2016

Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

1
Gegeben sind die Gleichungen der folgenden Geraden:
$g_{1}:y=-\frac14x-\frac12$ ; $g_{2}: y=\frac14x+2$
$g_{3}:y=4x+2$ ; $g_{4}:y=-2x+3$
1. Zeichne die Gerade $g_1$ in das Koordinatensystem ein.
  
  Zeichne $g_1$ in das Koordinatensystem ein.
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2. Eine der gegebenen Geraden verläuft senkrecht zu $g_1$ .
  Gib diese an.Die Gerade ___ verläuft senkrecht zu $g_1$ .
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: zueinander senkrechte Geraden
  Bestimme die Gerade, die senkrecht zu $g_1$ verläuft.
  Die Gerade $g_3$ verläuft senkrecht zu $g_1$ . Bei senkrechten Geraden muss das Produkt der Steigungen $-1$ sein. Das ist nur bei $g_3$ der Fall.
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3. Bestimme die Koordinaten des Schnittpunkts $S$ der Geraden $g_2$ mit der $x$ -Achse.
  Teile die Zahlen mit einen kleinen L, also gib etwa $(1|2)$ als 1l2 ein, wobei zwischen 1 und 2 ein kleines "L" steht.
  
  Bestimme die Koordinaten des Schnittpunkts S der Geraden g2 mit der x-Achse.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}y=\frac14x+2\\0=\frac14x+2\\-2=\frac14x\\-8=x\end{array}$
  Die Koordinaten des Schnittpunktes S der Geraden g2 mit der X-Achse lauten (-8|0).
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2
Bestimme die Steigung m und den y-Achsenabschnitt t der Geraden g mit der Gleichung $3x\;-\;6y\;=\;0$ $\mathbb{G| = Q| xQ}).$
1. $m=$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
  $y=mx+t$
  $3x-6y=0$
  $y=\frac36x=0{,}5x$
  Für G|= $\mathbb{Q}\times\mathbb{Q}$ ist die Steigung
  $m=0{,}5$
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2. $t=$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
  $y=mx+t$
  $3x-6y=0$
  $y=\frac36x=0{,}5x$
  Der Achsenabschnitt
  $t=0%$
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Löse die Klammern auf und fasse so weit wie möglich zusammen $\mathbb{(G = Q)}$ .

$(3x-2y)\cdot(-4y+3x)=…$

4
Gegeben sind die beiden quadratischen Terme T1(x) und T2(x) $\mathbb{(G = Q).}$ Ordne den beiden Termen jeweils den passenden Extremwert mit der zugehörigenBelegung von x zu.
Wähle dazu zusammengehörige Kästchen.
1. Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelpunkt einer Parabel
  Bestimme den Extremwert und das zugehörige $x$ der Funktion $T_2(x)=3(x+5)^²-2$
  $(G=\mathbb{Q})$ .
  Am besten arbeitest du dich beim Funktionsterm von "innen nach außen" voran:
  Der Term $(x+5)^2$ ist genau dann am kleinsten, wenn $x+5=0$ und damit $x=-5$ gilt. Für alle anderen Zahlen ist der Wert des Terms größer 0.
  Bei diesem Extremwert muss es sich um ein Minimum handeln, da der Vorfaktor „3“ positiv ist.
  Nun bestimmst du noch die y-Koordinate des Extremwertes. Setze dazu $x=-5$ in $T_2(x)$ ein. $T_2(-5)=3(-5+5)^2-2=-2$
  So ergibt sich $T_{min}=-2$ für $x=-5$ .
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2. Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelpunkt einer Parabel
  Bestimme den Extremwert der Funktion $T_1(x)=-2(x-3)^²+5$
  $(G=\mathbb{Q})$ .
  Am besten arbeitest du dich beim Funktionsterm von "innen nach außen" voran:
  Der Term $(x-3)^2$ ist genau dann am kleinsten, wenn $x-3=0$ und damit $x=3$ gilt. Für alle anderen Zahlen ist der Wert des Terms größer 0.
  Bei diesem Extremwert muss es sich um ein Maximum handeln, da der Vorfaktor „-2“ negativ ist.
  Nun bestimmst du noch die y-Koordinate des Extremwertes. Setze dazu $x=3$ in $T_1(x)$ ein. $T_1(3)=-2(3-3)^2+5=5$
  $T_{max}=5$ für $x=3$ .
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Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung $-4x-11=0{,}5\cdot(24-6x)\mathbb{(G = Q)}.$

