19Beispiel zu Beurteilender Statistik

Als Beispiel soll die Nullhypothese, dass der Anteil defekter Bauteile in einer Produktionsserie $15\%$ beträgt, auf einem Signifikanzniveau von $\alpha = 5\%$ getestet werden. (Die zugehörige Gegenhypothese wäre, dass es in der Vergangenheit eine Qualitätssteigerung gegeben hat und der Anteil somit geringer ist.)

Formulieren von $H_0$ und $H_1$

Wenn man mit $p$ den Anteil der defekten Bauteile bezeichnet, so gilt:

Festlegen von $Z$ und $n$

Als Durchführung kann man beispielsweise nacheinander 50 Bauteile der Serie zufällig ziehen und bei jedem Bauteil ermitteln, ob es defekt ist.

Als Testgröße $Z$ und Stichprobenumfang $n$ ergeben sich damit:

Konstruktion des kritischen Bereichs $K$

Liefert die Erhebung das Ergebnis, dass nur sehr wenige Bauteile defekt sind, würde man $H_0$ ablehnen und stattdessen $H_1$ annehmen. Daher ist der kritische Bereich von der Form $K = \{0;1;\ldots;g\}$, wobei die Obergrenze $g$ noch zu bestimmen ist. Es handelt sich somit um einen linksseitigen Signifikanztest.

Da der Fehler 1. Art höchstens $5\%$ betragen darf, ist $g$ die größte ganze Zahl, für die $P_{0{,}15}^{50}(Z\le g) \le 0{,}05$ ist.

$Z$ kann als binomialverteilt nach $B(50;0{,}15)$ angenommen werden, daher kann $g$ mithilfe eines geeigneten Tafelwerks ermittelt werden: $g=3$

Somit ist der kritische Bereich durch $K = \{0;1;2;3\}$ gegeben.