Aufgaben zur Polynomdivision

Führe die Polynomdivision durch. Faktorisiere anschließend das Polynom des Dividenden durch Bestimmung all seiner Nullstellen.

$(x^3+2x^2-x-2):(x-1)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynomdivision

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\;\;(x^3+2x^2-x-2):(x-1)=x^2+3x+2\\\underline{-(x^3-1x^2)\;\;\;\;}\\\;\;\;\;\;\;\;\;3x^2-x\\\;\;\;\;\;\underline{-(3x^2-3x)\;\;\;\;}\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;2x-2\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(2x-2)}\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\end{array}$

$\;\;\Rightarrow\;\;$ Neue Funktion : $f\left(x\right)=x^2+3x+2$

Verbleibende Nullstellen berechnen

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle x^2+3x+2$
	↓	Gleich $0$ setzen.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x^2+3x+2$
	↓	Mitternachtsformel anwenden.
$\displaystyle x_{2{,}3}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-3\pm\sqrt{3^2-4\cdot1\cdot2}}{2\cdot1}$
	↓	Unter der Wurzel ausmultiplizieren.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-3\pm\sqrt{9-8}}{2}$
	↓	Wurzelziehen.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-3\pm1}{2}$

$x_2=\dfrac{-3+1}2=\dfrac{-2}2=-1$

$x_3=\dfrac{-3-1}2=\dfrac{-4}2=-2$

Faktorisierung

$x^3+2x^2-x-2=(x-1)(x+1)(x+2)$ ist die gesuchte Faktorisierung, hier sogar eine Linearfaktordarstellung.

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$(4x^3-4x):(x+1)$

$(\frac23x^3+2x^2-\frac83):(x+2)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynomdivision

$\def\arraystretch{2} \begin{array}{l}\;\;(\dfrac23x^3+2x^2-\dfrac83):(x+2)=\dfrac23x^2+\dfrac23x-\dfrac43\\\underline{-(\dfrac23x^3+\dfrac43x^2)\;\;\;}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\dfrac23x^2-\dfrac83\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(\dfrac23x^2+\dfrac43x)\;\;\;}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-\dfrac43x-\dfrac83\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(-\dfrac43x-\dfrac83)\;\;\;}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\end{array}$

Nullstellenberechnung

$\displaystyle \dfrac{2}{3}x^2+\dfrac{2}{3}x-\dfrac{4}{3}$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle x_{2{,}3}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-\dfrac{2}{3}\pm\sqrt{\left(\dfrac{2}{3}\right)^2-4\cdot\left(\dfrac{2}{3}\right)\cdot\left(-\dfrac{4}{3}\right)}}{\dfrac{4}{3}}$
$\displaystyle x_{2{,}3}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-\dfrac{2}{3}\pm\sqrt{\dfrac{36}{9}}}{\dfrac{4}{3}}$
$\displaystyle x_{2{,}3}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-\dfrac{2}{3}\pm\dfrac{6}{3}}{\dfrac{4}{3}}$

$x_2=1$

$x_3=-2$

$\dfrac23x^3+2x^2-\dfrac83=\dfrac23(x+2)^2(x-1)$ ist die Faktorisierung, hier sogar eine Linearfaktorzerlegung des Terms. Dieser hat für $x=-2$ eine doppelte Nullstelle.