$\mathbb{L=}$

6
Ergänze die Zeichnung zu einem Viereck EFGH mit $∢EHG = 110°$ , $∢HGF = 90°$ , und $GE=5cm$ , $GF=3cm$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vierecke konstruieren
7
Für ein Parallelogramm $ABCD$ gilt: $\overrightarrow{AB}=\left(\begin{matrix}2\\7\end{matrix}\right)$ und $D (-1|6)$ . Ermittle die Koordinaten von $C$ .
Trenne die Zahlen mit einem kleinen L.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektoraddition
Der Abbildung kannst du folgende Vektorgleichung entnehmen:
$\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OC}$
$\begin{pmatrix}-1\\6\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\\7\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\13\end{pmatrix}$
Demnach hat der Punkt $C$ die Koordinaten $C(1|13)$ .
8
Das Konzert der Rockgruppe „AB/CD“ in der Stadt Hof besuchten insgesamt 1000 Personen. 80% dieser Besucher stammten aus Bayern. 60% der bayerischen Besucher kamen aus Hof.
Rita behauptet, dass somit mehr als die Hälfte aller Besucher des Rockkonzerts aus Hof kamen. Hat sie recht? Begründe.
Ja, sie hat recht.
Nein, sie hat nicht recht.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechnen mit Prozenten
Um die Aufgabe zu lösen, musst du zunächst den Prozentwert ausrechnen, der angibt, wie viele Besucher aus Bayern stammten.
Dazu benutzt du die Formel
$\text{Prozentwert}=\text{Grundwert\,}\cdot\text{Prozentsatz}$
Der Grundwert ist die Anzahl der Konzertbesucher. Davon stammten $80\%=\frac{80}{100}=0{,}8$ aus Bayern.
Durch Einsetzen in die Formel erhältst du
$\text{Prozentwert\,}=1000\cdot 0{,}8=800$
$800$ Besucher des Konzerts stammten aus Bayern.
Von den Besuchern aus Bayern stammten wiederum $60\%$ aus Hof.
Durch Einsetzen in die Formel erhältst du
$\text{Prozentwert\,}=800\cdot0{,}6=480$
$480$ Besucher kamen aus Hof. Dies sind weniger als die Hälfte der insgesamt $1000$ Konzertbesucher.
Rita hat nicht recht.
Berechne die Anzahl der Besucher aus Bayern
Berechne dann die Anzahl der Besucher aus Hof

Bestimme die Definitionsmenge D und die Lösungsmenge L der folgenden Bruchgleichung.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsmenge einer Bruchgleichung
$\frac{4x}{2x+10}=\frac13\;\;\;\;\;\;\;\;\;G=\mathbb{Q}$
Der Nenner eines Bruches darf nie $0$ werden.
$D=\mathbb{Q}\backslash\{-5\}$
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10
Trage Zahlen in die beiden Kästchen ein, so dass äquivalente Terme entstehen $\mathbb{(G = Q).}$
Trenne die Zahl mit einem Strichpunkt (;).

