Aufgaben

Löse auf (Binome)

Schreibe ohne Klammern

%%(a+7)(a-7)%%

%%(a+7)(a-7)%%

3. Binomische Formel anwenden um die Klammern aufzulösen. Falls du die Formel nicht parat hast, kannst du die Klammern ausmultiplizieren:

%%[a*(a-7)]+ [7*(a-7)]%%

Dafür multiplizierst du jeden Term der ersten Klammer (%%a%% und %%7)%% mit der gesamten zweiten Klammer %%(a-7)%%. Weil das Additionsverhältnis der ersten Klammer weiter abgebildet werden muss, addierst du die beiden Multiplikationen %%a*(a-7)%% und %%7*(a-7)%% wieder. Wegen Punkt vor Strich musst du hierfür jeweils eine große Klammer setzen: %%[a*(a-7)]+[7*(a-7)]%%

%%a²-7a+7a-49%%

Löse die Klammern von innen () nach außen [ ] auf. Beachte dabei die Vorzeichenregeln: aus %%a*(-7%%) wird %%-7a%% und aus %%7*(-7)%% wird %%-49%%! Darum ist der letzte Term im Setting %%(a+b)(a-b)%% immer negativ.

%%a²(+0)-49%%

Die Terme %%-7a%% und %%+7a%% heben sich auf. Die mittleren Terme heben sich im Setting %%(a+b)(a-b)%% immer auf. Darum kannst du dir den ganzen Prozess sparen, wenn du die 3. binomische Formel kennst! :D

%%=a^2-49%%

Denn übrig bleibt das Ergebnis der 3. binomischen Formel %%(a-b)(a+b)=a²-b²%%

%%\left(-a-2,5\right)^2%%

%%\left(-a-2,5\right)^2%%

Faktor %%-1%% ausklammern.

%%=\lbrack-1\cdot(a+2,5)\rbrack^2%%

Potenzgesetz anwenden.

%%=(-1)^2\cdot\left(a+2,5\right)^2%%

1. Binomische Formel anwenden um die Klammer aufzulösen.

%%=1\cdot(a^2+5a+6,25)%%

%%=a^2+5a+6,25%%

%%\left(r+4\right)^3%%

%%\left(r+4\right)^3%%

Faktorisiere so, dass man einen Term hoch zwei erhält, so dass man dann eine der binomischen Formeln anwenden kann.

%%=\left(r+4\right)^2\left(r+4\right)%%

1. Binomische Formel anwenden, um die erste Klammer aufzulösen.

%%=\left(r^2+8r+16\right)\left(r+4\right)%%

%%=r^3+8r^2+16r+4r^2+32r+64%%

Terme zusammenfassen.

%%=r^3+12r^2+48r+64%%

%%\left(2r-\frac12\right)^3%%

%%\left(2r-\frac12\right)^3=%%

Faktorisiere so, dass man einen Term hoch zwei erhält, sodass man dann eine der binomischen Formeln verwenden kann.

%%=\left(2r-\frac12\right)\left(2r-\frac12\right)^2%%

Die 2. Binomische Formel auf die zweite Klammer anwenden.

%%=\left(2r-\frac12\right)\left(4r^2-2r+\frac14\right)%%

%%=8r^3-4r^2+\frac12r-2r^2+r-\frac18%%

Terme zusammenfassen.

%%=\;\;8r^3-6r^2+\frac32r-\frac18%%

Vereinfache

%%\left(5r-19\right)^2-\left(r-3\right)\left(3+r\right)-\left(3r+4\right)\left(4r-5\right)+\left(2r+3\right)^2+179r+1%%

Binomische Formeln und Auflösen von Klammern

Artikel zum Thema

%%\left(5r-19\right)^2-\left(r-3\right)\left(3+r\right)-\left(3r+4\right)\left(4r-5\right)+\left(2r+3\right)^2+179r+1%%

Die 1. und 2. Binomische Formel auf %%\left(5r-19\right)^2%% und %%\left(2r+3\right)^2%% anwenden.

%%=25r^2-190r+361-\left(r-3\right)\left(3+r\right)-\left(3r+4\right)\left(4r-5\right)+4r^2+12r+9+179r+1%%

Die 3. Binomische Formel auf %%\left(r-3\right)\left(3+r\right)%% anwenden und bei %%\left(3r+4\right)\left(4r-5\right)%% die Klammern ausmultiplizieren.

