Ebenen

Parameterform

Die Parameterform der Ebene E nutzt die bereits bekannte Form von Geraden aus und fügt einen weiteren Richtungsvektor hinzu. D.h. es gibt wieder einen Aufpunkt A und jetzt zwei Vektoren %%\vec{u}%% und %%\vec{v}%%:

$$E: \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \vec{A} + \lambda_1 \vec{u} + \lambda_2 \vec{v} = \vec{A} + \lambda_1 \cdot \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix} + \lambda_2 \cdot \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} $$

Ebene 1

Koordinatenform

Eine Ebene E lässt sich auch durch die Verwendung der Koordinaten des kartesischen Koordinatensystems beschreiben. Die Ebene besteht dann aus denjenigen Punkten %%(x,y,z)%% die folgende Gleichung erfüllen:

$$ax+by+cz=d$$

Wobei a,b und c die Komponenten des Normalenvektors %%\vec{n} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}%% sind.

Der Abstand der Ebene vom Koordinatenursprung entspricht genau: %%\frac{|d|}{|\vec{n}|}%%.

Ist der Normalenvektor normiert, entspricht der Abstand genau |d|.

Normalenform

Um eine Ebene E in Normalenform darzustellen, braucht man, wie der Name schon sagt, den Normalenvektor %%\vec{n}%%. Dieser steht senkrecht auf die Ebene E und somit auch senkrecht auf jedem Vektor in der Ebene.

$$\vec{n} \cdot (\vec{x} - \vec{p})= 0$$

Dabei ist %%\vec{p}%% ein beliebiger Punkt in der Ebene. %%\vec{x}%% ist die Variable und %%\vec{n}%% der Normalenvektor.

%%(\vec{x}-\vec{p})%% beschreibt einen beliebigen Vektor in der Ebene.

Das Skalarprodukt aus dem Normalenvektor %%\vec{n}%% und einem beliebigen Vektor %%(\vec{x}-\vec{p})%% aus der Ebene muss 0 sein, da der Normalenvektor auf jedem erdenklichen Vektor der Ebene senkrecht stehen muss.

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Zu course-page Ebenen:
Kowalsky 2018-05-30 12:06:08
Die Formulierung " x (Vektor) ist die Variable" finde ich nicht so gut. Ich würde vorschlagen: x (Vektor) ist ein variabler Vektor, der zu einem Punkt X in der Ebene E zeigt.
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Zu course-page Ebenen:
Kowalsky 2016-11-05 11:25:00
Zu Parameterform der Ebene: der Aufpunkt heißt A und der Richtungsvektor a. Üblicherweise ist a der Vektor zum Punkt A. Besser wären hier die Richtungsvektoren u und v.
Renate 2016-11-08 09:55:23
Hallo Kowalsky, bei den Richtungsvektoren gebe ich dir recht, a und b sind tatsächlich hier eher ungünstig. Ich habe die Richtungsvektoren jetzt zu u und v umbenannt, wie es meinem Eindruck nach normalerweise auch "üblicher" ist. (Allerdings denke ich mir jetzt, dass das u und das v in dieser Schriftart hier sich doch recht ähnlich sehen - sollte man vielleicht u und w nehmen, auch wenn es weniger gebräuchlich ist?)

Was jedoch die Schreibweise des Ortsvektors zum Punkt A betrifft, so ist A mit Vektorpfeil darüber eine verkürzte Schreibweise für OA mit Vektorpfeil darüber.
Ich will aber gerne nochmal - soweit mir möglich - in Schulbüchern recherchieren, was sich dort an Schreibweisen findet.
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