2Zufallsexperimente

Zufall

Der Begriff des Zufalls ist im Allgemeinen zwar nicht leicht zu fassen $-$ für die Mathematik reicht es aber, den Zufall schlicht als etwas Unvorhersagbares anzusehen.

Dementsprechend ist ein Zufallsexperiment ein Experiment mit einem unvorhersagbaren Ausgang.

Dennoch können mithilfe der Mathematik aber Aussagen über das Verhalten bei sehr vielen Wiederholungen eines Zufallsexperiments getroffen werden.

Grundlegende Begriffe

Um den Zufall mathematisch zu modellieren, muss man zunächst festlegen, was das Zufallsexperiment für Ausgänge haben kann.

Einen möglichen Ausgang des Zufallsexperiments nennt man dabei Ergebnis $\omega$.

Der Ergebnisraum $\Omega$ fasst alle möglichen Ergebnisse in einer Menge zusammen, also $\Omega = \{\omega_1; \omega_2; \ldots; \omega_n\}$. Die Mächtigkeit des Ergebnisraumes gibt an, wie viele Ergebnisse in ihm enthalten sind, also $|\Omega| = n$.

Mehrere Ergebnisse können zu einem Ereignis $\text{E}$ zusammengefasst werden; mathematisch ist ein Ereignis somit eine Teilmenge von $\Omega$, also $E\subseteq\Omega$. Das zugehörige Gegenereignis $\bar{E}$ enthält alle Ergebnisse, die nicht in $\text{E}$ sind, also $\bar{E} = \Omega\setminus E$.

Beispiel

Auf einem Volksfest gibt es ein Glücksrad. Es hat drei gleich große Sektoren in rot (r), gelb (g) oder blau (b). Man darf zweimal hintereinander drehen.

Die möglichen Ergebnisse sind im Ergebnisraum aufgeschrieben $\Omega=\left\{rr, rg, rb, gr, gg, gb, br, bg, bb\right\}$.

Das Ereignis "mindestens einmal rot" hat die Ergebnismenge $A=\left\{rr, rg, rb, gr, br\right\}$.

Das Gegenereignis dazu ist "kein einziges Mal rot" und hat die Ergebnismenge $\bar{A}=\left\{gg, gb, bg, bb\right\}$.