%%\mathrm y=\mathrm m\cdot\mathrm x+\mathrm t%%

Setze %%{\mathrm P}_1%% und %%{\mathrm P}_2%% in die allgemeine Geradengleichung ein.

%%\begin{array}{l}1)\;1=\mathrm m\cdot2+\mathrm t\\2)\;4=\mathrm m\cdot5+\mathrm t\end{array}%%

Wende das Additionsverfahren an.

%%1)-\;2)\;-3=-3\mathrm m%%

%%\left|:(-3)\right.%%

%%\mathrm m=1%%

Setze m in 1) ein.

%%1=1\cdot2+\mathrm t%%

%%\left|-2\right.%%

%%\mathrm t=-1%%

Setze t und m in die allgemeine Geradengleichung ein.

%%\mathrm y=\mathrm x-1\;\Rightarrow\;\mathrm f(x)=x-1%%

Alternative Rechnung

Bestimme die Geradensteigung mit Hilfe des Differenzenquotioneten.

%%\Rightarrow m=\frac{4-1}{5-2}=\frac33=1%%

Setze nun einen der beiden Punkte und m in die allgemeine Geradengleichung.

%%1=1\cdot2+t\Rightarrow t=-1%%

Die Geradengleichung lautet also:

%%y=x-1%%

Bestimmung der Achsenschnittpunkte

Setze y=0, um den Schnittpunkt mit der x-Achse zu bestimmen

%%\mathrm x-1=0%%

%%\left|+1\right.%%

%%{\mathrm x}_\mathrm N=1%%

Der Schnittpunkt mit der x-Achse ist %%\mathrm S_1\left(1|0\right)%%

Der Schnittpunkt mit der y-Achse entspricht dem y-Achsenabschnitt (t) %%\;\;\Rightarrow\;\;\mathrm S_2\left(0|-1\right)%%

Zeichnung

  • Verbinde entweder die beiden Achsenschnittpunkte %%\mathrm S_1%% und %%\mathrm S_2%%,

  • oder die beiden vorgegebenen Punkte %%\mathrm P_1%% und %%\mathrm P_2%%.

  • Oder Wähle einen dieser Punkte und gehe entsprechend der Steigung eins nach rechts und eins nach oben und verbinde diese beiden Punkte.

Bild Zeichnung der Lösungsgerade

%%{\mathrm P}_1\left(-3|-2\right)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\mathrm P}_2\left(2\,|\,3\right)%%

Bestimmung der Funktionsgleichung

%%\mathrm y=\mathrm m\cdot\mathrm x+\mathrm t\\%%

Setze %%{\mathrm P}_1%% und %%{\mathrm P}_2%% in die allgemeine Geradengleichung ein.

%%\begin{array}{l}1)\;-2=\mathrm m\cdot(-3)+\mathrm t\\2)\;3=\mathrm m\cdot2+\mathrm t\end{array}\\%%

Wende das Additionsverfahren an.

%%1)-\;2)\;-5=-5\mathrm m\\%%

%%\left|:(-5)\right.%%

%%\mathrm m=1\\%%

Setze m in 2) ein.

%%3=2+\mathrm t\\%%

%%\left|-2\right.%%

%%\mathrm t=1\\%%

Setze m und t in die allgemeine Geradengleichung ein.

%%\mathrm y=\mathrm x+1\Rightarrow\mathrm f(x)=x+1%%

Alternative Rechnung

Bestimme die Geradensteigung mit Hilfe des Differenzenquotioneten.

%%\Rightarrow m=\frac{3-(-2)}{2-(-3)}=\frac55=1%%

Setze nun einen der beiden Punkte und m in die allgemeine Geradengleichung.

%%-2=1\cdot(-3)+t\,\Rightarrow\, t=1%%

Die Geradengleichung lautet also:

%%y=x+1%%

Bestimmung der Achsenschnittpunkte

Setze y=0, um den Schnittpunkt mit der x-Achse zu bestimmen

%%\mathrm x+1=0\\%%

%%\left|-1\right.%%

%%{\mathrm x}_\mathrm N=-1%%

Der Schnittpunkt mit der x-Achse ist %%\mathrm S_1(-1\,|\,0)%%.

Der Schnittpunkt mit der y-Achse entspricht dem y-Achsenabschnitt  %%\Rightarrow\;\mathrm S\left(0\,|\,1\right)%%

Zeichnung

  • Verbinde entweder die beiden Achsenschnittpunkte %%\mathrm S_1%% und %%\mathrm S_2%%,

  • oder die beiden vorgegebenen Punkte %%\mathrm P_1%% und %%\mathrm P_2%%.

  • Oder Wähle einen dieser Punkte und gehe entsprechend der Steigung eins nach recht und eins nach oben und verbinde diese beiden Punkte.

Zeichnung der Lösungsgerade

%%{\mathrm P}_1\left(-2,|\,3\right)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\mathrm P}_2\left(4\,|-1\right)%%

Bestimmung der Funktionsgleichung

%%\mathrm y=\mathrm{mx}+\mathrm t\\%%

Setze %%{\mathrm P}_1%% und %%{\mathrm P}_2%% in die allgemeine Geradengleichung ein.

%%\begin{array}{l}1)\;3=-2\mathrm m+\mathrm t\\2)\;-1=4\mathrm m+\mathrm t\end{array}\\%%

Wende das Additionsverfahren an.

%%1)-\;2)\;4=-6\mathrm m\\%%

%%\left|:(-6)\right.%%

%%\mathrm m=\frac4{-6}\\%%

Kürze mit 2.

%%\mathrm m=-\frac23\\%%

Setze m in 1) ein.

%%3=-2\left(-\frac23\right)+\mathrm t\\%%

%%3=\frac43+\mathrm t\\%%

%%\left|-\frac43\right.%%

%%\mathrm t=3-\frac43\\%%

%%\mathrm t=1\frac23\\%%

Setze m und t in die allgemeine Geradengleichung ein.

%%\mathrm y=-\frac23\mathrm x+1\frac23%%

Alternative Rechnung

Bestimme die Geradensteigung mit Hilfe des Differenzenquotioneten.

%%\Rightarrow m=\frac{(-1)-3}{4-(-2)}=\frac{-4}{6}=-\frac23%%

Setze nun einen der beiden Punkte und m in die allgemeine Geradengleichung.

