22Punkte in der Ebene

Gegeben ist eine Ebene  $E:\; \vec X= \vec A+r\cdot \vec u+s \cdot \vec v$ (Parameterform mit den Parametern  $r,s\in \mathbb{R}$). Wenn man für r und s beliebige Werte einsetzt, erhält man einen Punkt in der Ebene.

Beispiel

Man betrachtet die Ebene $E:\;\vec X= \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ -3 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ -6 \\ -9 \end{pmatrix}+s \cdot\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ und wählt z.B. für die beiden Parameter $r$ und $s$ die Werte $r=-1$ und $s=2$. Diese beiden Werte beschreiben genau einen Punkt $P$ in der Ebene:

$\vec P= \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ -3 \end{pmatrix}+(-1)\cdot \begin{pmatrix} 5 \\ -6 \\ -9 \end{pmatrix}+2 \cdot\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 \\ 15 \\ 12 \end{pmatrix}$

Der Punkt $P$ hat die Koordinaten: $P\left(-1|15|12\right)$ und $P \in E$.

Umgekehrt gibt es zu jedem Punkt in der Ebene passende Werte für die beiden Parameter $r$ und $s$. Will man prüfen, ob ein Punkt $P$ in der Ebene liegt, wird der Ortvektor des Punktes $P$ mit der Ebenengleichung gleichgesetzt (man setzt für den Vektor $\vec X$ der Ebene den Ortvektor des Punktes $P$ ein).

Anschließend stellt man ein Gleichungssystem auf und löst die einzelnen Gleichungen nach $$ $r$ und $s$ auf.

Verständlicher wird dies, wenn man sich Beispiele ansieht:

Beispiel 1

Gegeben ist die Ebenengleichung:

$E:\;\vec X= \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ -3 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ -6 \\ -9 \end{pmatrix}+s \cdot\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$

Es soll geprüft werden, ob der Punkt $P(7|-1|-12)$ in der Ebene liegt.

Lösung für Beispiel 1

Man setzt für den Vektor $\vec X$ der Ebene $E$ den Ortvektor des Punktes $\textcolor{ff6600}{P(7|-1|-12)}$ ein:

$\textcolor{ff6600}{\begin{pmatrix} 7 \\ -1 \\ -12 \end{pmatrix}}= \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ -3 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ -6 \\ -9 \end{pmatrix}+s \cdot\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$

So erhält man ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Variablen.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{llcr} &\mathrm{(I):} &7&=&2+5\cdot r+1 \cdot s\\&\mathrm{(II):} &-1&=&5-6\cdot r+2 \cdot s \\&\mathrm{(III):} &-12&=&-3-9\cdot r+3 \cdot s\end{array}$

Umgeformt erhält man:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{llcr} &\mathrm{(I'):} &5&=&5\cdot r+1 \cdot s\\&\mathrm{(II'):} &-6&=&-6\cdot r+2 \cdot s \\&\mathrm{(III'):} &-9&=&-9\cdot r+3 \cdot s\end{array}$$$

Um eine Variable zu eliminieren rechnet man z.B. $(-2)\cdot\mathrm{(I')}+\mathrm{(II')}$

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrrrrcrr}&(-2)\cdot\mathrm{(I')}:&\;\;&-10&=&-10\cdot r&-&2\cdot s\\+&\mathrm{(II')}:& &-6&=&-6\cdot r&+&2 \cdot s\\ \hline &&&-16&=&-16\cdot r&+&0\end{array}$

Also ist $r=1$.

Man setzt $r=1$ in Gleichung $\mathrm{(I')}:\;\;5=5\cdot r+1 \cdot s$ ein:

$\mathrm{(I')}:\;5=5\cdot 1+1 \cdot s \;\;\Rightarrow s=0$

Mit den Werten $r=1$ und $s=0$ wird (als Probe) die Gleichung

$\mathrm{(II')}:\; -6=-6\cdot r+2 \cdot s$ überprüft:

$\mathrm{(II')}:\; -6=-6\cdot 1+2 \cdot 0\; \checkmark$ Somit wurden $r$ und $s$ richtig berechnet.