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$(x^4-8x^2-9):(x-3)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynomdivision
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\;\;\;(x^4-8x^2-9):(x-3)=x^3+3x^2+x+3\\\underline{-(x^4-3x^3)}\\\;\;\;\;\;\;\;\;3x^3-8x^2\\\;\;\;\;\;\;\underline{-(3x^3-9x^2)}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x^2-9\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(x^2-3x)}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;3x-9\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(3x-9)}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\end{array}$
$\Rightarrow$ Neue Funktion: $f\left(x\right)=x^3+3x^2+x+3$
Als ganzzahlige Nullstellen des Terms $x^3+3x^2+x+3$ kommen nur die Teiler des konstanten Gliedes $3$ in Frage.
Also die vier Zahlen: $\pm1,\pm3$ .
Einsetzen ergibt $f(-3)=-28+27-3+3=0$ . Daneben erhält man: $f(\pm1) \neq0$ und $f(+3) \neq0$ .
$x=-3$ ist also die einzige ganzzahlige Nullstelle.
Somit muss die Polynomdivision $f(x):(x+3)$ aufgehen.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\;\;(x^3+3x^2+x+3):(x+3)=x^2+1\\\underline{-(x^3+3x^2)\;\;\;\;\;\;\;\;}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x+3\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(x+3)\;\;\;}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\end{array}$
$\Rightarrow$ Neue Funktion: $f\left(x\right)=x^2+1$
Verbleibende Nullstellen berechnen
$\displaystyle x^2+1$ $=$ $\displaystyle 0$ $\displaystyle -1$
$\displaystyle x^2$ $=$ $\displaystyle -1$
$\Rightarrow$ keine weiteren Nullstellen , da nicht lösbar in $\mathbb{R}$ .
Für den ursprünglichen Funktionsterm $x^4-8x^2-9$ erhält man somit die folgende Faktorisierung mit zwei Linearfaktoren und einen quadratischen Faktor.
$x^4-8x^2-9=(x-3)(x+3)(x^2+1)$
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Gegeben ist die Gleichung der Geraden $g:\;y=-x+3$
und die Gleichung der ganzrationalen Funktion $f:\;y=0{,}5x^3-3x^2+4{,}5x$ .
Berechne die Schnittpunkte von $G_f$ und $G_g$ .
Errate dazu eine Lösung der Schnittgleichung und berechne die weiteren Lösungen mit Hilfe der Polynomdivision.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynomdivision
Schnittpunkte berechnen
Die beiden Funktionen haben einen Schnittpunkt, wenn sie für einen gleichen x-Wert denselben y-Wert haben. Setze also die Funktionen $f$ und $g$ gleich. Die Funktionen lauten:
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} &&&f(x)&=&g(x)&\\0{,}5x^3&-3x^2&+4{,}5x& &=&-x+3&|-3+x\\ 0{,}5x^3&-3x^2&+5{,}5x&-3&=&0\end{array}$
Für Polynome vom Grad 3 musst du eine Nullstelle erraten. Alle weiteren Nullstellen lassen sich dann mit einer Polynomdivision ermitteln.
Eine Nullstelle von $0{,}5x^3-3x^2+5{,}5x-3$ ist $x_1=1$ , denn
Um den ersten Schnittpunkt von $f$ und $g$ zu bestimmen, kannst du nun $x_1=1$ entweder in $f$ oder $g$ einsetzen.
Einsetzen in $f$ ergibt:
$f\left(1\right)=-1+3=2$
Der Schnittpunkt ist dann: $S_1=\left(1\vert2\right)$
Polynomdivision
Wende nun die Polynomdivision auf folgende Gleichung an:
$0{,}5x^3-3x^2+5{,}5x-3=0$
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\;\;\;(0{,}5x^3-3x^2\;+5{,}5x-3):(x-1)=0{,}5x^2-2{,}5x+3\\\underline{-(0{,}5x^3-0{,}5x^2)\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-2{,}5x^2+5{,}5x\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(-2{,}5x^2+2{,}5x\;\;)\;}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;3x-3\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(3x-3)}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\end{array}$
Verbleibende Nullstellen berechnen
Von $0{,}5x^2-2{,}5x+3$ kannst du nun noch die beiden Nullstellen bestimmen. Nutze hierfür beispielsweise die Mitternachtsformel.
$0{,}5x^2-2{,}5x+3=0$
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}\Rightarrow x_{2{,}3}&=&\frac{2{,}5\pm\sqrt{(-2{,}5)^2-4\cdot0{,}5\cdot3}}{(2\cdot0{,}5)}\\&=&\frac{2{,}5\pm\sqrt{0{,}25}}1\\&=&\frac{2{,}5\pm0{,}5}1\end{array}$
$x_2=\frac{2{,}5+0{,}5}1=\frac31=3$