%%3=-\frac23\cdot(-2)+t\,\Rightarrow\, t=\frac53%%

Die Geradengleichung lautet also:

%%y=-\frac23x+\frac53%%

Bestimmung der Achsenschnittpunkte

Setze y=0, um den Schnittpunkt mit der x-Achse zu erhalten

%%-\frac23\mathrm x+1\frac23=0\\%%

%%\left|-1\frac23\right.%%

%%-\frac23\mathrm x=-1\frac23=-\frac53\\%%

%%\left|:\left(-\frac23\right)\right.%%

%%\mathrm x=\displaystyle\frac{-\frac53}{-\frac23}\\%%

%%{\mathrm x}_\mathrm N=-\frac53\cdot(-\frac32)=\frac52=2,5\\%%

Der Schnittpunkt mit der x-Achse ist %%\mathrm S_1\left(\frac52\,|\,0\right)%%

Schnittpunkt mit der y-Achse entspricht dem y-Achsenabschnitt  %%\Rightarrow\;\;\mathrm S\left(0\,|\,\frac53\right)%%

Zeichnung

  • Verbinde entweder die beiden Achsenschnittpunkte %%\mathrm S_1%% und %%\mathrm S_2%%,

  • oder die beiden vorgegebenen Punkte %%\mathrm P_1%% und %%\mathrm P_2%%.

Zeichnung der Lösungsgerade

%%{\mathrm P}_1\left(-4\,|-1\right)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\mathrm P}_2\left(3\,|\,1\right)%%

Bestimmung der Funktionsgleichung

%%\mathrm y=\mathrm{mx}+\mathrm t\\%%

Setze %%{\mathrm P}_1%% und %%{\mathrm P}_2%% in die allgemeine Geradengleichung ein.

%%\begin{array}{l}1)\;-1=-4\mathrm m+\mathrm t\\2)\;1=3\mathrm m+\mathrm t\end{array}\\%%

Wende das Additionsverfahren an.

%%1)-\;2)\;-2=-7\mathrm m\\%%

%%\left|:\left(-7\right)\right.%%

%%\mathrm m=\frac27\\%%

Setze m in 2) ein.

%%1=\frac27\cdot3+\mathrm t\\%%

%%\left|-\frac67\right.%%

%%\mathrm t=1-\frac67\\%%

%%\mathrm t=\frac17\\%%

Setze m und t in die allgemeine Geradengleichung ein.

%%\mathrm y=\frac27\mathrm x+\frac17\Rightarrow\mathrm f(x)=\frac27x+\frac17%%

Alternative Rechnung

Bestimme die Geradensteigung mit Hilfe des Differenzenquotioneten.

%%\Rightarrow m=\frac{1-(-1)}{3-(-4)}=\frac27%%

Setze nun einen der beiden Punkte und m in die allgemeine Geradengleichung.

%%-1=\frac27\cdot(-4)+t\,\Rightarrow\, t=\frac17%%

Die Geradengleichung lautet also:

%%y=\frac27x+\frac17%%

Bestimmung der Achsenschnittpunkte

Setze y=0, um den Schnittpunkt mit der x-Achse zu bestimmen

%%\frac27\mathrm x+\frac17=0\\%%

%%\left|-\frac17\right.%%

%%\frac27\mathrm x=-\frac17\\%%

%%\left|:\left(\frac27\right)\right.%%

%%\mathrm x=\displaystyle\frac{-\frac17}{\frac27}\\%%

Dividiere die Brüche. %%\rightarrow%% Multipliziere mit dem Kehrwert.

%%\mathrm x=-\frac17\cdot\frac72%%

%%{\mathrm x}_\mathrm N=-\frac12%%

Der Schnittpunkt mit der x-Achse ist %%\mathrm S_1\left(-\frac12\,|\,0\right)%%.

Schnittpunkt mit der y-Achse entspricht dem y-Achsenabschnitt  %%\Rightarrow\;\;\mathrm S_2\left(0\,|\,\frac17\right)%%

Zeichnung

  • Verbinde entweder die beiden Achsenschnittpunkte %%\mathrm S_1%% und %%\mathrm S_2%%,

  • oder die beiden vorgegebenen Punkte %%\mathrm P_1%% und %%\mathrm P_2%%.

  • Oder Wähle einen dieser Punkte und gehe entsprechend der Steigung sieben nach rechts und zwei nach oben und verbinde diese beiden Punkte.

Zeichnung der Lösungsgerade

%%{\mathrm P}_1\left(-3\,|\,\frac92\right)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\mathrm P}_2\left(4\,|-1\right)%%

Bestimmung der Funktionsgleichung

%%\mathrm y=\mathrm{mx}+\mathrm t\\%%

Setze %%{\mathrm P}_1%% und %%{\mathrm P}_2%% in die allgemeine Geradengleichung ein.

%%\begin{array}{l}1)\;\frac92=-3\mathrm m+\mathrm t\\2)\;-1=4\mathrm m+\mathrm t\end{array}\\%%

Wende das Additionsverfahren an.

%%1)-\;2)\;\frac{11}2=-7\mathrm m\\%%

%%\left|:\left(-7\right)\right.%%

%%\mathrm m=\displaystyle\frac{\frac{11}2}{-7}=-\frac{11}{14}\\%%

Setze m in 2) ein.

%%-1=-\frac{11}{14}\cdot4+\mathrm t\\%%

%%-1=-\frac{44}{14}+\mathrm t\\%%

%%\left|+\frac{44}{14}\right.%%

%%\mathrm t=\frac{30}{14}\\%%

Setze m und t in die allgemeine Geradengleichung ein.

%%\mathrm y=-\frac{11}{14}\mathrm x+\frac{30}{14}%%

Alternative Rechnung

Bestimme die Geradensteigung mit Hilfe des Differenzenquotioneten.

%%\Rightarrow m=\displaystyle\frac{-1-\frac92}{4-(-3)}=\frac{-\frac{11}2}{7}=-\frac{11}{14}%%

Setze nun einen der beiden Punkte und m in die allgemeine Geradengleichung.

%%-1=-\frac{11}{14}\cdot4+t\,\Rightarrow\, t=\frac{30}{14}%%

Die Geradengleichung lautet also:

%%y=-\frac{11}{14}x+\frac{30}{14}%%

Bestimmung der Achsenschnittpunkte

Setze y=0, um den Schnittpunkt mit der x-Achse zu bestimmen.

%%-\frac{11}{14}\mathrm x+\frac{30}{14}=0\\%%

%%\left|-\frac{30}{14}\right.%%

%%-\frac{11}{14}\mathrm x=-\frac{30}{14}\\%%

%%\left|:\left(-\frac{11}{14}\right)\right.%%

Dividiere die Brüche. Das heißt multipliziere mit dem Kehrbruch.

%%\mathrm x=-\frac{30}{14}\cdot\left(-\frac{14}{11}\right)\\%%

Multipliziere.

%%{\mathrm x}_\mathrm N=\frac{30}{11}%%

Der Schnittpunkt mit der x-Achse ist %%\mathrm S_1\left(\frac{30}{11}\,|\,0\right)%%

Der Schnittpunkt mit der y-Achse entspricht dem y-Achsenabschnitt  %%\Rightarrow\;\;\mathrm S\left(0\,|\,\frac{30}{14}\right)%%

Zeichnung

  • Verbinde die beiden vorgegebenen Punkte %%\mathrm P_1%% und %%\mathrm P_2%%.

  • Oder Wähle einen dieser Punkte und gehe entsprechend der Steigung 14 nach rechts und 11 nach unten und verbinde diese beiden Punkte.

Zeichnung der Lösungsgerade

%%{\mathrm P}_1\left(-4\,|-2\right)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\mathrm P}_2\left(\frac72\,|\,4\right)%%

Bestimmung der Funktionsgleichung

%%\mathrm y=\mathrm{mx}+\mathrm t\\%%

Setze %%{\mathrm P}_1%% und %%{\mathrm P}_2%% in die allgemeine Geradengleichung ein.

%%\begin{array}{l}1)\;-2=-4\mathrm m+\mathrm t\\2)\;4=3,5\mathrm m+\mathrm t\end{array}\\%%

Wende das Additionsverfahren an.

%%-6=-7,5\mathrm m\\%%

%%\left|:\left(-7,5\right)\right.%%

%%\mathrm m=\frac{-6}{-7,5}\\%%

%%\mathrm m=0,8\\%%

Setze m in 1) ein.

%%-2=0,8\cdot\left(-4\right)+\mathrm t\\%%

%%-2=-3,2+\mathrm t\\%%

%%\left|+3,2\right.%%

%%\mathrm t=1,2\\%%

Setze m und t in die allgemeine Geradengleichung ein.

%%\mathrm y=0,8\mathrm x+1,2\Rightarrow\mathrm f(x)=0,8x+1,2%%

Alternative Rechnung

Bestimme die Geradensteigung mit Hilfe des Differenzenquotioneten.

%%\Rightarrow \displaystyle m=\frac{4-(-2)}{\frac72-(-4)}=\frac{6}{\frac{15}2}=\frac{12}{15}=\frac45=0,8%%

Setze nun einen der beiden Punkte und m in die allgemeine Geradengleichung.

%%-2=0,8\cdot(-4)+t\,\Rightarrow\, t=1,2%%

Die Geradengleichung lautet also:

%%y=0,8x+1,2%%

Bestimmung der Achsenschnittpunkte

Setze y=0, um den Schnittpunkt mit der x-Achse zu bestimmen

%%0,8\mathrm x+1,2=0\\%%

%%\left|-1,2\right.%%

%%0,8\mathrm x=-1,2\\%%

%%\left|:0,8\right.%%

%%\mathrm x=\frac{-1,2}{0,8}\\%%

%%{\mathrm x}_\mathrm N=-1,5%%

Der Schnittpunkt mit der x-Achse ist %%\mathrm S_1\left(-1,5\,|\,0\right)%%

Der Schnittpunkt mit der y-Achse entspricht dem y-Achsenabschnitt  %%\Rightarrow\;\;\mathrm S\left(0\,|\,1,2\right)%%

Zeichnung

  • Verbinde entweder die beiden Achsenschnittpunkte %%\mathrm S_1%% und %%\mathrm S_2%%,

  • oder die beiden vorgegebenen Punkte %%\mathrm P_1%% und %%\mathrm P_2%%.

  • Oder Wähle einen dieser Punkte und gehe entsprechend der Steigung 1 nach rechts und 0,8 nach oben und verbinde diese beiden Punkte.

Zeichnung der Lösungsgerade

Zeichnen Sie die Graphen folgender Funktionen jeweils in ein Koordinatensystem.

%%\mathrm f\left(\mathrm x\right)=-0,3\mathrm x%%

Vorgehensweise

  1. Zeichne den y-Achsenabschnitt als Punkt ein. Die Gerade ist eine Ursprungsgerade, deshalb ist hier A(0|0).

  2. Schreibe die Steigung um zu zeinem Bruch %%\left(-0,3=-\frac{3}{10}\right)%%. Gehe entsprechend der Steigung 10 nach rechts und 3 nach unten und zeichne den Punkt ein (hier B(10|-3)).

  3. Verbinde die beiden Punkte zu einer Geraden.

Gerade eingezeichnet in Koordinatensystem

Bestimme die Gleichung folgender Gerade:

Geogebra File: /uploads/legacy/6610_Ge4XSrkKtf.xml

Die allgemeine Geradengleichung ist:

%%\mathrm y=\mathrm m\cdot\mathrm x+\mathrm t%%

Lese den y-Achsenabschnitt %%t%%, also die Stelle, an der die Gerade die y-Achse schneidet, aus der Zeichnung ab.

%%t=-1%%

Suche zwei Punkte mit (bestenfalls) ganzzahligen Koordinaten.

%%P\left(2 \;|\;2\right)%% und %%Q(4\;| \;5)%% liegen auf der Gerade.

Um die Steigung %%m%% zu bestimmen, gibt es zwei Möglichkeiten:

1. %%\;m=\displaystyle\frac{y_Q-y_P}{x_Q-x_P}%%

Setze die Koordinaten von %%P%% und %%Q%% ein!

%%m=\displaystyle\frac{5-2}{4-2}=\frac32=1,5%%

2. Zeichnung des Steigungsdreiecks zwischen Punkten P und Q

Zeichne ein Steigungsdreieck zwischen den Punkten. Der senkrechte Abstand ist der Zähler, der waagerechte Abstand ist der Nenner des Bruches, der die Steigung beschreibt.

%%m=\displaystyle\frac{\text{senkrecht}}{\text{waagerecht}}=\frac32=1,5%%

Die Geradengleichung ist also gegeben durch:

%%\mathrm g\left(\mathrm x\right)=\frac32\cdot\mathrm x-1=1,5x-1%%

Zeichne die Graphen folgender Geraden mit dem Schnittpunkt mit der y-Achse und dem Steigungsdreick. Berechne den Schnittpunkt mit der x-Achse und überprüfe das Ergebnis anhand des Graphen.

%%f(x)\;=\;2x-5%%

%%\mathrm f(\mathrm x)=2\mathrm x-5%%

Lies den y-Achsenabschnitt aus der Funktionsgleichung ab.

%%\Rightarrow\;{\mathrm P}_\mathrm y\;\left(0\;\left|\;-5\right.\right)%%

Lies die Steigung der Gerade am Funktionsterm ab.

%%\Rightarrow\;m_f=2%%

Berechne den Schnittpunkt mit der x-Achse. Setze dazu den Funktionsterm mit 0 gleich.

%%2x-5=0%%

%%|+5%%

%%2\mathrm x=5%%

%%\left|:2\right.%%

%%\Rightarrow\;x_0=2,5%%

%%\Rightarrow\;{\mathrm P}_\mathrm x\;\left(2,5\;\left|\;0\right.\right)%%

Aufgabe Lineare Funktionen 14a

%%f(x)=-x-3%%

%%\mathrm f(\mathrm x)=-\mathrm x-3%%

Lies den y-Achsenabschnitt aus der Funktionsgleichung ab.

%%\Rightarrow\;{\mathrm P}_\mathrm y\;\left(0\;\left|\;-3\right.\right)%%

Lies die Steigung der Gerade am Funktionsterm ab.

%%\Rightarrow\;m_f=-1%%

Berechne den Schnittpunkt mit der x-Achse. Setze dazu den Funktionsterm mit 0 gleich.

