Sachaufgaben mit Brüchen

Hier kannst du lernen, Brüche zum Lösen sachbezogener Probleme zu verwenden. Schaffst du sie alle?

1
Ein Koala schläft $\frac{5}6$ des Tages. Wie viele Stunden schläft das Tier täglich?
h

Der Koala schläft 20 Stunden.
Lösungsweg:
1 Tag entspricht 24 Stunden.
Der Koala schläft $\frac{5}{6}$ des Tages. Dies entspricht $\frac{5}{6}$ von 24 Stunden. Das berechnest du nun so:
$\frac{5}{6}\cdot24 \text{h} \\=\frac{5\cdot 24}{6}\text{h}\\=\frac{5\cdot4 \cdot 6}{1\cdot 6}\text{h}\\=\frac{5\cdot4 \cdot \sout{6}}{1\cdot \sout{6}}\text{h}\\=\frac{5\cdot4}{1}\text{h}\\=20\text{h}$

Ein Siebenschläfer schläft $\frac{3}4$ des Tages. Wie viele Stunden schläft es täglich?

3
Joscha ist Winzer und sein Weinfass enthält $43\frac12$ Liter Wein. Davon werden 6 Flaschen zu je 0,75 Liter und 9 Flaschen zu je 0,7 Liter abgefüllt.
Wie viel Liter hat Joscha übrig, die er selbst noch trinken kann?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechnen mit Brüchen
geg.:
Insgesamt: $43\frac12$ Liter
6 Flaschen mit 0,75 Liter
9 Flaschen mit 0,7 Liter
Schreibe zuerst die Kommazahlen als Brüche auf: $0{,}75=\dfrac34$ ; $0{,}7=\dfrac7{10}$
Jetzt musst du jeweils die Anzahl der Flaschen mit dem Inhalt multiplizieren und die Ergebnisse addieren.
$6\cdot0{,}75\mathrm l+9\cdot0{,}7\mathrm l$
$=6\cdot\dfrac34\mathrm l+9\cdot\dfrac7{10}\mathrm l$
$=\dfrac{6\cdot3}4\mathrm l+\dfrac{7\cdot9}{10}\mathrm l$
$=\dfrac{18}4\mathrm l+\dfrac{63}{10}\mathrm l$
Kürze mit 2.
$=\dfrac92\mathrm l+\dfrac{63}{10}\mathrm l$
Addiere. Bilde den Hauptnenner und erweiter auf diesen. $\rightarrow\;10$
$=\dfrac{45}{10}\mathrm l+\dfrac{63}{10}\mathrm l$
$=\dfrac{108}{10}\mathrm l$
Das Ergebnis vom Gesamtinhalt des Fasses subtrahieren.
$43\dfrac12\mathrm l-\dfrac{108}{10}\mathrm l$
In unechte Brüche umwandeln.
$\dfrac{87}{2}\mathrm l-\dfrac{108}{10}\mathrm l=$
Den Hauptnenner bilden und auf diesen erweitern. $\rightarrow\;10$
$\dfrac{435}{10}\mathrm l-\dfrac{108}{10}\mathrm l=$
$=\dfrac{327}{10}\mathrm l$
In gemischten Bruch umwandeln.
$=32\dfrac{7}{10}\mathrm l$
In Dezimalbruch umwandeln.
$=32{,}7 \; \mathrm l$
4
Du möchtest zu deiner Geburtstagsfeier etwas ganz besonderes machen und hast dir überlegt Cocktails zu mixen. Dazu benötigst du 3 Liter Maracuja-Saft, und $\frac{5}{20}$ Johannisbeersaft. Den Maracuja-Saft gibt es allerdings nur in 0,75-Liter Flaschen und den Johannisbeersaft gibt es ausschließlich in 0,5-Liter Flaschen zu kaufen. Außerdem benötigst du zum Aufgießen noch $3\frac{5}{20}$ Tonic Water, welches es in 1 Liter Flaschen zu besorgen gibt.
Wie viele Flaschen brauchst du jeweils von einer Sorte?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Brüche
Um die Anzahl der Flaschen zu erhalten muss die benötigte Menge durch die Menge des Flascheninhalts dividiert werden. Damit du besser rechnen kannst, musst du gemischte Brüche in einen ganzen Bruch umwandeln. Außerdem kannst du Dezimalzahlen in Brüche umformen.
Umformung eines gemischten Bruchs
$3\frac5{20}$
Verwandle zunächst die ganze Zahl ebenfalls in einen Bruch mit dem selben Nenner, den der Bruch hat.
$3\cdot20=60$
=> $3=\frac{60}{20}$
Addiere Dein Ergebnis zu dem Bruch.
Umwandlung von Dezimalzahlen in Brüche
$0{,}75$ = $\frac{75}{100}$ = $\frac{3}{4}$
$0{,}5$ = $\frac{1}{2}$
Zähle die Nachkommastellen und kürze wo weit es geht.
Berechnung der Menge der Flaschen mithilfe der Divison
Maracuja-Saft: $\frac{3}{1} : \frac{3}{4}$ = $4$
Johannisbeersaft: $\frac{5}{20} : \frac{1}{2}$ = $0{,}5$
Tonic Water: $\frac{13}{4} : 1$ = $3\frac{1}{4}$
Dividiere nun deine benötigte Menge Flüssigkeit durch die Füllmenge.
Vergiss nicht die Zahlen aufzurunden, damit du die richtige Anzahl an Flaschen kaufst!
5
Karin und Uwe lesen in der Zeitung: ”Die Zuschauerzahlen für das jährlich stattfindende Open-Air-Festival in Kreischhausen schwanken in letzter Zeit stark: Während es im Jahre 2007 ein Drittel weniger Zuschauer als im Jahre 2006 gab, kamen im Jahre 2008 ein Drittel mehr Zuschauer als 2007. “Uwe meint:” Also sind es 2008 wieder genauso viele Teilnehmer wie 2006.“ Karin entgegnet: ”Das sieht zwar auf den ersten Blick so aus, aber wenn beispielsweise im Jahr 2006 . . .“

