Skalarprodukt

Skalarprodukt

Das Skalarprodukt aus zwei Vektoren %%\vec{a}%% und %%\vec{b}%% ergibt eine Zahl s, einen sogenannten Skalar. Berechnet wird das Skalarprodukt, indem man komponentenweise multipliziert und anschließend addiert:

$$\vec{a} \circ \vec{b} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 = s$$

Man kann das Skalarprodukt aber auch unter Verwendung des Winkels %%\alpha%%, welcher zwischen den beiden Vektoren %%\vec{v}%% und %%\vec{w}%% liegt, berechnen:

$$\vec{v} \circ \vec{w} = |\vec{v}| \cdot |\vec{w}| \cdot \cos{\alpha}$$

Wenn der Winkel %%\alpha = 90^\circ%% ist und somit die beiden Vektoren senkrecht zueinander sind, dann ergibt das Skalarprodukt 0:

$$\vec{v} \circ \vec{w} = |\vec{v}| \cdot |\vec{w}| \cdot \cos{90^\circ} = |\vec{v}| \cdot |\vec{w}| \cdot 0 = 0$$

Willst du also überprüfen, ob zwei Vektoren senkrecht aufeinander stehen, berechnest du das Skalarprodukt.

Beispiel

Wir wollen überprüfen ob die Vektoren senkrecht aufeinander stehen.

Beispiel 1

%%\vec{a}= \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix}%% und %%\vec{b}= \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 6 \end{pmatrix}%%

Als erstes musst du das Skalarprodukt der beiden Vektoren berechnen.

%%\vec{a} \circ \vec{b}=\begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 6 \end{pmatrix}=3 \cdot 2+(-4) \cdot 3+1 \cdot 6=6-12+6=0%%

Das Skalarprodukt ist gleich %%0%%, also stehen %%\vec{a}%% und %%\vec{b}%% senkrecht aufeinander.

Beispiel 2

%%\vec{c}=\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}%% und %%\vec{d}=\begin{pmatrix} -2 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix}%%

Als erstes musst du das Skalarprodukt der beiden Vektoren berechnen.

%%\vec{c} \circ \vec{d}=\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} -2 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix}=1\cdot(-2)+3\cdot5+3\cdot4=-2+15+12=25%%

Das Skalarprodukt ist 25 und somit stehen die Vektoren nicht Senkrecht aufeinander.

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Zu course-page Skalarprodukt:
Digamma 2018-02-27 17:31:18
Rebi, warum hast du "der Skalar" durch "das Skalar" ersetzt? Meines Wissens (und laut meinem Duden) ist "Skalar" maskulin. "Das" Skalar habe ich noch nie gehört.
Rebi 2018-02-27 22:45:59
Weil ich dachte, dass es das Skalar heißt (wahrscheinlich weil ich den Begriff nur im Zusammenhang das Skalarprodukt verwende, aber natürlich liegt das dann an dem Produkt). Dann ändere ich das wohl wieder zurück, danke für den Hinweis!
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Zu course-page Skalarprodukt:
Digamma 2016-11-11 19:24:11
Zum letzten Satz: "entspricht dem Flächeninhalt der aufgespannten Fläche zwischen a und b." Wenn ich nicht wüsste, dass mit der aufgespannten Fläche ein Parallelogramm gemeint ist, würde ich mir hier ein Dreieck vorstellen.
Renate 2016-11-28 18:26:22
@Digamma: Danke für deine Bearbeitung! Mit der jetzigen Formulierung sollte die Sache klargestellt sein.

Ich archiviere daher die Diskussion.