Kreuzprodukt

Das Kreuzprodukt aus zwei Vektoren %%\vec{a}%% und %%\vec{b}%% ergibt einen neuen Vektor %%\vec{w}%%, der gleichzeitig senkrecht auf den Vektoren %%\vec{a}%% und %%\vec{b}%% steht.

$$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_2b_3-a_3b_2 \\ a_3b_1 - a_1b_3 \\ a_1b_2 - a_2b_1 \end{pmatrix} = \vec{w} $$

Kreuzprodukt

Der Betrag des berechneten Vektors %%|\vec{w}|%% entspricht dem Flächeninhalt des von %%\vec{a}%% und %%\vec{b}%% aufgespannten Parallelogramms.

Achtung: Das Kreuzprodukt gibt es nur für 3-dimensionale Vektoren! Denn im 2-dimensionalen gibt es keinen Vektor, der senkrecht auf zwei andere verschiedene Vektoren sein kann.

Beispiel

%%\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2\cdot4-(-3)\cdot3 \\ 3\cdot2-1\cdot4 \\ 1\cdot(-3)-2\cdot2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 17 \\ 2 \\ -7 \end{pmatrix}%%

Kommentieren Kommentare