Setze den Gedanken von Karin fort. Begründe damit, dass Uwes Aussage nicht zutrifft.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Brüche
Angenommen, es kamen im Jahre 2006 9000 Zuschauer. 2007: $\frac13$ von 9000 = 3000 9000 - 3000 = 6000 Zuschauer. 2008: $\frac13$ von 6000 = 2000 6000 + 2000 = 8000 Zuschauer. Also kamen 2008 1000 Zuschauer weniger als 2006. Der Grund liegt darin, dass der dritte Teil im Jahre 2006 von mehr Zuschauern errechnet wurde als 2007.
6
Die drei Söhne des verstorbenes Piraten Käptn's erben seine 17 Golddukaten. Im Testament heißt es: ”Mein erstgeborener Sohn soll die Hälfte der Dukaten, mein zweitgeborener ein Drittel und mein jüngster ein Neuntel der Dukaten bekommen. Kein Dukate darf geteilt werden.“ Die Söhne sind ratlos. (Warum?) Sie tragen ihr Problem einem Steuermann vor, der als weiser Mann gilt. Er überlegt nicht lange und gibt ihnen den folgenden Rat: ”Ich besitze selbst eine Dukate. Davon leihe ich euch eine. Vollzieht damit die Teilung wie es das Testament verlangt. “Wie viele Dukaten bekommt jeder der Söhne? Was fällt dir auf? Hast du eine Erklärung dafür?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Brüche
Die ursprüngliche Teilung ist nicht möglich, da 17 nicht durch 2, 3 und 9 teilbar ist. Mit Hilfe des Steuermanns haben sie dann

$17+1=18$ Dukaten. Nun können sie die Dukaten aufteilen, da 18 durch 2,3 und 9 teilbar ist.
Aufteilung:
Ali
$18\cdot\frac12=9$
Abdulla
$18\cdot\frac13=6$
Arif
$18\cdot\frac19=2$
Die Summe der Anteile der Söhne ergibt 17. Das geliehene Dukaten kann wieder zurückgegeben werden. Das Testament war fehlerhaft verfasst: Die Summe der Anteile ergibt kein Ganzes, sondern nur $\frac{17}{18}$ .

Bei einer Tombola wurden $\frac23$ der Lose an Kinder und $\frac14$ der Lose an Erwachsene verkauft. Es blieben 100 Lose übrig. Wie viele Lose wurden verkauft?

