Flächen berechnen

Fläche über Kreuzprodukt

Die Fläche, die zwei Vektoren %%\vec{a}%% und %%\vec{b}%% aufspannen, lässt sich über das Kreuzprodukt berechnen. Die Länge bzw. der Betrag des entstehenden Vektors entspricht dem Flächeninhalt des aufgespannten Parallelogramms.

$$A_{Parallelogramm} = |\vec{a} \times \vec{b}|$$

Quadrat und Rechteck

Da Quadrate und Rechtecke Spezialfälle eines Parallelogramms sind, berechnet man diese auch über das Kreuzprodukt.

Dreieck

Die Fläche eines Dreiecks entspicht der Hälfte der Fläche des aufgespannten Parallelogramms

$$A_{Dreicek} = \frac{1}{2} \cdot |\vec{a} \times \vec{b}|$$

(Trapez)

Das Trapez lässt sich nicht direkt über das Kreuzprodukt berechnen. Daher ist es ratsam einfach die bekannte Formel zu verwenden und die Längen über die Vektorbeträge zu beschaffen.

$$A_{Trapez} = \frac{1}{2} \cdot (|\vec{a}|+|\vec{c}|) \cdot |\vec{h}|$$

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Zu course-page Flächen berechnen:
Digamma 2016-11-11 19:59:48
"Das Trapez lässt sich nicht direkt über das Kreuzprodukt berechnen."
Doch, natürlich geht das. Und zwar genauso gut wie z.B. bei Dreiecken. Beispielsweise kann man das Trapez in zwei Dreiecke zerteilen. Allgemein gilt
A_Trapez = |1/2 (\vec a + \vec c) \times \vec b. |
Falls a und c die parallelen Seiten sind, \vec a und \vec c gleich orientiert, und b eine der anderen beiden Seiten ist.
Wenn man die elementargeometrische Formel verwendet, hat man das Problem, dass man zur Bestimmung der Höhe den Abstand z.B. von D zu AB bestimmen muss, was i.A. aufwendig ist.
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