Aufgaben zu beliebigen n-ten Wurzeln

…

Bestimme die Lösung der Gleichung.

$\sqrt[5]x=3$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren

$\displaystyle \sqrt[5]{x}$	$=$	$\displaystyle 3$	$\displaystyle \uparrow5$
	↓	Beide Seiten mit $5$ potenzieren.
$\displaystyle (\sqrt[5]{x})^5$	$=$	$\displaystyle 3^5$
	↓	Potenziere.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 243$

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$\sqrt[5]x=-3$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren

$\displaystyle \sqrt[5]{x}$	$=$	$\displaystyle -3$	$\displaystyle \uparrow5$
	↓	Mit $5$ potenzieren.
$\displaystyle (\sqrt[5]{x})^5$	$=$	$\displaystyle (-3)^5$
	↓	Potenziere.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -243$

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$x^\frac32=27$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren

$\displaystyle x^\frac{3}{2}$	$=$	$\displaystyle 27$
	↓	Schreibe $x^{\frac32\;}$ in Wurzelschreibweise um.
$\displaystyle \sqrt x^3$	$=$	$\displaystyle 27$	$\displaystyle \sqrt[3]{ }$
	↓	Ziehe auf beiden Seiten die dritte Wurzel.
$\displaystyle \sqrt[3]{(\sqrt x)^3}$	$=$	$\displaystyle \sqrt[3]{27}$
$\displaystyle \sqrt x$	$=$	$\displaystyle 3$	$\displaystyle \uparrow 2$
	↓	Quadriere.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 9$

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$x^{-\frac23}=\frac18$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren

$\displaystyle x^{-\frac23}$	$=$	$\displaystyle \frac 18$
	↓	$x^{-\frac23}$ in Wurzelschreibweise umschreiben.
$\displaystyle \sqrt[3]{x^{-2}}$	$=$	$\displaystyle \frac 18$	$\displaystyle \uparrow 3$
	↓	Beide Seiten mit $3$ potenzieren.
$\displaystyle x^{-2}$	$=$	$\displaystyle (\frac 18)^3$
$\displaystyle x^{-2}$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{8^3}$
$\displaystyle x^{-2}$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{512}$
	↓	$x^{-2}$ in Bruchschreibweise umschreiben. $\Rightarrow$ Für $x$ mit negativen Exponenten gilt immer : $x^{-n}=\frac1{x^n}$
$\displaystyle \frac{1}{x^2}$	$=$	$\displaystyle \frac1{512}$	$\displaystyle \cdot x^2 :512$
	↓	Über Kreuz multiplizieren.
$\displaystyle x^2$	$=$	$\displaystyle 512$	$\displaystyle \sqrt {}$
	↓	Auf beiden Seiten Wurzel ziehen.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \pm \sqrt {512}$
	↓	$512=16\cdot16\cdot 2$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \pm \sqrt{16^2\cdot 2}$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \pm 16 \sqrt{2}$

$\;\;\Rightarrow\;\;$ $x_1=+16\sqrt2$ und $x_2=-16\sqrt2$

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$x^{-\frac12}<\frac12$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren

$\displaystyle x^{-\frac12}$	$<$	$\displaystyle \frac 12$
	↓	$x^{-\frac12}$ in Wurzelschreibweise umschreiben.
$\displaystyle \sqrt {x^{-1}}$	$<$	$\displaystyle \frac 12$
	↓	$x^{-1}\;$ in Bruchschreibweise umschreiben. Es gilt: $x^{-m}=\frac1{x^m}$
$\displaystyle \sqrt{\frac 1x}$	$<$	$\displaystyle \frac 12$	$\displaystyle \uparrow2$
	↓	Auf beiden Seiten quadrieren.
$\displaystyle (\sqrt {\frac1x})^2$	$<$	$\displaystyle (\frac12)^2$
$\displaystyle \frac 1x$	$<$	$\displaystyle \frac 14$	$\displaystyle \cdot 4\cdot x$
$\displaystyle 4$	$<$	$\displaystyle x$

