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9Skalarprodukt

Skalarprodukt

Das Skalarprodukt aus zwei Vektoren a\vec{a} und b\vec{b} ergibt eine Zahl s, einen sogenannten Skalar. Berechnet wird das Skalarprodukt, indem man komponentenweise multipliziert und anschließend addiert:

ab=(a1a2a3)(b1b2b3)=a1b1+a2b2+a3b3=s\vec{a} \circ \vec{b} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 = s

Man kann das Skalarprodukt aber auch unter Verwendung des Winkels α\alpha, welcher zwischen den beiden Vektorenv\vec{v} und w\vec{w} liegt, berechnen:

Wenn der Winkel α=90\alpha = 90^\circ ist und somit die beiden Vektoren senkrecht zueinander sind, dann ergibt das Skalarprodukt 0:

Willst du also überprüfen, ob zwei Vektoren senkrecht aufeinander stehen, berechnest du das Skalarprodukt.

Beispiel

Wir wollen überprüfen ob die Vektoren senkrecht aufeinander stehen.

Beispiel 1

a=(341)\vec{a}= \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix} und b=(236)\vec{b}= \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 6 \end{pmatrix}

Als erstes musst du das Skalarprodukt der beiden Vektoren berechnen.

ab=(341)(236)=32+(4)3+16=612+6=0\vec{a} \circ \vec{b}=\begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 6 \end{pmatrix}=3 \cdot 2+(-4) \cdot 3+1 \cdot 6=6-12+6=0

Das Skalarprodukt ist gleich 00, also stehen a\vec{a} und b\vec{b} senkrecht aufeinander.

Beispiel 2

c=(134)\vec{c}=\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} und d=(253)\vec{d}=\begin{pmatrix} -2 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix}

Als erstes musst du das Skalarprodukt der beiden Vektoren berechnen.

cd=(134)(253)=1(2)+35+34=2+15+12=25\vec{c} \circ \vec{d}=\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} -2 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix}=1\cdot(-2)+3\cdot5+3\cdot4=-2+15+12=25

Das Skalarprodukt ist 25 und somit stehen die Vektoren nicht senkrecht aufeinander.