$x_3=\frac{2{,}5-0{,}5}1=\frac21=2$
Die Nullstellen von $0{,}5x^3-3x^2+5{,}5x-3$ sind also:
weitere Schnittpunkte berechnen
Den zweiten und dritten Schnittpunkt von $f$ und $g$ , kannst du nun bestimmen, indem du $x_2=3$ und $x_3=2$ in $f$ oder $g$ einsetzt.
Einsetzen in $f$ ergibt:
$f(3)=-3 +3 = 0 \Rightarrow S_2(3|0)$
$f(2)=-2+3=1 \Rightarrow S_3(2|1)$
Schnittpunkte
Die Schnittpunkte der beiden Funktionen liegen bei $S_1(1\vert2)$ , $S_2(3\vert0)$ und $S_3(2\vert1)$ .
3
strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
Vergleiche die Schritte der gewöhnlichen schriftlichen Division am Beispiel $2998:14$ mit der Polynomdivision $(2x^3+9x^2+9x+8):(x+4)$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynomdivision
Zahlenangaben wie 2998 und 14 sind Schreibweisen für Zahlen im Dezimalsystem, einem sogenannten Stellenwertsystem mit der Basis 10.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array} {rrcl}\text{Es gilt:} &2998 &= &2\cdot10^3+9\cdot10^2+9\cdot10+8\\ \text{und} &14 &= &1\cdot10+4\end{array}$
Ersetzt man die Basis 10 durch eine Variable $x$ , so entspricht die Division der beiden natürlichen Zahlen 2998 und 14 unmittelbar einer Polynomdivision:
Durchführung der Zahlendivision
$\begin {array} {l}\phantom{-}2998:14 = 214 + \frac{2}{14}\\\color{red}{-}\underline{28}\\\phantom{-2}19\\\phantom{}\color{red}{-}\underline{14}\\\phantom{-28}58\\\phantom{2}\color{red}{-}\underline{56}\\\phantom{-289}2 \;\;\;\color{red}{\text{Rest}}\end{array}$
Durchführung der Polynomdivision
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array} {l}\phantom{-} (2x^3+9x^2+9x+8):(x+4) = 2x^2 +x + 5 -\displaystyle\frac{12}{x+4}\\\;\color{red}{-}(\underline{2x^3+8x^2})\\\phantom{-2(2x^3+}\;x^2+9x\\\phantom{-2(x^3} \color{red}{-}(\underline{x^2+4x})\\\phantom{-(2x^3+9x^2+2} 5x+8\\\phantom{-(2x^3+9x^2}\; \color{red}{-}(\underline{5x+20})\\\phantom{-2x^3+9x^2+9x+8} -12 \;\;\;\;\color{red}{\text{Rest}}\end{array}$
Du hast schon früh erfahren, dass die Division zweier natürlicher Zahlen oft "nicht aufgeht". Dies bedeutet dann, dass das Ergebnis der Division ein gemischter Bruch ist.
Hier: $2998:14\;=\;214\;+\;\frac17=214\frac17$ .
Bei der Polynomdivision bedeutet das "Nichtaufgehen" der Division, dass das Ergebnis eine Summe oder Differenz aus einer ganzrationalen Funktion und einer echt gebrochenrationalen Funktion ist.
Hier: $2x^2+x+5$ und $\displaystyle-\frac{12}{x+4}$ .
Lass dich nicht verwirren:
Setze in das Ergebnis der Polynomdivision $x=10$ ein, so ergibt sich natürlich auch $214\frac17$ als Zahlenergebnis.
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Wie sicher beherrscht du das Verfahren der Polynomdivision? Führe folgende Polynomdivisionen durch!
1. $(-2x^3+3x^2+2x-3):(-2x+3)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynomdivision
  Benutze das Verfahren der Polynomdivision um diese Aufgabe zu lösen.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array} {l}\hphantom{-} (-2x^3+3x^2+2x-3):(-2x+3)=x^2-1\\\color{red}{-(}\underline{-2x^3+3x^2}\color{red}{)}\\\hphantom{(-2x}0\;\;\;+\;0 \;\; +2x-3\\\hphantom{(-2x^3+3x^2+}\,\color{red}{-(}\underline{2x-3}\color{red}{)}\\\hphantom{(-2x^3+3x^2+2x-3}0\end{array}$
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2. $(-2x^3+3x^2+2x-3):(x^2-1)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynomdivision
  Benutze das Verfahren der Polynomdivision um diese Aufgabe zu lösen.
  Hinweis:
  Schreibe bei einer Polynomdivision Glieder mit gleichem Exponenten möglichst immer untereinander. Das Verfahren wird dadurch übersichtlicher und du vermeidest Rechenfehler.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array} {l}\hphantom{-}(-2x^3+3x^2+2x-3):(x^2-1)=-2x+3\\ \color{red}{-(}\underline{-2x^3 \phantom{+3x^21} +2x}\color{red}{)}\\\hphantom{(-2x^3+3}3x^2\phantom{+2x1} -3\\\hphantom{-2x^3x^2}\color{red}{-(}\underline{3x^2\phantom{+2x1} -3}\color{red}{)}\\\hphantom{-2x^2+3x^2+2x-31}0\end{array}$
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3. $(x^4-x^3-21x^2+x+20):(x^2+5x+4)$
  