%%-x-3=0%%

%%|+x%%

%%\Rightarrow\;x_0=-3%%

%%\Rightarrow\;{\mathrm P}_\mathrm x\;\left(-3\;\left|\;0\right.\right)%%

Aufgabe Lineare Funktionen 14b

%%f\left(x\right)=\frac12x+1%%

%%\mathrm f(\mathrm x)=\frac12\mathrm x+1%%

Lies den y-Achsenabschnitt aus der Funktionsgleichung ab.

%%\Rightarrow\;{\mathrm P}_\mathrm y\;\left(0\;\left|\;1\right.\right)%%

Lies die Steigung der Gerade am Funktionsterm ab.

%%\Rightarrow\;m_f=\frac12%%

Berechne den Schnittpunkt mit der x-Achse. Setze dazu den Funktionsterm mit 0 gleich.

%%\frac12x+1=0%%

%%|-1%%

%%\frac12x=-1%%

%%|\cdot 2%%

%%\Rightarrow\;x_0=-2%%

%%\Rightarrow\;{\mathrm P}_\mathrm x\;\left(-2\;\left|\;0\right.\right)%%

Aufgabe Lineare Funktionen 14c

%%f\left(x\right)=-\frac12x-2%%

%%\mathrm f(\mathrm x)=-\frac12\mathrm x-2%%

Lies den y-Achsenabschnitt aus der Funktionsgleichung ab.

%%\Rightarrow\;{\mathrm P}_\mathrm y\;\left(0\;\left|\;-2\right.\right)%%

Lies die Steigung der Gerade am Funktionsterm ab.

%%\Rightarrow\;m_f=-\frac12%%

Berechne den Schnittpunkt mit der x-Achse. Setze dazu den Funktionsterm mit 0 gleich.

%%-\frac12x-2=0%%

%%|+2%%

%%-\frac12x=2%%

%%|\cdot(-2)%%

%%\Rightarrow\;x_0=-4%%

%%\Rightarrow\;{\mathrm P}_\mathrm x\;\left(-4\;\left|\;0\right.\right)%%

Aufgabe Lineare Funktionen 14d

%%f\left(x\right)=\frac13x-\frac12%%

%%\mathrm f(\mathrm x)=\frac13\mathrm x-\frac12%%

Lies den y-Achsenabschnitt aus der Funktionsgleichung ab.

%%\Rightarrow\;{\mathrm P}_\mathrm y\;\left(0\;\left|\;-\frac12\right.\right)%%

Lies die Steigung der Gerade am Funktionsterm ab.

%%\Rightarrow\;m_f=\frac13%%

Berechne den Schnittpunkt mit der x-Achse. Setze dazu den Funktionsterm mit 0 gleich.

%%\frac13x-\frac12=0%%

%%\left|+\frac12\right.%%

%%\frac13x=\frac12%%

%%| \cdot 3%%

%%\Rightarrow\;x_0=\frac32%%

%%\Rightarrow\;{\mathrm P}_\mathrm x\;\left(\frac32\left|\;0\right.\right)%%

Aufgabe Lineare Funktionen 14e

%%f\left(x\right)=-\frac14x+\frac32%%

%%\mathrm f(\mathrm x)=-\frac14\mathrm x+\frac32%%

Lies den y-Achsenabschnitt aus der Funktionsgleichung ab.

%%\Rightarrow\;{\mathrm P}_\mathrm y\;\left(0\;\left|\;\frac32\right.\right)%%

Lies die Steigung der Gerade am Funktionsterm ab.

%%\Rightarrow\;m_f=-\frac14%%

Berechne den Schnittpunkt mit der x-Achse. Setze dazu den Funktionsterm mit 0 gleich.

%%-\frac14\mathrm x+\frac32=0%%

%%\left|-\frac32\right.%%

%%-\frac14\mathrm x=-\frac32%%

%%|\cdot(-4)%%

%%\Rightarrow\;x_0=6%%

%%\Rightarrow\;{\mathrm P}_\mathrm x\;\left(6\;\left|\;0\right.\right)%%

Aufgabe Lineare Funktionen 14f

%%f\left(x\right)=\frac23x+2%%

%%\mathrm f(\mathrm x)=\frac23\mathrm x+2%%

Lies den y-Achsenabschnitt aus der Funktionsgleichung ab.

%%\Rightarrow\;{\mathrm P}_\mathrm y\;\left(0\;\left|\;2\right.\right)%%

Lies die Steigung der Gerade am Funktionsterm ab.

%%\Rightarrow\;m_f=\frac23%%

Berechne den Schnittpunkt mit der x-Achse. Setze dazu den Funktionsterm mit 0 gleich.

%%\frac23\mathrm x+2=0%%

%%|-2%%

%%\frac23\mathrm x=-2%%

%%\left|:\frac23\right.%%

%%\Rightarrow\;x_0=-3%%

%%\Rightarrow\;{\mathrm P}_\mathrm x\;\left(-3\;\left|\;0\right.\right)%%

Aufgabe Linare Funktionen 14g

%%f\left(x\right)=-\frac34x-1%%

%%\mathrm f(\mathrm x)=-\frac34\mathrm x-1%%

Lies den y-Achsenabschnitt aus der Funktionsgleichung ab.

%%\Rightarrow\;{\mathrm P}_\mathrm y\;\left(0\;\left|\;-1\right.\right)%%

Lies die Steigung der Gerade am Funktionsterm ab.

%%\Rightarrow\;m_f=-\frac34%%

Berechne den Schnittpunkt mit der x-Achse. Setze dazu den Funktionsterm mit 0 gleich.

%%-\frac34\mathrm x-1=0%%

%%|+1%%

%%-\frac34\mathrm x=1%%

%%\left|:(-\frac34)\right.%%

%%\Rightarrow\;x_0=-\frac43%%

%%\Rightarrow\;{\mathrm P}_\mathrm x\;\left(-\frac43\;\left|\;0\right.\right)%%

Aufgabe Lineare Funktionen 14h

%%f\left(x\right)=-3x+\frac5{10}%%

%%\mathrm f(\mathrm x)=-3\mathrm x+\frac5{10}%%

Lies den y-Achsenabschnitt aus der Funktionsgleichung ab.

%%\Rightarrow\;{\mathrm P}_\mathrm y\;\left(0\;\left|\;\frac5{10}\right.\right)%%

Lies die Steigung der Gerade am Funktionsterm ab.

%%\Rightarrow\;m_f=-3%%

Berechne den Schnittpunkt mit der x-Achse. Setze dazu den Funktionsterm mit 0 gleich.

