Die Sinus- und die Kosinusfunktion sind mathematische Funktionen, die sowohl

Durch die Form ihrer Graphen spielen sie auch eine wichtige Rolle bei der mathematischen Beschreibung von Wellen und Schwingungen.

Graph sinus kosinus

%%\color{#cc0000}{\sin(x)}%% bezeichnet die Sinusfunktion,
%%\color{#009999}{\cos(x)}%% bezeichnet die Kosinusfunktion.

Eigenschaften

Der Sinus und der Kosinus haben beide

Außerdem ist der Sinus punktsymmetrisch zum Ursprung, und der Kosinus ist achsensymmetrisch zur y-Achse.

Sinus

Kosinus

Hier kommen einige wichtige Eigenschaften der Sinus- und Kosinusfunktion.

Nullstellen

In den folgenden Graphiken sind die %%\color{#cc0000}{\text{Nullstellen}}%% von Sinus und Kosinus markiert.

Sinus Nullstellen Graph

Kosinus Nullstellen Graph

Man sieht, dass $$\sin(k\cdot\pi)=0$$ für jedes %%k\in \mathbb{Z}%% gilt.

Das heißt %%\{...,-\pi,0,\pi,2\pi,3\pi,...\}%% sind die Nullstellen des Sinus.

Hier sieht man, dass $$\cos\left(\frac{2k+1}2\cdot\pi\right)=0$$ für alle %%k\in ℤ%% gilt.

Das heißt %%\rightarrow\{...,-\frac{3\pi}2,-\frac\pi2,\frac\pi2,\frac{3\pi}2,\frac{5\pi}2,...\}%% sind die Nullstellen vom Kosinus.

Extrema

In den folgenden Graphiken sind die %%\color{#660099}{\text{Maxima}}%% und %%\color{#ff6600}{\text{Minima}}%% von Sinus und Kosinus markiert.

Sinus Extrema Graph

Kosinus Extrema Graph

Maximum

%%\sin\left(\frac{4k+1}2\cdot\pi\right)=1\;\;\;\mathrm{für}\;k\in ℤ%%,

das heißt %%\{...,-\frac{7\pi}2,-\frac{3\pi}2,\frac\pi2,\frac{5\pi}2,\frac{9\pi}2,...\}%% sind die Maxima vom Sinus.

%%\cos(2k\cdot\pi)=1\;\;\;\mathrm{mit}\;k\in ℤ%%,

das heißt %%\{..., -4\pi,-2\pi,0,2\pi,4\pi,...\}%% sind die Maxima vom Kosinus.

Minimum

%%\sin\left(\frac{4k-1}2\cdot\pi\right)=-1\;\;\;\mathrm{für}\;k\in ℤ%%,

das heißt %%\{...,-\frac{9\pi}2,-\frac{5\pi}2,-\frac{\pi}2,\frac{3\pi}2,\frac{7\pi}2,...\}%% sind die Minima.

%%\cos(2k\cdot\pi+1)=-1\;\;\;\mathrm{mit}\;k\in ℤ%%,

das heißt %%\{..., -3\pi,-\pi,\pi,3\pi,5\pi,...\}%% sind die Minima.

Zusammenhang zwischen sin(x) und cos(x)

Wenn man den Graphen der Sinusfunktion um %%\frac\pi2%% nach links oder um %%\frac{3\pi}2%% nach rechts verschiebt, ist er deckungsgleich mit dem Graphen der Kosinusfunktion.

Das heißt %%\sin\left(x+\frac\pi2\right)=\cos\left(x\right)=\sin\left(x-\frac{3\pi}2\right)%%.

Wenn man den Graphen der Kosinusfunktion um %%\frac{3\pi}2%% nach links oder um %%\frac\pi2%% nach rechts verschiebt, ist er deckungsgleich mit dem Graphen der Sinusfunktion.

Das heißt %%\cos\left(x-\frac\pi2\right)=\sin\left(x\right)=\cos\left(x+\frac{3\pi}2\right)%%.

Zusammenhand Sinus und Kosinus

Zusammenhang Kosinus und Sinus

Beispielaufgaben

Skizziere die veränderte Sinusfunktion %%f(x)=2\cdot \sin\left(x-\dfrac{\pi}{2}\right)%% im Definitionsbereich %%\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{5\pi}{2}\right]%% in ein Koordinatensystem und lies ihren Wertebereich, Nullstellen und Extremstellen ab.

Tipp: Im Artikel Verschieben und Strecken von trigonometrischen Funktionen findet man, was die 2 vor dem sin und das %%\pi/2%% mit dem Graphen machen.

Lösung

Hier hast du eine Sinusfunktion mit Amplitude %%2%%, welche um %%\dfrac{\pi}{2}%% nach rechts verschoben wurde.

Sinus Graph Nullstelle Extrema

Lies das Gesuchte aus dem Graphen ab.

Wertebereich: %%[-2,2]%%

Nullstellen: %%-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}, \dfrac{3\pi}{2}, \dfrac{5\pi}{2}%%

Extremstellen: %%0, \pi, 2\pi%%

Video zu Sinus-, Kosinus-, und Tangensfunktion

Kommentieren Kommentare

Nick_76 2017-12-11 17:14:14
Achtung bitte ergänzen bei der Angabe der Nullstellen des Cosinus wurde bei einem der zwei Lösungen von π/2 das Vorzeichen "-" vergessen.
Rebi 2017-12-11 20:39:31
Hallo Nick_76,
da hast du vollkommen recht. Vielen Dank für deine Kommentar! Es ist super, dass du den Fehler direkt selbst verbessert hast :) Auch dafür danke.
Liebe Grüße,
Rebi
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Zu article Sinusfunktion und Kosinusfunktion: Cosinusfunktion
Annelie 2016-01-09 13:37:17
".........diese hab ich euch mitgebracht...."??? 10. Klasse Gymnasium...ein Horror für jeden Schüler solch eine Aussage !!! Oder wird in der Grundschule bereits die Cosinusfunktion eingeführt?....
Annelie 2016-01-09 13:39:28
...aber sehr gutes Video!!! Nur einfach ziemlich "gschaftlig" erklärt....zu sehr "lehrerhaft"....
Nish 2016-01-09 19:37:23
Hallo Annelie,
ich kann gerade nicht nachvollziehen, worauf sich dein erstes Kommentar bezieht. Auf das Video? Wenn ja, wird meiner Meinung nach in dem Video nichts von dem gesagt, was du schreibst. Bitte um Aufklärung!
Danke außerdem für dein Feedback zum Video.
LG,
Nish
Knorrke 2016-01-09 21:55:27
@Nish,
der Satz ist im Video ca. bei 3:50. Ich finde das Video aber ziemlich cool, alles sehr anschaulich dargestellt. Also kann man denke ich über den Satz auch hinwegsehn :-)

@Annelie, vielen Dank für deinen Kommentar! Wir sind bemüht hier gute und ansprechende Videos einzubinden, da hilft dein Feedback sehr weiter. Kennst du vielleicht ein Beispielvideo, das dir von der Art der Erklärung besser gefällt (nicht so lehrerhaft)? Kann auch zu einem ganz anderen Thema sein. Würde mich sehr interessieren und uns sicher helfen gute Videos zu finden! :-)

Viele Grüße,
Benni
Nish 2016-01-10 14:20:36
@Benni: Danke, ich habs überhört, obwohl ich es mir zweimal angehört habe...
@Annelie: Sorry, ich kann mich nur Benni anschließen :)

Liebe Grüße,
Nish
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