Mit den Werten $r=1$ und $s=0$ wird die Gleichung $\mathrm{(III')}: \;-9=-9\cdot r+3 \cdot s$ überprüft:

$\mathrm{(III'):} \;-9=-9\cdot 1+3 \cdot 0\;\checkmark$

Damit hat das Gleichungssystem eine eindeutige Lösung, d.h. der Punkt $P$ liegt in der Ebene.

Beispiel 2

Gegeben ist die Ebenengleichung:

$E:\;\vec X= \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ -3 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ -6 \\ -9 \end{pmatrix}+s \cdot\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$

Es soll geprüft werden, ob der Punkt $Q\left(4|10|-6\right)$ in der Ebene liegt.

Lösung für Beispiel 2

Man setzt für den Vektor $\vec X$ der Ebene $E$ den Ortvektor des Punktes $\textcolor{ff6600}{Q(4|10|-6)}$ ein:

$\textcolor{ff6600}{\begin{pmatrix} 4 \\ 10 \\ -6 \end{pmatrix}}= \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ -3 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ -6 \\ -9 \end{pmatrix}+s \cdot\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$

So erhält man ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Variablen.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{llcr} &\mathrm{(I):} &4&=&2+5\cdot r+1 \cdot s\\&\mathrm{(II):} &10&=&5-6\cdot r+2 \cdot s \\&\mathrm{(III):} &-6&=&-3-9\cdot r+3 \cdot s\end{array}$

Umgeformt erhält man:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{llcr} &\mathrm{(I'):} &2&=&5\cdot r+1 \cdot s\\&\mathrm{(II'):} &5&=&-6\cdot r+2 \cdot s \\&\mathrm{(III'):} &-3&=&-9\cdot r+3 \cdot s\end{array}$$$

Um eine Variable zu eliminieren rechnet man z.B. $(-2)\cdot\mathrm{(I')}+\mathrm{(II')}$

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrrrrcrr}&(-2)\cdot\mathrm{(I')}:&\,\, \,&-4&=&-10\cdot r&-&2\cdot s\\+&\mathrm{(II')}: &&5&=&-6\cdot r&+&2 \cdot s\\ \hline &&&1&=&-16\cdot r &&\end{array}$

Also ist $r=-\frac{1}{16}$.

Man setzt $r=-\frac{1}{16}$ in Gleichung $\mathrm{(I'):}\;\; 2=5\cdot r+1 \cdot s$ ein:

$\mathrm{(I'):}\;2=5\cdot (-\frac{1}{16})+1 \cdot s\;\;\Rightarrow s=\frac{37}{16}$.

Mit den Werten $r=-\frac{1}{16}$ und $s=\frac{37}{16}$ wird (als Probe) die Gleichung

$\mathrm{(II')}:\; 5=-6\cdot r+2 \cdot s$ überprüft:

$\mathrm{(II')}:\; 5=-6\cdot (-\frac{1}{16})+2 \cdot \frac{37}{16} =\frac{6}{16}+\frac{74}{16}=\frac{80}{16}=5\;\; \checkmark$ Somit wurden $r$ und $s$ richtig berechnet.

Mit den Werten $r=-\frac{1}{16}$ und $s=\frac{37}{16}$ wird die Gleichung $\mathrm{(III')}:\; -3=-9\cdot r+3 \cdot s$ überprüft:

$\mathrm{(III'):}\;-3=-9\cdot(-\frac{1}{16})+3\cdot\frac{37}{16}=\frac{9}{16}+\frac{111}{16}=\frac{120}{16}=7{,}5$

Gleichung $\mathrm{(III')}$ liefert ein falsches Ergebnis, da $-3\neq 7{,}5$.

Das Gleichungssystem hat keine Lösung, d.h. der Punkt $Q$ liegt nicht in der Ebene.