%%=25r^2-190r+361-\left(r^2-9\right)-\left(12r^2-15r+16r-20\right)+4r^2+12r+9+179r+1%%

%%=25r^2-190r+361-r^2+9-12r^2+15r-16r+20+4r^2+12r+9+179r+1%%

Terme zusammenfassen.

%%=16r^2+400%%

Kann man die binomische Formel anwenden? Wenn ja, wende sie an.

%%(4p+5q)(4q+5p)%%

Binomische Formel

Die binomischen Formeln werden zum Auflösen einer Klammer oder zum Faktorisieren angewendet.

Für den Term %%(4p+5q)(4q+5p)%% kann man die binomischen Formeln nicht anwenden, weil es in den beiden Klammern nicht dieselben Terme sind und auch die 3. binomische Formel nicht angwendet werden kann.

%%(-x-3y)(-3y-x)%%

Binomische Formel

Die binomischen Formeln werden zum Auflösen einer Klammer oder zum Faktorisieren angewendet.

%%(-x-3y)(-3y-x)%%

Mit dem Kommutativgesetz die Terme umstellen. Forme bzw. schreibe den Term dafür um.

%%=(-x-3y)(-3y+(-x))%%

Verwende nun das Kommutativgesetz.

%%=(-x-3y)(-x-3y)%%

Den Faktor %%-1%% ausklammern.

%%=\left[\left(-1\right)\cdot\left(x+3y\right)\right]\cdot\left[\left(-1\right)\cdot\left(x+3y\right)\right]%%

%%=\left(-1\right)^2\cdot\left(x+3y\right)^2%%

%%=\left(x+3y\right)^2%%

Man kann die 1. binomische Formel anwenden.

%%=x^2+6xy+9y^2%%

%%(\frac34m-2n)(\frac43m-2n)%%

Binomische Formeln

Die binomischen Formeln werden zum Auflösen einer Klammer oder zum Faktorisieren angewendet.

Für den Term %%(\frac34m-2n)(\frac43m-2n)%% kann man keine binomische Formel anwenden, da die Terme in den Klammern gleich sein müssen. Aber %%\frac34m%% und %%\frac43m%% sind nicht gleich.

%%\frac14a^2-4ab+4b^2%%

Binomische Formel

Die binomischen Formeln werden zum Auflösen einer Klammer oder zum Faktorisieren angewendet.

Für den Term %%\frac14a^2-4ab+4b^2%% kann man keine binomische Formel anwenden, da bei diesen Quadrattermen der Mischterm %%2\cdot\frac12a\cdot2b=2ab%% sein müsste.

%%25a^2+50ab-4b^2%%

Binomische Formel

Die binomischen Formeln werden zum Auflösen einer Klammer oder zum Faktorisieren angewendet.

%%25a^2+50ab-4b^2%%

Man kann keine binomische Formel anwenden. Die Quadratterme %%25a^2%% und %%-4b^2%% haben unterschiedliche Vorzeichen. Für die erste und zweite binomische Formel müssen nämlich die Koeffizienten von %%a^2%% und %%b^2%% dieselben Vorzeichen haben. Außerdem müsste dann der Mischterm %%2\cdot5a\cdot2b=20ab%% sein und nicht wie hier %%50ab%%. Bei der dritten binomischen Formel haben zwar %%a^2%% und %%b^2%% unterschiedliche Vorzeichen, jedoch kann es dabei keinen Mischterm geben.

Multipliziere aus und fasse neu zusammen:

%%\left(3x-5y\right)^2-\left(3x+5y\right)^2%%

Multiplizieren und Zusammenfassen

Artikel zum Thema

%%\left(3x-5y\right)^2-\left(3x+5y\right)^2%%

Wende in der ersten Klammer die zweite binomische Formel und in der zweiten Klammer die erste binomische Formel an

%%=\left(9x^2-30xy+25y^2\right)-\left(9x^2+30xy+25y^2\right)%%

Löse die Klammern auf.

%%=-60xy%%

%%\left(0,5x-y\right)^2-\left(0,5x-y\right)\cdot\left(0,5x+y\right)%%

Multiplizieren und Zusammenfassen

Hier geht es um das Zusammenfassen von Termen und das Anwenden der Binomischen Formeln.

%%\left(0,5x-y\right)^2-\left(0,5x-y\right)\cdot\left(0,5x+y\right)%%

Wende in der ersten Klammer die zweite binomische Formel und im hinteren Teil die dritte binomische Formel an.

%%=\left(0,25x^2-xy+y^2\right)-\left(0,25x^2-y^2\right)%%

Löse die Klammern auf.

%%=0,25x^2-xy+y^2-0,25x^2+y^2%%

%%0,25x^2%% und %%-0,25x^2%% heben sich aus und fasse die %%y^{2}%% zusammen.

%%=-xy+2y^2%%

%%\left(\frac13x-2\right)^2+\frac13\cdot\left(x+2\right)^2%%

Multiplizieren und Zusammenfassen

Artikel zum Thema

%%\left(\frac13x-2\right)^2+\frac13\cdot\left(x+2\right)^2%%

Klammern mit Hilfe der binomischen Formeln ausrechnen (Erste Klammer mit zweiter binomischer Formel, zweite Klammer mit erster binomischer Formel).

%%=\left(\frac19x^2-\frac43x+4\right)+\frac13\cdot\left(x^2+4x+4\right)%%

%%=\frac19x^2-\frac43x+4+\frac13x^2+\frac43x+\frac43%%

Terme zusammenfassen.

%%=\frac49x^2+\frac{16}3%%

%%\left(2x-3\right)^2-2\cdot\left(x+3\right)^2-\frac12\cdot\left(6-2x\right)^2%%

Multiplizieren und Zusammenfassen

Artikel zum Thema

%%\left(2x-3\right)^2-2\cdot\left(x+3\right)^2-\frac12\cdot\left(6-2x\right)^2%%

Erste Klammer mit zweiter binomischer Formel , zweite Klammer mit erster binomischer Formel und dritte Klammer mit zweiter binomischer Formel ausrechnen.

%%=\left(4x^2-12x+9\right)-2\cdot\left(x^2+6x+9\right)-\frac12\cdot\left(36-24x+4x^2\right)%%

%%=4x^2-12x+9-2x^2-12x-18-18+12x-2x^2%%

Terme zusammenfassen.

%%=-12x-27%%

%%\frac13\cdot\left(1,5a-b\right)^2-\frac34\cdot\left(\frac13b+a\right)^2%%

%%\frac13\cdot\left(1,5a-b\right)^2-\frac34\cdot\left(\frac13b+a\right)^2%%

Da es nur eine Kommazahl gibt und viele Brüche, kannst du 1,5 in einen Bruch umwandeln, damit das Rechnen einfacher geht.

%%=\frac13\cdot\left(\frac32a-b\right)^2-\frac34\cdot\left(\frac13b+a\right)^2%%

Erste Klammer mit der 2. binomischen Formel ausmultiplizieren.

%%=\frac13\cdot\left(\frac94a^2-3ab+b^2\right)-\frac34\cdot\left(\frac13b+a\right)^2%%

Klammer ausmultiplizieren.

%%=\frac34a^2-ab+\frac13b^2-\frac34\cdot\left(\frac13b+a\right)^2%%

Klammer mit der 1. binomischen Formel ausmultiplizieren.

%%=\frac34a^2-ab+\frac13b^2-\frac34\cdot\left(\frac19b^2+\frac23ab+a^2\right)%%

Klammer ausmultiplizieren.

%%=\frac34a^2-ab+\frac13b^2-\frac1{12}b^2-\frac12ab-\frac34a^2%%

Terme zusammenfassen.

%%=-\frac32ab+\frac14b^2%%

%%\left(a-0,4b\right)^2-2\cdot\left(0,3b-0,5a\right)^2+0,2\cdot\left(a+0,1b\right)^2%%

%%\left(a-0,4b\right)^2-2\cdot\left(0,3b-0,5a\right)^2+0,2\cdot\left(a+0,1b\right)^2%%

Erste Klammer mit der 2. binomische Formel auflösen.

%%=\left(a^2-0,8ab+0,16b^2\right)-2\cdot\left(0,3b-0,5a\right)^2+0,2\cdot\left(a+0,1b\right)^2%%

Zweite Klammer mit der 2. binomischen Formel auflösen.

%%=a^2-0,8ab+0,16b^2-2\cdot\left(0,09b^2-0,3ab+0,25a^2\right)+0,2\cdot\left(a+0,1b\right)^2%%

Klammer ausmultiplizieren.

%%=a^2-0,8ab+0,16b^2-0,18b^2+0,6ab-0,5a^2+0,2\cdot\left(a+0,1b\right)^2%%

Terme zusammenfassen.

%%=0,5a^2-0,2ab-0,02b^2+0,2\cdot\left(a+0,1b\right)^2%%

Klammer mit der 1. binomischen Formel auflösen.

%%=0,5a^2-0,2ab-0,02b^2+0,2\cdot\left(a^2+0,2ab+0,01b^2\right)%%

Klammer ausmultiplizieren.

%%=0,5a^2-0,2ab-0,02b^2+0,2a^2+0,04ab+0,002b^2%%

Terme zusammenfassen.

%%=0,7a^2-0,16ab-0,018b^2%%

Ergänze

%%…\;+\;14r+49=\left(…….\right)^2%%

Binomische Formeln

Artikel zum Thema

%%…\;+\;14r+49=\left(…….\right)^2%%

Am %%+%% vor dem Mischterm %%14r%% erkennt man, dass man die 1. Binomische Formel %%\left(a+b\right)^2=a^2+2ab+b^2%% anwenden muss.

Aus dem Quadratterm kann man %%b%% bestimmen.

%%49=b^2%% %%\Rightarrow%% %%b=7%%

%%…\;+14r+49=\left(…\;+7\right)^2%%

Aus dem Mischterm kann man %%a%% bestimmen.

$$2\cdot a\cdot b=14r$$

%%2\cdot7\cdot a\;=14r\;\Rightarrow\;a=r%%

%%\Rightarrow\;\left(r+7\right)^2%%

%%r^2-\frac13r\;…..=\left(……\right)^2%%

Binomische Formeln

Artikel zum Thema

%%r^2-\frac13r\;….=\left(……\right)^2%%

Am %%-%% vor dem Mischterm %%\frac13r%% erkennt man, dass man die 2. Binomische Formel %%\left(a+b\right)^2=a^2+2ab+b^2%% anwenden muss.

Aus Quadratterm kann man %%a%% bestimmen.

%%a^2=r^2\;\Rightarrow\;a=r%%

%%r^2-\frac13r……\;=\;\;\left(r-\;…\right)^2%%

Aus dem Mischterm kann man %%b%% bestimmen.

%%2\cdot a\cdot b=\frac13r%%

%%2\cdot r\cdot b=\frac13r\;\Rightarrow\;b=\frac16%%

%%\Rightarrow\;\;\left(r-\frac16\right)^2%%

Verwandle in ein Produkt.

Faktorisiere

Fasse zusammen (Binome)

Benutze binomische Formeln um die Brüche zu kürzen

$$\frac{x^4+18x^2+89}{\left(x^2+9\right)^2}$$

%%\frac{x^4+18x^2+89}{\left(x^2+9\right)^2}%%

Der Zähler ist fast eine binomische Formel, bis auf die Zahl 89. Wäre die Zahl 81, könntest du die 1. binomische Formel anwenden.

%%=\frac{x^4+18x^2+81+8}{\left(x^2+9\right)^2}%%

Teile den Bruch in 2 Brüche auf.

%%=\frac{x^4+18x^2+81}{\left(x^2+9\right)^2}+\frac8{\left(x^2+9\right)^2}%%

Wende im Zähler des ersten Bruches die 1. binomische Formel an.

%%=\frac{\left(x^2+9\right)^2}{\left(x^2+9\right)^2}+\frac8{\left(x^2+9\right)^2}%%

Kürze.

%%=1+\frac8{\left(x^2+9\right)^2}%%

Beim Betrachten der Quadratzahlen 1, 4, 9, 16, 25, 36,… fällt auf, dass die Differenz von jeweils zwei benachbarten Quadratzahlen immer um zwei wächst: %%4-1=3%% , dann %%9-4=5%% , dann %%16-9=7%% , dann %%25-16=9%% , dann %%36-25=11%% usw.