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzgesezte
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}x⁹\cdot(2x)³=\\\\x⁹\cdot2³\cdot x³=8\cdot x¹²\end{array}$
Die gesuchten Zahlen lauten 9 und 8.
11
In einer Lostrommel befinden sich 100 Lose (50 Nieten, 45 Kleingewinne und 5 Hauptgewinne). Katja zieht zehnmal (zwei Kleingewinne und acht Nieten). Nun ist Tom an der Reihe und zieht eines der restlichen Lose.
Welche der folgenden Aussagen treffen zu? Wähle aus.
Die Wahrscheinlichkeit, dass Tom einen Hauptgewinn zieht, ist größer als sie bei Katja war.
Die Wahrscheinlichkeit, dass Tom einen Kleingewinn zieht, ist höher als dieWahrscheinlichkeit, dass Tom eine Niete zieht.
Die Wahrscheinlichkeit, dass Tom einen Hauptgewinn zieht, beträgt genau 5%.
Die Wahrscheinlichkeit, dass Tom einen Kleingewinn zieht, ist größer als 50%.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung mittels Dreisatz
Berechne und vergleiche Wahrscheinlichkeiten.
Wenn Katja Lose zieht, befinden sich 100 Lose in der Lostrommel.
$50$ Nieten
$43$ Kleingewinne
$5$ Hauptgewinne.
$100$ Lose $\mathop{\widehat{=}}$ $100\%$
$1$ Los $\mathop{\widehat{=}}$ $1\%$
Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass Katja einen Hauptgewinn zieht.
$5:1=5$
Die Wahrscheinlichkeit, dass Katja einen Hauptgewinn zieht, beträgt $5\%$ .
Wenn Tom beginnt Lose zu ziehen, sind nur noch 90 Lose in der Lostrommel.
$50-8=42$ Nieten
$45-2=43$ Kleingewinne
$5$ Hauptgewinne
$90$ Lose $\mathop{\widehat{=}}$ $100\%$
$0{,}9$ Lose $\mathop{\widehat{=}}$ $1\%$
Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass Tom einen Hauptgewinn zieht.
$5:0{,}9=5{,}56$
Die Wahrscheinlichkeit, dass Tom einen Hauptgewinn zieht, beträgt $5{,}56\%$ .
Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass Tom einen Kleingewinn zieht.
$43:0{,}9=47{,}78$
Die Wahrscheinlichkeit, dass Tom einen Kleintgewinn zieht, beträgt $47{,}78\%$ .
Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass Tom eine Niete zieht.
$42:0{,}9=46{,}67$
Die Wahrscheinlichkeit, dass Tom eine Nietezieht, beträgt $46{,}67\%$ .
Die Wahrscheinlichkeit, dass Tom einen Kleingewinn zieht ist $47{,}78\%$ und somit höher als die Wahrscheinlichkeit in Höhe von $46{,}67\%$ , das Tom eine Niete zieht.
Die Wahrscheinlichkeit, dass Tom einen Hauptgewinn zieht ist $5{,}56\%$ und somit größer als die Wahrscheinlichkeit in Höhe von $5\%$ bei Katja.

Vervollständige die Wertetabellen so, dass x und y zueinander …

… direkt proportional sind

… indirekt proportional sind

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechnen mit Proportionalitäten
Zwei Größen sind dann indirekt proportional, wenn das Produkt zweier Größen immer konstant ist.
In der zweiten Werte Spalte der Tabelle sind die Werte für $x$ und $y$ beide gegeben. Wir suchen also einen Wert $z$ , mit dessen Hilfe sich der Wert für $x$ aus dem Wert von $y$ errechnen lässt. Dazu können wir folgende Formel verenden:
$\displaystyle z$ $=$ $\displaystyle x\cdot y$
↓
Einsetzen der bekannten Werte
$\displaystyle z$ $=$ $\displaystyle 2\cdot 6$
$\displaystyle z$ $=$ $\displaystyle 12$
Damit haben wir den Wert bestimmt und können die fehlenden Werte für die anderen Spalten berechnen.
1. Werte Spalte
$\displaystyle z$ $=$ $\displaystyle x \cdot y$
↓
Einsetzen der bekannten Werte
$\displaystyle 12$ $=$ $\displaystyle 1\cdot y$
$\displaystyle y$ $=$ $\displaystyle 12$
$y=12$ ist der fehlende Wert in der ersten Werte Spalte.
3. Werte Spalte
$\displaystyle z$ $=$ $\displaystyle x\cdot y$
↓
Einsetzen der bekannten Werte
$\displaystyle 12$ $=$ $\displaystyle x\cdot 24$
$\displaystyle x$ $=$ $\displaystyle 0{,}5$
$x=0{,}5$ ist der fehlende Wert in der dritten Werte Spalte.
Vollständige Tabelle
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Wende die Bedingung für indirekte Proportionalität an

