Hessesche Normalenform

Um die hessesche Normalenform einer Ebene zu berechnen, teilt man die Ebenengleichung in Koordinatenform durch den Betrag des Normalenvektors.

Ebenengleichung in Koordinatenform: %%E: ax+by+cz+d=0%%

Normalenvektor dieser Ebene: %%\vec{n} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}%%, Betrag den Normalenvektors: %%|\vec{n}| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}%%

Dann ist die hessesche Normalenform: $$\frac{ax+by+cz+d}{|\vec{n}|} = \frac{ax+by+cz+d}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} = 0$$

Beispiel

Die Ebenengleichung der Ebene E ist: %%E: 3x - 2y + 6z - 14 = 0%%

Der Normalenvektor der Ebene ist: %%\vec{n} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix}%%

Der Betrag des Normalenvektors ist: %%|\vec{n}| = \sqrt{3^2 + (-2)^2 + 6^2} = \sqrt{9+4+36} = \sqrt{49} = 7%%

Anschließend teilt man die Ebenengleichung durch den Betrag des Normalenvektors, also durch 7. Nach Distributivgesetz können wir aber auch jeden Summanden durch 7 teilen: $$\frac{ax+by+cz+d}{|\vec{n}|} = \frac{3x-2y+6z-14}{7} = \frac{3}{7}x - \frac{2}{7}y + \frac{6}{7}z - \frac{14}{7} = \frac{3}{7}x - \frac{2}{7}y + \frac{6}{7}z - 2=0$$

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