34Winkel zwischen Vektoren, Geraden und Ebenen

Winkel zwischen zwei Vektoren

Der Winkel $\alpha$ zwischen zwei Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ berechnet sich aus dem Quotienten des Skalarprodukts und dem Produkt aus den Beträgen (Längen) von $\vec{a}$ und $\vec{b}$.

Der Winkel zwischen zwei Vektoren kann Werte zwischen 0° und 180° annehmen.

Winkel zwischen zwei Geraden

Der Schnittwinkel $\phi$ zwischen zwei Geraden entspricht dem Winkel zwischen den jeweiligen Richtungsvektoren $\vec a$ und $\vec b$. Jedoch haben Geraden höchstens einen Schnittwinkel zwischen 0° und 90°. Diesen Wertebereich erreicht man, wenn man im Zähler den Absolutbetrag des Skalarproduktes nimmt.

Bemerkung: Im Zähler und Nenner sind verschiedene Beträge gemeint. Im Zähler ist es der Betrag einer Zahl (eines Skalars) und im Nenner der Betrag eines Vektors, also seine Länge.

Winkel zwischen zwei Ebenen

Der Schnittwinkel $\phi$ zwischen zwei Ebenen entspricht dem Winkel zwischen den beiden Normalenvektoren $\vec{n}_1$ und $\vec{n}_2$. Die Berechnung ist dann wieder wie bei den Geraden:

Winkel zwischen Gerade und Ebene

Diesmal verwendet man den Richtungsvektor $\vec a$ der Gerade und den Normalenvektor der Ebene $\vec{n}$.

1. Methode:

Da man den Normalenvektor der Ebene verwendet und dieser um 90° gedreht zur Ebene liegt, müssen wir den entstehenden Winkel anpassen:

Der gesuchte Winkel $\beta$ zwischen Gerade und Ebene ist dann:

2. Methode:

Da die Sinus- und Kosinusfunktion auch um 90° verschoben sind, kann man $\beta$ auch direkt berechnen: