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22Punkte in der Ebene

Gegeben ist eine Ebene  E:  X=A+ru+svE:\; \vec X= \vec A+r\cdot \vec u+s \cdot \vec v (Parameterform mit den Parametern  r,sRr,s\in \mathbb{R}). Wenn man für r und s beliebige Werte einsetzt, erhält man einen Punkt in der Ebene.

Beispiel

Man betrachtet die Ebene E:  X=(253)+r(569)+s(123)E:\;\vec X= \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ -3 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ -6 \\ -9 \end{pmatrix}+s \cdot\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} und wählt z.B. für die beiden Parameter rr und ss die Werte r=1r=-1 und s=2s=2. Diese beiden Werte beschreiben genau einen Punkt PP in der Ebene:

P=(253)+(1)(569)+2(123)=(11512)\vec P= \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ -3 \end{pmatrix}+(-1)\cdot \begin{pmatrix} 5 \\ -6 \\ -9 \end{pmatrix}+2 \cdot\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 \\ 15 \\ 12 \end{pmatrix}

Der Punkt PP hat die Koordinaten: P(11512)P\left(-1|15|12\right) und PEP \in E.

Umgekehrt gibt es zu jedem Punkt in der Ebene passende Werte für die beiden Parameter rr und ss. Will man prüfen, ob ein Punkt PP in der Ebene liegt, wird der Ortvektor des Punktes PP mit der Ebenengleichung gleichgesetzt (man setzt für den Vektor X \vec X der Ebene den Ortvektor des Punktes PP ein).

Anschließend stellt man ein Gleichungssystem auf und löst die einzelnen Gleichungen nach rr und ss auf.

Verständlicher wird dies, wenn man sich Beispiele ansieht:

Beispiel 1

Gegeben ist die Ebenengleichung:

E:  X=(253)+r(569)+s(123)E:\;\vec X= \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ -3 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ -6 \\ -9 \end{pmatrix}+s \cdot\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}

Es soll geprüft werden, ob der Punkt P(7112)P(7|-1|-12) in der Ebene liegt.

Lösung für Beispiel 1

Man setzt für den Vektor X \vec X der Ebene EE den Ortvektor des Punktes P(7112)\textcolor{ff6600}{P(7|-1|-12)} ein:

(7112)=(253)+r(569)+s(123)\textcolor{ff6600}{\begin{pmatrix} 7 \\ -1 \\ -12 \end{pmatrix}}= \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ -3 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ -6 \\ -9 \end{pmatrix}+s \cdot\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}

So erhält man ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Variablen.

(I):7=2+5r+1s(II):1=56r+2s(III):12=39r+3s\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{llcr} &\mathrm{(I):} &7&=&2+5\cdot r+1 \cdot s\\&\mathrm{(II):} &-1&=&5-6\cdot r+2 \cdot s \\&\mathrm{(III):} &-12&=&-3-9\cdot r+3 \cdot s\end{array}

Umgeformt erhält man:

(I):5=5r+1s(II):6=6r+2s(III):9=9r+3s\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{llcr} &\mathrm{(I'):} &5&=&5\cdot r+1 \cdot s\\&\mathrm{(II'):} &-6&=&-6\cdot r+2 \cdot s \\&\mathrm{(III'):} &-9&=&-9\cdot r+3 \cdot s\end{array}

Um eine Variable zu eliminieren rechnet man z.B. (2)(I)+(II)(-2)\cdot\mathrm{(I')}+\mathrm{(II')}

(2)(I):    10=10r2s+(II):6=6r+2s16=16r+0\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrrrrcrr}&(-2)\cdot\mathrm{(I')}:&\;\;&-10&=&-10\cdot r&-&2\cdot s\\+&\mathrm{(II')}:& &-6&=&-6\cdot r&+&2 \cdot s\\ \hline &&&-16&=&-16\cdot r&+&0\end{array}

Also ist r=1r=1.

Man setzt r=1r=1 in Gleichung (I):    5=5r+1s\mathrm{(I')}:\;\;5=5\cdot r+1 \cdot s ein:

(I):  5=51+1s    s=0\mathrm{(I')}:\;5=5\cdot 1+1 \cdot s \;\;\Rightarrow s=0

Mit den Werten r=1r=1 und s=0s=0 wird (als Probe) die Gleichung

(II):  6=6r+2s\mathrm{(II')}:\; -6=-6\cdot r+2 \cdot s überprüft:

(II):  6=61+20  \mathrm{(II')}:\; -6=-6\cdot 1+2 \cdot 0\; \checkmark Somit wurden rr und ss richtig berechnet.