  Benutze das Verfahren der Polynomdivision um diese Aufgabe zu lösen.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\;\;\;(x^4-x^3-21x^2\;\;\;\;+x+20):(x^2+5x+4)=x^2-6x+5\\\underline{-(x^4+5x^3+4x^2)\;\;\;\;}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;-6x^3-25x^2\;\;\;+x\\\;\;\;\;\;\underline{-(-6x^3-30x^2-24x)\;\;\;\;}\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;5x^2+25x+20\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(5x^2+25x+20)}\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\end{array}$
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4. $(2x^3+1-x^2+x^4):(x^4-x^2+2x^3+1)$
  
  Achtung Falle!
  Nach dem Ordnen beider Polynome stellst du fest, dass das Dividendenpolynom und das Divisorpolynom gleich sind. Der Wert der Division ist demnach $1$ . Eine Polynomdivision entfällt somit.
  $(x^4+2x^3-x^2+1):(x^4+2x^3-x^2+1)=1$
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5. $(3x^2+1):(2x^3-1)$
  
  Achtung Falle!
  Das Verfahren einer Polynomdivision entfällt, wenn der Grad des Divisorpolynoms größer ist als der Grad des Dividendenpolynoms.
  Der Wert des Quotienten ist der Bruchterm aus beiden Polynomen.
  $(3x^2+1):(2x^3-1)=\displaystyle \frac{3x^2+1}{2x^3-1}$
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6. $(x^5-x^4+3x-3):(x-1)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynomdivision
  Benutze das Verfahren der Polynomdivision um diese Aufgabe zu lösen.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array} {l}\hphantom{-} (x^5-x^4+3x-3):(x-1)=x^4+3\\\color{red}{-(}\underline{x^5-x^4}\color{red}{)}\\\hphantom{(-(x^5-}\;0\;+3x-3\\\hphantom{(-2x^3+3}\,\color{red}{-(}\underline{3x-3}\color{red}{)}\\\hphantom{(-2x^3+3x^2+2}\;\;\;0\end{array}$
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7. $(x^3+1{,}5x^2-0{,5}):(x-0{,}5)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynomdivision
  Benutze das Verfahren der Polynomdivision um die Aufgabe zu lösen.
  $(x^3+1{,}5x^2-0{,5}):(x-0{,}5)$
  Im Dividendenpolynom fehlt das Monom mit $x$ . Ergänze $0x=0$ im Dividendenpolynom, damit du das Verfahren der Polynomdivision wie gewohnt anwenden kannst.
  $(x^3+1{,}5x^2+0-0{,5}):(x-0{,}5)$
  Wende nun das Verfahren der Polynomdivision an.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\;\;(x^3+1{,}5x^2+0-0{,}5):(x-0{,}5)=x^2+2x+1\\\underline{-(x^3-0{,}5x^2)\;\;\;\;}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;2x^2+0\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(2x^2-x)\;\;\;\;}\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x-0{,}5\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(x-0{,}5)}\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\end{array}$
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8. $(x^2+1):(x-1)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynomdivision
  Benutze das Verfahren der Polynomdivision um die Aufgabe zu lösen.
  $(x^2+1):(x-1)$
  Im Dividendenpolynom fehlt das Monom mit $x$ . Ergänze $0x=0$ im Dividendenpolynom, damit du das Verfahren der Polynomdivision wie gewohnt anwenden kannst.
  $(x^2+0+1):(x-1)$
  Wende nun das Verfahren der Polynomdivision an.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array} {l}\hphantom{-}(x^2+0+1):(x-1)=x+1+\displaystyle\frac{2}{x-1}\\\color{red}{-(}\underline{x^2-x}\color{red}{)}\\\hphantom{(x^2+0}\space x+1\\\hphantom{(x^2+}\color{red}{-(}\underline{x-1}\color{red}{)}\\\hphantom{(x^2+1): )x}2\quad\leftarrow \text{Rest}\end{array}$
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9. $(4x^5-x^4):(2x^2-x+1)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynomdivision
  Wende zum Lösen dieser Aufgabe das Verfahren der Polynomdivision an.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array} {l}\hphantom{-}(4x^5-\;\,x^4):(2x^2-x+1)=2x^3+0{,}5x^2-0{,}75x-0{,}625+\displaystyle \frac{0{,}125x+0{,}625}{2x^2-x+1}\\\color{red}{-(}\underline{4x^5-2x^4+\;2x^3}\color{red}{)}\\\hphantom{(4x^5-x^4}x^4-\;2x^3\\\hphantom{(4x^5-}\;\color{red}{-(}\underline{x^4-0{,}5x^3+0{,}5x^2}\color{red}{)}\\\hphantom{(4x^5--x^4}-1{,}5x^3-0{,}5x^2\\\hphantom{(4x^5-x^4}\color{red}{-(}\underline{-1{,}5x^3+0{,}75x^2-0{,}75x}\color{red}{)}\\\hphantom{(4x^5-x^4):(2x^2-}\,-1{,}25x^2+\,0{,}75x\\\hphantom{(4x^5-x^4):(2x^2}\;\color{red}{-(}\underline{-1{,}50x^2+\,0{,}625x-0{,}625}\color{red}{)}\\\hphantom{(4x^5-x^4):(2x^2-x+1):(2x^2}0{,}125x+0{,}625\quad\text{Restpolynom}\end{array}$