$\Rightarrow x>4$

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$\sqrt[3]{2x-1}=2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren

$\displaystyle \sqrt[3]{2x-1}$	$=$	$\displaystyle 2$	$\displaystyle \uparrow 3$
	↓	Beide Seiten mit 3 potenzieren.
$\displaystyle \left(\sqrt[3]{2x-1}\right)^3$	$=$	$\displaystyle 2^3$
$\displaystyle 2x-1$	$=$	$\displaystyle 8$	$\displaystyle +1$
	↓	Gleichung nach x auflösen.
$\displaystyle 2x$	$=$	$\displaystyle 9$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 4{,}5$

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$\left(2x+1\right)^{-3}=8$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren

$\displaystyle \left(2x+1\right)^{-3}$	$=$	$\displaystyle 8$
	↓	Schreibe den negativen Exponenten in einen Bruch um.
$\displaystyle \frac1{\left(2x+1\right)^3}$	$=$	$\displaystyle 8$	$\displaystyle \cdot (2x+1)^3$
$\displaystyle 1$	$=$	$\displaystyle 8\cdot (2x+1)^3$	$\displaystyle \sqrt[3]{}$
	↓	Ziehe auf beiden Seiten die dritte Wurzel.
$\displaystyle \sqrt[3]{1}$	$=$	$\displaystyle \sqrt[3]{8\cdot(2x+1)^3}$
	↓	Schreibe das Produkt im Radikanten in 2 Wurzeln um.
$\displaystyle 1$	$=$	$\displaystyle \sqrt[3]{8}\cdot\sqrt[3]{(2x+1)^3}$
	↓	Ziehe die dritte Wurzel.
$\displaystyle 1$	$=$	$\displaystyle 2\cdot(2x+1)$
	↓	Ausmultiplizieren.
$\displaystyle 1$	$=$	$\displaystyle 4x+2$	$\displaystyle -2$
$\displaystyle 4x$	$=$	$\displaystyle -1$	$\displaystyle :4$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -0{,}25$

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$\left(2x+3\right)^{-4}=0{,}0625$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren

$\displaystyle (2x+3)^{-4}$	$=$	$\displaystyle 0{,}0625$
	↓	Dezimalzahl in Bruch umschreiben.
$\displaystyle (2x+3)^{-4}$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{16}$
	↓	Schreibe $(2x+3)^{-}4$ als Bruch um.
$\displaystyle \frac1{\left(2x+3\right)^4}$	$=$	$\displaystyle \frac1{16}$	$\displaystyle \cdot 16\cdot (2x+3)^4$
	↓	$\frac1{16}$ in Potenzschreibweise schreiben.
$\displaystyle (2x+3)^4$	$=$	$\displaystyle 16$	$\displaystyle \sqrt[4]{}$
	↓	Auf beiden Seiten die vierte Wurzel ziehen. Vierte Wurzel und hoch 4 heben sich auf. Wegen möglicher negativer Zahlen, Betragsstriche einfügen.
$\displaystyle 2x+3$	$=$	$\displaystyle \sqrt[4]{16}$
$\displaystyle 2x+3$	$=$	$\displaystyle \pm 2$

Also entweder ist $2x+3=2$ oder $2x+3=-2$ . Wenn du auf beiden Seiten nun $3$ abziehst und durch $2$ teilst, erhältst du die Lösungen:

$\Rightarrow x_1 = -\frac 12=-0{,}5\;; x_2=-\frac 52=-2{,}5$

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Gib jeweils den Potenzwert ohne Verwendung des Taschenrechners an.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}8^\frac23\end{array}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen

$\displaystyle 8^{\frac{2}{3}}$	$=$
	↓	In Wurzelschreibweise schreiben
	$=$	$\displaystyle \sqrt[3]{8^2}$
	$=$	$\displaystyle \sqrt[3]{64}$
	↓	Die 3. Wurzel aus 64 ziehen
	$=$	$\displaystyle 4$