Mit den Werten r=1r=1 und s=0s=0 wird die Gleichung (III):  9=9r+3s\mathrm{(III')}: \;-9=-9\cdot r+3 \cdot s überprüft:

(III):  9=91+30  \mathrm{(III'):} \;-9=-9\cdot 1+3 \cdot 0\;\checkmark

Damit hat das Gleichungssystem eine eindeutige Lösung, d.h. der Punkt PP liegt in der Ebene.

Beispiel 2

Gegeben ist die Ebenengleichung:

E:  X=(253)+r(569)+s(123)E:\;\vec X= \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ -3 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ -6 \\ -9 \end{pmatrix}+s \cdot\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}

Es soll geprüft werden, ob der Punkt Q(4106)Q\left(4|10|-6\right) in der Ebene liegt.

Lösung für Beispiel 2

Man setzt für den Vektor X \vec X der Ebene EE den Ortvektor des Punktes Q(4106)\textcolor{ff6600}{Q(4|10|-6)} ein:

(4106)=(253)+r(569)+s(123)\textcolor{ff6600}{\begin{pmatrix} 4 \\ 10 \\ -6 \end{pmatrix}}= \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ -3 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ -6 \\ -9 \end{pmatrix}+s \cdot\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}

So erhält man ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Variablen.

(I):4=2+5r+1s(II):10=56r+2s(III):6=39r+3s\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{llcr} &\mathrm{(I):} &4&=&2+5\cdot r+1 \cdot s\\&\mathrm{(II):} &10&=&5-6\cdot r+2 \cdot s \\&\mathrm{(III):} &-6&=&-3-9\cdot r+3 \cdot s\end{array}

Umgeformt erhält man:

(I):2=5r+1s(II):5=6r+2s(III):3=9r+3s\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{llcr} &\mathrm{(I'):} &2&=&5\cdot r+1 \cdot s\\&\mathrm{(II'):} &5&=&-6\cdot r+2 \cdot s \\&\mathrm{(III'):} &-3&=&-9\cdot r+3 \cdot s\end{array}

Um eine Variable zu eliminieren rechnet man z.B. (2)(I)+(II)(-2)\cdot\mathrm{(I')}+\mathrm{(II')}

(2)(I):4=10r2s+(II):5=6r+2s1=16r\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrrrrcrr}&(-2)\cdot\mathrm{(I')}:&\,\, \,&-4&=&-10\cdot r&-&2\cdot s\\+&\mathrm{(II')}: &&5&=&-6\cdot r&+&2 \cdot s\\ \hline &&&1&=&-16\cdot r &&\end{array}

Also ist r=116r=-\frac{1}{16}.

Man setzt r=116r=-\frac{1}{16} in Gleichung (I):    2=5r+1s\mathrm{(I'):}\;\; 2=5\cdot r+1 \cdot s ein:

(I):  2=5(116)+1s    s=3716\mathrm{(I'):}\;2=5\cdot (-\frac{1}{16})+1 \cdot s\;\;\Rightarrow s=\frac{37}{16}.

Mit den Werten r=116r=-\frac{1}{16} und s=3716s=\frac{37}{16} wird (als Probe) die Gleichung

(II):  5=6r+2s\mathrm{(II')}:\; 5=-6\cdot r+2 \cdot s überprüft:

(II):  5=6(116)+23716=616+7416=8016=5    \mathrm{(II')}:\; 5=-6\cdot (-\frac{1}{16})+2 \cdot \frac{37}{16} =\frac{6}{16}+\frac{74}{16}=\frac{80}{16}=5\;\; \checkmark Somit wurden rr und ss richtig berechnet.

Mit den Werten r=116r=-\frac{1}{16} und s=3716s=\frac{37}{16} wird die Gleichung (III):  3=9r+3s\mathrm{(III')}:\; -3=-9\cdot r+3 \cdot s überprüft:

(III):  3=9(116)+33716=916+11116=12016=7,5\mathrm{(III'):}\;-3=-9\cdot(-\frac{1}{16})+3\cdot\frac{37}{16}=\frac{9}{16}+\frac{111}{16}=\frac{120}{16}=7{,}5

Gleichung (III)\mathrm{(III')} liefert ein falsches Ergebnis, da 37,5-3\neq 7{,}5.

Das Gleichungssystem hat keine Lösung, d.h. der Punkt QQ liegt nicht in der Ebene.