Lose

8
strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
Ein Elefant fraß in der ersten Woche $\frac13$ seines Futtervorrats. In der zweiten Woche fraß er $\frac14$ vom Rest. Danach waren noch 300 kg Futter übrig. Veranschauliche die Situation durch eine Zeichnung. Wie viel Futter war anfangs vorhanden?
kg

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bruchterme aufstellen
Futtervorrat nach einer Woche:
Der gesamte Futtervorrat stellt das große Rechteck dar. $\frac13$ davon hat der Elefant nach einer Woche gegessen
Futtervorrat nach der zweiten Woche:
Der gesamte Futtervorrat ist das große Rechteck. Die ersten beiden x geben den Anteil an, den der Elefant in der ersten Woche gegessen hat (also $\frac13$ ). Das dritte x ist entspricht $\frac14$ vom Rest.
Er hat also nach zwei Wochen die Hälfte des Vorrats gegessen. Das übrige Futter ist also auch die Hälfte des gesamten Futtervorrats.
Also waren anfangs 600 kg vorhanden.
9
Kristina wird 13 Jahre alt und hat zu ihrem Geburtstag 13 Freundinnen eingeladen. Zusammen mit ihrer Mutter bereitet sie das Fest vor. Zum Mittagessen soll es Würstchen mit Kartoffelsalat geben, am Nachmittag Erdbeershakes. Den Kartoffelsalat bereiten Kristina und ihre Mutter nach folgendem Rezept zu:
1. Berechne die Zutaten, die für 14 Personen erforderlich sind
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: multiplizieren
  gegeben: Anzahl der Personen, Anzahl der benötigten Zutaten für 4 Personen
  gesucht: Anzahl der Zutaten für 14 Personen
  Anzahl der Personen durch 4 teilen.
  $14:4=3{,}5$
  Die Lösung mit jeder Zutat multiplizieren.
  $1\mathrm{kg}$ Kartoffeln $\cdot3{,}5$ = $3{,}5\mathrm{kg}$ Kartoffeln
  $\frac{1}{4}l$ Brühe $\cdot3{,}5=$ $\frac78l$ Brühe
  $1$ Esslöffel Salz $\cdot3{,}5=$ $3{,}5$ Esslöffel Salz
  $4$ Esslöffel Essig $\cdot3{,}5=$ $14$ Esslöffel Essig
  $100g$ Mayonnaise $\cdot3{,}5=$ $350g$ Mayonnaise
  Kartoffelsalat mit Mayonnaise (14 Personen)
  $3{,}5kg$ Kartoffeln
  $\frac{7}{8}l$ Brühe
  $3{,}5$ Esslöffel Salz
  $14$ Esslöffel Essig
  $350g$ Mayonnaise
  Pfeffer
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2. Zum Schälen der Kartoffeln brauchen Kristina und ihre Mutter zusammen 18 Minuten. Am Abend sagt Kristina zu ihrem Bruder: „Man kann sich ausrechnen, dass wir nur 12 Minuten gebraucht hätten, wenn du uns geholfen hättest.“ Wie hat Kristina wohl gerechnet? Was meinst du dazu?
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreisatz
  gegeben:
  3,5kg Kartoffeln, 18min, 2 Personen
  $3{,}5\mathrm{kg}:2=1{,}75\mathrm{kg}$
  Mithilfe des Dreisatz ausrechnen, wieviel Gramm Kartoffeln in einer Minute geschält werden.
  $X=1\min$
  $1{,}75\mathrm{kg}=18\min$
  Von kg auf g rechnen.
  $1{,}75\mathrm{kg}=1750g$
  $\left(1750g\cdot 1\min \right):18\min =97g$
  $3\cdot 97g\cdot 12=3492g\approx 3{,}5\mathrm{kg}$
  $\;\;\Rightarrow\;\;$ Sie rechnete die Menge der Kartoffeln aus, die jeder in einer Minute schälen konnte und berechnete dann die Anzahl der Personen mal die komplette Menge mal die Menge der geschälten Kartoffeln in der Minute
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3. Für die Erdbeershakes benötigt Kristina $3{,}5\ l$ Milch, die sie direkt beim Bauern holt. Für $1{,}5\ l$ Milch hat sie bisher immer $1{,}20\ €$ bezahlt. Wie viel kosten $3{,}5\ l$ Milch?
  €
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreisatz
  gegeben: $1{,}5\ l$ Milch für $1{,}20\ €$
  gesucht: Preis für $3{,}5\ l$ Milch
  Dreisatz anwenden.
  $X=3{,}5l$
  $1{,}20€=1{,}5l$
  $\left(3{,}5l\cdot 1{,}20€\right):1{,}5l=2{,}80€$
  $\;\;\Rightarrow\;\;$ Für $3{,}5l$ muss sie $2{,}80€$ bezahlen.
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Familie Mattmüller benötigt am Tag $1\frac34$ Liter Milch.

