Der Scheitelpunkt ist der höchste bzw. tiefste Punkt (Extrempunkt) einer Parabel.

legacy geogebra formula

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Eigenschaften des Scheitelpunkts

  • Der Scheitelpunkt ist das Maximum der Funktion, wenn die Parabel nach unten geöffnet ist und Minimum der Funktion, wenn die Parabel nach oben geöffnet ist.

  • Die Parabel ist achsensymmetrisch zur senkrechten Gerade durch den Scheitelpunkt.

Beispiel

%%f(x)=(x-2)^2+1%%

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  • Der Scheitelpunkt lautet %%S(2\vert1)%% und ist hier ein Minimum, da die Parabel nach oben geöffnet ist.

  • Die Parabel ist achsensymmetrisch zur Gerade %%x=2%%.

Bestimmung des Scheitelpunkts

Es gibt vier unterschiedliche Methoden zur Bestimmung des Scheitelpunktes:

1. Bestimmung anhand der Scheitelform

Wenn sich die Funktion schon in Scheitelform (Scheitelpunktsform) befindet, kann der Punkt einfach abgelesen werden:

  • Scheitelpunktsform: %%f(x)=a(x-d)^2+e%%

  • Scheitelpunkt: %%S(d\vert e)%%

Beispiele

Achte auf die unterschiedlichen Vorzeichen der Funktionen!

  • Aus der Funktion %%2\left(x-1\right)^2-3%% lässt sich %%d=1%% und %%e=-3%% ablesen. Der Scheitelpunkt befindet sich folglich am Punkt %%S(1|-3)%%.

  • Ist die Funktion %%\left(x-2\right)^2+4%%, folgt %%d=2%% und %%e=4%%. Somit ist der Scheitelpunkt bei %%S(2|4)%%.

  • Ist die Funktion %%\left(x+1\right)^2+4%%, folgt %%d=-1%% und %%e=4%%. Somit ist der Scheitelpunkt bei %%S(-1|4)%%.

Übungsaufgaben (Hier klicken)

Berechne zu den folgenden Funktionen den zugehörigen Scheitelpunkt.

Weitere Übungsaufgaben gibt es hier: Aufgaben zur Bestimmung von Scheitelpunkten

Umwandlung in Scheitelform

Falls die Gleichung noch nicht in Scheitelform ist, kann man sie mit der quadratischen Ergänzung oder anderen Umfomungen (Ausmultiplizieren, Ausklammern, Binomische Formel) in Scheitelform bringen und dann wie oben bereits erklärt, den Scheitelpunkt ablesen.

Übungsaufgaben (Hier klicken)

Wandle folgende Funtionen in die Scheitelform um und bestimme den Scheitelpunkt:

Weitere Übungsaufgaben: Aufgaben zur Bestimmung von Scheitelpunkten

2. Bestimmung anhand der allgemeinen Form

Mit Hilfe der folgenden Formel kann man den Scheitelpunkt auch direkt aus der allgemeinen Form berechnen.

  • Allgemeine Form: %%f(x)=ax^2+bx+c%%

Formel für den Scheitelpunkt:

%%S\left(-\frac b{2~\cdot~ a}\left|c-\frac{b^2}{4 ~\cdot ~a}\right.\right)%%

Vertiefung: Wie kann man diese Formel herleiten?

Man erhält die Formel für den Scheitelpunkt, indem man die Funktionsgleichung mit Hilfe der quadratischen Ergänzung auf Scheitelform bringt:

%%f(x)=ax^2+bx+c%%

Klammere %%a%% aus:

%%f(x)=a\left(x^2+\frac bax\right)+c%%

Ergänze quadratisch:

%%f(x)=a\left[\left(x^2+\frac bax+\left(\frac b{2a}\right)^2\right)-\left(\frac b{2a}\right)^2\right]+c%%

Bilde die binomische Formel und fasse zusammen:

%%f(x)=a\left[\left(x+\frac b{2a}\right)^2-\left(\frac b{2a}\right)^2\right]+c%%

Multipliziere die eckige Klammer aus:

%%f(x)=a\left(x+\frac b{2a}\right)^2-a\frac{b^2}{4a^2}+c%%

Fasse die letzten zwei Terme zusammen und kürze:

%%f(x)=a\left(x+\frac b{2a}\right)^2+\left(c-\frac{b^2}{4a}\right)%%

Lies die Koordinaten des Scheitelpunkts ab:

%%S~\left(-\frac b{2a}~\left|~c-\frac{b^2}{4a}\right.\right)%%

Beispiel

Es soll nun der Scheitelpunkt der Funktion %%f(x)=2x^2+x-3%% anhand der Formel bestimmt werden.

%%f(x)=2x^2+x-3%%

Bestimme %%a%%, %%b%%, %%c%% aus der allgemeinen Form.

%%a=2, ~b=1, ~c=-3%%

Setze %%a%%, %%b%%, %%c%% in die Formel ein.

%%S\left(-\frac{1}{2\cdot2}\big|-3-\frac{1^2}{4\cdot2}\right)%%

Fasse die Terme zusammen, indem du Brüche kürzt und subtrahierst.

%%S\left(-\frac14\big\vert \frac{25}{8}\right)%%

Übungsaufgaben (Hier klicken)

Berechne den Scheitelpunkt zu den gegebenen Funktionen anhand der Formel für den Scheitelpunkt.

Weitere Übungsaufgaben: Aufgaben zur Bestimmung von Scheitelpunkten

Umwandeln in die allgemeine Form

Falls die Gleichung noch nicht in der allgemeinen Form ist, kann man sie durch Umfomungen wie Ausmultiplizieren, Ausklammern, Binomische Formel in die allgemeinen Form bringen und dann wie oben bereits erklärt, den Scheitelpunkt durch die Formel berechnen.

Übungsaufgaben (Hier klicken)

Forme zunächst die gegebenen Funktionen in ihre allgemeine Form um und bestimme dann ihre zugehörigen Scheitelpunkte.

Weitere Übungsaufgaben: Aufgaben zur Bestimmung von Scheitelpunkten

3. Bestimmung mit der Ableitung (fortgeschritten)

Die Steigung der Parabel ist am Scheitelpunkt gleich 0. Deshalb kann der Scheitel einer Parabel auch mit der Ableitung berechnet werden, da der Scheitel stets das Extremum der quadratischen Funktion ist.

Beispiel

Es soll der Scheitelpunkt von %%f(x)=x^2+2x+4%% mittels der Methode Bestimmung mit der Ableitung berechnet werden.

Leite die Funktion %%f%% ab.

%%f'(x)=2x+2%%

Bestimme für die Extremstelle die Nullstelle der ersten Ableitung, das bedeutet %%f'(x)=0%%.

%%2x+2=0%%

Löse nach %%x%% auf.

%%x=-1%%

Dies ist die Extremstelle. Wir haben hier eine nach oben geöffnete Parabel, daher ist %%x=-1%% die Minimalstelle. Berechne den zugehörigen %%y%%-Wert, indem du %%x=-1%% in die Funktion einsetzt.

%%f(-1)=(-1)^2+2(-1)+4=1-2+4=3%%

Schreibe den Scheitepunkt hin.

%%S~(-1 ~|~3)%%

4. Bestimmung anhand der Nullstellen

Vorsicht! Diese Methode funktioniert nur, falls die Parabel Nullstellen hat.

Ist dies der Fall, so liegt der Scheitel genau in der Mitte zwischen diesen beiden Nullstellen, da alle Parabeln achsensymmetrisch sind.

Beispiel

Bestimme den Scheitelpunkt der Funktion %%f%% mit der Funktionsgleichung %%f(x)= 0.5\cdot x^2-4.5%% anhand seiner Nullstellen.

%%f(x)= 0.5\cdot x^2-4.5%%

Berechne die Nullstellen von %%f%%.

Die Nullstellen von %%f%% sind %%-3%% und %%3%%.