13
In einer Konzerthalle darf die Anzahl der Zuschauer aus Sicherheitsgründen einen bestimmten Höchstwert nicht überschreiten.
Im Zuschauerraum dürfen sich deswegen höchstens vier Zuschauer pro Quadratmeter aufhalten. Der abgebildete Plan zeigt den maßstabsgetreuen Grundriss der Konzerthalle mit Bühne und Zuschauerraum.Wie viele Zuschauer dürfen höchstens in die Konzerthalle eingelassen werden? Gib deinen Lösungsweg an.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt von Rechtecken
Sinnvolle Modellierung, z. B.: Fläche des Zuschauerraums: 550 m² => Es dürfen maximal 2200 Zuschauer eingelassen werden.
14
Die Punkte A und D liegen auf einem Kreis k mit dem Mittelpunkt B. Ermittle das Winkelmaß $\alpha$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Winkelsumme im Dreieck
Die Summe der Innenwinkel in einem Dreieck beträgt immer $180^\circ$ .
Der Winkel $\angle$ DBC ist also $180^\circ-50^\circ-90^\circ=40^\circ$ .
Nebenwinkel ergeben zusammen immer $180^\circ$ .
Der Winkel $\angle$ ABD ist somit $180^\circ-40^\circ=140^\circ$ .
Da das Dreieck ABD gleichschenklig ist, sind die beiden Winkel $\alpha$ und $\angle BDA$ gleich.
$(180^\circ-140^\circ):2=20^\circ$
$\alpha=20^\circ$
15
Es gibt Vierecke, bei denen die Diagonalen aufeinander senkrecht stehen und gleichzeitig die gegenüberliegenden Seiten zueinander parallel sind.
Wähle die beiden Vierecksarten an, auf welche dies immer zutrifft.
Raute
Quadrat
Drachenviereck
Parallelogramm
Rechteck
Gleichschenkliges Trapez
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Eigenschaften von Vierecken
Beim Quadrat und der Raute stehen die Diagonalen senkrecht aufeinander und die gegenüber liegenden Seiten sind parallel.
Bei dem Parallelogramm und dem Rechteck sind die gegenüber liegenden Seiten parallel, aber die Diagonalen stehen nicht senkrecht aufeinander.
Bei einem symmetrischen Trapez sind lediglich 2 gegenüberliegende Seiten parallel und die Diagonalen stehen nicht senkrecht aufeinander.
Beim Drachenviereck stehen die Diagonalen senkrecht aufeinander, aber die gegenüber liegenden Seiten sind nicht parallel.
16
Ermittle das Winkelmaß $\alpha$ , wenn g || h gilt.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: WInkelsummen
Die Summe der Innenwinkel in einem Dreieck beträgt immer $180^\circ$ .
Der Winkel $\angle$ BCA hat also $180^\circ-15^\circ-25^\circ=140^\circ$ .
Die Summe von Nebenwinkeln beträt $180^\circ$ .
Der Winkel $\angle$ ACD hat somit $40^\circ$ .
Da die Geraden g und h parallel sind, ist der Winkel, den die Gerade g und die Gerade durch AD einschließt ein Stufenwinkel zun dem Winkel, den die Gerade h und die Gerade durch AD eischließt.Beide Winkel haben $120^\circ$ .
Der Nebenwinkel $\angle$ DAC hat $180^\circ-120^\circ=60^\circ$ .
$\alpha=180^\circ-40^\circ-60^\circ=80^\circ$ .
$\alpha=80^\circ$
17
Das Volumen eines Quaders soll auf das Dreifache vergrößert werden.Wie können Länge, Breite und Höhe verändert werden, um dies zu erreichen?
Wähle die beiden richtigen Möglichkeiten aus.
Man verlängert die Höhe auf das Doppelte und die Breite auf das 1,5-fache bei gleichbleibender Länge.
Man verdreifacht die Breite bei unveränderter Höhe und unveränderter Länge
Man verdreifacht gleichzeitig die Länge, die Breite und die Höhe.
Man verdoppelt die Länge sowie die Breite und halbiert die Höhe.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumenberechnung eines Quaders
$V=l\cdot b\cdot h$
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}l\cdot3b\cdot h=3\cdot l\cdot b\cdot h=3\cdot V\;\\\\l\cdot1{,}5b\cdot2h=1{,}5\cdot2\cdot l\cdot b\cdot h=3\cdot V\\\\3l\cdot3b\cdot3h=27\cdot l\cdot b\cdot h=27\cdot V\\\\2\cdot l\cdot2\cdot b\cdot0{,}5\cdot h=2\cdot2\cdot0{,}5\cdot l\cdot b\cdot h=2\cdot V\end{array}$
Man erhält einen Quader mit dem 3-fachen Volumen, wenn man bei unveränderter Länge und Höhe die Breite verdreifacht.
Man erhält einen Quader mit dem 3-fachen Volumen, wenn man bei unveränderter Länge die Breite um 1,5 verlängert und die Höhe verdopppelt.
18
Ein Quadrat mit einem Umfang von 40 cm wird in zwei Rechtecke geteilt, von denen eines einen Flächeninhalt von 80 cm² hat.
Welchen Flächeninhalt hat das andere Rechteck?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Umfang und Flächeninhalt eines Rechtecks beherrschen
Ein Quadrat mit einem Umfang von 40 cm wird in zwei Rechtecke geteilt, von denen eines einen Flächeninhalt von 80 cm² hat.
Welchen Flächeninhalt hat das andere Rechteck?
Ein Quadrat ist ein Rechteck, bei dem alle Seiten gleich lang sind.
$U=4a$
Berechne die Seitenlänge für $U=40cm$ .
$40\ cm=4a$
$a=10\ cm$
Der Flächeninhalt eines Quadrates lautet
$A=a^2$
Berechne den Flächeninhalt des Quadrates mit einer Seitenlänge von $10\ cm$ .
$A=100\ cm²$
Das andere Rechteck halt also einen Flächeninhalt von $20\ cm^2$
19
Welche der folgenden Aussagen sind wahr? Wähle aus.
Zwei Dreiecke sind in jedem Fall kongruent (deckungsgleich), wenn sie …
… in zwei Seitenlängen und dem Maß des eingeschlossenen Winkels übereinstimmen
… in drei Seitenlängen übereinstimmen.
… in drei Winkelmaßen übereinstimmen.
… beide gleichseitig sind
… beide einen rechten Winkel haben.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kongruenzsätze
2 Dreiecke sind in jedem Fall kongruent, wenn sie
in 3 Seitenlängen oder
in 2 Seitenlängen und dem Maß des eingeschlossenen Winkels
übereinstimmen.