Wie hoch ist der Jahresverbrauch?

Wie hoch sind die Jahreskosten, wenn $1$ Liter Milch $0{,}79 ~€$ kostet?

€

11
Das ist ein Bild der Nationalflagge von England. Diese Fahne ist aus einem Tuch gefertigt worden, das $5{,}40m\$ lang und $3{,}00\ m$ breit ist.
1. Zeichne die Figur für $b=8\,cm,\;a=5\,cm\;\mathrm{und}\;x=1\,cm$ .
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: direkte Proportionalität
  Skizze nach Anweisung ins Heft zeichnen.
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2. Berechne den Flächeninhalt eines der weißen Rechtecke im Inneren, wenn das Kreuz $\frac29$ der Gesamtfläche einnimmt und die vier weißen Rechtecke kongruent sind.
  m²
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: direkte Proportionalität
  Der Flächeninhalt der Fahne beträgt $3\,m\cdot5{,}40\,m=16{,}20\,m^2$ .
  Nach Aufgabenstellung nimmt das Kreuz $\frac29$ des gesamten Flächeninhalts ein. Die vier Rechtecke nehmen als Komplement zusammen $1-\frac29=\frac79$ der Fahnenfläche ein.
  $\frac79\;\mathrm{von}\;16{,}20m^2=12{,}60m^2$ .
  Die Rechtecke sind kongruent, also insbesondere gleich groß. Somit besitzt ein Rechteck im Inneren eine Fläche von $3{,}15m^2$ .
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Eine Satire-Aufgabe:

$\frac14$ Kanarienvogel frisst 125 Körner in $\frac{32}3$ Tagen. Wie viele Körner fressen 4 Kanarienvögel in 16 Tagen?

Körner

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{3}{4}\cdot24$
	↓	Der Siebenschläfer schläft $\frac{3}4$ von 1 Tag
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{3\cdot24}{4}$
	↓	Bringe alles auf einen Bruchstich.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{3\cdot6}{1}$
	↓	Gekürzter Bruch
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 18$

$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \dfrac23\cdot x+\dfrac14\cdot x+100$	$\displaystyle - \dfrac23 \cdot x\ -\dfrac14 \cdot x$
	↓	Nach $x$ auflösen.
$\displaystyle x-\dfrac23\cdot x-\dfrac14\cdot x$	$=$	$\displaystyle 100$
	↓	x ausklammern.
$\displaystyle x\cdot(1-\dfrac23-\dfrac14)$	$=$	$\displaystyle 100$
	↓	Klammer auf gemeinsamen Hauptnenner bringen.
$\displaystyle x\cdot(\dfrac{12}{12}-\dfrac8{12}-\dfrac3{12})$	$=$	$\displaystyle 100$
	↓	Klammer ausrechnen
$\displaystyle x\cdot(\dfrac1{12})$	$=$	$\displaystyle 100$	$\displaystyle \cdot 12$
	↓	Nach $x$ auflösen.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 1200$

Umschreiben in einen unechten Bruch. $1\frac{3}{4}=\frac{7}{4}$
	↓
$\displaystyle 1\frac{3}{4}\mathrm{l}\cdot365$	$=$	$\displaystyle \frac{7}{4}\mathrm{l}\cdot365$
	↓	Multiplizieren
	$=$	$\displaystyle 638{,}75\mathrm{l}$

Multiplizieren
	↓
$\displaystyle 0{,}79\frac{€}{\mathrm{l}}\cdot638{,}75\mathrm{l}$	$=$	$\displaystyle 504{,}6125€$
	↓	Da bei Geldangaben nur 2 Stellen hinter dem Komma berücksichtigt werden (die Cent-Angabe), kann auch hier auf 2 Stellen hinter dem Komma gerundet werden.
	$=$	$\displaystyle 504{,}61€$

$\displaystyle \frac{32}{3}\cdot x$	$=$	$\displaystyle 16$	$\displaystyle \cdot3$
$\displaystyle 32\cdot x$	$=$	$\displaystyle 48$	$\displaystyle :32$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{48}{32}$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{6}{4}$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{3}{2}$

Sachaufgaben mit Brüchen

Umformung eines gemischten Bruchs

Umwandlung von Dezimalzahlen in Brüche

Berechnung der Menge der Flaschen mithilfe der Divison

Futtervorrat nach einer Woche:

Futtervorrat nach der zweiten Woche:

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