%%-3\mathrm x+\frac5{10}=0%%

%%\left|-\frac5{10}\right.%%

%%-3\mathrm x=-\frac5{10}%%

%%|:(-3)%%

%%\Rightarrow\;x_0=\frac{5}{30}=\frac16%%

%%\Rightarrow\;{\mathrm P}_\mathrm x\;\left(\frac16\;\left|\;0\right.\right)%%

Aufgabe Lineare Funktionen 14i

%%f\left(x\right)=\frac57x-\frac{12}4%%

%%\mathrm f(\mathrm x)=\frac57\mathrm x-\frac{12}4=\frac57\mathrm x-3%%

Lies den y-Achsenabschnitt aus der Funktionsgleichung ab.

%%\Rightarrow\;{\mathrm P}_\mathrm y\;\left(0\;\left|\;-3\right.\right)%%

Lies die Steigung der Gerade am Funktionsterm ab.

%%\Rightarrow\;m_f=\frac57%%

Berechne den Schnittpunkt mit der x-Achse. Setze dazu den Funktionsterm mit 0 gleich.

%%\frac57\mathrm x-3=0%%

%%|+3%%

%%\frac57\mathrm x=3%%

%%\left|:\frac57\right.%%

%%\Rightarrow\;x_0=\frac{21}5%%

%%\Rightarrow\;{\mathrm P}_\mathrm x\;\left(\frac{21}5\;\left|\;0\right.\right)%%

Aufgabe Lineare Funktionen 14j

Stelle die Gleichung der Geraden mit Steigung  %%m=-\frac43%%   durch den Punkt P(-2 | -0,5) auf und zeichne sie in ein Koordinatensystem.

  %%m=-\frac43%% ;  P(-2 | -0,5)

Setze m und P in die die allgemeine Geradengleichung ein.

%%-\frac12=-\frac43\cdot(-2)+t%%

Löse nach t auf. %%\left|{-\frac83}\right.%%   Erläuterung: %%-\frac43\cdot\left(-2\right)=\frac{-4\left(-2\right)}3=\frac83%%

      %%t=-\frac12-\frac83%%

      %%t=-\frac{19}6%%

Wandle in einen gemischten Bruch um.

      %%t=-3\frac16%%

Setze t und m in die allgemeine Geradengleichung ein.

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% %%y=-\frac43x-3\frac16%%

 

 

 

Gerade zeichnen

Wähle einen beliebigen Punkt auf der Geraden z. B. den gegebenen Punkt P(-2|-0,5). Gehe von dort entsprechen der  Steigung %%m=-\frac43%% , 3 nach links und 4 nach oben. Verbinde die beiden Punkte zu einer Geraden.

 

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/782.xml

Stelle die Gleichung der Geraden durch die zwei Punkte auf und zeichne sie.

%%P(2|0)%%  und  %%Q(-2|2)%%

Geradengleichung ermitteln

%%P(2|0); Q(-2|2)%%

Ermittle die Steigung %%m%% der allgemeinen Geradengleichung mithilfe des Differenzenqotienten .

%%m=\frac{2-0}{-2-2}=\frac2{-4}=-\frac12%%

Setze %%m%% und die Koordinaten eines Punktes z. B. %%P(2|0)%% in die allgemeine Geradengleichung ein.

%%0=-\frac12\cdot2+t%%

Löse nach %%t%% auf. %%\left|{+\frac12\cdot2}\right.%%

%%t=1%%

Setze %%m%% und %%t%% in die allgemeine Geradengleichung ein.

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% %%y=-\frac12x+1%%

 

Gerade zeichnen

 

Wähle einen beliebigen Punkt auf der Geraden z. B. %%P(2|0)%%. Gehe von dort entsprechend der  Steigung %%m=-\frac12%% , %%2%% nach links und %%1%% nach oben. Verbinde die beiden Punkte zu einer Geraden.

Alternative

Verbinde die beiden vorgegebenen Punkte. Diese legen die Gerade eindeutig fest.

Graph Funktion Gerade zeichnen

%%P(0,5|1,5)%%  und  %%Q(5|3)%%

Geradengleichung ermitteln

%%P(0,5|1,5); Q(5|3)%%

Ermittle die Steigung %%m%% der allgemeinen Geradengleichung mithilfe des Differenzenqotienten.

%%m=\frac{3-1,5}{5-0,5}=\frac{1,5}{4,5}=\frac13%%

Setze %%m%% und die Koordinaten eines Punktes z. B. %%Q(5|3)%% in die allgemeine Geradengleichung ein.

%%3=\frac13\cdot5+t%%

Löse nach %%t%% auf. %%\left|{-\frac13\cdot5}\right.%%

%%t=\frac43%%

Setze %%m%% und %%t%% in die allgemeine Geradengleichung ein.

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% %%y=\frac13x+\frac43%%

 

Gerade zeichnen

Wähle einen beliebigen Punkt auf der Geraden z. B. den %%Q(5|3)%%. Gehe von dort entsprechend der  Steigung %%m=\frac13%% , %%3%% nach rechts und %%1%% nach oben. Verbinde die beiden Punkte zu einer Geraden.

Alternative

Verbinde die beiden vorgegebenen Punkte. Diese legen die Gerade eindeutig fest.

Graph Funktion Gerade Zeichnen Steigungsdreieck

%%P(-2|1)%%  und  %%Q(6|4)%%

%%P(-2|1)%%; %%Q(6|4)%%

%%m=\frac{4-1}{6-(-2)}=\frac38%%

Setze m und die Koordinaten eines Punktes z. B. P(-2|1) in die allgemeine Geradengleichung ein.

%%1=\frac38\cdot(-2)+t%%

%%\frac38\cdot(-2)=-\frac68=-\frac34%%

%%1=-\frac34+t%%

Löse nach t auf. %%\left|{+\frac34}\right.%%

%%t=\frac74%%

Setze m und t in die allgemeine Geradengleichung ein.

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% %%y=\frac38x+\frac74%%

 

Gerade zeichnen

Zeichne die beiden vorgegebenen Punkte %%P(-2|1)%% und %%Q(6|4)%% in das Koordinatensystem ein und verbinde sie zu einer Geraden.

Graph Gerade Funktion zeichnen durch Punkte

%%P(-4|1)%%  und  %%Q(1|-1)%%

%%P(-4|1)%%; %%Q(1|-1)%%

%%m=\frac{-1-1}{1-(-4)}=-\frac25%%

Setze m und die Koordinaten eines Punktes z. B. P(-4|1) in die allgemeine Geradengleichung ein.

%%1=-\frac25\cdot(-4)+t%%

%%1=\frac85+t%%

Löse nach t auf. %%\left|{-\frac85}\right.%%

%%t=-\frac35%%

Setze m und t in die allgemeine Geradengleichung ein.

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% %%y=-\frac25x-\frac35%%

 

Gerade zeichnen

Zeichne die beiden vorgegebenen Punkte %%P(-4|1)%% und %%Q(1|-1)%% in das Koordinatensystem ein und verbinde sie zu einer Geraden.

Gerade Funktion Graph zeichnen durch Punkte

Gegeben sind die Funktionen  %%\mathrm g\left(\mathrm x\right)=0,75\mathrm x+3%%  und  %%\mathrm h\left(\mathrm x\right)=-\mathrm x-2,5%% .