Der %%x%%-Wert des Scheitels %%x_S%% liegt in der Mitte zwischen diesen beiden Nullstellen. Die Zahl %%0%% liegt zwischen %%-3%% und %%3%%.

Also ist %%x_s=0%%.

Bestimme nun den %%y%%-Wert des Scheitels %%y_s%%, indem du den %%x%%-Wert in die Funktionsgleichung von %%f%% einsetzt.

%%y_s=f(x_s)= f(0)=0.5 \cdot 0^2-4.5=-4.5%%

Der Scheitelpunkt von %%f%% ist %%S(0|-4.5)%%.

Graph der Funktion

Video zur Bestimmung des Scheitelpunkts anhand der Nullstellen

Kommentieren Kommentare

Zu article Scheitelpunkt einer Parabel: Kleine Verbesserungsvorschläge
SebSoGa 2016-05-03 15:00:30
-Bei der Berechnungsmethode mit der Ableitung, sowie bei der Methode anhand der Nullstellen fehlen Aufgaben.
-Die Leiste zu den verwandten Inhalten sollte ausgebaut werden.
An sonsten top Artikel!

Liebe Grüße
Sebastian
Nish 2016-07-29 10:26:43
Hallo Sebastian,

bei der Berechnungsmethode mit der Ableitung wollten wir bewusst keine Übungsaufgaben hinzufügen, da es sich hier um einen Zusatz/Bemerkung handelt (siehe didaktische Überlegung im Bearbeitungsmodus (Editor)). Bei der letzten Methode haben 2 Aufgaben hinzugefügt, dass sollte meiner Meinung nach reichen. Den Related-Content hast du ausgebaut?

LG,
Nish
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Zu article Scheitelpunkt einer Parabel: Bestimmung anhand allgemeiner Form
ruedi 2016-02-24 17:44:15
Bei der Formel für den Scheitelpunkt fehlt ein Minus vor der x-Koordinate.
Nish 2016-02-25 15:30:12
Hallo ruedi,

vielen Dank für deinen Hinweis! Ich habe den Fehler korrigiert. Es wird aber erst in paar Tagen online sichtbar sein. Wir würden uns über weitere Hinweise auf Fehler und über Feedback/ Verbesserungsvorschläge zu Serlo freuen ;)

Wenn du selbst aktiv werden möchtest, z.B. kleinere Änderungen vornehmen möchtest, findest du unter https://de.serlo.org/hilfe-startseite Hilfe.
Falls dabei Fragen auftauchen bzw. Hilfe brauchst, kannst uns natürlich jederzeit über die Diskussionen oder per Mail (info-de@serlo.org) kontaktieren.

LG,
Nish
Zu article Scheitelpunkt einer Parabel: Übungsaufgaben ergänzen
Simon 2015-12-23 15:12:25
Bei dem Punkt "Bestimmung durch Berechnung" fehlen noch Übungsaufgaben
Zu article Scheitelpunkt einer Parabel: Danke
Philipp_Albrecht 2015-06-10 20:02:03
Hallo,
ich habe mir zwar nur die Begriffserklärung angeschaut, möchte mich aber trotzdem für die Erklärung bedanken.

Ich weiß jetzt was man unter dem Scheitelpunkt versteht.
Die grafische Darstellung ist sehr gut.

Freundliche Grüße,

P.Albrecht
Renate 2015-06-11 18:54:58
Hallo Philipp_Albrecht

"stellvertretend" für die Teilnehmerinnen und Teilnehmer der Summer Acacemy 2013, die damals den Themenblock Quadratische Funktionen - Parabeln - Quadratische Gleichungen aufgegriffen und überarbeitet haben, möchte ich dir herzlichen Dank für dein Feedback sagen!

Es freut uns alle, wenn wir rückgemeldet bekommen, dass das, was wir tun, einen Sinn macht und gut ankommt.

Dir weiterhin viel Freude und Erfolg auf Serlo, und ebenfalls freundliche Grüße

Renate (Serlo-Teammitglied Mathematik-Redaktion)