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle (3x-2y)\cdot (-4y+3x)$	$=$	$\displaystyle -12xy+9x^2+8y^2-6xy$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle 9x^2+8y^2-18xy$

$\displaystyle -4x-11$	$=$	$\displaystyle 0{,}5\cdot\left(24-6x\right)$
	↓	Klammer ausmultiplizieren.
$\displaystyle -4x-11$	$=$	$\displaystyle 12-3x$	$\displaystyle +4x$
$\displaystyle -11$	$=$	$\displaystyle 12+x$	$\displaystyle -12$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -23$

$\displaystyle \frac{4x}{2x+10}$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}$	$\displaystyle \cdot\left(2x+10\right)$
$\displaystyle 4x$	$=$	$\displaystyle \frac{2x+10}{3}$	$\displaystyle \cdot3$
$\displaystyle 12x$	$=$	$\displaystyle 2x+10$	$\displaystyle -2x$
$\displaystyle 10x$	$=$	$\displaystyle 10$	$\displaystyle :10$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 1$

$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle z\cdot x$
	↓	Einsetzen der Werte für $x$ und $y$
$\displaystyle 6$	$=$	$\displaystyle z\cdot 2$
	↓	auflösen nach $z$
$\displaystyle z$	$=$	$\displaystyle 3$

$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle z\cdot x$
	↓	Einsetzen der bekannten Werte
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle 3\cdot 1$
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle 3$

$\displaystyle z$	$=$	$\displaystyle x\cdot y$
	↓	Einsetzen der bekannten Werte
$\displaystyle z$	$=$	$\displaystyle 2\cdot 6$
$\displaystyle z$	$=$	$\displaystyle 12$

$\displaystyle z$	$=$	$\displaystyle x \cdot y$
	↓	Einsetzen der bekannten Werte
$\displaystyle 12$	$=$	$\displaystyle 1\cdot y$
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle 12$

2016

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1. Werte Spalte

3. Werte Spalte

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