Die Gerade h soll so in y-Richtung verschoben werden, dass g und die verschobene Gerade h die x-Achse im gleichen Punkt schneiden.

Bestimmen Sie den Funktionsterm  %%\mathrm f\left(\mathrm x\right)%%  für die verschobene Gerade.

Zeichnugn der gegebenen linearen Funktionen

f hat die gleiche die Steigung wie h, also %%m= -1%%.

Wie man am Bild erkennen kann, muss man die Gerade h in y-Richtung, so verschieben, dass f und g dann die gleiche Nullstelle haben.

%%0=\frac{3}{4}\cdot x +3%%

Nach x auflösen.

%%\Rightarrow x= -4%%.

Geradengleichung von f bestimmen

%%y=m\cdot x+t%%

Setze die Nullstelle (-4 | 0) und die Steigung von f in die allgemeine Geradengleichung ein.

%%0=(-1) \cdot (-4)+t%%

%%\Rightarrow t=-4%%

Also lautet die Geradengleichung für f:

%%f(x)=-x-4%%

Beschreibe mit Worten die Lage der Geraden mit der Gleichung:

%%\mathrm y=-1%%

Es handelt sich hier um eine konstante Funktion, d.h. die Funktion hängt nicht von %%x%% ab.
Jeder der %%x%%-Werte hat den %%y%%-Wert %%-1%% . Die Gleichung beschreibt eine Gerade, die eine Paralelle zur x-Achse ist, und die 1 unterhalb der x-Achse liegt.

%%\Rightarrow y=-1%% beschreibt also eine Gerade mit Steigung %%0%% durch den Punkt %%(0,-1)%%.

Der Graph

Graph der Gerade

%%\mathrm x+\mathrm y=-2%%

%%y+x=-2%%

Forme um, sodass %%y%% alleine auf der einen Seite des Gleichheitszeichen steht.

%%y=-x-2%%

Lese die Steigung %%m%% und den y-Achsenabschnitt %%t%% ab.

Die Gleichung beschreibt eine Gerade mit der Steigung %%m=-1%% und dem y-Achsenabschitt %%t=-2%% (Sie geht durch den Punkt %%(0,-2)%%) , also die Winkelhalbierende des II und IV Quadranten um %%2%% nach unten verschoben.

Der Graph

Graph der Gerade

Gegeben sind die folgenden Funktionsgraphen:

Geogebra File: /uploads/legacy/8295_ofUZ0yFWC1.xml

Welcher der vier Graphen gehört zur Gleichung  %%\mathrm y=\frac54\mathrm x-1%% ?

Funktionsgraphen linearer Funktionen zuordnen

Finde den Funktionsgraphen, der zur Funktionsgleichung %%y=\frac{5}{4}x−1%% gehört.

Bestimme daher zunächst den y-Achsenabschnitt.

%%y(0) = \frac{5}{4} \cdot 0 -1%%

Multipliziere und subtrahiere.

%%\frac{5}{4} \cdot 0 -1 = -1%%

Gebe den y-Achsenabschnitt an.

Der y-Achsenabschnitt ist -1, der Graph schneidet also im Punkt (0,-1) die y-Achse.
Somit können nur Graph 1 (rot) und Graph 2 (grün) zu der Funktion gehören.

Betrachte nun die Steigung der Graphen. Gib zuerst die Funktionsgleichung der Funktion an.

%%y=\frac{5}{4}x−1%%

Gib die Steigung der Funktion an, indem du sie von der Geradengleichung abliest.

%%m = \frac 54%%

Graph 1 (rot)

Bestimme die Steigung von Graph 1 (rot), indem du ein Steigungsdreieck konstruierst. Lies dazu den Wert an der Stelle %%x_2 = 1%% ab.

%%x_2 = 1%%
%%y_2 = y(x_2) = - 0,25%%

Für die Konstruktion eines Steigungsdreieck benötigst du einen zweiten Punkt. Gib dazu den schon berechneten Punkt des y-Achsenabschnitts an.

%%x_1 = 0%%
%%y_1 = -1%%

Berechne nun die Steigung gemäß %%m = \frac{y_2 - y_1}{x_2-x_1}%%.

%%m = \frac{-0,25 -(-1)}{1-0} = \frac{0,75}{1} = 0,75%%

Die Steigung des Graphen ist offenbar zu klein, als dass Graph 1 (rot) der zugehörige Funktionsgraph sein könnte.

Graph 2 (grün)

Bestimme die Steigung von Graph 2 (grün), indem du ein Steigungsdreieck konstruierst. Lies dazu den Wert an der Stelle %%x_2 = 1%% ab.

%%x_2 = 1%%
%%y_2 = y(x_2) = 0,25%%

Gib den Punkt des y-Achsenabschnitts an.

%%x_1 = 0%%
%%y_1 = -1%%

Für die Konstruktion eines Steigungsdreieck benötigst du einen zweiten Punkt. Gib dazu den schon berechneten Punkt des y-Achsenabschnitts an.

%%m = \frac{0,25 -(-1)}{1-0} = \frac{1,25}{1} = 1,25 = \frac54%%

Ergebnis

Der zugehörige Graph ist Graph 2 (grün), da seine Steigung und sein y-Achsenabschnitt mit der Geradengleichung übereinstimmen.

Ermittle (näherungsweise) den Funktionsterm zum Graphen 3.

Funktionsgleichung einer linearen Funktionen angeben

Gib zunächst die allgemeine Form der Geradengleichung an:

Die allgemeine Geradengleichung lautet %%y= m x + t.%%

y-Achsenabschnitt

Bestimme den y-Achsenabschnitt des Funktionsgraphen 3 (blau).

Der y-Achsenabschnitt ist der Schnittpunkt des Funktionsgraphen mit der y-Achse, also der Funktionswert von %%x = 0%%.

Lese den Punkt ab, in dem der Funktionsgraph die y-Achse schneidet.

(0 | 1,25)

Gib den y-Achsenabschnitt %%t%% an.

%%t = 1,25%%

Steigung

Bestimme die Steigung des Funktionsgraphen 3 (blau). Verwende dazu ein Steigungsdreieck und gib den Ausdruck für die Steigung an.

%%\displaystyle m = \frac{y_2 - y_1}{x_2-x_1}%%

Lies zwei Punkte am Graphen 3 (blau) ab, um dann die Steigung zu berechnen.

%%x_1 = 0%%
%%y_1 = y(x_1) = 1,25%%

%%x_2 = -1%%
%%y_2 = y(x_2) = 0,25%%

Berechne nun die Steigung %%m%%.

%%\displaystyle m = \frac{0,25 - 1,25}{-1 -0} = \frac{-1}{-1} = 1%%

Ergebnis

Die Funktionsgleichung vom Funktionsgraph 3 (blau) lautet %%\displaystyle y (x) = x + 1,25%% .