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10. Warum einfach, wenn's auch umständlich geht?
  Das Ergebnis der nachfolgenden Division bestätigt man leicht mit dem Distributivgesetz der Division:
  Kannst du den Wert des Quotienten aber auch über eine Polynomdivision berechnen?
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynomdivision
  Lösen mit Polynomdivision
  Um diese Aufgabe zu lösen, solltest du das Verfahren der Polynomdivision kennen.
  Polynome unterscheidet man unter anderem nach ihrem Grad, dem höchsten Exponenten der vorkommenden Potenzglieder.
  Eine Konstante, wie die Zahl $5$ , kann deshalb wegen $5=5\cdot x^0$ als Polynom 0. Grades betrachtet werden.
  Der zu berechnende Quotient kann demnach als Polynomdivision eines Polynoms 3.Grades durch ein Polynom 0.Grades angesehen werden.
  Die charakteristischen dreischrittigen Arbeitsvorgänge $\text{Division}\rightarrow\text{Multiplikation}\rightarrow\text{Subtraktion}$ ergeben sich hier wie folgt:
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array} {l}\hphantom{\text{1. Restpolynom}}(10x^2-5x+1):5={\color{red}2x^2}{\color{blue}-x}{\color{green}+0{,}2}\\\hphantom{\text{1. Restpolyno}}{\color{red}-}\underline{10x^2 \quad \quad\quad}\\{\color{red}\text{1. Restpolynom}}\quad \quad {\color{red}-5x+1}\\\hphantom{\text{1. Restpolynom}}\quad \quad {\color{red}+}\underline{5x \quad\; }\\\hphantom{2x+}{\color{blue}\text{2. Restpolynom}}\quad \quad\;\; {\color{blue}+1}\\\hphantom{2x+3+4+10x^2+2x+}\;\;\,\underline{{\color{red}-}\,1}\\\hphantom{2x+3+2}\color{green}{\text{3. Restpolynom}}\quad \,\color{green}{0}\end{array}$
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11. $(x^3+3x^2-4x-12):(x-2)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynomdivision
  Benutze das Verfahren der Polynomdivision um diese Aufgabe zu lösen.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\phantom{-}\ (x^3+3x^2-4x-12):(x-2)=x^2+5x+6 \\-\underline{(x^3-2x^2)}\\\phantom{-(x^3-1}5x^2-4x\\\phantom{(x^3+}-\underline{(5x^2-10x)}\\\phantom{-(x^3+3x^2-x}6x-12\\\phantom{(x3+3x^2-}-\underline{(6x-12)}\\\phantom{-(x^3+3x^2-4x-12}0\end{array}$
  Es gilt also:
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12. $(-4x+5x^2-3+2x^3):(2x+1)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynomdivision
  Benutze das Verfahren der Polynomdivision um diese Aufgabe zu lösen.
  Bevor du jedoch die Polynomdivision dürchführen kannst, musst du erst den Dividenden ordnen:
  $(-4x+5x^2-3+2x^3)=(2x^3+5x^2-4x-3)$
  Berechne nun $(2x^3+5x^2-4x-3):(2x+1)$ mit dem Verfahren der Polynomdivision:
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\phantom{-}(2x^3+5x^2-4x-3):(2x+1)=x^2+2x-3\\-\underline{(2x^3+x^2)}\\\phantom{-(2x^3+(}4x^2-4x\\\phantom{2x^3+}-\underline{(4x^2+ 2x)}\\\phantom{(2x^3++5x^2}-6x-3\\\phantom{2x^3+5x^2}-\underline{(-6x-3)}\\\phantom{(2x^3+5x^2-4x-3)}0\end{array}$
  Es gilt also:
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13. $(x^4+4x^3+2x-3):(x+2)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynomdivision
  Verwende das Verfahren der Polynomdivision um die Aufgabe zu lösen.
  Im Dividenden fehlt das Monom mit $x^2$ . Ergänze deshalb $0 \cdot x^2=0$ im Dividenden:
  $(x^4+4x^3+2x-3)=(x^4+4x^3+0+2x-3)$
  Benutze nun das Verfahren der Polynomdivision:
  $\def\arraystretch{2} \begin{array}{l}\phantom{-}(x^4+4x^3+0+2x-3):(x+2)=x^3+2x^2-4x+10+\left(\dfrac {-23}{x+2}\right)\\-\underline{(x^4+2x^3)}\\\phantom{-(x^4+)}2x^3+0\\\phantom{(x^4(}-\underline{(2x^3+4x^2)}\\\phantom{(x^4+4x^3+}-4x^2+2x\\\phantom{(x^4+4x}-\underline{(-4x^2-8x)}\\\phantom{(-x^4+4x^3+0+2}10x-3\\\phantom{(x^4+4x^3+0+}-\underline{(10x+20)}\\\phantom{-(x^4+4x^3+0+2x-3)}-23 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \leftarrow \text{Rest}\end{array}$
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Berechne die Nullstellen folgender Funktionen mithilfe der Polynomdivision.

