Parameterform umwandeln (1/2)

Parameterform in Normalenform umwandeln

Gegeben ist eine Ebenengleichung in Parameterform und man möchte diese jetzt in die Normalenform umwandeln.

Parameterform: %%E: \vec{x} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_2 \end{pmatrix} + \gamma \cdot \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}%%

Normalenform: %%\vec{n} \cdot \begin{pmatrix} \vec{x}-\vec{A} \end{pmatrix} = 0%%

Zuerst berechnet man den Normalenvektor %%\vec{n}%% über das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren unserer Ebene, da das Kreuzprodukt einen Vektor erzeugt, der rechtwinklig auf beiden Richtungsvektoren steht.

$$\vec{n} = \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix}$$

Die Reihenfolge spielt dabei keine Rolle, da diese nur die Orientierung des Normalenvektors umdreht.

Anschließend übernimmt man den Aufpunkt der Parameterform und setzt diesen für %%\vec{A}%% in die Normalenform ein und man ist fertig.

$$\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \vec{x}- \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \end{pmatrix} = 0$$

Beispiel:

Gegeben ist %%E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 7 \end{pmatrix} + \gamma \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 6 \end{pmatrix} %%

Zuerst bestimmen wir den Normalenvektor mit dem Kreuzprodukt der Richtungsvektoren der Ebene: $$\vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 7 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-1) \cdot 6 - 7 \cdot 1 \\ 7 \cdot 3 - 1 \cdot 6 \\ 1 \cdot 1 - (-1) \cdot 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -13 \\ 15 \\ 4 \end{pmatrix} $$

Anschließend setzt man den Aufpunkt und den Normalenvektor in die Standard-Normalenform ein:

$$\begin{pmatrix} -13 \\ 15 \\ 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \vec{x}- \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{pmatrix} = 0 $$

Kommentieren Kommentare

Kowalsky 2016-11-05 11:33:03
Eine Seite vorher ist die Normalenform n(x -a) jetzt aber n(a - x) das ist leider nicht egal. Die erste Schreibweise ist korrekt, setzt man für x einen beliebigen Punkt ein, so erhält man eine Zahl deren Vorzeichen etwas über die Lage des Punktes in Bezug zur Ebene und dem Ursprung aussagt. Die zweite Schreibweise dreht diese Aussage gerade um.
Renate 2016-11-08 09:17:15
Hallo Kowalsky, ich habe das "n mal (a-x)" jetzt zu "n mal (x-a)" abgeändert.

Ich muss allerdings sagen, dass ich eigentlich nie gehört habe, dass die Version mit "n mal (a-x)" wirklich falsch ist.
Sie ist nicht die übliche Form, und sie dreht in der Tat das Vorzeichen um, aber ist sie dann nicht immerhin die Normalenform mit dem Vektor -n als Normalenvektor (statt n)?
Oder gibt es da strengere formale Festlegungen, wann etwas "Normalenform" genannt werden darf, auf die lediglich in der Schule nicht so viel Wert gelegt wird?
Stromi93 2016-11-09 13:56:38
Die Gleichung bleibt für beide Versionen richtig und beschreibt somit vollständig eine Ebene. Ich stimme allerdings zu, dass es didaktisch sinnvoller ist einheitlich zu bleiben.
Kowalsky 2016-11-10 14:39:48
Hallo Renate, Du hast natürlich Recht, die eine Form ist die negative der anderen Form. Aber : ich zitiere mal aus einem Mathebuch: Wenn eine Ebene durch einen Punkt A und einen Normaleneinheitsvektor n0 (Null als Index) gegeben ist, dann heißt die Form:
n0* X - d = 0 (n0 und x als Vektoren) Hessesche Normalenform. Hierbei soll
d=n0*a>=0 sein. Dann gibt d den Abstand der Ebene vom Ursprung an und der
Normaleneinheitsvektor zeigt vom Ursprung zur Ebene. Damit ist die Richtung des Normalenvektors festgelegt und die Normalenform kann nur in der Form
n*(x-a) geschrieben werden.
Renate 2016-11-10 22:28:00
Hallo Kowalsky, für die "HESSESCHE Normalenform" habe ich das seinerzeit in der Schule auch so gelernt, dass der Normalenvektor normiert und orientiert wird, aber hier ist ja nur von "Normalenform" die Rede.
Für den Begriff "Normalenform" (ohne "hessesch" dazu) kenne ich die Bedingung d>0 nicht.

Dennoch könnte man, wie ich inzwischen erkenne, immerhin die Frage stellen, ob "n mal (a-x)=0" FORMAL gesehen noch die FORM "n mal (x-a)=0" hat, solange man nicht wirklich "-n mal (x-a)= 0" schreibt, ;) .
So gesehen könnte man in der Tat "n mal (a-x)=0" die Eigenschaft "Normalenform" aberkennen.

Aber ich denke, dass ist ein recht strenges Verständnis des Begriffes, auf das in der Schule wahrscheinlich nicht so sehr der Fokus gelegt werden wird; pragmatisch würde ich jetzt sagen: Wir halten uns einfach an die zweifelsfreie, korrekte Version "n mal (x-a) = 0", dann ersparen wir uns diese Problematik und irritieren Schüler nicht unnötig.
Gruß (auch an Stromi93 ;) )
Renate
Kowalsky 2016-11-11 10:04:39
Sehe ich auch so.
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Kowalsky 2016-10-30 11:45:12
das Kreuzprodukt ist falsch: Richtig: Vektor (-13/15/4)
Nish 2016-10-30 13:33:46
Vielen Dank! Ich habe es gerade korrigiert. Passt es jetzt?