Gegeben sind die folgenden Funktionsgraphen:

Geogebra File: /uploads/legacy/4755_NbB0PcoxEz.xml

  1. Welcher der vier Graphen gehört zum Gleichung %%y=\frac54x-1%%

  2. Wie lautet die Gleichung zum Graphen III?

Teilaufgabe 1:

Vorgegebene Graphengleichung: %%y=\frac54x-1%%

Du kannst die Steigung und den y-Achsenabschnitt dieses Graphen an der Gleichung ablesen.

%%m=\frac54%%

%%t=-1%%

Überprüfe zuerst bei welchen Funktionen der y-Achsenabschnitt %%t=-1%% beträgt, indem du den y-Wert jedes Graphen abliest, indem die y-Achse geschnitten wird.

Nur Graph I und II haben den y-Achsenabschnitt %%-1%% also kannst du jeden anderen Graphen ausschließen.

Überprüfe nun welcher der beiden Graphen die Steigung %%m=\frac54%% besitzt, indem du vom Punkt %%x=0%% ausgehend eins nach rechts gehtst und überprüfst welcher der beiden y-Werte sich um  %%\frac54%% erhöht.

Beide Graphen beginnen beim Punkt %%P\left(0;-1\right)%%. Da die gesuchte Gerade die Steigung %%\frac54%% hat, geht sie auch durch den Punkt
%%(0+4|-1 +5)=(4|4)%%.

Durch diesen Punkt läuft nur die Gerade II.

  %%\Rightarrow%%   Der Graph II ist der Graph, der zu der vorgegebenen Gleichung gehört.

Teilaufgabe 2:

zu überprüfende Gerade: Graph III

Lies zuerst wo der Graph die y-Achse schneidet, um den y-Achsenabschnitt zu ermitteln.

Der y-Wert des Punktes, indem die  y-Achse geschnitten wird, beträgt %%y=1,25%%.
Somit ist %%t=1,25%% .

Lies nun ab um wieviel sich der y-Wert verändert, wenn du ausgehend von %%x=0%% , eins nach rechts gehst. Dadurch ermittelst du die Steigung .

Der y-Wert erhöht sich von %%y=1,25%% auf %%y=2,25%%.
Somit beträgt die Steigung %%m=\frac{2,25-1,25}{1}=\frac11=1%% .

Stelle die Gleichung auf.

  %%\Rightarrow%%   Der Graph III hat die Gleichung %%y=x+1,25%% .

Gegeben ist der Punkt %%P\left(\left.t\;\right|\;\frac t2+3\right)%% mit %%t\in\mathbb{R}%%

Wählen Sie für t einige Werte und tragen Sie die dazugehörigen Punkte in ein Koordinatensystem ein.

Wie liegen die Punkte im Koordinatensystem? Für welche t- Werte gilt:
x- Koordinate ist gleich y- Koordinate des Punktes P?

Setze beispielsweise %%t=\left\{0;1;2;3;4\right\}%% ein und berechne die zugehörigen y-Werte. Auch andere Zahlen für %%t%% sind zulässig.

%%t=0:\;y=\frac02+3%%

%%\hphantom{t=0:.;}y=3%%

%%\Rightarrow\;A(0\;|\;3)%%

%%t=1:\;y=\frac12+3%%

%%\hphantom{t=1::.}y=3,5%%

%%\Rightarrow\;B(1\;|\;3,5)%%


%%t=2:\;y=\frac22+3%%

%%\hphantom{t=2;;.}y=4%%

%%\Rightarrow\;C(2\;|\;4)%%

%%t=3:\;y=\frac32+3%%

%%\hphantom{t=3::.}y=4,5%%

%%\Rightarrow\;D(3\;|\;4,5)%%


%%t=4:\;y=\frac42+3%%

%%\hphantom{t=4;;.}y=5%%

%%\Rightarrow\;E(4\;|\;5)%%

Zeichne die Punkte A, B, C, D und E in ein Koordinatensystem.

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/5417_XxJr5qfvGR.xml

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Alle Punkte liegen auf einer Geraden. Diese hat die Gleichung %%y=\frac t2+3%% .


Berechne, wann die x - und y - Koordinate den gleichen Wert haben.

Setze dafür y mit t gleich.

%%t=y%%

Ersetze %%y%% durch den Term %%\frac t2+3%%.

%%t=\frac t2+3%%

%%\left|\cdot2\right.%%

%%2t=t+6%%

%%\left|-t\right.%%

%%t=6%%

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Die x - und y - Koordinate haben den gleichen Wert, wenn %%t= 6%% ist. Der zugehörige Punkt ist %%P\left(6\;|\;6\right)%% .

Zeichne die Graphen der Funktionen mit folgender Funktionsgleichung:

%%y=3x-2%%

Lineare Funktionen

Einen Punkt ermitteln

%%y=3x-2%%

-2 entspricht t der allgemeinen Geradengleichung und ist damit der Schnittpunkt mit der y-Achse .

%%\;\;\Rightarrow\;\;P\left(0\vert-2\right)%%

Steigung ermitteln

Bestimme die Steigung %%m%% der Funktion

%%y=3x-2%%

3 entspricht "m" der allgemeinen Geradengleichung und ist damit die Steigung der Geraden.

%%m=3%%

Gerade zeichnen

Gehe von dem zuvor ermittelten Punkt eine Einheit nach rechts und 3 nach oben, da m gleich 3 ist. Hier befindet sich ein zweiter Punkt der Funktion.

Verbinde anschließend die beiden Punkte zu einer Geraden.

 

 

Graph Steigungsdreieck Gerade Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/8500_8f0UaDcCji.xml

%%y=2-x%%

Gleichung umstellen

 

%%y=2-x%%

Die Gleichung wird umgestellt, damit sie das Format der allgemeinen Geradengleichung hat.

%%y=-x+2%%

 

 

 

Einen Punkt ermitteln

 

%%y=-x+2%%

+2 entspricht t der allgemeinen Geradengleichung und ist damit der Berührpunkt mit der y-Achse .

%%\;\;\Rightarrow\;\;P\left(0\vert2\right)%%

 

 

 

Steigung ermitteln

%%y=-x+2%%

%%-1%% entspricht m der allgemeinen Geradengleichung und ist damit die Steigung der Geraden.

%%m=-1%%

 

 

 

Gerade zeichnen

 

Von dem zuvor ermittelten Punkt eine Einheit nach rechts und entsprechend m,  %%1%% nach unten gehen, da m negativ ist. Hier befindet sich ein zweiter Punkt der Funktion .

Anschließend die beiden Punkte zu einer Geraden verbinden.

 

 

Graphik Gerade zeichnen

%%y=-\frac34x-1%%

Ein Punkt ermitteln

 

%%y=-\frac34x-1%%

-1 entspricht t der allgemeinen Geradengleichung und ist damit der Berührpunkt mit der y-Achse .

%%\;\;\Rightarrow\;\;P\left(0\vert-1\right)%%

 

 

 

Steigung ermitteln

%%y=-\frac34x-1%%

%%-\frac34%% entspricht m der allgemeinen Geradengleichung und ist damit die Steigung der Geraden.