$f(x)=x^3-x^2-4x+4$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f(x)=0$ wird.

$f(x)=x^3-x^2-4x+4$

Versuche eine Nullstelle durch systematisches Probieren herauszufinden. Setze z.B. $1$ in $f(x)$ ein.

$f(1)=1^3-1^2-4\cdot1+4=0$

Die Funktion $f(x)$ hat an der Stelle $x_1=1$ eine Nullstelle. Da $f(1)=0$ , wissen wir, dass $f(x)$ den dazugehörigen Linearfaktor $(x-1)$ besitzt.

Führe nun die Polynomdivision $f(x):(x-1)$ durch.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}\;\;\;(x^3-x^2-4x+4):(x-1)=x^2-4\\\underline{-(x^3-x^2)\;\;\;\;}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0-4x+4\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(-4x+4)\;\;\;\;}\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\end{array}$

Die Funktion $f(x)$ wird dann $0$ , sobald mindestens einer der Faktoren gleich $0$ ist. Da die Nullstelle $x_1=1$ bereits bekannt ist, kannst du die weiteren Nullstellen von $f$ bestimmen, indem du das erhaltene Polynom gleich $0$ setzt.

$\displaystyle x^2-4$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +4$
$\displaystyle x^2$	$=$	$\displaystyle 4$
	↓	Wurzel ziehen.
$\displaystyle x_{2{,}3}$	$=$	$\displaystyle \pm\sqrt{4}$
	$=$	$\displaystyle \pm2$

Die Funktion $f(x)$ hat drei Nullstellen bei $x_1=1$ , $x_2=2$ und $x_3=-2$ .

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$g(x)=x^3+3x^2-16x+12$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f(x)=0$ wird.

$g(x)=x^3+3x^2−16x+12$

Versuche eine Nullstelle durch systematisches Probieren herauszufinden. Setze z.B. $1$ in $g(x)$ ein.

$g(1)=1^3+3\cdot1^2-16\cdot1+12=0$

Die Funktion $g(x)$ hat an der Stelle $x_1=1$ eine Nullstelle. Da $g(1)=0$ , wissen wir, dass $g(x)$ den dazugehörigen Linearfaktor $(x-1)$ besitzt.

