4Beispiel zu Zufallsexperimente und Wahrscheinlichkeit

Die eingeführten Begriffe sollen beispielhaft anhand des Werfens eines herkömmlichen Spielwürfels veranschaulicht werden:

• Ergebnis $\omega$: ${\Large ⚃}$ (Würfel zeigt Augenzahl 4)

• Ergebnisraum: $\Omega = \{{\Large ⚀}; {\Large ⚁}; {\Large ⚂}; {\Large ⚃}; {\Large ⚄}; {\Large ⚅}\}$, $|\Omega| = 6$

Diese Festlegung der Ergebnisse und des Ergebnisraumes ist bereits Teil der mathematischen Modellierung, die dem jeweiligen Kontext angemessen erfolgen sollte. So kann unter gewissen Umständen (z. B. beim Wurf auf einem dicken Teppich) auch "Würfel landet auf Kante" ein sinnvolles Ergebnis sein.

• Ereignis $E$: Würfel zeigt Augenzahl kleiner als drei, $E = \{{\Large ⚀}; {\Large ⚁}\}$

• Gegenereignis $\bar{E}$: Würfel zeigt Augenzahl größer oder gleich 3, $\bar{E} = \{{\Large ⚂}; {\Large ⚃}; {\Large ⚄}; {\Large ⚅}\}$

Sofern es keine triftigen Gründe gibt, die dagegen sprechen, wird der Würfelwurf in der Regel als Laplace-Experiment angenommen. Man geht also von einem fairen (d. h. nicht gezinkten) Würfel aus, bei dem auf lange Sicht alle sechs Seiten in etwa gleich häufig fallen.

• Wahrscheinlichkeit: $P(E) = \frac{|E|}{|\Omega|} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Bei sehr vielen Würfen ist somit zu erwarten, dass im Mittel etwa jeder dritte Wurf eine Augenzahl kleiner als 3 ergibt.