%%m=-\frac34%%

 

 

 

Gerade zeichnen

 

Von dem zuvor ermittelten Punkt eine Einheit nach rechts und entsprechend m,  %%\frac34%% nach unten gehen, da m negativ ist. Hier befindet sich ein zweiter Punkt der Funktion .

Anschließend die beiden Punkte zu einer Geraden verbinden.

 

 

Graph Funktion Gerade zeichnen

%%y=-\frac12x+2%%

Einen Punkt ermitteln

 

%%y=-\frac12x+2%%

+2 entspricht t der allgemeinen Geradengleichung und ist damit der Berührpunkt mit der y-Achse .

%%\;\;\Rightarrow\;\;P\left(0\vert2\right)%%

 

 

 

Steigung ermitteln

%%y=-\frac12x+2%%

%%-\frac12%% entspricht m der allgemeinen Geradengleichung und ist damit die Steigung der Geraden.

%%m=-\frac12%%

 

 

 

Gerade zeichnen

 

Von dem zuvor ermittelten Punkt eine Einheit nach rechts und entsprechend m,  %%\frac12%% nach unten gehen, da m negativ ist. Hier befindet sich ein zweiter Punkt der Funktion .

Anschließend die beiden Punkte zu einer Geraden verbinden.

 

 

Graph Funktion Gerade zeichnen

%%\mathrm y=\frac34\mathrm x+1%%

Einen Punkt ermitteln

 

%%\mathrm y=\frac34\mathrm x+1%%

1 entspricht t der allgemeinen Geradengleichung und ist damit der Berührpunkt mit der y-Achse .

%%\;\;\Rightarrow\;\;P\left(0\vert1\right)%%

 

 

 

Steigung ermitteln

%%\mathrm y=\frac34\mathrm x+1%%

%%\frac34%%  entspricht m der allgemeinen Geradengleichung und ist damit die Steigung der Geraden.

%%m=\frac34%%

 

 

 

Gerade zeichnen

 

Von dem zuvor ermittelten Punkt eine Einheit nach rechts und entsprechend m,  %%\frac34%% nach oben gehen, da m positiv ist. Hier befindet sich ein zweiter Punkt der Funktion .

Anschließend die beiden Punkte zu einer Geraden verbinden.

 

Graph Funktioin Gerade zeichnen Geogebra File: /uploads/legacy/780.xml

Zeichne die folgenden Geraden und gib den Funktionsterm an.

%%G_f%% hat die Steigung  %%\frac34%% und schneidet die y-Achse bei %%-2%% .

%%m=\frac34;\;t=-2%%

Setze m und t in die allgemeine Geradengleichung ein.

%%y=\frac34x-2%%

 

 

Gerade zeichnen

Wähle einen beliebigen Punkt auf der Geraden z. B. den y-Abschnitt (0|-2). Gehe von dort 1 nach rechts und entsprechend der Steigung %%m=\frac34%% nach oben (Alternativ auch die vierfache Länge, um Brüche zu vermeiden: 4 nach rechts und 3 nach oben). Verbinde die beiden Punkte zu einer Geraden.

 

Graph Funktion Gerade zeichnen

%%G_f%% geht durch den Punkt  P  %%(-3\vert-2)%%   und ist parallel zur x-Achse.

Da die Gerade Parallel zur x-Achse ist und durch den Punkt %%(-3\vert-2)%% geht, liegt ihr y-Abschnitt ebenfalls bei -2.

%%m=0;\;t=-2%%

 

%%y=-2%%

 

 

 

Die Gerade verläuft durch den y-Abschnitt (0|-2) parallel zur x-Achse, da die Gerade die Steigung 0 hat.

 

 

Graph Funktion Gerade zeichnen

%%G_f%% geht durch den Punkt  P %%(-4\vert2)%%   und ist parallel zur y-Achse.

Diese Gerade kann nicht durch eine Funktionsgleichung beschrieben werden. Die Steigung wäre unendlich groß.

 

Gleichung: %%x=-4%% (dies ist eine Relation)

 

 

Die Gerade verläuft durch den Punkt %%(-4\vert2)%% parallel zur y-Achse.

 

 

Gerade Funktion Graph zeichnen

Gegeben sind die Punkte A(40|220), B(100|250), C(200|300), D(80|240).

  1. Zeichne die Punkte A-D in ein geeignetes Koordinatensystem ein.

  2. Bestimme die Geradengleichung der durch die Punkte A-D verlaufenden Gerade.

  3. Gib drei weitere Punkte an, die auf der Gerade liegen.

1.

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/5373_YY7IuAMwyu.xml

2.

Betrachte A(40|220) und B(100|250).

Wähle %%\ \ x_1 = 40, y_1 = 220 \\%% von A und %%x_2 = 100, y_2 = 250%% von B.

%%m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{250 - 220}{100 - 40} = \frac {30} {60} = 0.5%%

Da die Punkte A-D alle auf einer Geraden liegen, reicht es, wenn du dir nur zwei Punkte (beispielsweise A und B) heraussuchst. Mit deren Hilfe bestimmst du die Steigung der Gerade. Hierfür ziehst du die y-Koordinate vom Punkt A von der y-Koordinate vom Punkt B ab, und die x-Koordinate vom Punkt A von der x-Koordinate vom Punkt B.

Nun wird der y-Abschnitt bestimmt, indem man einen Punkt auf der Gerade (zum Beispiel C), in die Geradengleichung %%\ \ y = mx + t \\%% einsetzt und nach %%t%% auflöst.

Setze Punkt C in die Geradengleichung %%y = mx + t%% ein, wobei wir das zuvor berechnete %%m = 0.5%% einsetzen:

%%y = 0.5 \cdot x + t%%

%%300 = 0.5 \cdot 200 + t%%

%%\ \Leftrightarrow \ \ t=200%%

Damit haben wir sowohl %%m%% als auch %%t%% bestimmt, so dass unsere Geradengleichung lautet:

%%\ \ y = 0.5 \cdot x + 200%%

3.

%%\ \ y = 0.5 \cdot x + 200%%

Setze drei beliebige x-Werte in die Geradengleichung ein, um den jeweiligen y-Wert zu bekommen, z.B. %%x_1 = 0, x_2 = -100%% und %%x_3 = 300%%.

%%y_1 = 0.5 \cdot x_1 + 200%%

%%\ \ \ \ = 0.5 \cdot 0 + 200 = 200%%

%%y_2 = 0.5 \cdot x_2 + 200%% %%\ \ \ \ = 0.5 \cdot (-100) + 200 = 150%%

%%y_3 = 0.5 \cdot x_3 + 200%%

%%\ \ \ \ = 0.5 \cdot 300 + 200 = 350%%

Damit erhalten wir also folgende drei Punkte D, E und F:

%%D(0|200), E(-100|150)%% und %%F(300|350)%%

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