Führe nun die Polynomdivision $g(x):(x-1)$ durch.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{}{-}\;\;(x^3+3x^2-16x+12):(x-1)=x^2+4x-12\\\underline{-(x^3-x^2)\;\;\;\;}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;4x^2-16x\\\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(4x^2-4x)\;\;\;\;}\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-12x+12\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(-12x+12)}\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\end{array}$

Die Funktion $g(x)$ wird dann $0$ , sobald mindestens einer der Faktoren gleich $0$ ist. Da die Nullstelle $x_1=1$ bereits bekannt ist, kannst du die weiteren Nullstellen von $g$ bestimmen, indem du das erhaltene Polynom gleich $0$ setzt.

$\displaystyle x^2+4x-12$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Mitternachtsformel anwenden.
$\displaystyle x_{2{,}3}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-4\pm\sqrt{4^2-4\cdot1\cdot\left(-12\right)}}{2\cdot1}$
	↓	Unter der Wurzel zusammenfassen.
$\displaystyle x_{2{,}3}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-4\pm\sqrt{64}}{2}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-4\pm8}{2}$

$x_2=\dfrac{4}{2}=2$

$x_3=\dfrac{-12}{2}=-6$

Fall 1: $+$

Fall 2: $-$

Die Funktion $g(x)$ hat drei Nullstellen bei $x_1=1$ , $x_2=2$ und $x_3=-6$ .

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$h(x)=3x^4+12x^3-33x^2-90x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f(x)=0$ wird.

$\displaystyle h\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 3x^4+12x^3-33x^2-90x$
	↓	$3x$ ausklammern.
$\displaystyle h\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 3x\cdot\left(x^3+4x^2-11x-30\right)$

$\Rightarrow x_1=0$

Die Funktion $h(x)$ wird dann $0$ , sobald mindestens einer der Faktoren gleich $0$ ist. Da die Nullstelle $x_1=0$ bereits bekannt ist, kannst du die weiteren Nullstellen von $h$ bestimmen, indem du die Klammer gleich $0$ setzt.

$x^3+4x^2-11x-30=0$

Versuche eine Nullstelle durch systematisches Probieren herauszufinden. Setze z.B. $-2$ für $x$ ein.

$(-2)^3+4\cdot(-2)^2-11\cdot(-2)-30=-8+16+22-30=0$

Die Funktion $h(x)$ hat an der Stelle $x_2=-2$ eine Nullstelle. Da $h(-2)=0$ , wissen wir, dass $h(x)$ den dazugehörigen Linearfaktor $(x+2)$ besitzt.

Führe nun die Polynomdivision $(x^3+4x^2-11x-30):(x+2)$ durch.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\phantom{-}\ (x^3+4x^2-11x-30):(x+2)=x^2+2x-15 \\-\underline{(x^3+ 2x^2)}\\\phantom{-(x^3-1}2x^2-11x\\\phantom{(x^3+}-\underline{(2x^2+4x)}\\\phantom{- (x^3+3x^2-}-15x-30\\\phantom{(x3+3x^2}-\underline{(-15x-30)}\\\phantom{-(x^3+3x^2-4x- 12}0\end{array}$

Setze das erhaltene Polynom gleich $0$ .

$\displaystyle x^2+2x-15$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Mitternachtsformel anwenden.
$\displaystyle x_{3{,}4}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-2\pm\sqrt{2^2-4\cdot1\cdot\left(-15\right)}}{2\cdot1}$
	↓	Unter der Wurzel zusammenfassen.
$\displaystyle x_{3{,}4}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-2\pm\sqrt{64}}{2}$
$\displaystyle x_{3{,}4}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-2\pm8}{2}$

Fall 1: $+$

$x_3=\dfrac{6}{2}=3$

Fall 2: $-$

$x_4=\dfrac{-10}{2}=-5$

Die Funktion $h(x)$ hat vier Nullstellen bei $x_1=0$ , $x_2=-2$ , $x_3=3$ und $x_4=-5$ .

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 4x^2-4x$
	↓	Gleich $0$ setzen.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 4x^2-4x+0$
	↓	Mitternachtsformel anwenden.
$\displaystyle x_{2{,}3}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{4\pm\sqrt{\left(-4\right)^2-4\cdot4\cdot0}}{2\cdot4}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{4\pm\sqrt{16}}{8}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{4\pm4}{8}$

$\displaystyle x^2+1$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -1$
$\displaystyle x^2$	$=$	$\displaystyle -1$

Aufgaben zur Polynomdivision

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Faktorisierung

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Faktorisierung

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Nullstellenberechnung

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Polynomdivision

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Schnittpunkte

Durchführung der Zahlendivision

Durchführung der Polynomdivision

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Lösen mit Polynomdivision

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