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$4^{-\frac12}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen

$\displaystyle 4^{-\frac{1}{2}}$	$=$
	↓	In Wurzelschreibweise und als Bruch schreiben
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{4}}$
	↓	Die Wurzel aus $4$ ziehen
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}$

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$\sqrt[7]{128}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
$\displaystyle \sqrt[7]{128}$ $=$ $\displaystyle 2$
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$1024^{-\frac3{10}}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen

$\displaystyle 1024^{-\frac{3}{10}}$	$=$
	↓	Verwende $1024=2^{10}$
	$=$	$\displaystyle \left(2^{10}\right)^{-\frac{3}{10}}$
	↓	Potenzgesetz anwenden.
	$=$	$\displaystyle 2^{-\frac{10\cdot3}{10}}$
	↓	Kürzen und Potenzgesetz anwenden
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2^3}$
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{8}$

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$0{,}04^\frac32$

$\displaystyle 0{,}04^{\frac{3}{2}}$	$=$
	↓	Verwende $a^\frac12=\sqrt a$ .
	$=$	$\displaystyle \sqrt{0{,}04}^3$
	↓	Verwende $\sqrt{0{,}04}=0{,}2$
	$=$	$\displaystyle 0{,}2^3$
	$=$	$\displaystyle 0{,}008$

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$\sqrt[4]{0{,}0001}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen

$\displaystyle \sqrt[4]{0{,}0001}$	$=$
	↓	Verwende $0{,}0001=0{,}1^4$
	$=$	$\displaystyle \sqrt[4]{0{,}1^4}$
	↓	Potenz und Wurzel heben sich auf
	$=$	$\displaystyle 0{,}1$

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$\left(\sqrt[3]{512}\right)^2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen

$\displaystyle \left(\sqrt[3]{512}\right)^2$	$=$
	↓	Verwende $512=8^3$
	$=$	$\displaystyle \left(\sqrt[3]{8^3}\right)^2$
	↓	Potenz und Wurzel heben sich auf
	$=$	$\displaystyle 8^2$
	$=$	$\displaystyle 64$

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$8^{-0{,}2}\;:\;0{,}25^{-0{,}2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen

$\displaystyle 8^{-0{,}2}:0{,}25^{-0{,}2}$	$=$
	↓	Potenzgesetz anwenden
	$=$	$\displaystyle \left(\frac{8}{0{,}25}\right)^{-0{,}2}$
	$=$	$\displaystyle 32^{-0{,}2}$
	↓	Potenzgesetz anwenden. Umformen des Exponenten in einen Bruch.
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{32^{\frac{1}{5}}}$
	↓	Verwende $32=2^5$
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{\left(2^5\right)^{\frac{1}{5}}}$
	↓	Potenzgesetz anwenden
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2^{\frac{5}{5}}}=\frac{1}{2^1}=\frac{1}{2}$

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Sind die folgenden Terme äquivalent?

$\left(\sqrt[4]x\right)^2\;$ und $\sqrt[4]{x^2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen und Wurzeln

Die Terme sind nicht äquivalent, weil $\sqrt[4]{x}$ nur für $x\ge 0$ definiert ist, aber in $\sqrt[4]{x^2}$ jedes reelle $x$ eingesetzt werden kann. Beschränkt man sich auf positive $x$ , so sind die Terme äquivalent:

$\left(\sqrt[4]x\right)^2\overset?=\sqrt[4]{x^2}$

Potenzgesetze anwenden.

$\left(x^\frac14\right)^2=\left(x^2\right)^\frac14$

$\displaystyle x^{\frac14\cdot2}$	$=$	$\displaystyle x^{2\cdot\frac14}$
	↓	Exponenten ausmultiplitzieren.
$\displaystyle x^\frac24$	$=$	$\displaystyle x^\frac24$
	↓	Kürzen.
$\displaystyle x^\frac12$	$=$	$\displaystyle x^\frac12$

In Wurzelschreibweise darstellen.

