Lineare (Un)abhängigkeit (1/2)

Zwei Vektoren

Zwei Vektoren %%\vec{a}%% und %%\vec{b}%% nennt man linear abhängig, wenn der eine Vektor ein Vielfaches des anderen ist:

%%\vec{a} = \alpha \cdot \vec{b}%% oder %%\vec{b} = \beta \cdot \vec{a}%%

Ist das nicht der Fall, dann nennen wir die Vektoren linear unabhängig.

Bildlich kann man sich das so vorstellen:

Linear abhängig: Die Vektoren sind "parallel" (Sie müssen dafür nicht in die selbe Richtung zeigen, sondern können auch in genau entgegengesetzte Richtungen zeigen!)

Graphik linear abhängige Vektoren

Linear unabhängig: Die Vektoren sind "nicht parallel"

Bild linear unabhängiger Vektoren

Beispiel 1

Geben sind folgende Vektoren:

%%\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 7 \end{pmatrix}%% und %%\vec{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ 9 \\ 21 \end{pmatrix}%%

Jetzt versuchen wir eine passende Zahl n zu finden, mit der wir %%\vec{a}%% multiplizieren, damit %%\vec{b}%% rauskommt.

%%n \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 9 \\ 21 \end{pmatrix}%%

Wenn wir die x-Koordinate von %%\vec{a}%% mit 3 multiplizieren, erhalten wir die passende x-Koordinate von %%\vec{b}%%.

Jetzt prüfen wir noch ob dies auch für die y- und z-Koordinaten gilt:

y-Koordinate: %%3 \cdot 3 = 9%%

z-Koordiante: %%7 \cdot 3 = 21%%

Wir stellen fest: stimmt! Also sind die beiden Vektoren linear abhängig.

Beispiel 2

Gegeben sind folgende Vektoren:

%%\vec{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix}%% und %%\vec{b} = \begin{pmatrix} -6 \\ 4 \\ -9 \end{pmatrix}%%

Wir versuchen wieder eine passende Zahl n zu finden, mit der %%\vec{a}%% ein Vielfaches von %%\vec{b}%% ist. Dafür gehen wir wieder Koordinatenweise vor:

Die x-Koordinate von %%\vec{a}%% erhalten wir, indem wir die x-Koordinate von %%\vec{b}%% mit %%(-\frac{1}{2})%% multiplizieren.

Dies gilt auch für die y-Koordinate: %%-4 \cdot (-\frac{1}{2}) = -2%%

Dies gilt aber nicht für die z-Koordinate: %%9 \cdot (-\frac{1}{2}) \neq 3%%

Somit konnten wir keine passende Zahl finden und daher sind %%\vec{a}%% und %%\vec{b}%% linear unabhängig.

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Kowalsky 2016-10-30 11:36:50
Rechtschreibung: ein Vektor ist ein Vielfaches des anderen
Nish 2016-10-30 14:09:53
Auch erledigt.
Noch ein kurzer Hinweis:
Wenn du Zeit und Lust hast, diese Fehler selber zu korrigieren, musst du nur auf den Bearbeitungsstift klicken und loslegen. Du kannst nichts kaputt machen! Es schaut außerdem nochmal jdn. drüber, bevor die Version online geht.
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LG,
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