Erkläre dies mit Hilfe einer binomischen Formel!

Binomische Formeln

Artikel zum Thema

2 aufeinander folgende Zahlen kann man als %%n%% und %%n+1%% schreiben

beide Zahlen quadrieren

%%\Rightarrow\;n^2\;\text{und}\;\left(n+1\right)^2%%

Differenz der beiden Zahlen bilden

%%\left(n+1\right)^2-n^2%%

%%=n^2+2n+1-n^2%%

Terme zusammenfassen.

%%\Rightarrow2n+1%%

Setzt man für n jeweils die nächstgrößere natürliche Zahl ein, so wird diese Differenz wegen %%2n%% immer um zwei größer.

Was ist hier falsch?

%%\left(-a-2,5\right)^2%%

Faktor -1 ausklammern.

%%=-1\cdot\left(a+2,5\right)^2%%

%%=-1\cdot\left(a^2+5a+6,25\right)%%

%%=-a^2-5a-6,25%%

%%\left(-a-2,5\right)^2%%

Faktor -1 ausklammern.

%%=\left[\left(-1\right)\cdot\left(a+2,5\right)\right]^2%%

Potenzgesetz anwenden: Es gilt

%%\left(a\cdot b\right)^x=a^x\cdot b^x%%, hier ist

%%a=-1%%, %%b=a+2,5%% und %%x=2%%

%%=\left(-1\right)^2\cdot\left(a+2,5\right)^2%%

Die erste Klammer wird zu 1. Für die zweite Klammer die 1. binomische Formel anwenden.

%%=1\cdot\left(a^2+5a+6,25\right)%%

%%=a^2+5a+6,25%%

Was ergibt %%1\,000\,000\,000\,000\,001^2-999\,999\,999\,999\,999^2%%?

Problemanalyse

Gesucht ist %%x=1\,000\,000\,000\,000\,001^2-999\,999\,999\,999\,999^2%%.

Betrachte die Aufgabe genau: Du musst zwei Zahlen quadrieren und die Differenz bilden.

%%x\;=\;a^2\;-\;b^2%%

Verwende die 3. binomische Formel.

%%x=(a-b)\cdot (a+b)%%

Die beiden Zahlen sind jeweils um %%1%% größer bzw. kleiner als %%10^{15}%%.

%%x= (\color{#cc0000}{(10^{15}+1)}-\color{#006400}{(10^{15}-1)})(\color{#cc0000}{(10^{15}+1)}+\color{#006400}{(10^{15}-1)})%%

%%x= (10^{15}+1-10^{15}+1)\cdot(10^{15}+1+10^{15}-1)%%

%%x=2\cdot2\cdot10^{15}%%

%%x=4\cdot10^{15}=4\,000\, 000\,000\,000\,000%%

Interpretiere die Skizze als verallgemeinerte binomische Formel %%\left(a+b+c\right)^2%% . Berechne entsprechend %%\left(2x+a+12\right)^2%% .

Binomische Formeln

Allgemein: %%\left(a+b+c\right)^2=%%

Rechteckflächen von links nach rechts lesen.

%%=\;a^2+ab+ac+ba+b^2+bc+ca+cb+c^2=%%

%%=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc%%

 

Beispiel: %%\left(2x+a+12\right)^2=%%

Rechteckflächen von links nach rechts lesen.

%%=\left(2x\right)^2+a^2+144+2\cdot2x\cdot a+2\cdot2x\cdot12+2\cdot a\cdot12=%%

%%=4x^2+a^2+144+4ax+48x+24a%%

Klammere gemeinsame Faktoren aus.

%%-3ac+9ab%%

Ausklammern

Lösungsvorschlag 1

%%−3ac+9ab%%

Ausklammern von der Zahl %%-3%% und der Variablen %%a%%.

%%=-3a\cdot(c-3b)%%

Die Lösung ist %%-3a(c-3b)%%.

Lösungsvorschlag 2

%%-3ac+9ab%%

Ausklammern von der Zahl %%+3%% und der Variablen %%a%%.

%%=+3a\cdot(-c+3b)%%

Die Lösung ist %%3a \cdot (-c+3b)%%.

Löse die Klammern auf. Fasse so weit wie möglich zusammen.

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