$\sqrt x\;\;\;\;\;=\sqrt x$

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Vereinfache folgende Wurzelterme so weit wie möglich.

strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl

$\left(\sqrt[6]8\cdot8^\frac12\right)^4$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen

$\displaystyle \left(\sqrt[6]{8}\cdot8^{\frac{1}{2}}\right)^4$	$=$
	↓	Forme $\sqrt[6]8$ mit Hilfe der Potenzgesetze in $8^\frac16$ um
	$=$	$\displaystyle \left(8^{\frac{1}{6}}\cdot8^{\frac{1}{2}}\right)^4$
	↓	Fasse $8^\frac16$ und $8^{\frac{1}{2}}$ zusammen.
	$=$	$\displaystyle \left(8^{\frac{1}{6}+\frac{1}{2}}\right)^4=\left(8^{\frac{2}{3}}\right)^4$
	↓	Ziehe die $2$ von $\frac{2}{3}$ mit Hilfe der Potenzgesetze aus der Klammer heraus.
	$=$	$\displaystyle \left(\sqrt[3]{8}\right)^8$
	$=$	$\displaystyle 2^8=256$
	$=$	$\displaystyle \left(8^{\frac{1}{3}}\right)^8$
	↓	Forme mit Hilfe der Potenzgesetze $8^\frac13$ in $\sqrt[3]8$ um

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strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl

$\sqrt{x^\frac16x^{-\frac12}}\;\;\;\left(x\;>\;0\right)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen

$\displaystyle \sqrt{x^{\frac{1}{6}}x^{-\frac{1}{2}}}$	$=$
	↓	Fasse mit Hilfe der Potenzgesetze $x^\frac16$ und $x^{-\frac{1}{2}}$ zusammen
	$=$	$\displaystyle \sqrt{x^{\frac{1}{6}-\frac{1}{2}}}=\sqrt{x^{-\frac{1}{3}}}$
	↓	Forme mit Hilfe der Potenzgesetze $\sqrt{}$ in ${}^\frac12$ um
	$=$	$\displaystyle \left(x^{-\frac{1}{3}}\right)^{\frac{1}{2}}$
	↓	Fasse ${}^\frac12$ und ${}^{-\frac13}$ zusammen.
	$=$	$\displaystyle x^{-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}}=x^{-\frac{1}{6}}$
	↓	Wende die Potenzgesetze an.
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{\sqrt[6]{x}}$

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$\sqrt[3]{a^{-2}}-3\sqrt[6]{a^{-4}}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen

$\displaystyle \sqrt[3]{a^{-2}}-3\sqrt[6]{a^{-4}}$	$=$
	↓	Potenzgesetze anwenden.
	$=$	$\displaystyle a^{-\frac{2}{3}}-3a^{-\frac{4}{6}}$
	↓	Die Potenz von $3a$ mit $2$ kürzen
	$=$	$\displaystyle a^{-\frac{2}{3}}-3a^{-\frac{2}{3}}$
	↓	Basen zusammenfassen
	$=$	$\displaystyle -2a^{-\frac{2}{3}}$

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$\sqrt[4]{a^3\cdot\sqrt[3]{a^2\cdot\sqrt a}}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen

$\displaystyle \sqrt[4]{a^3\cdot\sqrt[3]{a^2\cdot\sqrt{a}}}$	$=$
	↓	Verwende $\sqrt{a}=a^{\frac{1}{2}}.$
	$=$	$\displaystyle \sqrt[4]{a^3\cdot\sqrt[3]{a^2\cdot a^{\frac{1}{2}}}}$
	↓	Bilde den Hauptnenner
	$=$	$\displaystyle \sqrt[4]{a^3\cdot\sqrt[3]{a^{\frac{4}{2}}\cdot a^{\frac{1}{2}}}}$
	$=$	$\displaystyle \sqrt[4]{a^3\cdot\sqrt[3]{a^{\frac{5}{2}}}}$
	↓	Die Wurzel in einen Exponent umschreiben wie im 1. Schritt
	$=$	$\displaystyle \sqrt[4]{a^3\cdot\left(a^{\frac{2}{5}}\right)^{\frac{1}{3}}}$
	↓	Ausmultiplizieren.
	$=$	$\displaystyle \sqrt[4]{a^3\cdot a^{\frac{5}{6}}}$
	↓	Hauptnenner bilden
	$=$	$\displaystyle \sqrt[4]{a^{\frac{18}{6}}\cdot a^{\frac{5}{6}}}$
	$=$	$\displaystyle \sqrt[4]{a^{\frac{23}{6}}}$
	↓	Die Wurzel in einen Exponent umschreiben wie im 1. Schritt
	$=$	$\displaystyle \left(a^{\frac{23}{6}}\right)^{\frac{1}{4}}$
	↓	Ausmultiplizieren.
	$=$	$\displaystyle a^{\frac{23}{24}}$
	$=$	$\displaystyle \sqrt[24]{a^{23}}$

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$\sqrt[3]{80x^4}-2x\sqrt[6]{100x^2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen

$\displaystyle \sqrt[3]{80x^4}-2x\sqrt[6]{100x^2}$	$=$
	↓	Zerlege in Faktoren und radiziere teilweise.
	$=$	$\displaystyle \sqrt[3]{8\cdot10x^3\cdot x}-2x\sqrt[3]{\sqrt[2]{100x^2}}$
	$=$	$\displaystyle 2x\sqrt[3]{10x}-2x\sqrt[3]{10x}$
	$=$	$\displaystyle 0$

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$\sqrt[3]{a^2}\;:\;\left(\sqrt a\right)^3$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen

$\displaystyle \sqrt[3]{a^2}:\left(\sqrt[]{a^{ }}\right)^3$	$=$
	↓	Potenzgesetz anwenden
	$=$	$\displaystyle a^{\frac{2}{3}}:\left(\sqrt[]{a}\right)^3$
	↓	Umformen von $a$ zu $\left(\sqrt[]{a}\right)^2$
	$=$	$\displaystyle \left(\left(\sqrt[]{a}\right)^2\right)^{\frac{2}{3}}:\ \left(\sqrt[]{a}\right)^3$
	↓	Potenzgesetz anwenden
	$=$	$\displaystyle \left(\sqrt[]{a}\right)^{\frac{4}{3}}:\left(\sqrt[]{a}\right)^3$
	↓	Potenzgesetz anwenden
	$=$	$\displaystyle \left(\sqrt[]{a}\right)^{\frac{4}{3}-3}$
	↓	Im Exponenten den Hauptnenner $(3)$ bilden und mit diesem erweitern.
	$=$	$\displaystyle \left(\sqrt[]{a}\right)^{\frac{4}{3}-\frac{9}{3}}$
	$=$	$\displaystyle \left(\sqrt[]{a}\right)-\frac{5}{3}$
	↓	$\sqrt[]{a}$ umschreiben in $a^{\frac{1}{2}}$
	$=$	$\displaystyle \left(a^{\frac{1}{2}}\right)^{-\frac{5}{3}}$
	↓	Potenzgesetz anwenden
	$=$	$\displaystyle a^{-\frac{5}{6}}$

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$\sqrt{t\sqrt{t\sqrt t}}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen

$\displaystyle \sqrt{t\sqrt{t\sqrt{t}}}$	$=$
	↓	Verwende $\sqrt{t}=t^{\frac{1}{2}}$
	$=$	$\displaystyle \sqrt{t\sqrt{t\cdot t^{\frac{1}{2}}}}$
	↓	Wende die Potenzgesetze an
	$=$	$\displaystyle \sqrt{t\sqrt{t^{1+\frac{1}{2}}}}$
	↓	Im Exponenten Hauptnenner $(2)$ bilden
	$=$	$\displaystyle \sqrt{t\sqrt{t^{\frac{2}{2}+\frac{1}{2}}}}$
	$=$	$\displaystyle \sqrt{t\sqrt{t^{\frac{3}{2}}}}$
	↓	Verwende $\sqrt{t}=t^{\frac{1}{2}}$
	$=$	$\displaystyle \sqrt{t\cdot\left(t^{\frac{3}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}}$
	↓	Anwendung der Potenzgesetze.
	$=$	$\displaystyle \sqrt{t\cdot t^{\frac{3}{4}}}$
	↓	Anwendung der Potenzgesetze.
	$=$	$\displaystyle \sqrt{t^{1+\frac{3}{4}}}$
	↓	Im Exponenten Hauptnenner bilden
	$=$	$\displaystyle \sqrt{t^{\frac{4}{4}+\frac{3}{4}}}$
	$=$	$\displaystyle \sqrt{t^{\frac{7}{4}}}$
	↓	Verwende $\sqrt{t}=t^{\frac{1}{2}}$
	$=$	$\displaystyle \left(t^{\frac{7}{4}}\right)^{\frac{1}{2}}$
	↓	Anwendung der Potenzgesetze
	$=$	$\displaystyle t^{\frac{7}{8}}$

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$\left(\sqrt{u+v}+\sqrt{u-v}\right)\cdot\left(\sqrt{u+v}-\sqrt{u-v}\right)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen

$\displaystyle \left(\sqrt{u+v}+\sqrt{u-v}\right)\cdot\left(\sqrt{u+v}-\sqrt{u-v}\right)$	$=$
	↓	Def.: $u+v$ und $u-v ≥0$
$\displaystyle \left(\sqrt{u+v}+\sqrt{u-v}\right)\cdot\left(\sqrt{u+v}-\sqrt{u-v}\right)$	$=$
	↓	Binomische Formel anwenden.
	$=$	$\displaystyle \left(u+v\right)-\left(u-v\right)$
	↓	Klammer auflösen
	$=$	$\displaystyle u+v-u+v$
	$=$	$\displaystyle 2v$
	↓	Def.: $u+v$ und $u-v ≥0$

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$\sqrt{\left(x^2-1\right)\left(x-1\right)}\;:\;\sqrt{x+1}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen

$\displaystyle \sqrt{\left(x^2-1\right)\ \left(x-1\right)}:\sqrt{x+1}$	$=$
	↓	Unter eine Wurzel schreiben
	$=$	$\displaystyle \sqrt{\left(x^2-1\right)\ \left(x-1\right):\left(x+1\right)}$
	↓	Binomische Formel auflösen
	$=$	$\displaystyle \sqrt{\left(x-1\right)\ \left(x+1\right)\left(x-1\right):\left(x+1\right)}$
	↓	$(x+1)$ kürzen
	$=$	$\displaystyle \sqrt{\left(x-1\right)\ \left(x-1\right)}$
	↓	Umschreiben
	$=$	$\displaystyle \sqrt{\left(x-1\right)^2}$
	↓	Unter der Wurzel darf nichts Negatives stehen. Durch das Quadrieren, wird der Wert positiv, weshalb alle Zahlen eingesetzt werden können. Wurzel ziehen. Wurzel und Quadrat heben sich auf. Wegen möglicher negativer Zahlen, Betragsstriche einfügen
	$=$	$\displaystyle \left\|x-1\right\|$

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$\sqrt{m\;\cdot\;\sqrt[3]m}\;\cdot\;\sqrt[3]{m\;\cdot\;\sqrt m}\;\cdot\;\sqrt[6]m$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen

$\displaystyle \sqrt{m\cdot\sqrt[3]{m}}\cdot\sqrt[3]{m\cdot m}\cdot\sqrt[6]{m}$	$=$
	↓	Verwende $\sqrt[]{m}=m^{\frac{1}{2}}$
	$=$	$\displaystyle \sqrt{m\cdot m^{\frac{1}{3}}}\cdot\sqrt[3]{m\cdot m^{\frac{1}{2}}}\cdot m^{\frac{1}{6}}$
	↓	Potenzgesetz anwenden.
	$=$	$\displaystyle \sqrt{m^{1+\frac{1}{3}}}\cdot\sqrt[3]{m^{1+\frac{1}{2}}}\cdot m^{\frac{1}{6}}$
	↓	Im Exponent jeweils Hauptnenner bilden
	$=$	$\displaystyle \sqrt{m^{\frac{3}{3}+\frac{1}{3}}}\cdot\sqrt[3]{m^{\frac{2}{2}+\frac{1}{2}}}\cdot m^{\frac{1}{6}}$
	$=$	$\displaystyle \sqrt{m^{\frac{4}{3}}}\cdot\sqrt[3]{m^{\frac{3}{2}}}\cdot m^{\frac{1}{6}}$
	↓	Verwende $\sqrt{m}=m^{\frac{1}{2}}$
	$=$	$\displaystyle \left(m^{\frac{4}{3}}\right)^{\frac{1}{2}}\cdot\left(m^{\frac{1}{2}}\right)\cdot m^{\frac{1}{6}}$
	↓	Potenzgesetz anwenden
	$=$	$\displaystyle m^{\frac{2}{3}}\cdot m^{\frac{1}{2}}m^{\frac{1}{6}}$
	↓	Potenzgesetz anwenden
	$=$	$\displaystyle m^{\frac{2}{3}+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}}$
	↓	Im Exponent Hauptnenner bilden.
	$=$	$\displaystyle m^{\frac{4}{6}+\frac{3}{6}+\frac{1}{6}}$
	$=$	$\displaystyle m^{\frac{8}{6}}$
	↓	Kürzen mit 2
	$=$	$\displaystyle m^{\frac{4}{3}}$
	↓	Verwende $m^{\frac{4}{3}}=\sqrt[3]{m^4}$ $\rightarrow$ Potenzgesetz
	$=$	$\displaystyle \sqrt[3]{m^4}$

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$\frac{\left(x-1\right)^{2n+1}}{\left(\sqrt{1-x}\right)^{2n+2}}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen

$\displaystyle \frac{\left(x-1\right)^{2n+1}}{\left(\sqrt{1-x}\right)^{2n+2}}$	$=$
	↓	Anwendung der Formel $\sqrt{a} = a^{\frac 12}$ .
	$=$	$\displaystyle \frac{\left(x-1\right)^{2n+1}}{\left(\left(1-x\right)^{\frac{1}{2}}\right)^{2n+2}}$
	↓	Anwendung des Potenzgesetzes: $(a^b)^c = a^{bc}$
	$=$	$\displaystyle \frac{\left(x-1\right)^{2n+1}}{\left(1-x\right)^{\frac{1}{2}\cdot\left(2n+2\right)}}$
	$=$	$\displaystyle \frac{\left(x-1\right)^{2n+1}}{\left(1-x\right)^{n+1}}$
	$=$	$\displaystyle \frac{\left(\left(-1\right)\cdot\left(1-x\right)\right)^{2n+1}}{\left(1-x\right)^{n+1}}$
	↓	Anwendung des Potenzgesetzes: $(ab)^c = a^c b^c$
	$=$	$\displaystyle \frac{(-1)^{2n+1}\cdot(1-x)^{2n+1}}{(1-x)^{n+1}}$
	↓	$(−1)^{2n+1}=−1$ , da $2n+1$ ungerade ist
	$=$	$\displaystyle \frac{(-1)\cdot(1-x)^{2n+1}}{(1-x)^{n+1}}$
	↓	Kürze
	$=$